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专题04 余弦定理和正弦定理的应用
4大高频考点概览
考点01基本量法解三角形
考点02转换法解三角形
考点03 正余弦定理的综合应用
考点04正余弦定理的实际应用
一、选择题
1．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ）
A．4 B． C． D．
4．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．1
5．(24-25高一下·四川南江中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则b等于（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)在中，已知，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
7．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A．30°. B．60°. C．90°. D．30°或150°.
8．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)在中，，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．24 D．48
9．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)在中，，，分别为，，的对边，且，，的面积为，那么等于（ ）
A． B． C． D．
10．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)（多选）在中，角的对边分别为，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．设三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则下列条件能使解出的有且仅有一个的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为_____.
四、解答题
14．(24-25高一下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知中，，，.
(1)求；
(2)求；
(3)求的面积.
15．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的面积．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)在中，，，所对的边分别为，，，若，则（ ）．
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)中，角的对边分别为，且满足，则角的值为
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)在△中，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
二、多选题
6．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则是等腰三角形
C．若，则是直角三角形 D．若为锐角三角形，则
7．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则为等腰直角三角形
8．(24-25高一下·四川成都铁路中学·期中)对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，，且有两解，则的取值范围是
C．在锐角中，不等式恒成立
D．在中，若，，则必是等边三角形
9．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，一定有
B．若，那么一定是钝角三角形
C．一定有成立
D．若，那么一定是等腰三角形
三、解答题
10．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)在中，内角所对的边分别为，
(1)求B；
(2)若，求c．
11．(24-25高一下·四川南江中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
12．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，.
(1)求；
(2)若的角平分线长为，且，求的值.
13．(24-25高一下·四川南江中学·期中)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知且，.
(1)求角B及边b的大小；
(2)求的值．
14．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若的外接圆的面积为，求的面积.
15．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知中角，，的对边分别是，，，且.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
16．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，，.
(1)若，求的值；
(2)的面积等于，求的值.
17．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
18．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)的内角A B C的对边分别为a b c，已知．
(1)求B；
(2)若，，求的面积．
19．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)已知，若是的一条内角平分线，，求的周长.
20．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，，，
(1)求角；
(2)以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积.
21．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件______（填写所选条件的序号）.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求的周长.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)如图，在扇形中，半径，圆心角，P是扇形弧上的动点，过P作于Q，作于R，记，，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．是定值 D．是定值1
2．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)（多选）我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)（多选）在中，内角所对的边分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积是
B．若，则是等腰三角形
C．若，则可能等于10
D．若，则的面积为或
4．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)（多选）在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（ ）
A．若，则的面积为 B．若，则
C．若，则 D．若有两解，则
5．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边上，且的重心在上，又，设，（为相应三角形的面积），则以下正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．
6．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)四边形中，与交于点P，已知，且P是的中点，，又，则四边形的面积是______________．
8．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)如图，面积为，，，，，的个正方形，则的值为______．
四、解答题
9．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，向量，向量，且与共线．
(1)求；
(2)求的面积．
10．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)已知向量，函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，且，，求的周长．
11．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知向量，.若.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，为的角平分线，为中点，求的长.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：）

A． B． C． D．
2．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（ ）米.
A．54 B．30 C． D．
4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)（多选）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____.
7．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，）
8．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶A的仰角为，则塔高______.
9．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度AB之比为______.
10．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则解放碑的高AB为______.
四、解答题
11．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）
(1)求，两点之间的距离；
(2)求，两点之间的距离.
12．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度.建筑物最高点在地面上的投影位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了相距30 m的，两点进行测量.有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据.
方案一：从，两点分别测得点的仰角和，再从点测得.其中，，.
方案二：从点处测得，从点处测得和点的仰角.其中，，.
方案三：从点处分别测得点和的俯角和，以及.其中，，.
从上述三种方案中选择一种你认为能够测出建筑物的高度的方案，并根据该方案中的数据计算出的长.（注意：只能使用你所选择的方案中的数据，不能使用未选择的方案中的数据.如果选择多个方案，则按照所选的第一个方案的解答计分.）
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专题04 余弦定理和正弦定理的应用
4大高频考点概览
考点01基本量法解三角形
考点02转换法解三角形
考点03 正余弦定理的综合应用
考点04正余弦定理的实际应用
一、选择题
1．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由余弦定理得.故选：B.
2．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在中，，，，据余弦定理：，，可得 ，即，由，故.故选：A.
3．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，由得.故选：B
4．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【详解】在中，，由正弦定理得，.故选D
5．(24-25高一下·四川南江中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则b等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则：，
整理得：，解得：.故选：C
6．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)在中，已知，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【详解】由题意可知，，又，
则由正弦定理可得，.故选：D
7．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A．30°. B．60°. C．90°. D．30°或150°.
【答案】A
【详解】由正弦定理得：，所以或，
因为，所以，所以.故选：A.
8．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)在中，，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．24 D．48
【答案】C
【详解】设，根据余弦定理，
已知，，，代入可得：，即，解得，
由于，则为直角三角形，则. 故选：C.
9．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)在中，，，分别为，，的对边，且，，的面积为，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，可得，又，且，得，所以，
则.故选：B
10．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意得，将代入得：，化简可得：，由余弦定理可得：,因为，所以.
故选：A.
二、多选题
11．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)（多选）在中，角的对边分别为，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】在中，因为，即，由余弦定理，
又，所以，，故A错误，B正确；因为，则，所以，故C正确；因为， ，，
则，所以，因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
12．设三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则下列条件能使解出的有且仅有一个的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】由正弦定理可得
若，则，所以三角形的解只有一个，故A正确；
若，可得，又，即，则三角形的解只有一个，故B正确；
若，可得即有A为锐角，则三角形的解只有一个，故C正确；
若，由正弦定理可得，即，又
所以A可以为锐角或钝角，则三角形的解有两个，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为_____.
【答案】4或8
【详解】由条件可知，，且，所以，，所以是等腰直角三角形，或，时，，得，此时的面积为；
时，，得，此时的面积为.故答案为：4或8
四、解答题
14．(24-25高一下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知中，，，.
(1)求；
(2)求；
(3)求的面积.
【详解】（1）由余弦定理，可得，
因为，所以；
（2）在中，由正弦定理，可得，解得；
（3）由的面积，可得.
15．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【详解】（1）因，则，由余弦定理得，，
因，则.
（2）由得，，
因，则，即，
故.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)在中，，，所对的边分别为，，，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由余弦定理的推论，得，又，所以．故选：D．
2．(24-25高一下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)中，角的对边分别为，且满足，则角的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题的条件，结合余弦定理可得，整理得，即，所以有，因为，所以，故选C.
3．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)在△中，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.
4．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】在中，，由，得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【详解】因为，由正弦定理可得，所以，又，则，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：B
二、多选题
6．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则是等腰三角形
C．若，则是直角三角形 D．若为锐角三角形，则
【答案】AD
【详解】对于A，根据正弦定理，由可得，大边对大角，所以.故A正确；对于B，根据正弦定理，由可得，即，则或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故B错误；对于C，，则或，即或，所以是直角三角形或钝角三角形，故C错误；
对于D，若为锐角三角形，则，即，因为函数在上单调递增，所以，即，故D正确.故选：AD.
7．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则为等腰直角三角形
【答案】ABC
【详解】对于A：由正弦定理可知，则由可得，则，故A正确；
对于B：若，由正弦定理得，由余弦定理得，所以C为钝角，即是钝角三角形，故B正确；对于C：由正弦定理得：，
因为，所以，即，所以或，则三角形有两解，故C正确；对于D：在中，，由正弦定理得，即，因为，所以或，即或，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形，故D错误．故选：ABC．
8．(24-25高一下·四川成都铁路中学·期中)对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，，且有两解，则的取值范围是
C．在锐角中，不等式恒成立
D．在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ACD
【详解】选项A：中，若，即，所以由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A正确；选项B：如图所示，
若有两解，则，解得，B错误；选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，又，所以，则，又因为在单调递增，所以，C正确；选项D：若，，由余弦定理，，所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确.
故选：ACD
9．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，一定有
B．若，那么一定是钝角三角形
C．一定有成立
D．若，那么一定是等腰三角形
【答案】ABC
【详解】对于A项：因为在三角形中，所以，根据正弦定理：，所以，所以正确；对于B项：因为，所以，，故是钝角三角形，所以正确；对于C项：，根据正弦定理，
，，所以正确；对于D项：，即，，解得或，所以错误.故选：.
三、解答题
10．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)在中，内角所对的边分别为，
(1)求B；
(2)若，求c．
【详解】（1）因为，化简得，
所以由正弦定理得：，
所以由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）由，，又，解得，
因为，所以
,
在中，由正弦定理得，所以．
11．(24-25高一下·四川南江中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
12．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，.
(1)求；
(2)若的角平分线长为，且，求的值.
【详解】（1）在中，∵，
∴由正弦定理得，
即，
即，
即.
又，∴，即，即，即.
∵，∴，∴，∴.
（2）由（1）知.
∵是角的角平分线，且，∴，
∴，即，∴.
在中，由余弦定理可知，
.
由正弦定理可知，，
∴.
13．(24-25高一下·四川南江中学·期中)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知且，.
(1)求角B及边b的大小；
(2)求的值．
【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，
由于锐角三角形中，所以，而是锐角，所以.
由余弦定理得.
（2）由余弦定理得，而是锐角，
所以，
所以.
.
14．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若的外接圆的面积为，求的面积.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，所以，所以或.
（2）设的外接圆的半径为，由，解得.
由正弦定理，，得.
因为，所以，由（1）可得.
由余弦定理，，
得，解得或.
故当时，的面积为；
当时，的面积为.
15．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知中角，，的对边分别是，，，且.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
【详解】（1），
由余弦定理，而为三角形内角，.
（2）,，,.
16．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，，.
(1)若，求的值；
(2)的面积等于，求的值.
【详解】（1）在中，由正弦定理，得，
所以的值是.
（2）由的面积等于，得，解得，
由余弦定理，得，即，
解得或，
所以或.
17．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
【详解】（1）由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
所以，
于是，又，所以，
又，所以.
解法二：由余弦定理得，化简得，
由余弦定理得，又，所以.
（2）由是的平分线，得，
解法一：，又，
所以.
解法二：由得
.
即，解得，
所以.
18．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)的内角A B C的对边分别为a b c，已知．
(1)求B；
(2)若，，求的面积．
【详解】（1）由正弦定理，得，
即，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∵B为三角形内角，∴；
（2）∵，∴由正弦定理得，
∴由余弦定理得，即，
∴，，
∴的面积为．
19．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)已知，若是的一条内角平分线，，求的周长.
【详解】（1）由正弦定理边化角得，
又，
所以，整理得，
因为，所以，因为，所以.
（2）由余弦定理得，即，
因为，所以，
整理得，代入得：，解得（负根已舍去），
所以的周长为.
20．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，，，
(1)求角；
(2)以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积.
详解】（1）由，可得：，
，，
又，，所以，即.
（2）由题意得， ，，
则，即，
由余弦定理得，所以，
由，得，则.
21．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件______（填写所选条件的序号）.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求的周长.
【详解】（1）若选条件①：，则；得到；
即，故，
因为，所以，，
由正弦定理得，即，则
因为，，所以，，
两边同时约去和，可得，解得.
又因为，所以，
若选条件②：，因为，所以，则，
故可化为，即.
由正弦定理，可得.
所以，因为，则.
因为，所以，，两边同时约去，
可得，则解得；，
若选条件③：，
由题意得，
则.
由正弦定理得（为外接圆半径），
可得，，.
则，即.
由余弦定理得.而，得到.
（2）由题意得，，则，
得到，
由三角形面积公式，而，
则，即，
解得，由正弦定理，即，
可得，化简得，
将代入，可得，解得，则，
再由正弦定理，可得，
故的周长为.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)如图，在扇形中，半径，圆心角，P是扇形弧上的动点，过P作于Q，作于R，记，，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．是定值 D．是定值1
【答案】C
【详解】当点与点都不重合时，，当点与点之一重合，上式也成立，在中，由余弦定理得
，
因此，ABD错误，C正确.故选：C
2．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)（多选）我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对A，由余弦定理知，，，
上述三个等式相加得，A正确；对B，因为，所以，B正确；对C，当时，式子左边，右边，由得，此时，只有当时，等式才成立，由于角的任意性，所以等式不一定恒成立，C错误；对D，设，则，则，因为，所以，即，
整理得，D正确.故选：ABD
二、多选题
3．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)（多选）在中，内角所对的边分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积是
B．若，则是等腰三角形
C．若，则可能等于10
D．若，则的面积为或
【答案】ACD
【详解】A：由正弦定理得为外接圆的半径），得，所以该外接圆的面积为，故A正确；B：由正弦定理得，即，得或，解得或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；C：由余弦定理得，即，得，当且仅当时取到“=”，又，所以，故C正确；D：由余弦定理得，
即，整理得，解得或2.当时，，；当时，，，故D正确.
故选：ACD
4．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)（多选）在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（ ）
A．若，则的面积为 B．若，则
C．若，则 D．若有两解，则
【答案】ACD
【详解】A：若，则，故A正确；B：若，由正弦定理得，即，解得，故B错误；C：若，由余弦定理得，即，整理得，由解得，故C正确；D：由正弦定理得，则，由得，若有两个解，则且，所以，即，解得，故D正确.故选：ACD
5．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边上，且的重心在上，又，设，（为相应三角形的面积），则以下正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A选项，设的重心为，由题意可知，三点共线，
所以存在使得，因为且，所以，化简得，故A正确；对于B选项，，，又因为，即，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为，故B正确；对于C，D，因为，所以，即，又因为，，，
所以，所以，故D正确，C错误，故选：ABD.
6．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设是内切圆圆心，、分别是内切圆半径、外接圆半径，
则，，，，在中，，即，，
，即，，，即.故选：D.
三、填空题
7．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)四边形中，与交于点P，已知，且P是的中点，，又，则四边形的面积是______________．
【答案】
【详解】设，，则，因为P是的中点，所以，因为，所以，所以，，因为，
所以，，所以①，②，
①②可得，，代入①可得，因为，所以，
又，所以，因为，，
所以，所以，，所以，,又，
所以，设的边上的高为，的边上的高为，
因为，所以，所以，所以四边形的面积是，故答案为：.
8．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)如图，面积为，，，，，的个正方形，则的值为______．
【答案】3
【详解】记正方形面积为的边长分别为,三角形对应的三边分别为,
由余弦定理可得, ,同理可得，，，而，，
由余弦定理, ,所以.
故答案为:
四、解答题
9．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，向量，向量，且与共线．
(1)求；
(2)求的面积．
【详解】（1）因为向量，向量，且与共线，
则，整理可得，因为，解得.
（2）因为，，则，
所以，的面积为.
10．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)已知向量，函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，且，，求的周长．
【详解】（1）依题意，，
由得：，
所以函数的单调递增区间是.
（2）由（1）知，，即，而，
则，于是，解得，
由余弦定理有，即，
解得，所以的周长为.
11．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知向量，.若.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，为的角平分线，为中点，求的长.
【详解】（1）
函数的单调递增区间,
（2），,,所以
在中：，在中：.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，则，在中，，
，即.所以该雕像的高度约为4m.故选：A.
2．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【详解】在中，，，，则，
由正弦定理得，所以.在中，，所以米.故选：A
3．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（ ）米.
A．54 B．30 C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，，，所以，在中由正弦定理可知，所以，在中，
所以.故选：B．
4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意， 又，则，即有 在中，，由正弦定理得 且 则 在中， 所以山高为米.故选A.
二、多选题
5．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)（多选）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】由题意，因为,且平面,平面,所以平面,对于A，在中，借助直角三角形用表示出，然后在中由余弦定理解三角形求得，故A正确；对于B，在中，根据,可利用正弦定理求得，再根据求得，故B正确；对于C，由，借助直角三角形和余弦定理，用和表示出，然后结合在中利用余弦定理列方程，解方程求得，故C正确；
对于D，根据四个条件，无法通过解三角形求得，故D错误；故选：ABC.
三、填空题
6．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____.
【答案】
【详解】由题意，在中，由余弦定理，；因为，所以，在中，由正弦定理，所以，解得，故答案为：.
7．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，）
【答案】4
【详解】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则，依题意，，，，在中，
，由正弦定理得，即，解得，所以我方军舰大约需要4小时到达C岛．故答案为：4
8．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶A的仰角为，则塔高______.
【答案】米；
【详解】在中，，，，则，
由正弦定理得，所以.在中，，所以米.故答案为：米
9．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度AB之比为______.
【答案】2
【详解】中，，则，由图可知，，则，中，由正弦定理，得，中，，
即.故答案为：2
10．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则解放碑的高AB为______.
【答案】
【详解】解：由题意，设中，，同理可得，因为，所以在中，…①，在中，…②，
由①②组成方程组，解得，即故答案为：
四、解答题
11．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）
(1)求，两点之间的距离；
(2)求，两点之间的距离.
【详解】（1）由题意知,在中,.由正弦定理得.
（2）在中, ，由正弦定理得，
在中,由余弦定理得，∴
12．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度.建筑物最高点在地面上的投影位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了相距30 m的，两点进行测量.有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据.
方案一：从，两点分别测得点的仰角和，再从点测得.其中，，.
方案二：从点处测得，从点处测得和点的仰角.其中，，.
方案三：从点处分别测得点和的俯角和，以及.其中，，.
从上述三种方案中选择一种你认为能够测出建筑物的高度的方案，并根据该方案中的数据计算出的长.（注意：只能使用你所选择的方案中的数据，不能使用未选择的方案中的数据.如果选择多个方案，则按照所选的第一个方案的解答计分.）
【详解】选择方案二，则，.
由于，所以
.
在中，由正弦定理可得，
因此，从而.
选择方案三：设，则，.
在中，由余弦定理可得，
即，解得（舍去负根）.所以.
如果选择方案一，因为，所以，
设，则，.
由正弦定理计算可得，则有两种可能取值，
所以，故不能唯一确定的值.
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