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专题04 斜二测画法、空间几何体的表面积与体积
3大高频考点概览
考点01 斜二测画法
考点02 空间几何体的表面积
考点03 空间几何体的体积
(
地
城
考点01
斜二测画法
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A．12 B．24 C． D．
2．（24-25高一下·浙江·期中）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中.以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·浙江·期中）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A． B． C． D．8
4．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
5．（24-25高一下·浙江·期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知是斜边的中点，且，则边的高为（ ）

A． B． C． D．4
6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，则在原平面图形中有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）水平放置的斜二测直观图为，已知，，则的面积为______.
9．（24-25高一下·浙江·期中）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的面积为______．
10．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知的面积为4，下图是的直观图，已知，轴，过作轴于，则的长为______．
(
地
城
考点02
空间几何体的表面积
)
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知球的体积为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
3．（23-24高一下·浙江·期中）唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力 开放的心态 丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（ ）
A． B．8 C． D．32
6．（24-25高一下·浙江·期中）若圆台的轴截面为底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·浙江·期中）如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·浙江金华·期末）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高一下·浙江温州·期中）在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______．
13．（24-25高一下·浙江·期中）已知高为1的正四棱柱的顶点都在表面积为的球面上，则该正四棱柱的表面积为________．
14．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________.
15．（23-24高一下·浙江·期中）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______．
16．（23-24高一下·浙江金华·期中）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为6的正三角形，E为SA的中点，直线CE，SB所成角为90°，则球O的表面积为______．
17．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为和，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的最大值为___________．
(
地
城
考点0
3
空间几何体的体积
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，是体积为2的棱柱，则四棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·浙江·期中）底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·浙江·期中）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为，体积为，则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·浙江·期中）用一个平行于棱锥底面的平面去截一个底面积为4的棱锥，截得的棱台的上底面积为1，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的体积为（ ）
A．12 B．9 C．7 D．6
5．（24-25高一下·浙江·期中）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中.以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A． B．1 C． D．3
9．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高一下·浙江·期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，，，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高一下·浙江·期中）如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，三棱锥中， 平面，且，，.则该三棱锥的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
14．（24-25高一下·浙江·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（ ）
A．高为 B．母线长为3
C．表面积为14π D．体积为
15．（24-25高一下·浙江·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，体积分别为，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C． D．
16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（ ）
A．该水杯侧面积为 B．该水杯里牛奶的体积为
C．放入的椰果半径为 D．该水杯外接球的表面积为
17．（24-25高一下·浙江·期中）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中一个，所谓等腰四面体就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”下列说法正确的（ ）
A．“等腰四面体”各个面都是全等的锐角三角形
B．若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的体积是
C．若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的内切球半径为
D．若“等腰四面体”三组对棱长度分别为a，b，c，则四面体的外接球半径为
18．（24-25高一下·浙江宁波·期中）“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ）
A．该“十字贯穿体”有22个顶点
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为
三、填空题
19．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知长方体的长宽高分别为，，，现将该长方体沿相邻三个面的对角线截掉一个棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体体积为_________．
20．（24-25高一下·浙江·期中）已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为_______.
21．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在正四棱台中，，则该棱台的体积为______.
22．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______.
23．（24-25高一下·浙江·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是________.
24．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，则的值是__________．
25．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在一个底面边长为4，容积为的正四棱锥容器中，放置了一大一小两个小球，小球在上，大球在下，两个球相外切，且均与容器壁相切，大球与底部亦相切，求小球的体积为_____.
26．（24-25高一下·浙江杭州·期中）我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．图3是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为______．
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专题04 斜二测画法、空间几何体的表面积与体积
3大高频考点概览
考点01 斜二测画法
考点02 空间几何体的表面积
考点03 空间几何体的体积
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地
城
考点01
斜二测画法
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A．12 B．24 C． D．
【答案】A
【分析】利用斜二测画法的规则，即可还原三角形为直角三角形，从而可求三角形面积.
【详解】由斜二测画法的规则，可知原图是直角三角形，
且，，
故原图的面积为：，
故选：A.
2．（24-25高一下·浙江·期中）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中.以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再根据相关特征计算几何体体积即可.
【详解】由题意，
所以 ，
如图，原图形 中， ，
所以直角梯形 的边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台，
，
故选：A.
3．（24-25高一下·浙江·期中）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】D
【分析】根据斜二测画法画出直观图对应的原图，由此求得原平面图形的周长.
【详解】直观图中，，
由此画出直观图对应的原图如下图所示，其中，
所以，
所以原平面图形的周长为.
故选：D.
4．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】如图，先将直观图还原得平行四边形，根据斜二测画法可得，即可得解；
【详解】将直观图还原得平行四边形，如下图，
所以，
所以平面四边形为菱形，
其周长为.
故选：B.
5．（24-25高一下·浙江·期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知是斜边的中点，且，则边的高为（ ）

A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】先求得，由直观图的斜二测画法可求边的高.
【详解】因为是等腰直角三角形，且，所以可得，
又因为轴，则在原图形中，轴，
所以，由直观图的斜二测画法可得.
故边的高为.
故选：A.
6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据斜二测画法求出原三角形的高后可得其面积.
【详解】如图，直观图是边长为的正三角形，则其高，
过作轴，交于，则，
则在原中，，边上的高为，
故的面积为，
故选：D.
二、多选题
7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，则在原平面图形中有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据斜二测画法规则确定点的位置，再作出，逐项计算判断即可.
【详解】在直观图中，，取中点，连接，
则，而，于是，
则，，，
由斜二测画法规则作出，如图，
则，，
，，
，
显然，A、C、D正确，B错误.
故选：ACD
三、填空题
8．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）水平放置的斜二测直观图为，已知，，则的面积为______.
【答案】
【分析】根据题意，求出直观图的面积，由原图面积与直观图面积的关系，分析可得答案.
【详解】根据题意，水平放置的斜二测直观图为，则直观图的面积，
则的面积为.
故答案为：.
9．（24-25高一下·浙江·期中）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的面积为______．
【答案】
【分析】根据斜二测画法，将直观图还原为原图，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】根据题意，将直观图还原为原图，如图所示，
可得为直角三角形，其中，
所以的面积为．
故答案为：
10．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知的面积为4，下图是的直观图，已知，轴，过作轴于，则的长为______．
【答案】
【分析】根据斜二测画法和三角形的面积公式，求得，得到，进求得的长.
【详解】由斜二测画法知，因为，可得，
又因为轴，可得轴，所以为直角三角形，
如图所示，又由的面积为，可得，解得，
所以，所以.
故答案为：.
(
地
城
考点02
空间几何体的表面积
)
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知球的体积为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据求得体积和表面积公式求解.
【详解】根据题意，，所以，
则该球的表面积为.
故选：C
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】先由正四面体的表面积求出其中一个正三角形的面积，再求出正三角形的边长即为棱长.
【详解】因为正四面体的表面积为，所以正四面体的其中一个正三角形面的面积是，设正四面体的棱长为，
则正三角形面的面积，所以
故选：C
3．（23-24高一下·浙江·期中）唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力 开放的心态 丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设圆柱的高为，内壁的表面积为，可得，可得，利用几何体的几何特征可求内壁表面积.
【详解】设圆柱的高为，内壁的表面积为，
由题意可知：，解得，
内壁的表面积等于圆柱的侧面积，加半球的表面积，
即.
故选：D.
4．（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，根据圆锥的底面周长求出，再由勾股定理求出，最后由表面积公式计算可得.
【详解】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，依题意可得，解得，
所以，
所以该几何体的表面积.
故选：A
5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（ ）
A． B．8 C． D．32
【答案】D
【分析】根据题意作出正四棱锥，借助于求得斜高长，即可计算侧面积.
【详解】
如图，是四棱锥的高，于点，连接，则，
因正方形的边长为4，则， ，
故正四棱锥的侧面积为.
故选：D.
6．（24-25高一下·浙江·期中）若圆台的轴截面为底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆台的空间结构关系以及侧面积公式计算即可.
【详解】设是上下底面圆心，，
连接,过点作的垂线，垂足为,
在直角三角形中，,则圆台的母线长为,
由圆台的侧面积公式可得；
故选：C.
7．（24-25高一下·浙江·期中）如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出旋转体，则该几何体的表面积由两个圆锥的侧面和一个矩形组成，分别求其面积相加即可得解.
【详解】作出旋转体如下图：
过点作所在直线的垂线，垂足为,，，，则，
即底面圆的半径为，则圆的周长为，
圆锥侧面展开图的半径为，上下两个圆锥的侧面积为，
几何体的侧面展开是一个矩形，，
所以几何体的表面积为.
故选：B.
8．（23-24高一下·浙江金华·期末）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可.
【详解】如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点，
根据已知得，
设母线长，则在直角△中，
因为，所以
即，化简得，
解得，或(舍去)，
所以圆锥的侧面积为：.
故选：C.
9．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正三棱锥的外接球球心在其高线上，再利用勾股定理由方程来求解半径，即可求外接球的表面积.
【详解】
根据正三棱锥的性质，可知外接球球心必在正三棱锥的高线上，连接，
由等边三角形，其边长，可知，
再由勾股定理得：，
设外接球半径为，结合勾股定理：
可得：，解得：，
由于，所以外接球球心在高线的延长线上，但仍然满足上述方程，
故该外接球的半径仍为，
所以该外接球的表面积为：，
故选：A
10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在中由余弦定理求得，由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.
【详解】如图，在中，由余弦定理，，
，，
设的外接圆半径为，由正弦定理，，则，
设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为，
由题可得平面，而平面，
过点作，交于点，连接，
则，易得矩形，则，
在直角三角形中，，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故选：A.

11．（23-24高一下·浙江温州·期中）在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由面积公式可得，由余弦定理结合基本不等式可求，根据正弦定理可得外接圆半径，由勾股定理即可求解.
【详解】如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线，
则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且，
在中，，即，
所以，
即（当且仅当时取等号），
设外接圆半径为，由正弦定理得，即，
所以外接球的半径，则，
故三棱锥的外接球表面积的最小值为.
故选：.
【点睛】方法点睛：解决外接球问题：
（1）通过球心位置的确定，利用勾股定理列方程求解；
（2）已知线面垂直，构造矩形模型；
（3）三个两两垂直的墙角模型，补形成长方体或正方体.
二、填空题
12．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______．
【答案】
【分析】设圆锥的母线长为，则由题意可得，求出，从而可求出侧面积，进而可求得其表面积
【详解】设圆锥的母线长为，
圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
所以，解得，
所以圆锥的表面积为，
故答案为：
13．（24-25高一下·浙江·期中）已知高为1的正四棱柱的顶点都在表面积为的球面上，则该正四棱柱的表面积为________．
【答案】16
【分析】由正四棱柱的外接球表面积求得半径，进而得出正四棱柱的体对角线，求解正四棱柱的底面边长，根据表面积公式即可求解．
【详解】由已知得球的半径，则正四棱柱的体对角线为3，
设正四棱柱的底面边长为，则，解得，
所以该正四棱柱的表面积为，
故答案为：16．
14．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________.
【答案】
【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.
【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可，
所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上，
而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等，
所以的中点是外接球的球心，所以，
所以该鳖臑外接球的表面积为．
故答案为：.
15．（23-24高一下·浙江·期中）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______．
【答案】
【分析】利用正弦定理求底面外接圆半径，结合直棱柱外接球的性质列式求半径，进而可得表面积.
【详解】设底面的外接圆圆心为，半径为，三棱柱的外接球的球心为半径为，
取的中点，可知，且∥，
则，，
可得，，
所以三棱柱的外接球表面积为.
故答案为：.
16．（23-24高一下·浙江金华·期中）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为6的正三角形，E为SA的中点，直线CE，SB所成角为90°，则球O的表面积为______．
【答案】
【分析】由题意可得三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面的射影为等边的中心，连接并延长交于，结合题意可证得平面，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，将三棱锥补为正方体，则正方体的外接球就是三棱锥的外接球，从而可求得结果.
【详解】因为，是边长为6的正三角形，
所以三棱锥为正三棱锥，
则顶点在底面的射影为等边的中心，
连接并延长交于，则，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以正三棱锥的三条侧棱两两垂直，
因为，所以,
则将三棱锥补为正方体，则正方体的外接球就是三棱锥的外接球，
设三棱锥的外接球半径为，
则，即，
所以球O的表面积为，
故答案为：

17．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为和，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的最大值为___________．
【答案】
【分析】先作正四棱台的截面，取轴中点并作侧面的垂线，利用余弦定理和三角形的面积公式求出垂线段长，并与高的一半比较，垂线段小于高的一半时，则需将轴中点往下底面方向移动，使其到下底面的距离和到侧面的距离相等，即可求出半径.
【详解】作正四棱台过上下底面中心且平分两个侧面的截面如图，分别取的中点，连接，取的中点，连接，过作，过作，
由题意可知，，，
则，,
，
则在中利用余弦定理可得，，
则，
因，
则，
在线段上取点，过作，使得，连接，
此时，
因，则，则，
则，
故球的半径最大值为，则球表面积的最大值为
故答案为：
(
地
城
考点0
3
空间几何体的体积
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，是体积为2的棱柱，则四棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据棱锥与棱柱的体积关系求解．
【详解】∵，
∴，
故选：D．
2．（24-25高一下·浙江·期中）底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积.
【详解】如图，正四棱锥，，为底面正方形中心，为中点，
由已知可得，所以，
又，所以，
所以正四棱锥的体积为.
故选：C
3．（24-25高一下·浙江·期中）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为，体积为，则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开图的圆心角.
【详解】圆锥的底面圆的面积为，设底面圆的半径为，则，解得，
所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长，
又屋顶的体积为，设圆锥的高为，则，所以，
所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形的半径，
所以侧面展开图扇形的圆心角约为.
故选：C.
4．（24-25高一下·浙江·期中）用一个平行于棱锥底面的平面去截一个底面积为4的棱锥，截得的棱台的上底面积为1，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的体积为（ ）
A．12 B．9 C．7 D．6
【答案】C
【分析】根据棱锥的性质，用平行于棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，以此可得棱锥的高，进而得到棱台的高，代入棱台体积公式求解即可．
【详解】由题意截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h，
根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，则，所以，
所以棱台的高是，所以棱台的体积为.
故选：C．
5．（24-25高一下·浙江·期中）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中.以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再根据相关特征计算几何体体积即可.
【详解】由题意，
所以 ，
如图，原图形 中， ，
所以直角梯形 的边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台，
，
故选：A.
6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出正面体的棱长，将正四面体补成正方体，即可求出该正四面体的体积.
【详解】设正四面体的棱长为，
则该正四面体的表面积为，可得，
将正四面体补成正方体，则该正方体为棱长为，
因此正四面体的体积为.
故选：B.
7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件可得正三棱锥的侧棱两两垂直，再补形成正方体，进而求出外接球的体体积.
【详解】正三棱锥，，，则，即，
因此正三棱锥的侧棱两两垂直，
以线段为棱的正方体的外接球即为正三棱锥的外接球，
该球的直径为，半径，
所以该三棱锥的外接球的体积.
故选：A
8．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】首先求三棱柱底面三角形外接圆的半径，再求三棱柱外接球的半径，根据球的体积公式求三棱柱的高，最后代入三棱柱的体积公式，即可求解.
【详解】，则，则，
所以外接圆的半径，
设，所以直三棱柱外接球的半径，
球的体积，所以，即，
所以三棱柱的体积.
故选：A
9．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可.
【详解】如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处，
设球O与母线切于M点，所以，所以，
所以与全等，所以，同理，所以，
过A作，垂足为G，则，，
所以，所以，所以，所以，
所以该圆台的体积为.
故选：C
10．（24-25高一下·浙江·期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据锐角三角函数及圆的切线的性质可得，利用求解即可.
【详解】如图，
设球的半径为，，，
，
，
，即该球体建筑物的体积为.
故选：D
11．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，，，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得梯形的外接圆的圆心为的中点，据此计算可求外接球的体积.
【详解】因为，，所以，
在中，由余弦定理可得，
又，所以，所以，
所以的外心是的中点，连接，可得四边形是平行四边形，
所以，从而是梯形的外接圆的圆心，
过作平面，为四棱锥的外接球的球心，
因为平面，又平面，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以球的体积.
故选：B
12．（24-25高一下·浙江·期中）如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用锥体体积公式通过转化法求多面体的体积.
【详解】设点到平面的距离为，由题意可知，
因为底面是平行四边形，所以，
又因为为棱的中点，所以点到平面的距离为，
所以，
因为为棱的中点，所以 ，
因为，分别是所在棱的中点，所以且，
所以四边形为梯形，设，梯形的高为，
所以，，
，
，
故选：C
13．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，三棱锥中， 平面，且，，.则该三棱锥的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题由已知条件可推出三棱锥各个侧面和底面均为直角三角形，由此可以判断该三棱锥的外接球的球心为线段SC的中点，由此得出球的半径，从而求得球的体积.
【详解】因为平面，所以，，所以是直角三角形，
又因为在中，，，由余弦定理得，
即，解得，
所以，由勾股定理得，
又，且两直线在平面内，所以平面，
所以，所以是直角三角形，
如图，取的中点，则有，
则为三棱锥的外接球的球心，故半径，
所以三棱锥的外接球的体积.
故选：D.

二、多选题
14．（24-25高一下·浙江·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（ ）
A．高为 B．母线长为3
C．表面积为14π D．体积为
【答案】ABC
【分析】根据题意，求出圆台的上下底面圆半径、母线长和高，运用侧面积公式和体积公式，即可一一判断正误即得.
【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，
依题意，解得，，解得，
又圆台的母线长为，
故圆台的高故A、B均正确；
圆台的侧面积为，
所以圆台的表面积为，故C正确；
圆台的体积为，故D错误.
故选：ABC.
15．（24-25高一下·浙江·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，体积分别为，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据球，圆柱，圆锥的表面积及体积公式计算判断各个选项.
【详解】依题意球的表面积为，
圆柱的侧面积为，所以A选项正确.
圆锥的侧面积为，所以B选项正确.
圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为，所以，D选项不正确.
圆柱体积，圆锥体积，球的体积，所以C正确.
故选：ABC
16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（ ）
A．该水杯侧面积为 B．该水杯里牛奶的体积为
C．放入的椰果半径为 D．该水杯外接球的表面积为
【答案】BCD
【分析】根据圆台的侧面积公式即可求解A，根据圆台的体积公式即可求解B，结合球的体积即可求解C,利用勾股定理求解半径，即可根据表面积公式求解D.
【详解】由题意可知圆台的上底面圆半径为，下底面圆半径，圆台的高，
设圆台的母线为，则，
故圆台的侧面积为，故A错误，
牛奶面所在的圆的半径为，
故水杯中牛奶的体积为，故B正确，
水杯的体积为,
故37个小球的体积为，
设小球的半径为，进而,解得，故C正确，
设水杯的外接球的球心到上底面的距离为,则，解得，
故外接球的半径为，故其表面积为，故D正确，
故选：BCD
17．（24-25高一下·浙江·期中）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中一个，所谓等腰四面体就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”下列说法正确的（ ）
A．“等腰四面体”各个面都是全等的锐角三角形
B．若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的体积是
C．若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的内切球半径为
D．若“等腰四面体”三组对棱长度分别为a，b，c，则四面体的外接球半径为
【答案】ACD
【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为,与之对应的长方体的长宽高分别为，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，与之对应的长方体的长宽高分别为，
则，解得，
所以，
不妨设构成的三角形为，
由余弦定理可得，同理可得，
从而可得均为锐角，故A正确；
当三组对棱长度分别为5，6，7，则，
因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，
所以等腰四面体的体积，故B错误；
设在四面体的一个面中7所对的角为，
可得，所以一个面的面积为，
设内切球的半径为，则可得，解得，故C正确；
等腰四面体的外接球即为对应的长方体的外接球，
所以外接球的半径为，故D正确.
故选：ACD..
18．（24-25高一下·浙江宁波·期中）“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ）
A．该“十字贯穿体”有22个顶点
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为
【答案】ACD
【分析】对于A：根据几何体特征判断即可；对于B：该“十字贯穿体”由4个正方形和16个与梯形全等的梯形组成，分别求出来即可；对于C：求出两个正四棱锥重叠部分为多面体的体积，然后求整个几何体的体积；对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，则线段的长即为所求.
【详解】对于A：该“十字贯穿体”有22个顶点，A正确；
对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成，
故表面积，B错误；
对于C：如图两个正四棱锥重叠部分为多面体，取的中点，
则多面体可以分成8个全等的三棱锥，
又，
所以该“十字贯穿体”的体积是，C正确；
对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，如图：
则，所以为钝角，
连接，则线段的长为一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长，根据对称性可得，
因为，所以，
又，
所以，
所以，又，
所以，
则，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
19．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知长方体的长宽高分别为，，，现将该长方体沿相邻三个面的对角线截掉一个棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体体积为_________．
【答案】
【分析】依题意该几何体的体积是由长方体的体积减去一个三棱锥的体积，根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】依题意该几何体的体积是由长方体的体积减去一个三棱锥的体积，
所以该几何体体积.
故答案为：
20．（24-25高一下·浙江·期中）已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为_______.
【答案】
【分析】应用圆锥侧面积公式计算求出底面半径，再根据圆锥体积公式计算求解.
【详解】设圆锥底面半径为圆锥的高为，圆锥的母线长为10cm，侧面积为，
则，则，所以，
则此圆锥的体积为.
故答案为：.
21．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在正四棱台中，，则该棱台的体积为______.
【答案】
【分析】连接，过点作，垂足分别为，根据正四棱台的性质，求得棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，连接，过点作，垂足分别为，
因为，可得，所以，
在，
在直角中，由，可得，
即正四棱台的高为，
又由正四棱台上、下底面面积分别为，
所以正四棱台的体积为：.
故答案为：.

22．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______.
【答案】/
【分析】将四面体放入长方体中，利用长方体的处接球即为四面体的外接球，求解即可.
【详解】将四面体放入长方体中，如图所示：
设长方体的长，宽，高分别为，则，所以，
设长方体的外接球半径为，则，解得，
又长方体的处接球即为四面体的外接球，
所以四面体的外接球的体积为.
故答案为：.
23．（24-25高一下·浙江·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是________.
【答案】
【分析】构造长方体，求出长方体的外接球半径，最后利用体积公式即可.
【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，
且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球，
又该长方体的外接球半径为，
则球的体积是.
故答案为：
24．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，则的值是__________．
【答案】
【分析】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，结合棱台的体积公式，求得三棱台的体积为，结合，即可求解.
【详解】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则，
因为分别为的中点，可得，
所以三棱台的体积为，
则，所以.
故答案为：.
25．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在一个底面边长为4，容积为的正四棱锥容器中，放置了一大一小两个小球，小球在上，大球在下，两个球相外切，且均与容器壁相切，大球与底部亦相切，求小球的体积为_____.
【答案】
【分析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，可画出内切球的切面图，分别求出大球和小球的半径分别为和，从而求出小球的体积.
【详解】
设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，
由正四棱锥的体积，可得
，
如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上，
且，设球的半径为R，则，
∵，∴，则，，∴，
设球与球相切于点Q，则，
设球的半径为r，同理，所以，
所以，∴，
故小球的表面积.
故答案为：
26．（24-25高一下·浙江杭州·期中）我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．图3是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为______．
【答案】
【分析】根据材料，将帐篷体积转化为同底面的正四棱柱体积与正四棱锥体积之差，计算得到体积.
【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，截面中心为，底面中心为，
因为曲线是以2为半径的半圆，所以，
所以，
所以正方形截面的面积为，
设截面截正四棱柱得到的四边形为，截正四棱锥得到的四边形为，中心为，
又设底面中心，且， 如图：
在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，
所以，所以，
又因为，所以是等腰直角三角形，所以，
所以正方形截面的边长为，所以正方形截面的面积为，
所以阴影部分面积，与截面面积相等，
由祖暅原理知，帐篷体积为正四棱柱体积减去正四棱锥体积，
即，
故答案为：.
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