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专题04 立体几何
2大高频考点概览
考点01空间几何体
考点02点线面之间的位置关系
一、单选题
1．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用勾股定理直接求出球的半径，再利用球的体积公式，即可求解.
【详解】如图，设半球的球心为，半径为，连接，
由题易知半球的球心是底面正方形的中心，且，，
在中，，得到，
故半球的体积为，
故选：A.
2．（24-25高一下·山东泰安·期中）若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据斜二测图形信息推出原图形的尺寸，再分析旋转后几何体的构成，最后求出体积.
【详解】已知在斜二测图形中，，
根据斜二测画法中平行于轴的线段长度不变的规则，可知在原图形中，，.
又已知，由斜二测画法中平行于轴的线段长度减半的性质，
可得原图形中，且（斜二测画法中轴与轴夹角在原图形中为）.
如图，得到原图.
因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台.
其中圆台的底面半径，高；
根据圆台体积公式，可得.
故选：B.
3．（24-25高一下·山东泰安·期中）以下说法正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱
B．用一个平面去截圆锥，截面和圆锥底面之间的部分是圆台
C．已知表示两条不同直线，表示平面，若，，则
D．已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，若，则
【答案】C
【分析】对于A选项：正棱柱要求底面是正多边形且侧棱垂直底面，仅底面正多边形不能确定侧棱垂直底面，所以不一定是正棱柱．
对于B选项：圆台需用平行圆锥底面的平面去截圆锥，若平面不平行底面，得到的不是圆台．
对于C选项：根据线面垂直性质判断．
对于D选项：两个平面都与第三个平面垂直时，这两个平面可能平行也可能相交，如墙角处平面，所以不能得出平行．
【详解】正棱柱的定义是底面为正多边形，且侧棱垂直于底面的棱柱．仅底面是正多边形，不能确定侧棱与底面垂直，所以底面是正多边形的棱柱不一定是正棱柱，选项错误．
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和圆锥底面之间的部分才是圆台．若平面不平行于圆锥底面，得到的就不是圆台，选项错误．
线面垂直的性质为：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条直线垂直．已知，，即直线垂直于平面，直线在平面内，所以，C选项正确．
当时，与可能平行，也可能相交．例如墙角处的三个平面，两两垂直，所以不能得出，选项错误．
故选：C．
4．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知水平放置的的斜二测直观图为，如图所示． 若是等腰直角三角形（点与点重合），，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据斜二测画法求面积即可.
【详解】因为是等腰直角三角形，所以，
则，，,
则的面积为.
故选：B.
5．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在原图形中，由勾股定理求出，根据斜二测画法得到，，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】根据题意，中，，，，
由勾股定理得，
在直观图中，
，，
故的面积.
故选：B
6．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】D
【分析】由斜二测画法可知原四边形且，，利用勾股定理可求得，由此可求得平行四边形的周长.
【详解】由斜二测画法可知原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.
故选：D.
7．（24-25高一下·山东济宁·期中）底面半径为3的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为2、高为4的圆锥，所得圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由三角形形似对应边成比例求出，再由圆台的体积公式计算可得.
【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，，
∵，∴
所以圆台的体积为.
故选：A
8．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则此三棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据三棱锥三条侧棱两两垂直求出三棱锥的体积，再求出底面三角形的面积，最后根据三棱锥体积公式反推出三棱锥的高．
【详解】
因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以可把当作底面，当作高．
可得．
再根据三棱锥体积公式，可得．
在中，根据勾股定理，可得．
在中，根据勾股定理，可得．
在中，根据勾股定理，可得．
由，，可知是等腰三角形，底边上的高．
可得．
设三棱锥的高为，根据三棱锥体积公式，
已知，，则，解得．
此三棱锥的高为．
故选：D．
9．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的母线为（ ）
A．6 B．12 C．3 D．2
【答案】A
【分析】利用圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长即可求解.
【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图扇形的圆心角为，
则，
因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，
所以，即，所以.
故选：A.
10．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知圆锥的轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则求出圆锥的底面圆半径及圆锥的高，进而求出圆锥母线即可求出侧面积.
【详解】由轴，得是圆锥轴截面边上的高，由，
得，则圆锥的母线，
所以圆锥的侧面积为.
故选：B
二、多选题
11．（24-25高一下·山东青岛·期中）在直平行六面体中，，M为棱上的动点，四点均在球O的球面上，则（ ）
A．存在点M，使平面
B．无论M的位置如何，三棱锥的体积为定值
C．存在点M，使的周长为
D．球O的表面积为
【答案】ABD
【分析】根据线面平行判定定理得出平面，判断A，根据等体积计算判断B，根据展开图计算判断C，根据截面计算求解外接球半径判断D.
【详解】
A:由题意知直平行六面体的底面为菱形，且为等边三角形，连接，四边形为平行四边形，
所以，平面，不在平面内，平面，所以当点M与点D重合时，平面，A选项正确；
B.同体换底思想，，不随M的位置发生变化，
其高即A到平面的距离不变，B选项正确；
C.将平面与平面沿展开，
可得当三点共线时，最小，且最小值为，
所以周长的最小值为，故C错误；
D.设为的外心，连接，，，过作平面的垂线，球心在此垂线上，
要满足到B，的距离相等，球心在垂线段的中点上.所以球O的半径为，
所以球O的表面积为，故D正确.
故选：ABD.
12．（24-25高一下·山东济南·期中）已知圆锥母线长为6，是底面一条直径.则（ ）
A．若是等边三角形，则圆锥外接球表面积为
B．若，则过圆锥顶点S的截面面积的最大值是
C．若，则从A点出发沿着侧面再回到A点的最短路程是
D．若是等边三角形，则圆锥内切球体积为
【答案】ACD
【分析】根据等边三角形外接圆和内切圆的圆心都是三角形的中心可以求得圆锥外接球和内切球的半径，再代入球的表面积及体积公式即可确定A，D是否正确，当圆锥轴截面顶角大于90°时，过顶点的截面面积的最大值是母线平方的一半而不是轴截面面积可得C正确，曲面上最短路径问题通常转化为平面上最短距离解决，再由余弦定理和圆心角的计算可得D正确.
【详解】对于A、D，边长为6的等边三角形中线长为，其外接圆和内切圆半径分别为中线的三分之二和中线的三分之一，
故此时圆锥的外接球半径为，内切球半径为，代入球面面积公式及球体体积公式，故A、D正确；
对于B，因为轴截面顶角为钝角，此时经过两条垂直母线的截面面积最大，
最大面积为18，故B错误；
对于C，因为圆锥侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，
利用三角形余弦定理可以求得，故C正确.
故选：ACD
三、填空题
13．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.

【答案】
【分析】根据，求得，再根据三棱锥的换底性可得，由此可得答案.
【详解】，
E是的三等分点（靠近点A），是的中点，
，，，
又∵，
，
.
三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为.
故答案为：.
14．（24-25高一下·山东泰安·期中）一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为 ，则球的表面积是______．
【答案】
【分析】利用外接球的直径为长方体的体对角线可求球的半径，从而可求表面积.
【详解】因为长方体的各顶点均在球面上，故球即为长方体的外接球，
故长方体的体对角线即为球的直径，而长方体的体对角线的长为，
所以，所以球的表面积为，
故答案为：.
15．（24-25高一下·山东枣庄·期中）一个上底面边长为1，下底面边长为4，高为3的正四棱台的体积为________.
【答案】21
【分析】由已知求出正四棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解．
【详解】由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正四棱台的体积相等，
∵正四棱台的上下底面边长分别为1和4，则上底面积，下底面积，棱台的高，
则棱台体积，
故答案为：21.
16．（24-25高一下·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____.
【答案】
【分析】先由余弦定理得到为直角三角形，解得，再根据得到与的关系，而后由三棱锥的体积最大值为得到，此时，即可求得，代入球的表面积公式可得答案.
【详解】由余弦定理可知：，
即，又，解得.
因为，故，所在小圆的圆心为中点，小圆半径；
记球心到小圆圆心的距离为，球半径为，三棱锥的高为，
则有，
当三棱锥的体积最大时，与在球心两侧，此时有
，
再由，可知，
故，解得，此时，
故答案为：.
17．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______.
【答案】10
【分析】根据斜二测画法的原则还原四边形进行求解即可.
【详解】由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.
故答案为：10
18．（24-25高一下·山东泰安·期中）若一个球的体积为，则它的表面积为______.
【答案】
【分析】根据球的体积求出球的半径，再利用球的表面积公式即可求解.
【详解】设球的半径为.
∵球的体积为，∴，解得.
∴球的表面积为.
故答案为：.
19．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知圆台甲、乙有相同的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球），两圆台的高为，圆台的母线长分别为、，则圆台甲与乙的体积之比为________.
【答案】
【分析】设甲圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，得到，可得乙圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，得到，结合圆台的体积公式，即可求解.
【详解】设甲圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，可得，
又由，即，
联立方程组，可得，
所以甲圆台的体积以为，
设乙圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，可得，
又由，即，
联立方程组，可得，
所以甲圆台的体积以为，
所以甲乙圆台的体积比为.
故答案为：.
四、解答题
20．（24-25高一下·山东泰安·期中）（1）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上的点. 若，分别是和的中点，求证：平面；
（2）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积及体积.
【答案】（1）证明见解析 （2）表面积为，所求体积为
【分析】（1）取的中点，连接，.根据点，分别是和的中点可得 ，且，进而可证四边形为平行四边形，故.利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据四边形绕旋转一周所成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥，根据圆锥和圆台的表面积及体积公式即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示.
在四棱锥中，
∵点，分别是和的中点，∴，且.
又∵点是的中点，∴.
∵底面为平行四边形，∴，且.
∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.
又平面，平面，∴平面.
（2）由题意可知四边形绕直线旋转一周所成几何体如图：
该几何体是一个圆台挖去一个圆锥，设圆台上底面圆心为，连接与，
∵，，∴，，
∴该几何体是一个上底半径为，下底半径为，高为的圆台挖去一个底面半径为，高为的圆锥，设其表面积为，体积为，则，
，
∴所求表面积为，所求体积为.
21．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求剩余的几何体的表面积和体积.
【答案】；
【分析】结合正方体的性质，根据表面积和体积的定义即可求解.
【详解】由正方体的性质可知是边长为的等边三角形，
所以的面积
所以所求几何体的表面积.
几何体的体积
22．（24-25高一下·山东济宁·期中）南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，用平面去截半径为的球，截面为圆，延长，交球于点N，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）.平面将球体分为两个球缺.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）.


(1)求正三棱锥的体积；
(2)已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω.
（i）求平面截空间几何体Ω所得截面面积；
（ii）若平面把空间几何体Ω分成两个部分，求较小部分的体积.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）先求出正三棱锥底面三角形的面积，再结合正三棱锥的高，利用三棱锥体积公式求解.
（2）（i）由可知点的轨迹是以AB为直径的球，进而求出平面BCD截该球所得截面圆的半径，从而得到截面面积.
（ii）利用祖暅原理，推导球缺体积公式，将所求较小部分体积转化为可求的几何体体积进行计算.
【详解】（1）已知正三棱锥各棱长均为，是正三角形.可得.
因为点是的中心，在正三角形中，.
在中，根据勾股定理，，，则.
根据三棱锥体积公式，可得.
（2）（i）因为，所以点的轨迹是以为直径的球，球的半径.
设球心为，为中点，求到平面的距离：
为中心，，则到平面的距离.
设截面圆的半径为，根据勾股定理.
根据圆的面积公式，可得截面面积.
（ii）设较小部分为球缺，利用祖暅原理，推导球缺体积公式.
设球半径为，球缺高为.
构造一个底面半径，高为的圆柱，在圆柱里挖去一个同底等高的圆锥.
对于球缺，在距离球缺底面（）处，由勾股定理可知截面半径，
此截面面积.
对于上述圆柱挖圆锥的组合体，在距离底面处，圆柱截面面积是，
圆锥在该高度处截面半径与高度成正比，其截面面积为，
所以组合体在该高度处截面面积.
可见在任意相同高度处，球缺和组合体的截面面积相等.
圆柱体积，圆锥体积，
组合体体积，故球缺体积也是.
先求球缺的高.根据球缺体积公式将，代入可得：
.
一、单选题
1．（24-25高一下·山东泰安·期中）长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线
B．，，三点确定一个平面
C．，，，四点共面
D．，，，四点共面
【答案】A
【分析】根据平面的基本性质，异面直线的定义，逐一验证各个选项.
【详解】如下图所示：
根据题意，连接，则，
所以四点共面，所以平面，
又，所以平面，
又平面，所以点在平面与平面的交线上面，
同理可得点在平面与平面的交线上面，
所以，，三点共线，
故A选项错误，B选项正确；
由异面直线定义可知C选项中为异面直线，故C选项错误；
由异面直线定义可知D选项中为异面直线，故D选项错误.
故选：A
2．（24-25高一下·山东青岛·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若a，b是两条相交直线，且平面，则与相交
B．若a，b是两条平行直线，且平面，则
C．若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线
D．若a，b是两条平行直线，，是两个不同的平面，，，，则，
【答案】D
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】对于A，若，是两条相交直线，且平面，则与相交，或，故A错误；
对于B，若，是两条平行直线，且平面，则平面，或，故故.错误；
对于C，若，是两条异面直线，与，都相交的两条直线可能相交，
如，是异面直线，在上取一点，在上取两点、，连接，则与相交于点，并非异面直线，故错误；
对于D，因为，所以，，
又因为，，则；同理，，，可得，故正确.
故选：D.
3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知，是平面外的两条直线，在的前提下，是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】充分性可在正方体中举反例，必要性则利用线面平行的性质定理和判定定理可得.
【详解】如图，在正方体中，
记平面为，直线为，
若记直线为，则满足，但，故无法得出；
因，则直线共面，记直线所确定的平面为，
若，则；
若，则由，可得，则，
因，，，则，
故由可得出.
综上可知，是的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题
4．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若平面，则点的轨迹的长度为
C．若，则点是的中点
D．若，则点的轨迹的长度为
【答案】ABD
【分析】选项A：把平面与平面展开成一个矩形，利用两点之间线段最短，通过勾股定理求展开后与距离，得最小值．
选项B：先证，推出平面平面，由线面平行性质可知，平面时，轨迹是线段，再用勾股定理求其长度．
选项C：建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到向量与，根据向量垂直时数量积为0列方程求解点位置，判断不是中点．
选项D：设坐标，根据空间两点距离公式列方程，得到轨迹方程，确定其轨迹是圆，用圆周长公式求轨迹长度．
【详解】将平面与平面展开在一个平面上，此时的最小值为展开后与两点间的距离．
展开后得到一个矩形，矩形的两边长分别为和．
根据勾股定理，则，所以的最小值为，选项A正确．
因为，，，，所以，，四边形是平行四边形，．
同理可得，所以．
易知平面平面，若平面，则点的轨迹是线段．
在正方形中，边长为，根据勾股定理可得，即点的轨迹长度为，选项B正确．
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，设，．
，．
因为，所以，即，，，解得，所以不是的中点，选项C错误．
设，，，已知，由，根据空间两点间距离公式可得：，即（，）．
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
根据圆的周长公式，则点的轨迹长度为，选项D正确．
故选：ABD．
三、解答题
5．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，已知四面体中，平面，．
(1)求证：；
(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值；
(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)10；
(3).
【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直.
（2）根据线线垂直、线面垂直以及面面垂直分析求解即可.
（3）将平面与平面沿展开成平面图形，则BD即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可.
【详解】（1）由平面，平面BCD，得，
又，，平面ABC，因此平面，
而平面ABC，所以.
（2）由（1）知：，，
且平面，平面ABC，则，且其余各棱均不垂直，得；
由平面，且平面，平面，
得平面平面，平面平面，
同理由平面得：平面平面，且其余各面均不垂直，得；
由平面，平面，且其余各线面均不垂直，得，
所以.
（3）将平面与平面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD，
所以彩带的最小长度为图2平面图中的长，
.
由（1）知，
在图1中，由平面，平面BCD，得，
又，则，因此在图2中，，
由余弦定理得，
所以彩带的最小长度为.
6．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证.
（2）作出线面角，利用定义法求出大小.
（3）延长棱台侧棱还原成棱锥，再利用面面角的定义计算推理即可.
【详解】（1）在三棱台中，，，
在等腰梯形中，，
由余弦定理得：，
则，即，
而平面平面，平面平面平面，
所以平面.
（2）过，垂足为，
因为平面，又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，
得 又，平面，
则平面，为与平面所在角，，
因此，所以与平面所成角为.
（3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形，
由平面，平面，得平面平面，取中点，
则，而平面平面，平面，则平面，
作交于，则平面，而平面，则，
作于，连接，即在平面上的射影，

又，平面，则平面，
又平面，于是，为二面角的平面角，
若存在使得二面角的大小为，即，
设，则，，
即，解得，，，
因此，，
所以存在满足题意的点.
7．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在正三棱柱中，已知是棱的中点.
(1)若平面平面，求证：；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积.
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）利用线面平行性质可证.
（2）设中点为，可证，利用余弦定理可求.
（3）利用柱体及锥体体积公式可求.
【详解】（1）证明：在正三棱柱中，平面平面，平面,
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴.
（2）
设中点为，连接，，
∵是棱的中点，∴且，
即四边形为平行四边形，∴，
在正三棱柱中，，
，，，
故与所成角的余弦值.
（3）在正三棱柱中，底面为等边三角形，
，，
，
，
所以剩余部分的体积.
8．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可；
（2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，
则直三棱柱中，四边形为平行四边形，
则为的中点，又为的中点，故，
平面，平面，故平面.
（2）取中点为，连接，，为的中点，
故，而底面，
故底面，底面，故；
又为的中点，则，而，即，
故，
而，平面，平面，
故平面，
又平面，故，即.
9．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.

(1)求证：平面SCE；
(2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接CE，先根据平行四边形的定义及性质证明，然后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG，利用基本事实得B，C，G，F四点共面，然后利用线面平行的性质定理得，然后利用平行四边形的性质确定点的位置.
【详解】（1）连接CE，因为，即，
又因为，所以四边形ABCE为平行四边形，所以，
又因为平面，平面SCE，所以平面SCE.
（2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG，
因为，所以，所以B，C，G，F四点共面，
因为平面，平面BCGF，平面平面，
所以，所以四边形BCGF是平行四边形，
所以，所以，所以F为线段SE的中点.

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专题04 立体几何
2大高频考点概览
考点01空间几何体
考点02点线面之间的位置关系
1．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·山东泰安·期中）若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·山东泰安·期中）以下说法正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱
B．用一个平面去截圆锥，截面和圆锥底面之间的部分是圆台
C．已知表示两条不同直线，表示平面，若，，则
D．已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，若，则
4．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知水平放置的的斜二测直观图为，如图所示． 若是等腰直角三角形（点与点重合），，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．8 D．10
7．（24-25高一下·山东济宁·期中）底面半径为3的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为2、高为4的圆锥，所得圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则此三棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的母线为（ ）
A．6 B．12 C．3 D．2
10．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知圆锥的轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（24-25高一下·山东青岛·期中）在直平行六面体中，，M为棱上的动点，四点均在球O的球面上，则（ ）
A．存在点M，使平面
B．无论M的位置如何，三棱锥的体积为定值
C．存在点M，使的周长为
D．球O的表面积为
12．（24-25高一下·山东济南·期中）已知圆锥母线长为6，是底面一条直径.则（ ）
A．若是等边三角形，则圆锥外接球表面积为
B．若，则过圆锥顶点S的截面面积的最大值是
C．若，则从A点出发沿着侧面再回到A点的最短路程是
D．若是等边三角形，则圆锥内切球体积为
三、填空题
13．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.

14．（24-25高一下·山东泰安·期中）一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为 ，则球的表面积是______．
15．（24-25高一下·山东枣庄·期中）一个上底面边长为1，下底面边长为4，高为3的正四棱台的体积为________.
16．（24-25高一下·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____.
17．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______.
18．（24-25高一下·山东泰安·期中）若一个球的体积为，则它的表面积为______.
19．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知圆台甲、乙有相同的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球），两圆台的高为，圆台的母线长分别为、，则圆台甲与乙的体积之比为________.
四、解答题
20．（24-25高一下·山东泰安·期中）（1）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上的点. 若，分别是和的中点，求证：平面；
（2）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积及体积.
21．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求剩余的几何体的表面积和体积.
22．（24-25高一下·山东济宁·期中）南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，用平面去截半径为的球，截面为圆，延长，交球于点N，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）.平面将球体分为两个球缺.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）.


(1)求正三棱锥的体积；
(2)已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω.
（i）求平面截空间几何体Ω所得截面面积；
（ii）若平面把空间几何体Ω分成两个部分，求较小部分的体积.
一、单选题
1．（24-25高一下·山东泰安·期中）长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线
B．，，三点确定一个平面
C．，，，四点共面
D．，，，四点共面
2．（24-25高一下·山东青岛·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若a，b是两条相交直线，且平面，则与相交
B．若a，b是两条平行直线，且平面，则
C．若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线
D．若a，b是两条平行直线，，是两个不同的平面，，，，则，
3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知，是平面外的两条直线，在的前提下，是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
4．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若平面，则点的轨迹的长度为
C．若，则点是的中点
D．若，则点的轨迹的长度为
三、解答题
5．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，已知四面体中，平面，．
(1)求证：；
(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值；
(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度．
6．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
7．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在正三棱柱中，已知是棱的中点.
(1)若平面平面，求证：；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积.
8．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
9．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.

(1)求证：平面SCE；
(2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点.
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