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专题04三角函数
16大高频考点概览
考点01 扇形的弧长与面积
考点02 任意角的三角函数
考点03 同角三角函数的基本关系式
考点04 三角函数的诱导公式
考点05 三角函数的周期性
考点06 两条和差二倍角公式
考点07 三角函数的单调性
考点08 三角函数的最值值域
考点09 三角函数别的对称轴与对称中心
考点10 三角函数的定义域与不等式
考点11 由函数图像确定三角函数的解析式
考点12 平移与伸缩变换
考点13 三角函数的零点
考点14 恒成立问题
考点15 有解问题
考点16 三角函数在生活中的应用
1．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（ ）
A． B．75 C． D．
【答案】D
【分析】根据扇形弧长求出圆锥底面圆的半径，进而求出圆锥的高，求出体积.
【详解】设底面圆的半径为，则，解得：，
设圆锥的高为，则，
则圆锥的体积为.
故选：D
2．(24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)已知扇形的周长为12，面积为9，则扇形的圆心角为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.
【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，
因为扇形的周长为，面积为，可得且，
解得.
故选：B.
3．(24-25高一下·广东江门鹤山纪元中学·期中)勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式求出三个扇形面积，再减去两个的面积即可.
【详解】因为正三角形的边长为4，所以任意一个扇形的面积为，
又因为是正三角形，易得高，
则，
所以勒洛三角形的面积.
故选：D
4．(24-25高一下·广东中山迪茵公学·期中)已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的周长是_____________．
【答案】4
【分析】由圆心角为，半径为1，通过弧长公式算出弧长，再根据周长等于二倍的半径加弧长可得答案.
【详解】根据弧长公式，可得弧长为，则扇形的周长为，
故答案为:4.
5．(24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且．
(1)求扇形空地AOB的周长和面积；
(2)当米时，求PQ的长；
(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值．
【答案】(1)周长为米，面积为平方米
(2)米
(3)平方米
【分析】（1）借助面积公式与周长公式计算即可得；
（2）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得；
（3）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得.
【详解】（1），则扇形空地AOB的周长为，
面积；
（2）由，故，
由余弦定理可得，
即，即有，
即，故（负值舍去）或，
即；
（3）由，故，又，
由正弦定理可得，即，
则，
令，
则
，
有最大值，此时，即，可取，
此时平方米.
1．(24-25高一下·广东珠海斗门区珠海华中师范大学（珠海）附属中学·期中)若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据的范围求得是第一 三象限角，分类讨论，根据三角函数符号即可判断.
【详解】因为在第一象限，所以，
所以，所以是第一 三象限角，
当是第一象限角时，；
当是第三象限角时，；
综上，一定成立.
故选：C
2．(24-25高一下·广东江门新会区东方红中学·期中)已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项.
【详解】是第三象限角，，，，故AB不正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选：D
3．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．则________．
【答案】
【分析】结合余弦的知识求得正确答案.
【详解】由于的终边关于轴对称，所以.
故答案为：
4．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
【答案】(1)
(2)位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
【分析】（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；
（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.
【详解】（1）矩形中，km，km，
，，
则，
则
（2）令
则
又，即，则，则
此时
所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
5．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求；
(2)设，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；（2）利用降幂公式以及辅助角公式化简原式可得：．结合为等边三角形求解即可.
【详解】（1）角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，
，根据三角函数的定义可得：，，
．
（2）
，
由题意可得，从而为等边三角形，
则，
由（1）得，
故．
1．(24-25高一下·广东佛山南海区·)若，是第三象限的角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数基本关系及诱导公式计算即可.
【详解】因为，是第三象限的角，
所以，
所以.
故选：C
2．(24-25高一下·广东中山迪茵公学·期中)若方程有实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把方程化为，利用三角函数即可求出的取值范围．
【详解】方程可化为，
则，
由，，
，，
，，
即实数的取值范围是，．
故选．
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质与应用问题，是基础题．
3．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的终边在第二象限 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对平方化简可求出的值，解方程组可求出，然后分析判断各选项
【详解】由，得，
所以，所以D正确，
因为，所以，所以
所以A正确，
由和，解得，
所以B错误，
由，得，所以C正确，
故选：ACD
4．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)已知，则___．
【答案】/0.2
【分析】分子分母同除以，弦化切，进行求解.
【详解】分子分母同除以得：
故答案为：
5．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)已知且为第二象限角．
(1)求和的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）由同角三角函数关系和的范围得到余弦，进而得到正切值；
（2）解法1：诱导公式化简后，化弦为切，结合（1）知，代入求值；
解法2：诱导公式化简后，利用和，代入求值.
【详解】（1）由，得，
∵为第二象限角，所以，故，
（2）解法1：由（1）知，
解法2：由（1）知，得，
由，得，
1．(24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由诱导公式求解即可.
【详解】若，
则，即，
故选：A．
2．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式求值.
【详解】
.
故选：A
3．(24-25高一下·广东中山迪茵公学·期中)若，则的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式以及余弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】
因为函数在区间上单调递减，且
所以，即
故选：A
【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用，余弦函数单调性的应用，属于中档题.
4．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令可得，再代入，结合诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】令可得，故，则
故选：C
5．(25-26高一上·广东深圳宝安中学·期中)已知函数，则____________.
【答案】/
【分析】根据分段函数的解析式及诱导公式求值即可.
【详解】，
即时，，时，，
，
．
故答案为：．
1．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数以及正弦和角公式，联立方程，结合正弦差角公式，可得答案.
【详解】由，则，即，
由，则，
联立，解得，
所以.
故选：C.
2．(24-25高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)下列选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于ABC，代入特殊角的三角函数计算即可；对于D，由辅助角公式验算即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
3．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)已知是第一象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正切求出正弦和余弦，进而由二倍角公式和正弦和角公式求出答案.
【详解】因为是第一象限角，且，
故，又，
所以，，
，，
.
故选：A
4．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)的值等于（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据两角和的余弦公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
5．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、和角的正切公式、二倍角公式结合齐次式法逐项求解判断.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC
1．(24-25高一下·广东佛山顺德区德胜学校·期中)下列四个函数中，以为最小正周期的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数周期公式求解判断.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是；
对于B，函数的最小正周期为，B是；
对于C，函数的最小正周期为，C不是；
对于D，函数的最小正周期为，D不是.
故选：B
2．(24-25高一下·广东江门新会区东方红中学·期中)下列函数中，最小正周期为的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可.
【详解】由题意知周期为，周期为，
周期为，周期为.
故选：C
3．(24-25高一下·广东江门鹤山纪元中学·期中)下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角函数的单调性、奇偶性、周期性逐一判断即可.
【详解】对于A，是奇函数，故A错误；
对于B，为偶函数，最小正周期，但其在上单调递减，故B错误；
对于C，是奇函数，故C错误；
对于D，，
则的定义域为，，故为偶函数，
且时，函数在上单调递增，
又的图象是由将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及上方部分不变，
又的最小正周期为，所以的最小正周期，故D正确；
故选：D
4．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中)已知函数，则的最小正周期是_______，其图象在区间上的对称中心的坐标是_______.
【答案】 .
【解析】根据周期公式可得周期，整体求出正弦函数的对称中心的横坐标，再求出区间上的对称中心的坐标即可.
【详解】函数，则的最小正周期；
令，解得其图象对称中心的横坐标是，
所以在区间上的对称中心的坐标是，
故答案为：①4；④.
【点睛】本题考查了三角函数的周期、对称中心，属于基础题.
5．(24-25高一下·广东深圳外国语学校·期中)已知函数=4tan xsin（）cos（） .
（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，研究函数f（x）在区间[]上单调性.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为.
.
所以, 的最小正周期
（Ⅱ）令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.
【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．
1．(24-25高一下·广东佛山南海区·)已知函数，且对任意，都有恒成立，若函数在单调递减，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据函数的最大值求，再利用代入法，结合余弦函数的单调性，即可列式求解.
【详解】由条件可知，，则，
且，所以，
所以，
当，则，
若函数在单调递减，则，得，
所以的最大值为.
故选：B
2．(24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)（多选）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称
【答案】CD
【分析】根据正弦三角函数图像性质，求出函数周期，初相，确定函数解析式，求出函数单调区间和中心对称点，分别判断各选项正误.
【详解】对于A，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，则，故A错误；
对于B，因为，可得，所以，，
则，因为，故，故B错误；
对于C，由A、B选项可知，当时，，
所以函数在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，所以，函数的图象关于点对称，故D正确，
故选：CD．
3．(24-25高一下·广东江门新会区陈经纶中学·期中) （多选）关于函数，下列命题中正确的命题为（ ）
A．函数的最小正周期为；
B．函数的最大值为2；；
C．在区间上是单调递增；
D．将函数的图象向右平移个单位后将与的图象重合．
【答案】AB
【分析】先把函数化成的形式，再对其图象和性质进行分析，逐项判断即可.
【详解】因为 .
所以函数的周期：，故A正确；
函数的最大值为：2（当即，时取“”），故B正确；
当时，，又函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位可得 的图象，故D错误.
故选：AB
4．(24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)已知函数在上单调递增，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据题意，得到，求得，再由，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在上单调递增，
可得，可得，即，可得，
又由，可得，
则满足，解得，
当时，可得，当时，可得，
当时，不合题意；
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
5．(24-25高一下·广东湛江·期中)已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)求在上的值域；
(3)若是锐角，且，求的值.
【答案】(1).
(2)
(3)
【分析】（1）先应用辅助角公式化简再应用正弦单调区间计算求解；
（2）应用正弦函数值域计算求解；
（3）应用两角差的余弦公式计算求解.
【详解】（1）由题意可得
.
令，，
解得，，
则的单调递减区间是.
（2）因为，所以.
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值.
故在上的值域为.
（3）因为，所以，所以.
因为是锐角，所以.
因为，所以，所以，
则 .
1．(24-25高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)已知函数，.
(1)求的最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)设，为锐角，且，，求的值.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）化简得，再求解最小正周期即可；
（2）由题知，进而得即可得答案；
（3）根据同角三角函数关系和余弦的和角公式求解即可.
【详解】（1）因为
所以的最小正周期为；
（2）当时，，
所以，即，
所以，
所以，当，即时，取得最小值，
当，即时，取得最大值；
（3）因为为锐角，且，，
所以，，
所以，
所以.
2．(24-25高一下·广东佛山顺德区德胜学校·期中)设函数；
(1)写出函数的单调递增区间；
(2)若，求函数的最值及对应的的值；
(3)若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)最小值为，对应，最大值为0，对应
(3).
【分析】（1）利二倍角公式及辅助角公式化简，再由正弦函数单调性求出单调递增区间.
（2）根据的范围求出相位的范围，再利用正弦函数的最值及取得最值的条件求解.
（3）等价变形不等式，并借助（2）的结论求得的范围.
【详解】（1）依题意，，
由，得，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）知，当时，，
则当，即时，；
当，即时，，
所以函数的最小值为，对应，最大值为0，对应.
（3）不等式，
由（2）知，当时，，，
依题意，当时，恒成立，
因此且，解得，
所以的取值范围为.
3．(24-25高一下·广东江门新会区陈经纶中学·期中)已知函数的部分图象，如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)，求函数的值域；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象先确定与函数的周期，进而确定的值，在利用函数的最值点求，可得函数的解析式.
（2）结合正弦函数的图象和性质，求所给函数在指定区间上的值域.
【详解】（1）由图象易得：，，所以，所以 .
又函数图象过点，所以 ，.
又，所以，，
所以.
（2）当时，，所以，所以.
即所求函数的值域为：
4．(24-25高一下·广东江门新会第一中学·期中)已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为1，最小值为
【分析】（1）将函数的解析式化简，再由正弦型函数的周期，即可得到结果；
（2）由正弦型函数的值域代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，
因为，所以
当时，即时，最大值为
当时，即时，最小值为
综上，的最大值为1，最小值为.
5．(24-25高一下·广东茂名电白区·期中)已知函数的一段图象如图所示
(1)求函数的表达式；
(2)已知，求的最值及相应的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)，，，，
(3)
【分析】（1）根据周期求得，再根据特殊点及条件求得，即可得解.
（2）结合正弦函数的性质，利用整体法求得最值及相应的值.
（3）先利用已知及二倍角余弦公式求得，再结合诱导公式求解即可.
【详解】（1）由图象可知，，所以，又，故．
由，得，又，故．
于是．
（2）由，得，所以，
所以，
当时，即时，，
当时，即时，.
（3）因为，得，
所以，
所以.
1．(24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．在上单调递减
C．
D．的图象关于直线对称
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换的公式，化简函数为，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案.
【详解】由函数，
对于A中，由，令，
则，
所以不是奇函数，所以A不正确；
对于B中，由，可得，
由正弦函数在为单调递减函数，
可得函数在上为单调递减函数，所以B正确；
对于C中，若，可得，
即函数关于点中心对称，
因为，所以不是函数的对称中心，
结合函数不满足，所以C错误；
对于D中，由不是的最值，
所以函数的图象不关于直线对称，所以D错误.
故选：B.
2．(24-25高一下·广东部分学校·期中)（多选）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的最小值是
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】对于A，由正弦型函数的周期计算公式，可得正误；对于B，由正弦型函数的值域，可得正误；对于C，由复合函数的单调性，根据三角函数的单调性，求得单调区间，可得正误；对于D，由正弦函数的对称性，利用代入检验，可得正误.
【详解】，所以函数的最小正周期，故A正确；
当时，函数取最小值，故B错误；
由，得，
令，得的一个单调递增区间为，
因为，所以函数在区间上单调递增，故C正确；
因为，所以函数的图象关于点对称，故D正确，
故选：ACD.
3．(24-25高一下·广东广州执信中学·期中) （多选）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的最小正周期为
C．关于对称 D．的值域为
【答案】ACD
【分析】根据与的关系即可判断A；由与的关系即可判断B；与的关系即可判断C；令，利用换元法，即可判断D.
【详解】的定义域为关于原点对称，
对于A，因为，
所以为偶函数，故A正确；
对于B，因为，
所以的周期为，故B错误；
对于C，因为，
所以关于对称，故C正确；
对于D，令，则，，
由于，所以，进而，
所以，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，且，
所以函数在上是减函数
因此的值域为，故D正确.
故选：ACD.
4．(24-25高一下·广东广东五校联考·)已知函数，若，且，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意得或，整理得，，由此即可得解.
【详解】由题意等价于，
所以或，
解得，或，
所以，，
故所求范围为.
故答案为：.
5．(24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)函数图象的对称中心的坐标是________．
【答案】.
【分析】根据题意，利用正切型函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由函数，令，解得
所以函数图象的对称中心的坐标是.
故答案为：.
1．(24-25高一下·广东汕头潮阳实验学校·期中)（多选）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．的周期为4 B．
C． D．的所有零点之和为14
【答案】ACD
【分析】由函数的奇偶性以及对称性即可得到其周期性，从而判断AB，然后分以及分别讨论的正负，即可判断C，将零点问题转化为函数图像交点问题，即可判断D.
【详解】对于A，∵为偶函数，∴，
∴，且函数的图象关于直线对称，
又是定义在上的奇函数，∴，∴，
∴，且函数的图象关于点对称，
∴函数的周期为4，故A正确;
对于B,∵当时，，
而，
，故B错误；
对于C，结合已有分析以及对称性可知当时，，与均为奇函数，
则当时，，
∴当时，，
又与的周期都为4，在上成立，故C正确.
对于D，函数的零点可看作与的图象交点的横坐标，
作出与的图象，
观察图象知，直线 与的图象共有7个交点，
且它们关于点成中心对称，∴所有零点之和为，故D正确;
故选：ACD.
2．(24-25高一下·广东清远·期中)若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为_________.
【答案】
【分析】根据对数函数的性质可得，即可根据正切函数的性质求解.
【详解】的定义域需要满足，故，
因此或，
故定义域为，
故答案为：
3．(24-25高一下·广东江门新会第一中学·期中)已知函数的最大值为1，
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)求使成立的的取值集合.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值；
（2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可；
（3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式.
【详解】（1）
，
因为的最大值为1，且函数的最大值为1，
所以，解得.
（2）由（1）可知.
由，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
（3）由，得，即.
所以，.
解得.
因此，成立的的取值范围是.
4．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)已知.
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)求函数在上的值域；
(3)求不等式在上的解集.
【答案】(1)，；
(2)；
(3).
【分析】（1）（2）根据正弦函数的性质求单调减区间、值域；
（3）根据正弦型函数的区间单调性解不等式求解集.
【详解】（1）由，结合正弦函数的单调性，
则且，可得，，
所以函数的单调递减区间为，；
（2）由题设，则，所以；
（3）由题设，且，
所以，可得.
所以不等式解集为.
1．(24-25高一下·广东肇庆肇庆鼎湖中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．， B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于对称 D．函数在上单调递增
【答案】B
【分析】由图象求出的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】对于A，由题意，，则，
则，
又在上，则，即，
所以，则，
又，所以，所以，即，，故A正确；
对于B，因为，
所以不是图象的对称轴，故B错误；
对于C，因为，
所以的图象关于点对称，故C正确；
对于D，当时，，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：B.
2．(24-25高一下·广东佛山南海区·)（多选）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期是π B．的图象关于点对称
C． D．在区间上的值域为
【答案】AC
【分析】由函数图象的顶点坐标求出，再由周期求出，由五点法求出，进而得出的解析式，逐项判断即可.
【详解】由函数的图象可得，
由题意可得，所以，所以的最小正周期是π，故A正确；
所以，解得，
所以，又因为过点，
所以，所以，
所以，解得，
又，所以，所以，
因为，
所以的图象不关于点对称，故B错误；
当时，，故C正确；
当，，所以，
所以，所以在区间上的值域为，故D错误.
故选：AC.
3．(24-25高一下·广东潮州饶平县·) （多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．直线为图象的一条对称轴
D．将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象
【答案】AD
【分析】根据函数的图象，求得的解析式，可判定A，B选项，再结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，可判定C，D选项．
【详解】由函数的图象，可得，可得，则，
又由，所以，
又由，即，
因为，所以，可得，所以，
所以选项A正确；选项B错误；
对于C，由不为函数的最值，
所以直线不是图象的一条对称轴，选项C不正确；
对于D，将图象上的所有点向左平移个单位长度，
可得，选项D正确．
故选：AD．
4．(24-25高一下·广东江门鹤山纪元中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，则__________
【答案】
【分析】根据图象结合五点法求，即可得，代入运算求解即可.
【详解】由图易知，
函数的最小正周期T满足：，得到，
且，则，解得，可得，
又因为函数图象经过点，
则，解得，
可得，
所以.
故答案为：.
5．(24-25高一下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)函数的部分图象如图所示，若，则_____.
【答案】
【分析】由题意，又且是轴左侧第一个零点，求得，进而可求得，可求解.
【详解】由题意可知，又，则，
因为为递增区间上的零点，且，
所以，，
故，，由条件可得函数的最小正周期，
又，所以，故，故，即，则，
由题意可知，关于函数图象中轴右侧第一个零点对称，即关于对称，
所以，即.
故答案为：.
1．(24-25高一下·广东佛山顺德区德胜学校·期中)要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
【答案】A
【分析】按照各选项中给定的变换，逐项判断即得.
【详解】对于A，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向左平行移动个单位长度，
得，A正确；
对于B，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向右平行移动个单位长度，
得，B错误；
对于C，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向左平行移动个单位长度，
得，C错误；
对于D，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向右平行移动个单位长度，
得，D错误.
故选：A
2．(24-25高一下·广东部分学校·期中)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先写出的解析式，由代入可得，由正切函数的性质可解得，结合可求得的最小值.
【详解】由题意可得，
，
则，，解得，，
因为，则取0，所以的最小值为.
故选：B.
3．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)某简谐运动可以用函数表示，把该函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的初相等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，得到，进而求得的初相，得出答案.
【详解】由函数的图象向右平移个单位后，
得到函数，
所以函数的初相等于.
故选：C.
4．(24-25高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)（多选）下面有四个命题：
①函数的最小正周期是；
②已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是；
③把函数的图象向右平移个单位得到的图象；
④函数在上是减函数；
其中真命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABC
【分析】对于①，根据平方差公式及二倍角公式化简可得周期；对于②，转化为在上恰有3个实根，利用正弦函数图像可得的取值范围；对于③，根据函数平移可求解析式可确定；对于④，利用函数整体代换法确定单调性即可.
【详解】①，
故函数的最小正周期是，故①正确；
②，，
即在上恰有3个实根，
所以，解得，故②正确；
③把函数的图象向右平移个单位得到，故③正确；
④，则，由于在上单调递增，
所以函数在上是增函数，故④错误；
故选：ABC.
5．(24-25高一下·广东珠海斗门区珠海华中师范大学（珠海）附属中学·期中)将函数图象上每一点纵坐标不变，向右平移个单位长度得到的图象，则______．
【答案】/
【分析】根据函数图象平移的变换规律得到函数的解析式，代入计算即可得结果.
【详解】根据题意，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
所以，，
故.
故答案为：.
1．(24-25高一下·广东湛江·期中)已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，结合零点的个数可得，求解即可.
【详解】因为，，所以，
又因为函数在上恰有3个零点，
所以，解得，
所以的取值范围是．
故选：A.
2．(24-25高一下·广东广州第六中学·期中)设函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解.
【详解】显然，令，则，
（1）当时，时，，
由正弦曲线图像可知，两个最值点对应t的值为和，零点对应t的值为和，
则，解得；
（2）当时，，
由正弦曲线图像可知，两个最值点对应t的值为和，零点对应t的值为和，
则，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：.
3．(24-25高一下·广东江门培英高级中学·期中)已知函数部分图象如图所示．
(1)求和的值；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)最小值为，最大值为
【分析】（1）由图象观察周期，计算，由最大值求出；
（2）利用整体代换求出单增区间；
（3）先求出，转化为，在上有解,令，求出的值域，即可求出a的最小值和最大值.
【详解】（1）由图象可知：，所以，则，
又，，得，
又，所以.
（2）由（1）知，
令，，
解得：，.
令，得，因，则，
令，得，因，则，
所以在上的单调递增区间为，.
（3）由题意，，
则，
由函数在上存在零点，
则在上有解，
令，由，则，即，
则，
所以，即，
故a最小值为，最大值为.
4．(24-25高一下·广东江门鹤山纪元中学·期中)函数，
(1)把的单调减区间
(2)求在区间上的最大值和最小值及取最值时相应x的值
(3)把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上至少有20个零点，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)当时，最小值为-2；当时，最大值为
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出减区间.
（2）利用正弦函数的最值求解.
（3）通过图象变换求出，再求出零点，进而求出m的最小值.
【详解】（1）依题意，函数，
由，得，
所以的减区间为.
（2）由（1）知，，则，
则当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值.
（3）把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，
再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得，
则函数，令，即，即，
解得或，
要使得函数区间上至少有20个零点，则满足，
所以实数m的最小值为.
5．(24-25高一下·广东实验中学·期中)已知函数的图象如图所示.
(1)求这个函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间和零点.
【答案】(1)
(2)和；和
【分析】（1）由图象可得，，从而，代入点可得，从而得到函数解析式；
（2）由正弦函数的单调性和零点易得结果.
【详解】（1）由函数的部分图象知，最大值为2，最小值为，所以.
又因为，所以，所以.
因为函数的图象经过点，所以，
又因为，所以.
所以函数的解析式为.
（2）令，则，
所以在上的单调递增区间为和.
令，则，
所以在上的零点为和.
1．(24-25高一下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)已知函数，对于任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，令，结合已知可得为上的偶函数，且在区间上单调递减，可解不等式.
【详解】，
即，
所以.
设，则所求的式子转化为.
由，可知，
所以为上的偶函数.
当时，在区间上单调递减.
又为上的偶函数，所以在区间上单调递增.
又因为，所以，解得.
故选：B.
2．(24-25高一下·广东广州执信中学·期中)已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
(1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求列表）；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数；若是偶函数，求的最小值.
(3)利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
【答案】(1)，作图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得；
（2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值；
（3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得.
【详解】（1）设函数的最小正周期为，由题意，，
且，解得，则，即有，
将点代入，化简可得，则，
即，因，故得，即.
取函数在一个周期上的五点列表如下：
0
2 0 0
在直角坐标系中作图如下：
（2）依题意是偶函数，
故，解得，即，
因，则得，则时，取得最小值为 .
（3）由（2）分析可得，因，则，
结合余弦函数的性质可得，故得，
因对任意的，恒有成立，故得，
解得或，即的取值范围为.
3．(24-25高一下·广东清远四校联盟·期中)已知.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求；
(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算；
（2）由可得，从而可得的值，由，从而可得结果.
（3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，结合函数单调性即可得到的取值范围.
【详解】（1）由题意可得：
可得函数的最小正周期.
（2）因为，，.
所以，又因为，
所以，所以，
所以
（3）由（1）知，函数，
可得，
因为对于任意，恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减，
可得，则，
所以的取值范围为.
4．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式.
（2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案.
【详解】（1）由题意可知：的面积，可得，
所以周期，则，
由，得，又，于是，
所以；
（2）由，则，得，
即．由，得，
即在上恒成立，
亦即，
因为，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解.
5．(24-25高一下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
(3)记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)存在，点
(3)
【分析】（1）依题意可得，利用辅助角公式将函数化简，即可得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得；
（2）依题意可得，即可求出的解析式，设，表示出，，则由平面向量数量积的坐标表示得到方程，即可得解；
（3）依题意当时恒成立，再对分三种情况讨论，参变分离结合对数函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以.
（2）解：由为的相伴特征向量知：
所以.
设，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.
∴在图像上存在点，使得.
（3）解：向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立.
所以①当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
②当，，不等式化为成立.
③当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以.
综上所述，k的取值范围是.
1．(22-23高一下·广东深圳·期中)已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，分析可知是函数的最小值，是函数的最大值，求出函数最小正周期的最大值，可求得的最小值.
【详解】因为
，
如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，
则是函数的最小值，是函数的最大值，
因为，若使得最小，则函数的最小正周期取最大值，
且函数最小正周期的最大值为，
故的最小值为，则的最小值为.
故答案为：.
2．(24-25高一下·广东汕头澄海中学·期中)已知函数.
(1)求的图象的对称中心、对称轴及的单调递增区间；
(2)当时，求的最值；
(3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)，，
(2)取得最小值；取得最大值2
(3)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
（2）由于，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案；
（3）化简，参数分类，可得，令，则求在上的最小值，即可求得答案.
【详解】（1）由题意，得，
令，解得，
所以函数图象的对称中心为；
令，解得，
所以函数图象的对称轴方程为；
由，得，
所以的单调通增区间为.
（2）当时，，所以，
.
当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值2；
（3）由题意得时，有解，
而此时，即有解，只需要即可，
，
令，则在上单调递减，
所以当时，，即，所以的取值范围是.
3．(23-24高一下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)已知函数过点．
(1)求的对称轴方程、对称中心以及单调递减区间；
(2)若关于的方程在区间上有解，求的取值范围．
【答案】(1)，对称中心为，递减区间为
(2)
【分析】（1）结合余弦函数的对称性及单调区间计算；
（2）先应用换元法，转化有解式子应用函数单调性结合.
【详解】（1）由题意可得，
即，又因为，
故，故，
令，
得，
故函数的对称轴方程为；
令，
得，
故对称中心为．
令，
得，
故函数的递减区间为．
（2）令，
因为，
所以，
所以，
则有，则关于的方程在上有解，
由可得，
令，则，
因为函数、在上均为减函数，
所以，函数在上为减函数，则，
所以，，解得，故实数的取值范围是．
4．(23-24高一下·广东佛山南海区·)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 3 0
(1)请将上表数据补充完整，并求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若方程在区间上有解，求的取值范围．
【答案】(1)表格见解析，
(2)
【分析】（1）通过表格中的数据可以得到振幅的值，和周期的大小，然后就可以求出，再通过代入最低点，求得的值，即可得到函数解析式；
（2）图象往左移，即可得到新的图象对应到的解析式，再通过研究其在给定区间的值域，即可得到的取值范围.
【详解】（1）由表中数据，得．
因为，所以，于是．
代入数据，可得，解得．
所以．
数据补全如下表：
0
0 3 0 -3 0
（2）将函数的图象向左平移个单位后得到
的图象，
因为，则有，
所以，所以，
方程在区间上有解，
即函数的图象与直线有交点，所以的取值范围为．
5．(23-24高一下·广东茂名华南师范大学附属茂名滨海学校·期中)函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)先将函数保持横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，再将图象向左平移个单位，得到的函数为偶函数．若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象可得出与周期，进而可求得，再利用待定系数法求出，即可得解；
（2）求出解析式，，只需的值域是值域的子集即可.
【详解】（1）由图可知，
所以，所以，
则，
又，所以，
所以，
又，所以，
所以；
（2）由题意，
∵为偶函数，∴ ，∴ ，
又∵，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
①当时，，
②当时，，
而依据题意有的值域是值域的子集，
则或
解得或，所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
1．(24-25高一下·广东茂名电白区·期中)如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出，根据正弦的概念求解点的纵坐标，即可得解.
【详解】由题意，，所以，所以点逆时针运动ts时，，
所以点的纵坐标为，所以该质点到轴的距离.
故选：C
2．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中)时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（ ）
A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时
C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时
【答案】B
【分析】由三角函数的性质结合条件即得.
【详解】当时，，
由，得，
所以(时)；
由，得，
所以(时).
故在6时时中，观花的最佳时段约为时时.
故选：B
3．(24-25高一下·广东江门新会华侨中学·期中)（多选）如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点第一次到达最高点需要秒
B．当水轮转动秒时，点距离水面米
C．当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
【答案】ACD
【分析】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为，根据题意，求出的值，即可判断选项D的正误，对于A，令，即可求解；对于B和C，将的取值代入解析式，即可求解.
【详解】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为
，
由题意得：，解得：，
所以，故选项D正确，
对于选项A，令，得到，所以，
令，得到，所以选项A正确，
对于选项B，令，代入，
得到，所以选项B错误，
对于选项C，令，代入，
得到，所以选项C正确，
故选：ACD.
4．(24-25高一下·广东佛山南海区·)如图，宽为的走廊与另一宽为的走廊垂直相连，两走廊交汇处形成直角拐点M.细杆需保持水平状态通过拐点M，且在移动过程中两端始终与两侧墙壁保持接触.设细杆与外侧走廊的夹角，.
(1)设细杆的长度为，求的表达式；
(2)若，，试问：长度为5的细杆能否水平地通过拐角 请说明理由；
(3)若，试问：长度为的细杆能否水平地通过拐角 请说明理由.
【答案】(1)，
(2)不能，理由见解析
(3)可以，理由见解析
【分析】（1）利用直角三角形的边角关系即可得解；
（2）计算可得，进而判断即可；
（3）求出的最小值，与比较即可得解.
【详解】（1）由题意，，.
所以，.
（2）因为，，所以.
当时，.
因为，所以细杆不能水平地通过拐角.
（3）因为，所以.
于是.
令，则.
因为，所以，，于是.
所以.
因为函数是开口方向向上，对称轴为的二次函数，所以当时，有最小值8，
有最小值，有最小值.
所以长度为的细杆可以水平地通过拐角.
5．(24-25高一下·广东江门新会区陈经纶中学·期中)如图所示，摩天轮直径为110m，最高点距离地面120m，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30min．
(1)某游客自最低点处登上摩天轮，请问5min后他距离地面的高度是多少？
(2)若甲、乙两游客分别坐在A，B两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求A，B两个座舱的直线距离；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，确定游客的高度与时间的关系，再把代入求函数值即可.
（2）先求弧所对圆心角的大小，再解三角形求弦长即可.
【详解】（1）设游客高度为，所用时间为，依题意：（,,）.
由 ；由 .
由 ；由 ，所以.
所以.
当时， .
所以游客自最低点处登上摩天轮，5min后他距离地面的高度是 .
（2）因为之间间隔15个座舱，所以.
在中，.
所以A，B两个座舱的直线距离为 .
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专题04三角函数
16大高频考点概览
考点01 扇形的弧长与面积
考点02 任意角的三角函数
考点03 同角三角函数的基本关系式
考点04 三角函数的诱导公式
考点05 三角函数的周期性
考点06 两条和差二倍角公式
考点07 三角函数的单调性
考点08 三角函数的最值值域
考点09 三角函数别的对称轴与对称中心
考点10 三角函数的定义域与不等式
考点11 由函数图像确定三角函数的解析式
考点12 平移与伸缩变换
考点13 三角函数的零点
考点14 恒成立问题
考点15 有解问题
考点16 三角函数在生活中的应用
1．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（ ）
A． B．75 C． D．
2．(24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)已知扇形的周长为12，面积为9，则扇形的圆心角为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．(24-25高一下·广东江门鹤山纪元中学·期中)勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·广东中山迪茵公学·期中)已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的周长是_____________．
5．(24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且．
(1)求扇形空地AOB的周长和面积；
(2)当米时，求PQ的长；
(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值．
1．(24-25高一下·广东珠海斗门区珠海华中师范大学（珠海）附属中学·期中)若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·广东江门新会区东方红中学·期中)已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．则________．
4．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
5．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求；
(2)设，求的值．
1．(24-25高一下·广东佛山南海区·)若，是第三象限的角，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东中山迪茵公学·期中)若方程有实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的终边在第二象限 B．
C． D．
4．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)已知，则___．
5．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)已知且为第二象限角．
(1)求和的值；
(2)若，求的值．
1．(24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)已知，那么（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)的值是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·广东中山迪茵公学·期中)若，则的大小关系是
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
5．(25-26高一上·广东深圳宝安中学·期中)已知函数，则____________.
1．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)下列选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)已知是第一象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)的值等于（ ）
A． B． C．0 D．1
5．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
1．(24-25高一下·广东佛山顺德区德胜学校·期中)下列四个函数中，以为最小正周期的是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东江门新会区东方红中学·期中)下列函数中，最小正周期为的是（ ）.
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·广东江门鹤山纪元中学·期中)下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中)已知函数，则的最小正周期是_______，其图象在区间上的对称中心的坐标是_______.
5．(24-25高一下·广东深圳外国语学校·期中)已知函数=4tan xsin（）cos（） .
（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性.
1．(24-25高一下·广东佛山南海区·)已知函数，且对任意，都有恒成立，若函数在单调递减，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)（多选）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称
3．(24-25高一下·广东江门新会区陈经纶中学·期中) （多选）关于函数，下列命题中正确的命题为（ ）
A．函数的最小正周期为；
B．函数的最大值为2；；
C．在区间上是单调递增；
D．将函数的图象向右平移个单位后将与的图象重合．
4．(24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)已知函数在上单调递增，则的取值范围是________．
5．(24-25高一下·广东湛江·期中)已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)求在上的值域；
(3)若是锐角，且，求的值.
1．(24-25高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)已知函数，.
(1)求的最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)设，为锐角，且，，求的值.
2．(24-25高一下·广东佛山顺德区德胜学校·期中)设函数；
(1)写出函数的单调递增区间；
(2)若，求函数的最值及对应的的值；
(3)若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
3．(24-25高一下·广东江门新会区陈经纶中学·期中)已知函数的部分图象，如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)，求函数的值域；
4．(24-25高一下·广东江门新会第一中学·期中)已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最值.
5．(24-25高一下·广东茂名电白区·期中)已知函数的一段图象如图所示
(1)求函数的表达式；
(2)已知，求的最值及相应的值；
(3)若，求的值.
1．(24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．在上单调递减
C．
D．的图象关于直线对称
2．(24-25高一下·广东部分学校·期中)（多选）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的最小值是
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称
3．(24-25高一下·广东广州执信中学·期中) （多选）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的最小正周期为
C．关于对称 D．的值域为
4．(24-25高一下·广东广东五校联考·)已知函数，若，且，则的取值范围为______．
5．(24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)函数图象的对称中心的坐标是________．
1．(24-25高一下·广东汕头潮阳实验学校·期中)（多选）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．的周期为4 B．
C． D．的所有零点之和为14
2．(24-25高一下·广东清远·期中)若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为_________.
3．(24-25高一下·广东江门新会第一中学·期中)已知函数的最大值为1，
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)求使成立的的取值集合.
4．(24-25高一下·广东中山广东博文学校·期中)已知.
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)求函数在上的值域；
(3)求不等式在上的解集.
1．(24-25高一下·广东肇庆肇庆鼎湖中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．， B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于对称 D．函数在上单调递增
2．(24-25高一下·广东佛山南海区·)（多选）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期是π B．的图象关于点对称
C． D．在区间上的值域为
3．(24-25高一下·广东潮州饶平县·) （多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．直线为图象的一条对称轴
D．将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象
4．(24-25高一下·广东江门鹤山纪元中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，则__________
5．(24-25高一下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)函数的部分图象如图所示，若，则_____.
1．(24-25高一下·广东佛山顺德区德胜学校·期中)要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
2．(24-25高一下·广东部分学校·期中)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)某简谐运动可以用函数表示，把该函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的初相等于（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)（多选）下面有四个命题：
①函数的最小正周期是；
②已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是；
③把函数的图象向右平移个单位得到的图象；
④函数在上是减函数；
其中真命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．(24-25高一下·广东珠海斗门区珠海华中师范大学（珠海）附属中学·期中)将函数图象上每一点纵坐标不变，向右平移个单位长度得到的图象，则______．
1．(24-25高一下·广东湛江·期中)已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东广州第六中学·期中)设函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是________.
3．(24-25高一下·广东江门培英高级中学·期中)已知函数部分图象如图所示．
(1)求和的值；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值．
4．(24-25高一下·广东江门鹤山纪元中学·期中)函数，
(1)把的单调减区间
(2)求在区间上的最大值和最小值及取最值时相应x的值
(3)把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上至少有20个零点，求m的最小值．
5．(24-25高一下·广东实验中学·期中)已知函数的图象如图所示.
(1)求这个函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间和零点.
1．(24-25高一下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)已知函数，对于任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·广东广州执信中学·期中)已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
(1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求列表）；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数；若是偶函数，求的最小值.
(3)利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
0
2 0 0
3．(24-25高一下·广东清远四校联盟·期中)已知.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求；
(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围.
4．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
5．(24-25高一下·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
(3)记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
1．(22-23高一下·广东深圳·期中)已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为__________.
2．(24-25高一下·广东汕头澄海中学·期中)已知函数.
(1)求的图象的对称中心、对称轴及的单调递增区间；
(2)当时，求的最值；
(3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
3．(23-24高一下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)已知函数过点．
(1)求的对称轴方程、对称中心以及单调递减区间；
(2)若关于的方程在区间上有解，求的取值范围．
4．(23-24高一下·广东佛山南海区·)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 3 0
(1)请将上表数据补充完整，并求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若方程在区间上有解，求的取值范围．
0
0 3 0 -3 0
5．(23-24高一下·广东茂名华南师范大学附属茂名滨海学校·期中)函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)先将函数保持横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，再将图象向左平移个单位，得到的函数为偶函数．若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
1．(24-25高一下·广东茂名电白区·期中)如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中)时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（ ）
A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时
C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时
3．(24-25高一下·广东江门新会华侨中学·期中)（多选）如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点第一次到达最高点需要秒
B．当水轮转动秒时，点距离水面米
C．当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
4．(24-25高一下·广东佛山南海区·)如图，宽为的走廊与另一宽为的走廊垂直相连，两走廊交汇处形成直角拐点M.细杆需保持水平状态通过拐点M，且在移动过程中两端始终与两侧墙壁保持接触.设细杆与外侧走廊的夹角，.
(1)设细杆的长度为，求的表达式；
(2)若，，试问：长度为5的细杆能否水平地通过拐角 请说明理由；
(3)若，试问：长度为的细杆能否水平地通过拐角 请说明理由.
5．(24-25高一下·广东江门新会区陈经纶中学·期中)如图所示，摩天轮直径为110m，最高点距离地面120m，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30min．
(1)某游客自最低点处登上摩天轮，请问5min后他距离地面的高度是多少？
(2)若甲、乙两游客分别坐在A，B两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求A，B两个座舱的直线距离；
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