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大庆铁人中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段考试
数学试卷
一、单选题
1．已知复数在复平面上对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．是纯虚数
2．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
5．已知的三个顶点，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．在复面内对应的点位于第一象限
10．已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．一定可以作为一个基底
B．一定有最小值
C．一定存在一个实数使得
D．的夹角的取值范围是
11．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ）
A．的周长为 B．三个内角，，满足
C．外接圆的直径为 D．的中线的长为
三、填空题
12．已知复数，且，则__________．
13．如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

14．已知的三个内角的对应边分别为，且．则使得成立的实数m的取值范围是______．
四、解答题
15．已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．已知向量.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求向量与的夹角.
17．设平面向量，，函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若锐角满足，求的值．
18．已知，，分别是的内角，，的对边，．
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，，，求的面积．
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角B的大小；
(2)若，，点D满足，求△ABD的面积；
(3)若，且△ABC的外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围.
参考答案及解析
1．D
解析：复数在复平面上对应的点为，
A选项，由复数的几何意义可知，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，，则是纯虚数，D正确.
故选：D.
2．B
解析：因为角的终边过点，
所以，
所以，
故选：B
3．C
解析：连接，如图所示：
因为分别为的中点，
所以，
，
因为为中点，
所以.
故选：C
4．A
解析：因为锐角 的面积为 ，且 ，，所以由三角形面积公式可得
将 ， 代入，得.
所以，即.
因为 是锐角三角形，所以，从而.
由余弦定理，得.
代入 ，，，得.
因此.
设 外接圆的半径为 ．
由正弦定理可得.
所以，故.
5．D
解析：因为四边形为平行四边形，
所以，即，
所以，
即，
所以的坐标为.
故选：D
6．B
解析：由题意可得，解得，
因此.
故选：B.
7．C
解析：作出示意如图所示：取的中点，
则，又，所以，
又，所以在直线上，
所以的最小值为到直线的距离，即，
因为，所以，且，所以，
所以，所以的最小值为.
故选：C.
8．C
解析：设，所以，解得 ，
所以满足的值恰好只有5个，
所以的取值可能为0,1,2,3,4，由
，故选C．
9．ACD
解析：由题意得，所以.
对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.
故选：ACD.
10．BC
解析：对A：若，即，即，此时不能作基底，故A错误；
对B：，
故有最小值，故B正确；
对C：若，则有
即，即，即，
解得，即当时，，故C正确；
对D：由A知，若，则，即只能同向不能反向，
故的夹角不可能为，故D错误.
故选：BC.
11．ABC
解析：由正弦定理可得．
设
，
解得的周长为，故A正确；
由余弦定理得，，
故B正确；
由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确；
由中线定理得，即，
，故D错误．
故选:ABC．
12．2
解析：由，则，
所以，解得，
所以．
故答案为：2.
13．
解析：以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为.
14．
解析：解：由三角形的面积公式可得，即
由余弦定理可得，
∴，
∴
∵，
由正弦定理可得，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∵，当且仅当时取等号，
∴，
∴，
综上所述m的取值范围为，
故答案为.
15．(1)
(2)
解析：（1）解：因为角的终边上点，又，
所以，，所以；
（2）解：
16．(1)或.
(2)
解析：（1）已知，
所以.
又因为，所以有，
所以，解得或.
（2）因为，所以.
又，所以，
解得，所以.
所以，
因为，所以.
17．(1)
(2)
解析：（1），
由，得，故.
（2），为锐角，所以，
．
.
18．(1)
(2)．
解析：（1），
，
，
由正弦定理得，，，
，．
（2），，
，
，
由正弦定理知，，，
．
19．(1)
(2)
(3)
解析：（1）法一：因为，
所以根据正弦定理得：
，
，
所以，
所以，
根据正弦定理，得.即，
根据余弦定理，得，
因为，所以，
法二：因为，
所以根据正弦定理，得，
根据余弦定理，得，
即，
根据余弦定理，得，
因为，所以；
（2）由余弦定理，得，
所以，即，
所以，因为，所以，
因为，
所以，
所以△ABC的面积为；
（3）∵，，
∴，即，由余弦定理得，
所以，即，
故是等边三角形，
所以，
∴，，
∴，，
设AB的中点为D，则

∴
，
∵，
∴，
∴的取值范围为：．

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