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九年级阶段检测数学试题
本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分。本试题共 8 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。
答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 Ⅰ 卷
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。）
1.-2026 的绝对值是（ ）
A. 2026 B. -2026 C. D.
2.中国瓷器以 “技术 + 文化” 为双驱动，在国际市场保持核心竞争力。如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ ）
A.主视图和俯视图相同 B.主视图和左视图相同
C.左视图和俯视图相同 D.主视图、左视图和俯视图都相同
3.地球与月球之间的平均距离大约为 384000km，384000 用科学记数法可表示为（ ）
A.3.84×103 B.3.84×104 C.3.84×105 D.3.84×106
4.博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值。下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
5.下列计算正确的是（ ）
A.a2+a3=2a5 B.a2·a3=a6 C. (a2)3=a5 D.a（a+1）=a2+a
6.如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，P 是网格线交点，且点 P 在的△ABC 边上，则∠PAB+∠PBA=（ ）
A.45° B.30° C. 60° D. 90°
7.已知反比例函数y= 的图象上有三个点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，若x1>x2>0>x3，则下列关系式正确的是（ ）
A.y18.如图是某地铁站的进站口，共有 3 个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°。以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，交 AB 于点 F，交 BC 于点 G，分别以点 F 和点 G 为圆心，大于FG的长为半径作弧，两弧相交于点 H，作射线 BH 交 AC 于点 D；分别以点 B 和点 D 为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN 交 AB 于点 E，连接 DE。下列四个结论：① ∠AED=∠ABC；② BC=AE；③ED=BC；④ 当AC=2时，AD= 1。其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（第9题图） （第10题图）
10.在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，tan∠COA=，OA 的长是一元二次方程x2 3x 18=0的根，过点 C 作CQ⊥OA交 OA 于点 Q，交对角线 OB 于点 P。动点 M 从点 O 以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 向终点 A 运动，动点 N 从点 B 以每秒个单位长度的速度沿 BO 向终点 O 运动，M、N 两点同时出发，设运动时间为 t 秒。连接 MN、PM，△PMN 的面积 S 关于运动时间 t 的函数图象大致是（ ）
第 Ⅱ 卷
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。）
11.因式分解：mx 2my=__________。
12.如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是________。
（第12题图） （第13题图） （第14题图）
13.已知l1∥l2直线，将正五边形 ABCDE 按如图所示的位置摆放，顶点 D 在直线l1上，若∠1=135°，则∠2的度数是________。
14.小王同学从家出发，步行到离家 1200 米的公园晨练，4 分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离 y（单位：米）与出发时间 x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为________分钟。
15.如图，在矩形纸片 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AD 上的点，连接 EF，将四边形 AFEB 沿 EF 折叠，点 B 的对应点 G 恰好落在 CD 边上，点 A 的对应点为点 H，连接 AG。若
AB=2，BC=4，则AG+2EF的最小值是________。
三、解答题（本题共 10 小题，共 90 分。解答时应写出文字说明，证明或演算步骤。）
16.（本小题 7 分）计算：(π 6)0++2cos60°+∣ ∣+( ) 1
17.（本小题 7 分）解不等式组：并写出它的非负整数解。
18.（本小题 7 分）如图，平行四边形 ABCD 中 E，F 是直线 AC 上两点，且AE=CF。求证：BE∥DF。
19.（本小题 8 分）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程。图 1 是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图 2 是其工作示意图（点 A，B，C，D，E，F，G，H 都在同一平面内）。
如图 2，伸缩臂高空作业车 CD 固定不动，转轴 BC 固定不动，转动点 B 离地面 EG 的高度 BH 为 3.4m，起重臂 AB 长为 6.1m，∠ABH=125°，楼高 FG 为 14.4m，操作平台 A 在 FG 上。（结果精确到 0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
（1）求此时操作平台 A 离地面的高度 AG；
（2）若起重臂 AB 可以绕点 B 上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为 13m，则操作平台 A 能到达楼顶 F 吗？为什么？
20.（本小题 8 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，F 是 AD 延长线上一点，连接 CD，CF，且∠DCF=∠CAD。
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）若AD=10，cosB=，求 FD 的长。
21.（本小题 9 分）《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转。某校开展了 “典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A. 50≤x<60，B. 60≤x<70，C. 70≤x<80，D. 80≤x<90，E. 90≤x≤100五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图：
其中 C 等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图；
（2）本次被抽取的所有成绩的中位数为________分，D 组扇形所对应圆心角的度数是________°；
（3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按 20%，30%，50% 的比例确定最后得分，得分达到 90 分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为 86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由。
22.（本小题 10 分）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的 A 型、B 型两种智能机器人，购买 A 型机器人的总费用为 90 万元，购买 B 型机器人的总费用为 60 万元，B 型机器人单价比 A 型机器人单价低 3 万元。
（1）求 A 型、B 型两种机器人的单价；
（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择 10 台配备到某生产线，要求 A，B 两种型号的机器人各至少配备 1 台，且购买这 10 台机器人的总费用不超过 70 万元。求出所有配备方案。
23.（本小题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k≠0)与直线y=x相交于点B(m,)、点 C 两点，点 A 在 x 轴的正半轴上，OA=2，连接 CA 并延长与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限交于点 D。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点 D 的坐标及△OAD 的面积；
（3）在 x 轴上是否存在点 Q，使得以点 A，D，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
24.（本小题 12 分）抛物线C1:y= mx2 2mx+3m（m 为常数，m>0）交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，点 P 为直线 AC 上方抛物线上任意一点，过点 P 作PQ⊥x轴，垂足为点 Q，交线段 AC 于点 M。
（1）如图 1，若点 C 的坐标为(0,3)。
①求抛物线C1的函数解析式及其顶点坐标；
②设点 P 到直线 AC 的距离为d1，点 B 到直线 AC 的距离为d2，
h=，求出 h 的最大值；
（2）如图 2，将抛物线C1绕点O(0,0)旋转 180°，得到抛物线C2，抛物线C2与 y 轴交于点 F，抛物线C1，C2相交于 D，E 两点，若四边形 ECDF 的面积为18，直接写出 m 的值。
25.（本小题 12 分）
【问题发现】
在一次数学探究课上，小明把正方形 ABCD 和正方形 CEFG 如图 1 摆放到一起，连接 BE、DG，然后把正方形 CEFG 绕点 C 顺时针旋转。
（1）小明发现，无论如何旋转，线段 BE 和 DG 的数量关系是________；直线 BE 和 DG 位置关系是________；
【类比探究】
（2）连接 AF、AC，延长 BE 交 AF 所在直线于点 P，小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段 AF 与线段 BE 的比值及∠APB的度数也是固定的。如图 2，当正方形 CEFG 旋转至正方形 ABCD 外侧且 B、C、G 三点共线时。
①求线段 AF 与线段 BE 的比值及∠APB的度数；
②如图 3，连接 BD 交 AC 于点 O，交 AF 于点 H，当BC=3，AH=5PF时，求 EC 的长。
答案
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。）
1.-2026 的绝对值是（ A ）
A. 2026 B. -2026 C. D.
2.中国瓷器以 “技术 + 文化” 为双驱动，在国际市场保持核心竞争力。如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ B ）
A.主视图和俯视图相同 B.主视图和左视图相同
C.左视图和俯视图相同 D.主视图、左视图和俯视图都相同
3.地球与月球之间的平均距离大约为 384000km，384000 用科学记数法可表示为（ D ）
A.3.84×103 B.3.84×104 C.3.84×105 D.3.84×106
4.博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值。下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
5.下列计算正确的是（ D ）
A.a2+a3=2a5 B.a2·a3=a6 C. (a2)3=a5 D.a（a+1）=a2+a
6.如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，P 是网格线交点，且点 P 在的△ABC 边上，则∠PAB+∠PBA=（ A ）
A.45° B.30° C. 60° D. 90°
7.已知反比例函数y= 的图象上有三个点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，若x1>x2>0>x3，则下列关系式正确的是（ B ）
A.y18.如图是某地铁站的进站口，共有 3 个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是（ A ）
A. B. C. D.
9.如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°。以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，交 AB 于点 F，交 BC 于点 G，分别以点 F 和点 G 为圆心，大于FG的长为半径作弧，两弧相交于点 H，作射线 BH 交 AC 于点 D；分别以点 B 和点 D 为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN 交 AB 于点 E，连接 DE。下列四个结论：① ∠AED=∠ABC；② BC=AE；③ED=BC；④ 当AC=2时，AD= 1。其中正确结论的个数是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（第9题图） （第10题图）
10.在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，tan∠COA=，OA 的长是一元二次方程x2 3x 18=0的根，过点 C 作CQ⊥OA交 OA 于点 Q，交对角线 OB 于点 P。动点 M 从点 O 以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 向终点 A 运动，动点 N 从点 B 以每秒个单位长度的速度沿 BO 向终点 O 运动，M、N 两点同时出发，设运动时间为 t 秒。连接 MN、PM，△PMN 的面积 S 关于运动时间 t 的函数图象大致是（ B ）
第 Ⅱ 卷
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。）
11.因式分解：mx 2my=_____m(x－2y)_____。
12.如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是________。
（第12题图） （第13题图） （第14题图）
13.已知l1∥l2直线，将正五边形 ABCDE 按如图所示的位置摆放，顶点 D 在直线l1上，若∠1=135°，则∠2的度数是____63°____。
14.小王同学从家出发，步行到离家 1200 米的公园晨练，4 分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离 y（单位：米）与出发时间 x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为___3_____分钟。
15.如图，在矩形纸片 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AD 上的点，连接 EF，将四边形 AFEB 沿 EF 折叠，点 B 的对应点 G 恰好落在 CD 边上，点 A 的对应点为点 H，连接 AG。若
AB=2，BC=4，则AG+2EF的最小值是___2_____。
三、解答题（本题共 10 小题，共 90 分。解答时应写出文字说明，证明或演算步骤。）
16.（本小题 7 分）计算：(π 6)0++2cos60°+∣ ∣+( ) 1
=1+3+1+﹣2
=3+
17.（本小题 7 分）解不等式组：并写出它的非负整数解。
解不等式①得 x≤1，............2分
解不等式②得 x> 7，...................4分
∴不等式组的解集为 7∴非负整数解为 0,1。.................7分
18.（本小题 7 分）如图，平行四边形 ABCD 中 E，F 是直线 AC 上两点，且AE=CF。求证：BE∥DF。
证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，..........2分
∴∠ACD=∠CAB。...........3分
在△CFD和△AEB中，
∴△CFD≌△AEB，(SAS).................5分
∴∠F=∠E，
∴BE∥DF。...............7分
19.（本小题 8 分）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程。图 1 是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图 2 是其工作示意图（点 A，B，C，D，E，F，G，H 都在同一平面内）。
如图 2，伸缩臂高空作业车 CD 固定不动，转轴 BC 固定不动，转动点 B 离地面 EG 的高度 BH 为 3.4m，起重臂 AB 长为 6.1m，∠ABH=125°，楼高 FG 为 14.4m，操作平台 A 在 FG 上。（结果精确到 0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
（1）求此时操作平台 A 离地面的高度 AG；
（2）若起重臂 AB 可以绕点 B 上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为 13m，则操作平台 A 能到达楼顶 F 吗？为什么？
解：（1）如图：过点B作BM⊥FG，垂足为点 M，则四边形 BHGM为矩形，
∵AB=6.1m，BH=3.4m，∠ABH=125 ，
∴MG=BH=3.4m，∠HBM=90 ，∠AMB=90 ，
∴∠ABM=∠ABH ∠HBM=125 90 =35 ，..........2分
∵在Rt△ABM中，sin∠ABM=，
∴AM=ABsin35 =6.1×0.57≈3.477 (m)，.............3分
∴AG=AM+MG=3.477+3.4≈6.9 (m)。
答：操作平台 A离地面的高度约为 6.9m。..............4分
（2）解：能，理由如下：如图：连接 BF，由题意可知，FG=14.4m，AB最长为 13m，
∵在Rt△ABM中，cos∠ABM=，
∴BM=ABcos35 =6.1×0.82≈5.0 (m)，
∴FM=FG MG=14.4 3.4=11 (m)，...............6分
∴在Rt△FBM中，根据勾股定理得：BF2=BM2+FM2，
∴BF2=5.02+112=146 (m2)，
∵132=169>146，
∴操作平台 A能到达楼顶 F。..............8分
20.（本小题 8 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，F 是 AD 延长线上一点，连接 CD，CF，且∠DCF=∠CAD。
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）若AD=10，cosB=，求 FD 的长。
（1）证明：连接 OC，如图所示：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90 ，
∴∠ADC+∠CAD=90 ，................2分
又∵OC=OD，
∴∠ADC=∠OCD，................3分
又∵∠DCF=∠CAD，
∴∠DCF+∠OCD=90 ，即OC⊥FC，
∴CF 是⊙O的切线；。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）解：∵∠B=∠ADC，cosB=，
∴cos∠ADC=，
在Rt△ACD中，cos∠ADC==，AD=10，
∴CD=AD·cos∠ADC=10×=6，则 AC==8，...............5分
∴=，
∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，
∴△FCD∽△FAC，.........................6分
∴===，
设 FD=3x，则 FC=4x，AF=3x+10，
∵FC2=FD·FA，即 (4x)2=3x(3x+10)，
解得 x= 或 x=0（舍去），
∴FD=3x=。...............8分
21.（本小题 9 分）《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转。某校开展了 “典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A. 50≤x<60，B. 60≤x<70，C. 70≤x<80，D. 80≤x<90，E. 90≤x≤100五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图：
其中 C 等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图；
（2）本次被抽取的所有成绩的中位数为________分，D 组扇形所对应圆心角的度数是________°；
（3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按 20%，30%，50% 的比例确定最后得分，得分达到 90 分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为 86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由。
解：（1）50，.............2分（补全频数分布直方图，略）................3分
（2）78，108 ；...........5分
（3）小敏最后得分：86×20%+89×30%+93×50%=90.4>90，
∴小敏能参加决赛。............9分
22.（本小题 10 分）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的 A 型、B 型两种智能机器人，购买 A 型机器人的总费用为 90 万元，购买 B 型机器人的总费用为 60 万元，B 型机器人单价比 A 型机器人单价低 3 万元。
（1）求 A 型、B 型两种机器人的单价；
（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择 10 台配备到某生产线，要求 A，B 两种型号的机器人各至少配备 1 台，且购买这 10 台机器人的总费用不超过 70 万元。求出所有配备方案。
解：
设 A型机器人单价为 x万元，则 B型机器人单价为 (x 3)万元，
根据题意，得=，..............2分
解得 x=9，
经检验，x=9是原分式方程的根，且符合题意，.......................4分
所以，x 3=6。
所以，A型机器人单价为 9万元，B型机器人单价为 6万元。..................5分
（2）设配备 A型机器人 y台，则配备 B型机器人 (10 y)台，
根据题意，得 9y+6(10 y)≤70，
解得 y≤，..................7分
∵要求 A、B两种型号的机器人各至少配备 1台，且 y为正整数
∴y的取值为 1,2,3，共有 3种方案：
方案一：A型机器人 1台，B型机器人 9台；
方案二：A型机器人 2台，B型机器人 8台；
方案三：A型机器人 3台，B型机器人 7台；..................10分
23.（本小题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k≠0)与直线y=x相交于点B(m,)、点 C 两点，点 A 在 x 轴的正半轴上，OA=2，连接 CA 并延长与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限交于点 D。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点 D 的坐标及△OAD 的面积；
（3）在 x 轴上是否存在点 Q，使得以点 A，D，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）把B的坐标为 (m,)，代入 y=x中，
∴m=1，
∴B的坐标为 (1,)，.............1分
∵点 B在反比例函数 y= (k>0)的图象上，
∴k=1×=，
∴反比例函数的表达式为 y=，...............2分
（2）∵延长 BO与反比例函数 y=y=的图象在第三象限交于点 C，
∴点 C与点 B关于原点对称，
∴点 C的坐标为 ( 1, )，.........3分
∵OA=2，
∴点 A的坐标为 (2,0)，
设直线 AC的解析式为 y=kx+b，
∴，解得，
∴直线 AC的解析式为 y=x ，...............4分
联立得=x ，
解得 x=3或x= 1（舍去），
经检验，x=3是原方程的解，
∴点 D的坐标为 (3,)，..........5分
∴S△OAD=OA×∣yD∣=，.................6分
（3）是，理由如下：
∵△OBA为等边三角形，点 C与点 B关于原点对称，
∴OA=OB=OC，∠BOA=∠BAO=60 ，
∴∠OAC=∠OCA=∠BOA=30 ，
∴∠BAC=90 ，
当DQ⊥x轴时，∠DAQ=∠OAC=30 =∠BCA，∠DQA=∠BAC=90 ，
∴△DQA∽△BAC，
∵点 D的坐标为 (3,)，
∴点 Q的坐标为 (3,0)；............8分
当DQ⊥AD 时，则 ∠DAQ=∠OAC=30 =∠BCA，∠QDA=∠BAC=90 ，
∴△QDA∽△BAC，
∵点 D的坐标为 (3,)，点 A的坐标为 (2,0)，
∴AD=，
∴AQ==，
∴OQ=2+=，
综上，点 Q的坐标为 (3,0)或 (,0)。..............10分
24.（本小题 12 分）抛物线C1:y= mx2 2mx+3m（m 为常数，m>0）交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，点 P 为直线 AC 上方抛物线上任意一点，过点 P 作PQ⊥x轴，垂足为点 Q，交线段 AC 于点 M。
（1）如图 1，若点 C 的坐标为(0,3)。
①求抛物线C1的函数解析式及其顶点坐标；
②设点 P 到直线 AC 的距离为d1，点 B 到直线 AC 的距离为d2，
h=，求出 h 的最大值；
（2）如图 2，将抛物线C1绕点O(0,0)旋转 180°，得到抛物线C2，抛物线C2与 y 轴交于点 F，抛物线C1，C2相交于 D，E 两点，若四边形 ECDF 的面积为18，直接写出 m 的值。
（1）解：①∵点C的坐标为 (0,3)，
∴y= x2 2x+3= (x+1)2+4，.............2分
∴顶点坐标为 ( 1,4)；................4分
②∵抛物线 C1的解析式为 y= x2 2x+3，
∴当 y=0时，0= x2 2x+3
解得 x1= 3，x2=1，
∴A( 3,0)，AB=4。.............6分
设直线 AC的函数解析式为 y=kx+b，
把 A( 3,0)，C(0,3)代入解析式得：
解得：
∴直线 AC的函数解析式为 y=x+3，...............7分
分别过点 P,B作 AC的垂线，垂足为 G,H，则d1=PM，d2=AB，............8分
设 P(a, a2 2a+3)则 M(a,a+3)
∴PM= a2 3a
∴h=PM= a2 a
当 x= = 时，h有最大值为。...........10分
（2）m=3。....................12分
25.（本小题 12 分）
【问题发现】
在一次数学探究课上，小明把正方形 ABCD 和正方形 CEFG 如图 1 摆放到一起，连接 BE、DG，然后把正方形 CEFG 绕点 C 顺时针旋转。
（1）小明发现，无论如何旋转，线段 BE 和 DG 的数量关系是________；直线 BE 和 DG 位置关系是________；
【类比探究】
（2）连接 AF、AC，延长 BE 交 AF 所在直线于点 P，小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段 AF 与线段 BE 的比值及∠APB的度数也是固定的。如图 2，当正方形 CEFG 旋转至正方形 ABCD 外侧且 B、C、G 三点共线时。
①求线段 AF 与线段 BE 的比值及∠APB的度数；
②如图 3，连接 BD 交 AC 于点 O，交 AF 于点 H，当BC=3，AH=5PF时，求 EC 的长。
解：（1）BE=DG，BE⊥DG；....................4分
（2）解：如图，连接 CF，设 AC与 BP交于点 I，
∵四边形 ABCD，ECGF是正方形，
∴△ABC，△FEC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ECF=45 ，==，
∴∠BCD=∠ACF，..............6分
∴△ACF∽△BCE，
∴==，∠CBE=∠CAF，
∵∠BIC=∠AIP，
∴∠PCI=∠APB=45 ；...........8分
∵AC 为正方形 ABCD的对角线，FC为正方形 FECG的对角线，
∴∠ACB=∠FCG=45 ，
∴∠ACF=90
根据正方形性质可知，AC⊥BD，
∴∠AOD=90
∴∠ACF=∠AOD=90 ，
∴OH∥CF，
∴==1，
∴H点为 AF中点，
又∵AH=5PF，
∴设 AH=5x，PF=x，则 HP=4x，
∴AP=9x，..............9分
∵AQ∥EF，
∴∠Q=∠QEF，∠PAQ=∠PFE，
∴△PAQ∽△PFE，
∴==，
设 EF=EC=a，则 AQ=9a，
∴DQ=9a 3，DE=3 a，............10分
∵ED∥AB，
∴∠DEQ=∠ABQ，∠BAQ=∠EDQ，
∴△QDE∽△QAB，
∴=，
∴=，
解得 a1=，a2= 5（舍），...................12分
∴EC=。

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