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专题04三角函数
17大高频考点概览
考点01 扇形的弧长与面积
考点02 任意角的三角函数
考点03 同角三角函数的基本关系式
考点04 三角函数的诱导公式
考点05 三角函数的周期性
考点06 两条和差二倍角公式
考点07 三角函数的单调性
考点08 三角函数的最值值域
考点09 三角函数别的对称轴与对称中心
考点10 三角函数的定义域与不等式
考点11 由函数图像确定三角函数的解析式
考点12 平移与伸缩变换
考点13 三角函数的零点
考点14 恒成立问题
考点15 有解问题
考点16 三角函数在生活中的应用
考点17 三角函数新定义
1．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·北京清华附中学院路学校·期中)设扇形的半径为8cm，圆心角为，则扇形的弧长是________cm．
3．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)扇形的弧长是，该扇形的中心角O是1弧度，则扇形的面积为__________．
4．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)半径为4，圆心角为的扇形的弧长为________．
5．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知圆心角为的扇形的半径为1，是弧上一动点（不包括、），作矩形，与相交于点，给出下列四个结论：
①存在点，使得与的面积相等；
②存在点，使得与的面积相等；
③面积的最大值为，此时；
④矩形面积的最大值为，此时．
其中，所有正确结论的序号为_____．
1．(24-25高一下·北京清华附中学院路学校·期中)若角顶点在原点，始边在的正半轴上，终边上一点的坐标为，则角为（ ）角
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象眼
2．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知点为角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)角的终边经过点，则_____；_____.
4．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴非负半轴．若角的终边与圆交于一点，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合．
(1)写出角与的关系；
(2)求和的值．
5．(24-25高一下·北京回民学校·期中)已知角的始边在轴正半轴上，终边过点．
(1)求，，的值；
(2)求的值．
1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·北京第十五中学·期中)已知，且是第四象限角，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．(22-23高一下·辽宁大连·期末)已知，，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．(24-25高一下·北京清华附中学院路学校·期中)已知，，则________．
5．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知，则________．
1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)若为第二象限角，且，则的值是_____．
2．(24-25高一下·北京延庆区·期中)化简_____．
3．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)已知角为第一象限角，且，则__________．
4．(24-25高一下·北京回民学校·期中)已知函数，则_____；若对任意都有，则常数的一个取值为_____．
5．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)记点的横坐标为，若，求的值．
1．(22-23高一下·北京中关村中学·期中)下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·北京中关村中学·期中)下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数是（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)对于函数，给出下列四个命题：
①该函数的最小值为；
②该函数是以为最小正周期的周期函数；
③当且仅当（）时，该函数取得最大值；
④当且仅当（）时，．
其中，所有正确结论的序号是______．
1．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·北京房山区·期中)________．
3．(24-25高一下·北京八一学校·期中)在中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
5．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知，且．
(1)求，的值；
(2)求的值．
1．(24-25高一下·北京房山区·期中)函数的单调递减区间________．
2．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数满足：对任意，有．
①的最小值为________；
②若恰有三个不同的值，使得在上单调递增，则正数的取值范围是________．
3．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
4．(24-25高一下·北京第十五中学·期中)已知函数，函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，求：
(1)的值及的单调递增区间；
(2)在区间上的最大值和最小值.
5．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求，的值；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的单调递增区间．
条件①：的图象关于点对称；
条件②：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)函数的值域是_____．
2．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知函数，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
3．(24-25高一下·北京房山区·期中)若函数的最小值为，则常数的一个取值为________．
4．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知：
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数的图象相邻的两个对称轴之间的距离为；
条件③：函数的图象可由函数的图象平移得到.
(1)求的解析式；
(2)若在区间上的最大值为2，求的最小值.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分.
5．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的最大值和最小值，并求出对应的值：
(3)若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
1．(24-25高一下·北京理工大学附属中学·期中)设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
2．(24-25高一下·北京八一学校·期中)已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)关于函数，给出下列三个命题：
①是周期函数； ②曲线关于直线对称；
③最大值为2； ④在区间上给有3个零点．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)已知函数，则的对称轴方程为__________；将的图象向左平移个单位得到函数，若的最大值是一个小于1的正数，则符合条件的一个__________．
5．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知函数．
(1)求函数的周期和其图像的对称轴方程；
(2)当时，求的值域．
1．(24-25高一下·北京第十九中学·期中)函数的定义域为__________．
2．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)下列说法中不正确的是（ ）
①不等式的解集是
②函数的最小值是2
③“恒成立”的充要条件是“”
④若，则等于2．
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②
3．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像；
(3)求函数的单调递减区间；
(4)求不等式的解集．
4．(24-25高一下·北京师范大学附属中学·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最小值，并写出当取最小值时的取值集合；
(3)求不等式的解集.
5．(24-25高一下·北京交通大学附属中学·期中)已知函数.
(1)填写表格，并用“五点作图法”在平面直角坐标系上作出函数在上的图象；
0
x
1 0
(2)直接写出它的对称轴和对称中心；
(3)设，求不等式的解集.
0
0 1 0 0
1．(24-25高一下·北京广渠中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，其中A，B是直线与曲线的两个相邻交点.若，则______，______.
2．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)已知函数（，）的图象如图所示，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)如图，直线与函数, 的图象在上从左到右依次交于点A,B,C,D．给出下列四个结论：
①；
②当时，；
③不等式的解集为；
④若，则m的取值范围是．
其中所有正确结论的序号为________．
4．(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)如图为函数的部分图象.
(1)直接写出函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值；
(3)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上恰有1个实数根，求实数的取值范围.
5．(24-25高一下·北京中央民族大学附属中学（朝阳）·期中)已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)写出函数的单调递增区间；
(3)求函数，的值域．
1．(23-24高一下·北京中央民族族大学附属中学·期中)要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．(23-24高一下·北京第一中学·期中)为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
3．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)在平面直角坐标系内，将点向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，所得的点均位于函数的图象上.请写出满足上述条件的一个点的坐标__________.
4．(24-25高一下·北京房山区·期中)要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的
B．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍
C．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的
D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍
5．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是__________.
1．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)已知函数，若关于的方程在区间上有且仅有个不相等的实数根，则正整数的取值为（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高一下·北京十一学校·期中)已知函数过原点.
(1)求的值；
(2)求函数在上的零点；
(3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据.
0
0 1 0 0
0
0 1 0 0
3．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)已知函数．
(1)化简函数的解析式和最小正周期；
(2)求函数在上的最值，并写出相应的值；
(3)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
4．(24-25高一下·北京第十五中学·期中)已知向量， 设函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的零点.
5．(24-25高一下·北京第五中学·期中)设函数，
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数在是增函数，直接写出实数的最大值；
(3)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.
1．(24-25高一下·北京八一学校·期中)设函数（，）．
(1)若，求的值；
(2)若直线和直线是的两条相邻的对称轴，求的解析式及的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
2．(24-25高一下·北京第一六一中学·期中)某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 2 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将图象上所有点向左平行移动（）个单位长度，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值；
(3)对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
0
x
0 2 0 0
0
x
0 2 0 0
3．(24-25高一下·山东烟台·期中)已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的值及函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
4．(24-25高一下·北京丰台区·期中)已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若在区间上恒成立，求的最小值；
(3)若，，求的值.
5．(24-25高一下·北京陈经纶中学·期中)已知函数的一个零点为．
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若对恒成立，求的最大值和的最小值．
1．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数的一个零点为．
(1)求a的值及在上的值域；
(2)若存在唯一一组实数，使得，求m的取值范围．
2．(24-25高一下·北京第五十七中学·期中)已知下列三个条件：条件①：的图象关于直线对称；条件②：的图象过点；条件③：在区间上单调递增．从这三个条件中选一个作为已知条件，填在下面的横线处，并解答下列问题.
已知函数的最小正周期为，_______.
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)若关于的方程在上恰好有20个根，请直接写出实数的取值范围．
3．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知函数.
(1)若，求的值；
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值.
条件①：；条件②：；条件③：在区间上至少2个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
4．(23-24高一下·北京交大附中·期中)已知函数，且图像的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件① 条件② 条件③中选择两个作为一组已知条件.
(1)确定的解析式；
(2)设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立？若存在，求实数的取值范围：若不存在，请说明理由.
条件①：的最小值为；
条件②：图像的一个对称中心为；
条件③：的图像经过点.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
5．(23-24高一下·北京第十四中学·期中)设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
1．(24-25高一下·北京第五十七中学·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有________
①．h关于t的函数解析式为
②．点P第一次到达最高点需用时5秒
③．P再次接触水面需用时10秒
④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
2．(24-25高一下·北京房山区·期中)我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（ ）
（参考数据，，，，．）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)如图，市政改造工程要在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
(1)求曲线段的解析式和的大小；
(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，若矩形的面积记为，求的解析式，并求的最大值以及相应的值．
5．(24-25高一下·北京八一学校·期中)声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为和，满足．已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．
①；②；③；④．
则，两种声波的数学模型分别是______．（填写序号）
1．(24-25高一下·北京第十九中学·期中)对于分别定义在D1、D2上的函数，以及实数，以及实数若存在，使得，则称函数与具有关系．
(1)若；，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若与具有关系，求的取值范围；
(3)已知，为定义在R上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有．
试证明与不具有关系．
2．(23-24高一下·北京延庆区·期中)对于集合和常数，定义：为集合相对于的“正弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对于的“正弦方差”；
(2)若集合，写出一个的值，使得集合相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出这个常数，并说明理由；
(3)若集合，相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出，的值．
3．(23-24高一下·北京中关村中学·期中)对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系.
(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若与具有关系，求的取值范围；
(3)已知，为定义在上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有.
判断与是否具有关系，并说明理由.
4．(23-24高一下·北京房山区·调研)已知，都是定义在上的函数，若存在实数，使对任意都成立，则称为，在上生成的函数．
(1)判断函数是否为，在上生成的函数，说明理由；
(2)判断函数是否为，在上生成的函数，说明理由；
(3)若为，在上的一个生成函数，且，，的最小值为，，求的解析式．
5．(22-23高一下·北京西城区·期末)对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数．
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；②．
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且．
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专题04三角函数
17大高频考点概览
考点01 扇形的弧长与面积
考点02 任意角的三角函数
考点03 同角三角函数的基本关系式
考点04 三角函数的诱导公式
考点05 三角函数的周期性
考点06 两条和差二倍角公式
考点07 三角函数的单调性
考点08 三角函数的最值值域
考点09 三角函数别的对称轴与对称中心
考点10 三角函数的定义域与不等式
考点11 由函数图像确定三角函数的解析式
考点12 平移与伸缩变换
考点13 三角函数的零点
考点14 恒成立问题
考点15 有解问题
考点16 三角函数在生活中的应用
考点17 三角函数新定义
1．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用扇形的弧长公式求出扇形的半径，最后利用面积公式计算即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，
又扇形的圆心角为，由弧长公式得，
，解得，，
该扇形的面积为.
故选：.
2．(24-25高一下·北京清华附中学院路学校·期中)设扇形的半径为8cm，圆心角为，则扇形的弧长是________cm．
【答案】
【分析】利用扇形弧长公式计算得解.
【详解】依题意，扇形的弧长为（）.
故答案为：
3．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)扇形的弧长是，该扇形的中心角O是1弧度，则扇形的面积为__________．
【答案】
【分析】由已知利用弧长公式求出半径，代入扇形面积公式，即可得到答案．
【详解】∵扇形的弧长，该扇形的中心角O记为弧度，设扇形的半径为，
∴，得，
∴扇形面积为．
故答案为：．
4．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)半径为4，圆心角为的扇形的弧长为________．
【答案】/
【分析】运用弧度制下弧长公式计算即可.
【详解】.
故答案为：.
5．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知圆心角为的扇形的半径为1，是弧上一动点（不包括、），作矩形，与相交于点，给出下列四个结论：
①存在点，使得与的面积相等；
②存在点，使得与的面积相等；
③面积的最大值为，此时；
④矩形面积的最大值为，此时．
其中，所有正确结论的序号为_____．
【答案】①③④
【分析】设，，即可根据面积公式分别求解①②③，由三角形的知识易得，由三角函数公式化简可得，由和三角函数的最值可得④．
【详解】设，，
则，，，
所以，
对于①，若与的面积相等，则,
故，即，则，由于，满足要求，
故存在点，使得与的面积相等；①正确，
对于②,若存在点，使得与的面积相等，
则,则，这显然不符合要求，故②错误，
对于③，的面积为，
故当时，面积最大，为，此时；故③正确，
对于④,矩形面积
，，
当即时，取最大值，此时，故④正确.
故答案为：①③④
1．(24-25高一下·北京清华附中学院路学校·期中)若角顶点在原点，始边在的正半轴上，终边上一点的坐标为，则角为（ ）角
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象眼
【答案】C
【分析】通过诱导公式化简即可
【详解】由诱导公式得：
所以在第三象限，所以角为第三象限角.
故选：C.
2．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知点为角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先应用任意角的三角函数值得出，最后应用二倍角正弦公式计算求解.
【详解】点为角终边上一点，则，
所以.
故选：A.
3．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)角的终边经过点，则_____；_____.
【答案】 /
【分析】根据任意角的三角函数定义，写出正弦值、余弦值以及正切值，利用诱导公式以及正切的二倍角公式，可得答案.
【详解】由角的终边经过点，则，，，
所以，.
故答案为：；.
4．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴非负半轴．若角的终边与圆交于一点，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合．
(1)写出角与的关系；
(2)求和的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据任意角的概念可得出结论；
（2）由三角函数的定义可得出、、的值，再利用二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可求得的值.
【详解】（1）由题意可得.
（2）由三角函数的定义可得，，，
所以，
.
因此，
.
5．(24-25高一下·北京回民学校·期中)已知角的始边在轴正半轴上，终边过点．
(1)求，，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）利用三角函数定义直接求解.
（2）由（1）的结论，利用二倍角的余弦公式及和角的正弦公式求解.
【详解】（1）依题意，.
（2），
.
1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用“1”的代换得到关于正余弦的齐次式，再由弦化切求值即可.
【详解】由 .
故选：C
2．(24-25高一下·北京第十五中学·期中)已知，且是第四象限角，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数的平方关系得出，再根据商数关系即可求解．
【详解】因为，且是第四象限角，所以，
所以，
故选：A．
3．(22-23高一下·辽宁大连·期末)已知，，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，即可求解.
【详解】由，，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，
可得角的终边位于第四象限.
故选：D.
4．(24-25高一下·北京清华附中学院路学校·期中)已知，，则________．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的平方关系，对代数式进行平方，代入数值计算即可.
【详解】因为，所以，所以，
.
故答案为：.
5．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知，则________．
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系结合弦化切计算求解.
【详解】.
故答案为：.
1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)若为第二象限角，且，则的值是_____．
【答案】
【分析】由同角函数的基本关系及诱导公式求解即可．
【详解】由得，
因为为第二象限角，则，
则
．
故答案为：．
2．(24-25高一下·北京延庆区·期中)化简_____．
【答案】/
【分析】运用诱导公式化简求值即可.
【详解】因为，
，
，
所以.
故答案为：.
3．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)已知角为第一象限角，且，则__________．
【答案】/
【分析】先利用平方关系求出，再利用诱导公式求解即可.
【详解】因为角为第一象限角，且，
所以，
所以，
故答案为：.
4．(24-25高一下·北京回民学校·期中)已知函数，则_____；若对任意都有，则常数的一个取值为_____．
【答案】 （，写出其中一个即可）
【分析】第一空，直接利用诱导公式可求函数值，第二空，由可直接写出一个常数的值.
【详解】，
由，即，
又，所以常数的可以为，
故的一个取值可以为，
故答案为：，.
5．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)记点的横坐标为，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角函数的定义和同角的平方关系计算即可求解；
（2）根据诱导公式计算即可求解；
（3）根据三角恒等变换的化简计算即可求解.
【详解】（1）因为圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，
所以．
所以．
（2）原式 ．
（3）由（1）知，，且为锐角，
所以，．
所以
．
1．(22-23高一下·北京中关村中学·期中)下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A错误；
对于B，函数的最小正周期为，但在上单调递减，故B错误；
对于C，函数的最小正周期为，在上单调递增，故C正确；
对于D，函数的最小正周期为，故D错误.
故选：C.
2．(24-25高一下·北京中关村中学·期中)下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，逐项判断即可.
【详解】对于A，最小正周期为，不满足最小正周期为，故A错；
对于B，最小正周期为，但，所以是偶函数，非奇函数，故B错误；
对于C，最小正周期为，不满足周期，故C错误；
对于D，定义域为R，最小正周期为，满足最小正周期为，
又，是奇函数，故D正确．
故选：D.
3．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数最小正周期计算公式对选项逐一分析即可得出结论.
【详解】易知的最小正周期为，的最小正周期为；
而的最小正周期为，的最小正周期为.
故选：D
4．(24-25高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性与周期性判断即可.
【详解】是偶函数，但不是周期函数，故A错误；
是偶函数，最小正周期为，故B错误；
是偶函数，最小正周期为，故C正确；
是奇函数，最小正周期为，故D错误.
故选：C
5．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)对于函数，给出下列四个命题：
①该函数的最小值为；
②该函数是以为最小正周期的周期函数；
③当且仅当（）时，该函数取得最大值；
④当且仅当（）时，．
其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】②④
【分析】作出函数的图象，结合函数图象逐一判断各个命题即得.
【详解】依题意，，
则，
，因此函数为周期函数，是的一个周期，
作出函数的图象（图中实线），如图：
观察函数图象，得：
对于②，函数的最小正周期为，②正确；
对于①，函数的最小值为，①错误；
对于③，当且仅当或时，函数取得最大值，③错误；
对于④，当且仅当时，，④正确.
所以所有正确结论的序号是②④.
故答案为：②④
1．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据任意角的三角函数的定义及点A的坐标求出和，再结合求出，进而利用两角差的余弦公式求解结果．
【详解】∵角和的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，，，，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
2．(24-25高一下·北京房山区·期中)________．
【答案】/0.5
【分析】逆用和角的余弦公式求解.
【详解】.
故答案为：
3．(24-25高一下·北京八一学校·期中)在中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解可得结果.
【详解】在中，，，，
所以，，
所以.
故选：C.
4．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正切的和角公式求解，利用弦切互化结合平方关系求,进而计算；
（2）应用余弦二倍角公式结合正弦余弦齐次式，将代入可求，再通过确定的值，最终求出分式结果.
【详解】（1）由 ,可得，
则，
解得，，
（2），
由 可得，
又因为，所以，
由，解得，
所以.
5．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知，且．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)， ；
(2).
【分析】（1）由平方关系得，再由和角正弦公式求，二倍角余弦公式求；
（2）商数关系求正切，再由二倍角正切公式求.
【详解】（1）因为，且，
所以，
所以 ，
所以．
（2）因为，
所以．
1．(24-25高一下·北京房山区·期中)函数的单调递减区间________．
【答案】
【分析】利用辅助角公式及正弦函数的单调性求出减区间.
【详解】函数，
由，解得，
所以所求单调递减区间是.
故答案为：
2．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数满足：对任意，有．
①的最小值为________；
②若恰有三个不同的值，使得在上单调递增，则正数的取值范围是________．
【答案】
【分析】①根据题意要得出，从而可求解出，即可得的最小值；
②根据不同的值作出函数图象，再根据图象去分析区间端点值的范围，最后根据三个的值满足题意，来确定最终的取值范围.
【详解】①因为，且对任意的，
所以，，即，
所以，，则，
因为，故当时，取最小值；
②当时，，作图如下：
则在区间上递增，由于，则，
所以，则有，解得；
当时，，作图如下：
则在区间上递减，由于，则，
所以在不可能递增，故此时不满足题意；
当时，，作图如下：

则在区间上递增，由于，则，
所以，则有，解得；
当时，，作图如下：
则在区间上递减，由于，则，
所以在不可能递增，故此时不满足题意；
当时，，作图如下：

则在区间上递增，由于，则，
所以，则有，解得；
当时，，作图如下：

则在区间上递减，由于，则，
所以在不可能递增，故此时不满足题意；
当时，，作图如下：

则在区间上递增，由于，则，
所以，则有，解得；
综述以上四个不同的值以及满足题意的的取值范围分别是：
当时，；当时，；
当时，；当时，；
由于恰有三个不同的值，使得在区间上递增，
则正数的取值范围是，
故答案为：①；②.
【点睛】方法点睛：利用数形结合，根据不同的值，作出相应的图象，再根据单调区间中必有元素1，根据1这个隐藏条件，再去找到相应的递增区间来求出的取值范围，最后分析仅满足三个不同的值来确定最终的取值范围.
3．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将函数化简得，结合周期公式计算即可；
（2）根据正弦函数性质列式计算即可；
（3）由题意可得当时，，根据正弦函数性质求解即可.
【详解】（1）
（2）令，
解得
函数的单调递增区间为
（3），恒成立，
当即时，，
，即m的取值范围是.
4．(24-25高一下·北京第十五中学·期中)已知函数，函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，求：
(1)的值及的单调递增区间；
(2)在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)，
(2)的最大值为，最小值为
【分析】（1）先将函数化简，由函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为得，再根据正弦函数的单调性求解即可；
（2）方法一：由得，根据正弦函数性质求解即可；方法二：由（1）得函数在上的单调性后求解即可.
【详解】（1）
.
因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，
所以，故，
因为，所以，
因为，
令，
即，
所以的单调递增区间为 .
（2）方法一：
因为，所以，
所以，
当，即时，取最大值，最大值为；
当，即时，取最小值，最小值为.
方法二：
由（1）知的单调递增区间为 ，
同理的单调递减区间为 ，
又因为，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以的最大值为，
又有，所以的最小值为.
5．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求，的值；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的单调递增区间．
条件①：的图象关于点对称；
条件②：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)选①：；选②：.
【分析】（1）根据题意确定振幅和最小正周期即可求得；
（2）①根据函数的对称性求得，即得，利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调递增区间；②根据函数经过的点的坐标可求出，即得，利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调递增区间.
【详解】（1）由题知，，函数的最小正周期．
由，解得．
（2）选择①：由（1）知，．
因为的图象关于点对称，
所以，则得，即，，
因为，所以，故．
由，可得，
故函数的单调递增区间是．
选择②：由（1）知，
依题意，，则有，
即，
因为，所以，故，
由，解得，
故函数的单调递增区间是．
1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)函数的值域是_____．
【答案】
【分析】利用，将原函数化简为，再令，转化为二次函数，即可求解值域．
【详解】因为，所以，
令，可知，则，，
二次函数图象开口向下，对称轴为，
当，，
当，，即函数的值域为．
故答案为：.
2．(24-25高一下·北京房山区·期中)已知函数，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】C
【分析】利用二倍角的余弦公式变形函数，再由含正弦的二次函数求出最值.
【详解】函数，
而，则时，，当时，.
故选：C
3．(24-25高一下·北京房山区·期中)若函数的最小值为，则常数的一个取值为________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由三角函数的有界性得到同时成立，不妨令，求出即可.
【详解】因为，
要想的最小值为，
需要同时成立，
由得到，，
不妨取，则，解得：，
取，得.
故答案为：（答案不唯一）
4．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知：
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数的图象相邻的两个对称轴之间的距离为；
条件③：函数的图象可由函数的图象平移得到.
(1)求的解析式；
(2)若在区间上的最大值为2，求的最小值.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简得，若选①，将点代入求得，可得答案；选②，由函数的最小正周期可确定，可得答案；选③，根据三角函数图象的平移变化规律可得，可得答案；
（2） ，根据函数最值和单调性求解即可
【详解】（1）由题意得，，
选①：由条件：，即，
，
选②：由条件： 又
选③：的图象可由函数的图象平移得到
的周期与的周期相同
的周期，则的周期
（2）
，即
5．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的最大值和最小值，并求出对应的值：
(3)若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）由三角恒等变换将原式转化为，再求周期即可；
（2）正体代入结合正弦函数的单调性求解可得；
（3）求出正弦函数的递增区间，再由集合间的包含关系可解.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期为.
（2）当，，
所以当即时，最大值；
当即时，最小值.
（3）当，即时，
函数为递增函数，
又在区间上单调递增，
所以应为函数递增区间的子集，即，
取，所以.
1．(24-25高一下·北京理工大学附属中学·期中)设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】是函数最小值，是函数最大值，因此的最小值为周期的一半，由此可得．
【详解】由题意f(x)的周期，
对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则是函数最小值，是函数最大值，因此的最小值为周期的一半，
∴|x1－x2|min＝2.
故选：B．
2．(24-25高一下·北京八一学校·期中)已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】若，则可得出，即可求出为偶函数；若为偶函数，则利用偶函数的性质可得，得到答案.
【详解】若，则，
则（舍）或，
则，则，
若为偶数，则为偶函数，
若为奇数，则为偶函数；
综上，充分性成立；
若为偶函数，则，必要性成立；
故“”是“为偶函数”的充分必要条件.
故选：C
3．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)关于函数，给出下列三个命题：
①是周期函数； ②曲线关于直线对称；
③最大值为2； ④在区间上给有3个零点．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由即可判断①，验证与是否相等即可判断②，由二倍角的余弦公式有即可判断③，令解得或求出即可判断④.
【详解】由，故①正确；
，
，
所以，故②正确；
，当时，，故③正确，
由，令得或，
当时，，当时，解得或，
所以在区间上给有3个零点，故④正确，
故选：D.
4．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)已知函数，则的对称轴方程为__________；将的图象向左平移个单位得到函数，若的最大值是一个小于1的正数，则符合条件的一个__________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】对于对称轴方程，利用正弦函数对称轴的性质求解；对于图象平移，根据平移规律得到的表达式，再求出，最后根据的最大值的条件确定的值.
【详解】对于正弦函数，其对称轴方程为.
令，解得.
所以的对称轴方程为.
将的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，可得.
根据两角和差公式，可得：.
因为的最大值是一个小于的正数，而的取值范围是，所以的最大值为.
则，即.
取时，，满足.
故答案为：；（答案不唯一）
5．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知函数．
(1)求函数的周期和其图像的对称轴方程；
(2)当时，求的值域．
【答案】(1)最小正周期为，对称轴为
(2)
【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程.
(2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域.
【详解】（1），
所以；
令，解得．
（2）因为，所以
从而可知，
因此，故所求值域为．
1．(24-25高一下·北京第十九中学·期中)函数的定义域为__________．
【答案】
【详解】由，得，解得，
又，
∴
∴函数的定义域为．
答案：
2．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)下列说法中不正确的是（ ）
①不等式的解集是
②函数的最小值是2
③“恒成立”的充要条件是“”
④若，则等于2．
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②
【答案】D
【分析】①解不等式即可判断；②构造函数，结合对勾函数的单调性求解判断即可；③根据一元二次不等式恒成立分和两种情况讨论求解即可；④根据两角和的正切公式求解判断即可.
【详解】①由，得，则，
解得，所以①错误；
②令，则，即，
由于在上单调递增，所以，
则的最小值不是2，所以②错误；
③恒成立，
当时，不等式为，恒成立；
当时，有，解得.
综上所述，“恒成立”的充要条件是“”，所以③正确；
④由，则，
即，
则
，所以④正确.
故选：D.
3．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像；
(3)求函数的单调递减区间；
(4)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据图像确定，从而可求出，再代入一点求即可；
（2）依据函数平移和伸缩变换的原则按步骤变换即可；
（3）根据整体代入法求的单调递减区间即可；
（4）根据确定的范围，解出的范围即可.
【详解】（1）由已知图象得，
，则，所以，
因为，所以，
又因为，所以，即．
（2）先将函数的图像上所有的点向右平移个单位，
就可得到的图像，
把图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，就可得到的图像，
把图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可得到的图像．
（3）因为
所以
所以的单调递减区间为．
（4）因为，所以，
所以，
解得：，
所以不等式的解集是．
4．(24-25高一下·北京师范大学附属中学·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最小值，并写出当取最小值时的取值集合；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)最小值为，
(3)
【分析】（1）利用两角和差正弦公式、辅助角公式化简，根据正弦型函数的周期性可得结论；
（2）令即可求得最小值和的取值；
（3）将不等式化为，结合正弦函数的图象与性质可求得结果.
【详解】（1），
的最小正周期.
（2）当，即时，取得最小值，
即，此时的取值集合为.
（3）由得：，
，解得：，
的解集为.
5．(24-25高一下·北京交通大学附属中学·期中)已知函数.
(1)填写表格，并用“五点作图法”在平面直角坐标系上作出函数在上的图象；
0
x
1 0
(2)直接写出它的对称轴和对称中心；
(3)设，求不等式的解集.
【答案】(1)填表见解析，作图见解析
(2)对称轴为，，对称中心为，.
(3)，
【分析】（1）根据五点作图法完善表格，画出函数图象；
（2）由正弦函数的性质计算可得；
（3）由，结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，
0
0 1 0 0
画出函数在上的图象如下所示：
（2）因为，
令，，则，，
所以的对称轴为，，
令，，则，，
所以的对称中心为，；
（3）由，可得，，
解得，，
故不等式的解集为，.
1．(24-25高一下·北京广渠中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，其中A，B是直线与曲线的两个相邻交点.若，则______，______.
【答案】 2
【分析】先根据|MN|与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求.
【详解】已知，是直线与曲线的两个相邻交点，且.
设则.
且，则，则，同理，
因此.解得.
因为函数的图象过点，可得，
所以，，则，.
由于，则，那么.
将代入可得：.
故答案为：2； .
2．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)已知函数（，）的图象如图所示，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的图象可得周期为，进而计算可求得的值.
【详解】法一：因为函数的图象过点，所以，即，
又，所以.
函数的图象过点，所以，
又由图可知，，所以，，
所以，解得.
法二：根据五点法可知，函数的图象过点，，
所以，即，故，
故选：C.
3．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)如图，直线与函数, 的图象在上从左到右依次交于点A,B,C,D．给出下列四个结论：
①；
②当时，；
③不等式的解集为；
④若，则m的取值范围是．
其中所有正确结论的序号为________．
【答案】①③④
【分析】对于①，根据正弦函数的对称性得到，且，从而，对于②，首先得到，根据正弦函数的性质和图像分析得到，，作出判断；对于③，，结合，利用两角和差公式得到，其中，所以，所以，解不等式即可；对于④，先得到，同②方法，得到时，和时，，结合单调性得到④正确..
【详解】对于①，函数，，两函数周期均为，
两函数均可以由向左平移得到，又，
故点在的图象上，点在的图象上，
又，即，
且，从而，①正确.
对于②，时，令，
所以，
中，令，
且点在上点右侧的单调递减区间上，
故，解得，
中，令，
且点在上点右侧的单调递增区间上，
故，解得，
故，所以②错误；
对于③，，即，
因为，，
利用两角和差公式得到，
因为，，所以，所以，
所以，所以，，
解得，③正确.
对于④，由对称性可知，，
，即，所以，
当时，令，
所以，
中，令，
且点在上点右侧的单调递减区间上，
故，解得，故，
中，令，
且点在上点右侧的单调递增区间上，
故，解得，
故，此时，
当时，令，
所以，
中，令，
且点在上点右侧的单调递减区间上，
故，解得，故，
中，令，
且点在上点右侧的单调递增区间上，
故，解得，
故，此时，
又随着的增大，减小，增大，变小，即单调，
所以取值范围是，④正确.
故答案为：①③④
4．(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)如图为函数的部分图象.
(1)直接写出函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值；
(3)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上恰有1个实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）根据图象，利用五点作图法的关键点，即可求解；
（2）令，再由的图象与性质，即可求解；
（3）令，则，根据正弦函数图象，结合条件，数形结合，即可求解.
【详解】（1）由图知，五点作图法的第二个点和第三个点分别为，
则，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，令，
所以，故函数在区间上的最大值为，最小值为.
（3）由题知，又在上恰有一个实数根，
令，则的值域为，且，结合正弦函数图象，知道
方程在上恰有1个实数根，即交点为1个，则实数的取值范围为.
5．(24-25高一下·北京中央民族大学附属中学（朝阳）·期中)已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)写出函数的单调递增区间；
(3)求函数，的值域．
【答案】(1)
(2)，，
(3)
【分析】（1）结合函数的最值，周期，以及最高点，确定函数解析式中的参数，即可求解；
（2）利用代入法，得，即可求解函数的单调递增区间；
（3）代入求的范围，结合三角函数的图象和性质，即可求解函数的值域.
【详解】（1）由图可知，，，得，
，得，且，
所以，
所以；
（2），
令，，
解得：，，
所以函数的单调递增区间是，，
（3），
若，，所以的值域是.
1．(23-24高一下·北京中央民族族大学附属中学·期中)要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得.
【详解】，
故要得到函数的图象，
只需将的图象向左平移个单位长度.
故选：A.
2．(23-24高一下·北京第一中学·期中)为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】函数，根据图像左加右减的变换原则，
只需把函数的图象向左平移个单位长度，
即可得到函数的图象，
故选：．
3．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)在平面直角坐标系内，将点向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，所得的点均位于函数的图象上.请写出满足上述条件的一个点的坐标__________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题设有，进而得到，，即可得.
【详解】由题设，则，，
所以，，故满足条件一个点坐标为.
故答案为：（答案不唯一）
4．(24-25高一下·北京房山区·期中)要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的
B．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍
C．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的
D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍
【答案】A
【分析】根据三角函数图象的变化规律即可求解.
【详解】对于A，向左平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的得到，故A正确；
对于B，向左平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故B错误；
对于C，向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的得到，故C错误；
对于D，向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故D错误.
故选：A
5．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是__________.
【答案】/
【分析】利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数为偶函数可得出关于的等式，即可得出的最小值.
【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
可得到函数的图象，
再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，
因为函数为偶函数，则，可得，
故当时，取最小值.
故答案为：.
1．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)已知函数，若关于的方程在区间上有且仅有个不相等的实数根，则正整数的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得，由可求出的取值范围，根据题意可得出关于的不等式，求出的取值范围，即可得出正整数的值.
【详解】由可得，
当时，，
因为关于的方程在区间上有且仅有个不相等的实数根，
则，即，故正整数的取值为.
故选：C.
2．(23-24高一下·北京十一学校·期中)已知函数过原点.
(1)求的值；
(2)求函数在上的零点；
(3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据.
0
0 1 0 0
【答案】(1)
(2)，，
(3)表格见解析
【分析】（1）直接将点的坐标代入即可得结果；
（2）由（1）的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点；
（3）根据五点法作图完善表格.
【详解】（1）依题意，，即，即，
所以.
（2）由（1）知，，由，得，
当时，，则或或，
解得或或，
所以函数在上的零点为，，.
（3）根据“五点法”作图，填表如下：
0
0 1 0 0
3．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)已知函数．
(1)化简函数的解析式和最小正周期；
(2)求函数在上的最值，并写出相应的值；
(3)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)，最小正周期为；
(2)当时，取最小值1；当时，取最大值2；
(3)或.
【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式及辅助角公式对函数的解析式进行化简，利用三角函数的周期公式求出最小正周期；
（2）利用三角函数的性质求解最值及相应的x值；
（3）根据三角函数图象变换规律求出，把所求问题转化为函数，的图象与直线的交点问题，数形结合可得答案.
【详解】（1）
，
∴，最小正周期为.
（2）当时，，
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值.
（3）将函数的图象向左平移个单位，得到函数，
由方程得，即，
当时，，
∴当或，即或时，取最大值1；
当，即时，取最小值.
作出函数，的图象及直线，
由图可知，当或，即或时，函数，的图象与直线有两个交点，
此时方程在有两个不相等的实数根，
所以或.
4．(24-25高一下·北京第十五中学·期中)已知向量， 设函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的零点.
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）利用三角恒等变换公式和辅助角公式化简表达式即可求解；
（2）方法一，由已知可得，令，利用正弦函数的性质求解即可.方法二：令，利用正弦函数的性质求得所有零点，进而求得符合条件的零点.
【详解】（1）=
.最小正周期.
所以最小正周期为.
（2）方法一：，当时，，
令，
则或，
所以或.
所以函数在上的零点为和.
方法二：
令，则，
所以，
因为，所以或.
所以函数在上的零点为和.
5．(24-25高一下·北京第五中学·期中)设函数，
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数在是增函数，直接写出实数的最大值；
(3)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用两角和差公式以及辅助角公式化简，再利用周期公式计算即可；
（2）先求出的单调增区间，再令即可；
（3）先求出的范围，再结合正弦函数的图象可得.
【详解】（1）
，
所以的最小正周期为.
（2）令，则，
令，则；令，则；
令，则；
若函数在是增函数，则，
则的最大值为.
（3），
因为，则当时，，
结合正弦函数的图象可知，为使在上恰有两个零点，则，
解得，
则的取值范围为.
1．(24-25高一下·北京八一学校·期中)设函数（，）．
(1)若，求的值；
(2)若直线和直线是的两条相邻的对称轴，求的解析式及的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)；单调递增区间为
(3)
【分析】（1）由题意可得，再由，即可得答案；
（2）由题意可得，可得，再根据一条对称轴为，可得，即可得函数的解析式，再求函数的单调区间即可；
（3）由，可得，分、及，分别代入，求解即可.
【详解】（1）因为，即，又因为，所以；
（2）因为直线和直线是的两条相邻的对称轴，
所以，所以，即，解得，
又是的一条对称轴，所以，，
解得，，
又，所以，所以；
由，，解得，，
所以函数的单调递增区间为；
（3）当时，，
所以，则函数，
当时，恒成立；
当时，，所以只需，解得；
当时，，所以只需，解得；
综上，．
2．(24-25高一下·北京第一六一中学·期中)某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 2 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将图象上所有点向左平行移动（）个单位长度，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值；
(3)对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
0
x
0 2 0 0
(2)
(3)
【分析】（1）根据“五点法”作图可对表格补全，写出解析式；
（2）根据平移得到，再把对称中心代入可求即可得到最小值；
（3）根据题意得到的值域，再进行换元转化为二次函数恒成立性问题，利用二次函数根的分布可求m的取值范围.
【详解】（1）表格补全如下
0
x
0 2 0 0
（2）将图象上所有点向左平行移动（）个单位长度，得到，
又图象的一个对称中心为，
所以，解得，
因为，所以的最小值为.
（3），，，
，即在上恒成立，所以
解得，
所以m的取值范围.
3．(24-25高一下·山东烟台·期中)已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的值及函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2)
【分析】（1）借助三角恒等变形来整理，利用周期性来求，结合正弦函数的单调增区间，即可求出该函数的单调递增区间；
（2）利用图象的变换求出函数的解析式，再通过定义域求出值域，从而来找到满足不等式恒成立的条件，最后可求解的取值范围.
【详解】（1）由，
由其图象的相邻两条对称轴间的距离为，可知最小正周期为，
因为，所以，即，
由，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度可得，，
再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
即，
对任意的，有，此时，
此时有，
要使得不等式恒成立，则只需要满足，解得或，
故实数的取值范围这.
4．(24-25高一下·北京丰台区·期中)已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若在区间上恒成立，求的最小值；
(3)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再令即可求解；
（2）先求出，再结合正弦函数图象可得即可；
（3）先根据的范围得出的值，再根据两角和差的正弦公式计算即可.
【详解】（1）
令，得，
所以的单调递减区间为 .
（2）因在区间上恒成立，则在区间上恒成立，
因为，则，
结合正弦函数图象可得，得，
所以的最小值为.
（3）因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
.
5．(24-25高一下·北京陈经纶中学·期中)已知函数的一个零点为．
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若对恒成立，求的最大值和的最小值．
【答案】(1)，最小正周期为
(2)的最大值是；的最小值是1
【分析】（1）现有条件求出值的解析式，再运用降幂公式和辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求得的最小正周期；
（2）先由给定区间求出的范围，结合正弦函数的图象，求得其值域，分析函数取最值时自变量的值，即可求出的最大值和的最小值.
【详解】（1）由题设，化简得
解得．
故
则的最小正周期为；
（2）由，可得．
故得，即．
当，即时，取得最大值1；
当，即时，取得最小值．
由对恒成立，可得，且．
即的最大值是，的最小值是1．
1．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数的一个零点为．
(1)求a的值及在上的值域；
(2)若存在唯一一组实数，使得，求m的取值范围．
【答案】(1)，值域为
(2)
【分析】（1）由零点计算可得，再由三角恒等变换利用整体代换计算可得在上的值域；
（2）分别求出时所有满足题意的解集，再结合唯一性可知m的取值范围．
【详解】（1）易知，解得；
所以
；
因为，所以；
所以，；
故在上的值域为.
（2）因为在R上的值域为，
所以若使得，则与同为2或同为；
若，可得，解得；
若，可得，解得；
由题可知若，则
若，则
由唯一性，当且仅当，时合题，故
2．(24-25高一下·北京第五十七中学·期中)已知下列三个条件：条件①：的图象关于直线对称；条件②：的图象过点；条件③：在区间上单调递增．从这三个条件中选一个作为已知条件，填在下面的横线处，并解答下列问题.
已知函数的最小正周期为，_______.
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)若关于的方程在上恰好有20个根，请直接写出实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合周期公式即可求解；
（2）若选择条件①，根据的对称性及求得，从而，利用两角和差的正余弦公式得，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可；
若选择条件②，根据已知得，则，即，
结合求得，从而，利用两角和差的正余弦公式得，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可；
若选择条件③，根据正弦函数周期性及单调性得当时，取得最大值，进而求得，结合求得，从而，利用两角和差的正余弦公式得，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可；
（3）根据已知及两角和差的正弦公式化简方程得，求出的解集，结合在上恰好有20个根及正弦函数的性质分析参数范围．
【详解】（1）因为函数的最小正周期为，
所以；
（2）若选择条件①，因为的图象关于直线对称，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值；
若选择条件②，
因为的图象过点，所以，
所以，即，
又因为，所以，所以，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值；
若选择条件③，
因为函数的最小正周期为，所以，
因为在区间上单调递增且，
所以当时，取得最大值，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值；
（3）由（2）可知，
所以方程等价于等价于，
即，
则或，，
得或，．
由，时，；时，；
；时，．
所以，即的取值范围是.
3．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知函数.
(1)若，求的值；
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值.
条件①：；条件②：；条件③：在区间上至少2个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)选条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）根据已知条件，代入解析式运算得解；
（2）若选条件①，根据正弦函数的性质知不合题意；若选条件②，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出，再结合可求出；若选条件③，由，在区间上至少2个零点，可得，又在上单调递增，可得，则，后面解法与条件②相同.
【详解】（1）由，得，所以，又，所以.
（2）因为，所以的最大值为，最小值为，
若选条件①，因为的最大值为，最小值为，所以无解，
所以条件①不能使函数存在；
若选条件②，因为在上单调递增，且，，
所以，解得，，
所以，又，所以，
又，所以，所以，.
若选条件③，因为，在区间上至少2个零点，所以，
又因为在上单调递增，所以，即，所以，
所以，所以，
又，所以，
又，所以，所以，.
4．(23-24高一下·北京交大附中·期中)已知函数，且图像的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件① 条件② 条件③中选择两个作为一组已知条件.
(1)确定的解析式；
(2)设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立？若存在，求实数的取值范围：若不存在，请说明理由.
条件①：的最小值为；
条件②：图像的一个对称中心为；
条件③：的图像经过点.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选①②，②③，①③答案都为，
(2)存在满足条件，的取值范围为.
【分析】（1）先根据已知求出的最小正周期，即可求解，
选条件①②：可得的最小值为，可求．根据对称中心可求，即可得解函数解析式；
选条件①③：可得的最小值为，可求．根据函数的图象过点，可求，可得函数解析式；
选条件②③：根据对称中心可求，再根据函数的图象过点，可求的值，即可得解函数解析式．
（2）求出函数，在上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.
【详解】（1）由于函数图像上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，
所以，
此时.
选条件①②：
因为的最小值为，所以．
因为图象的一个对称中心为，
所以，
所以，，
因为，所以，此时，
所以．
选条件①③：
因为的最小值为，
所以．
因为函数的图象过点，
则，
所以，即．
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
选条件②③：
因为函数的一个对称中心为，
所以，
所以．
因为，所以，此时．
所以．
因为函数的图象过点，
所以，
所以，，
所以，
所以．
综上，不论选哪两个条件，.
（2）由（1）知，，由得：，
，因此，
由得：，，
因此，从而，
由得：，
假定存在实数，使得对，，成立，
即存在实数，使得对，，成立，则，
于是得，解得，
因此存在实数，使得对，，成立，
所以实数的取值范围是.
5．(23-24高一下·北京第十四中学·期中)设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
1．(24-25高一下·北京第五十七中学·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有________
①．h关于t的函数解析式为
②．点P第一次到达最高点需用时5秒
③．P再次接触水面需用时10秒
④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
【答案】①②③
【分析】根据已知代入点计算得出解析式判断①，再根据函数值得出自变量判断②，再根据周期计算判断③，计算函数值判断④.
【详解】由题可设函数，
其中，所以，
时，，解得，因为，所以，
所以，①正确；
由①可知点P第一次到达最高点需用时秒，②正确；
由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），③正确；
当时，，点P距水面的高度为2米，④错误．
故答案为：①②③.
2．(24-25高一下·北京房山区·期中)我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（ ）
（参考数据，，，，．）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，列式计算出，再由计算即可.
【详解】由，且天顶距，晷影长，得，
当晷影长度时，，所以.
故选：B
3．(24-25高一下·北京第十四中学·期中)如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据大风车旋转的周期求出角速度，再通过大风车的半径、最低点离地面的高度等条件确定函数中的参数、、，进而得到与的函数关系.
【详解】已知大风车每旋转一周，根据周期的定义可知其周期.
由角速度与周期的关系，将代入可得：.
设.
因为大风车的半径为8m，最低点离地面2m，所以当翼片端点在最高点时，离地面的距离为；当翼片端点在最低点时，离地面的距离为2m.
当在最高点时，，此时取得最大值，即；
当在最低点时，，此时取得最小值，即.
联立方程组，将两式相加消去可得：，解得.
把代入，可得，解得.
所以此时函数为.
因为的初始位置在最低点，当时，，将，代入中，得到.即.
因为，且，所以，，取，则.
将代入中，可得.
则.
该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是.
故选：D.
4．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)如图，市政改造工程要在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
(1)求曲线段的解析式和的大小；
(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，若矩形的面积记为，求的解析式，并求的最大值以及相应的值．
【答案】(1)曲线段的解析式为，
(2)；当时，取得最大值
【分析】（1）由题意可得，，即可求出，从而可得曲线段的解析式，令时，可得的值，根据几何知识求；
（2）根据题意可得，利用三角恒等变换化简可得；根据正弦函数的有界性分析求解即可.
【详解】（1）由题意可得：，即，
且，则，
所以曲线段的解析式为，
当时，，
又因为，则，
可知锐角，所以；
（2）由（1）可知，，且,
则，
可得，
则
；
因为，则，
可知当，即时，，
所以当时，取得最大值．
5．(24-25高一下·北京八一学校·期中)声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为和，满足．已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．
①；②；③；④．
则，两种声波的数学模型分别是______．（填写序号）
【答案】②③
【分析】由4个函数的周期和的周期之间的关系，结合函数图象并应用特值法排除，即可得.
【详解】由、、、的最小正周期依次为，
由图知的最小正周期为2，则或，
对于，有，与图象不符，
综上，，即为②③的组合.
故答案为：②③
1．(24-25高一下·北京第十九中学·期中)对于分别定义在D1、D2上的函数，以及实数，以及实数若存在，使得，则称函数与具有关系．
(1)若；，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若与具有关系，求的取值范围；
(3)已知，为定义在R上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有．
试证明与不具有关系．
【答案】(1)与具有关系，理由见解析；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1），，故，故与具有关系；
（2）求出，，，，
所以的取值范围为；
（3）为定义在R上的奇函数，故在上，当且仅当时，取得最小值为-1，并得到的一个周期为，得到，，此时有，若，，此时有，假设，整理得，方程无解，故，故不存在，使得，得到结论.
【详解】（1）与具有关系，理由如下：
时，，，
当时，，当时，，
故，故与具有关系；
（2），
，
因为，则当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，为，
所以，
由于，故，，
所以的取值范围为；
（3）不具有关系，理由如下：
因为在上，当且仅当时，取得最大值为1，
又为定义在R上的奇函数，
故在上，当且仅当时，取得最小值为-1，
且，
对任意，有，故，
所以的一个周期为，
所以的值域为，又，，
当时，，时，，
若，则，，此时有，
当时，，时，，
若，则，，此时有，
假设，整理得，
因为，所以，故上式无解，
由于，所以，
故不存在，使得，
所以与不具有关系.
2．(23-24高一下·北京延庆区·期中)对于集合和常数，定义：为集合相对于的“正弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对于的“正弦方差”；
(2)若集合，写出一个的值，使得集合相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出这个常数，并说明理由；
(3)若集合，相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出，的值．
【答案】(1)
(2)，常数为
(3)或，
【分析】（1）根据集合相对的“正弦方差”的定义及诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据集合相对的“正弦方差”的定义及二倍角余弦公式两角和差的余弦公式即可求解；
（3）根据集合相对的“正弦方差”的定义及三角恒等变换即可求解.
【详解】（1）当集合，时，集合相对的“正弦方差” .
（2）当时，集合，集合相对的“正弦方差”为
.
此时集合相对于任何常数的“正弦方差”为常数.
（3）当集合时，集合相对的“正弦方差”为
，
要使得上式对任何常数是一个常数，则，
故可得，整理得，则或，，又，，
所以或，，
即或，.此时这个常数为.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“正弦方差”的定义的理解和利用三角恒等变换的运算能力.
3．(23-24高一下·北京中关村中学·期中)对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系.
(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若与具有关系，求的取值范围；
(3)已知，为定义在上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有.
判断与是否具有关系，并说明理由.
【答案】(1)与具有关系，理由见解析
(2)；
(3)不具有关系，理由见解析
【分析】（1）根据三角函数的性质可得，结合新定义即可下结论；
（2）根据三角函数与二次函数的性质可得、，则，结合新定义即可求解；
（3）根据函数的对称性和周期性求出、、的值域. 当、时，有；当、时，有，进而，结合新定义即可下结论.
【详解】（1）与具有关系，理由如下：
当时，，，
当，，当时，，
此时，
则与具有关系；
（2），
，
因为，则当时，，则，
所以，
则；
（3）不具有关系，理由如下：
因为在上，当且仅当时，取得最大值1；
又为定义在上的奇函数，
故在上，当且仅当时，取得最小值-1，
由对任意，有，
所以关于点对称，
又，
所以的周期为，故的值域为，，，
当时，，；
时，，，
若，则，，
此时有；
当时，，；
时，，，
若，则，时，
有；
由于，
所以，
故不存在，，使得，
所以与不具有关系.
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质.
4．(23-24高一下·北京房山区·调研)已知，都是定义在上的函数，若存在实数，使对任意都成立，则称为，在上生成的函数．
(1)判断函数是否为，在上生成的函数，说明理由；
(2)判断函数是否为，在上生成的函数，说明理由；
(3)若为，在上的一个生成函数，且，，的最小值为，，求的解析式．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不是，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式结合生成函数的定义，判断并证明；
（2）利用反证法判断并证明结论；.
（3）存在实数使得对任意恒成立，由的最小值为和，求出实数的值即可.
【详解】（1）函数是，在上生成的函数，
理由如下：因为，
存在实数 ，使，
所以函数是，在上生成的函数.
（2）函数不是，在上生成的函数.
理由如下：假设函数是，在上生成的函数，
则存在实数，使得对任意都成立.
当时，；
当时，，得；
当时，左边，，等式不成立.
与对任意都成立矛盾.
所以函数不是，在上生成的函数.
（3）若为，在上的一个生成函数，
则存在实数，使得对任意恒成立.
因为，所以 ① .
因为，，且，，所以.
当时取等号（当且仅当时取等号）.
的最小值为，即②，
由①②可得，所以.
5．(22-23高一下·北京西城区·期末)对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数．
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；②．
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且．
【答案】(1)①否；②是
(2)，．
(3)，证明见解析
【分析】（1）验证是否成立即可；
（2）根据，正弦函数的周期即可推出所满足的表达式；
（3）根据阶梯函数的定义，先找出的性质，然后确定在一个周期上的零点情况，从而推广得到上零点的情形
【详解】（1），则；，则，故①否；②是.
（2）因为为阶梯函数，所以对任意有：
．
所以，对任意，，
因为是最小正周期为的周期函数，
又因为，所以，．
（3）．
函数，则有：
，
．
取，则有：
，，
由于在上单调递减，因此在上单调递减，
结合，则有：
在上有唯一零点，在上有唯一零点．
又由于，则对任意，有：
，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，．
综上所述，存在，使得在上有4046个零点：
，，，，…，，，
其中，．
【点睛】本题考察的是函数新定义的理解，正确反复的使用新定义去研究抽象函数表达式所满足的关系是解决第三问的关键.
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