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专题05 期中压轴题
5大高频考点概览
考点01平面向量
考点02三角函数
考点03解三角形
考点04函数及其性质
考点05复数
(
考点01
平面向量
)
1．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为__________．
2．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）如图所示，在中，，，，，．
(1)求的值．
(2)线段上是否存在一点，使得 若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(3)若是内一点，且满足，求的最小值．
3．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．

(1)若向量，求．
(2)已知向量，，证明：．
(3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，．
①证明：有且只有一个零点．
②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，）
(
考点02
三角函数
)
4．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）已知函数，值域为，则下列选项错误的是（ ）
A． B．的图像关于直线对称
C．的最大值为1 D．
5．（24-25高一下·武汉七校·期中）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·湖北·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C．[3，5] D．
7．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）（多选）函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，则的可能值所在的区间有（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）（多选）将函数，（，，）的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的对称中心为
C．若，则x的取值范围为
D．若方程在内恰有两个根，则
9．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是.结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的是（ ）
A．是函数（）的对称中心
B．函数在区间上单调递增，满足题意的的值组成集合，则
C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度小
D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉
10．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）已知函数.
(1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
(
考点03
解三角形
)
11．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
13．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则为直角三角形
B．若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为锐角三角形
14．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）在平面四边形中，，，，则的取值范围是________.
15．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为______．
16．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，且．
(1)求角B的大小．
(2)求的取值．
17．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）在非钝角中，角，，所对的边分别为，，.
(1)证明：；
(2)若，.
（Ⅰ）求的取值范围.
（Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围.
18．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求边长的最大值；
(3)若的面积为，且，求面积的取值范围.
19．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
(1)若，且，求A和；
(2)若求的值．
20．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向．
(1)求二桥CD的长度．
(2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值．
21．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点P即为费马点．已知分别为三内角的对边，，点P是的“费马点”．
(1)求角A；
(2)若，求的周长；
(3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围．
(
考点04
函数及其性质
)
22．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数．
(1)已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数．
(2)若，，且为型函数．
①证明：；
②若，对于，，求a的取值范围．
(
考点05
复数
)
23．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．
(1)试将写成三角形式（辐角取主值）；
(2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求；
(3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值．
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专题05 期中压轴题
5大高频考点概览
考点01平面向量
考点02三角函数
考点03解三角形
考点04函数及其性质
考点05复数
(
考点01
平面向量
)
1．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】先通过题意将用表示出来，然后代入投影向量的定义式中求模长，通过化简发现可以化简为关于的不等式，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意可得
，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：.
2．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）如图所示，在中，，，，，．
(1)求的值．
(2)线段上是否存在一点，使得 若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(3)若是内一点，且满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可；
（2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参；
（3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可．
【详解】（1），
，
．
（2）设，
，
，
，，
，解得，
∴存在一点，使得，．
（3），
∴，
，
，
，
，
，，三点共线，
，
当且仅当时，即为中点时等号成立，
而，
所以的最小值为．
3．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．

(1)若向量，求．
(2)已知向量，，证明：．
(3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，．
①证明：有且只有一个零点．
②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，）
【答案】(1)
(2)证明解析.
(3)，理由见解析
【分析】（1）（2）直接利用提干信息进行计算；
（3）①先化简出，然后分别讨论在，，三个区间的正负，然后利用零点存在定理判断零点是否存在以及有多少个；
②利用①将化成，从而根据的范围判断与的大小.
【详解】（1）因为向量，所以，又因为，，
所以，
所以.
（2）因为向量，，所以，，
所以
化简得.
（3）①由（2）得，
化简得，
所以，
当时，单调递增，因为，
又因为，，所以，
又因为，所以，
由零点存在定理可得，存在，使得，
所以在上有一个零点.
当时，，，所以，
故在上没有零点.
当时，，，
所以，故在上没有零点.
综上可得，有且只有一个零点.
②.
理由如下：在上单调递减，
所以，即，所以.
【点睛】方法点睛：在证明函数零点时，我们常用零点存在定理：
如果一个函数在闭区间上连续，并且满足，那么在区间内至少存在一个点，使得.
如果一个函数在闭区间上连续且单调，并且满足，那么在区间内有且仅有一个点，使得.
(
考点02
三角函数
)
4．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）已知函数，值域为，则下列选项错误的是（ ）
A． B．的图像关于直线对称
C．的最大值为1 D．
【答案】D
【分析】先利用同角三角函数关系和换元法得到，，A选项，当时，，由函数单调性求出最值，得到值域；B选项，计算出，B正确；C选项，，故；D选项，化简得到，由单调性求出最值，得到值域.
【详解】因为，所以，
令，则，.
A选项，当时，，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
，故正确；
B选项，因为，
所以的图像关于直线对称，故B正确
C选项，因为，所以，所以，
，故，当且仅当或时，等号成立，
所以的最大值为1，故C正确.
D选项，当时，，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
故，故D错
故选：D
5．（24-25高一下·武汉七校·期中）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式得出，根据题意出函数的最小正周期，可求出的值，解题中的方程得出或，分析可知函数在区间上有两个不等的零点，分析函数的单调性，可出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为
，
因为曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为.
所以函数的最小正周期为，可得，即，
由可得，
解得或，
当时，，
由可得，可得，解得，
所以方程在上只有一个解，故方程在上有两个不等的解，
令，
由可得，由可得，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，
由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B
6．（24-25高一下·湖北·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C．[3，5] D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.
【详解】由题意可得：
，
即是上的“完整函数”，所以存在，
使得成立；
即存在，使得成立；
又因为，因此，
即在上至少存在两个最大值点，
所以，解得；
当，即时，一定满足题意；
若，因为，，所以，
又易知；
所以只需保证即可，解得，
综上可知．
故选：B．
7．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）（多选）函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，则的可能值所在的区间有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，再逐一验证即可求解．
【详解】因为在上单调递减，
所以，
因为为图象的一个对称中心，
所以①，
因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，
所以②，
②①得，，即，
所以可取，
当时，，，
当时，，在单调递减，符合题意；
当时，，，
又，所以没有符合题意的值，故不合题意；
当时，，，取，
当时，，在单调递减，符合题意；
综上所述，符合题意的，
故选：AC．
8．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）（多选）将函数，（，，）的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的对称中心为
C．若，则x的取值范围为
D．若方程在内恰有两个根，则
【答案】ACD
【分析】先通过图象变换得到，然后利用三角函数的性质，通过整体代入求函数的对称中心和不等式的解集，最后利用整体代换的思想将令，将转化为，得出答案.
【详解】左平移个单位长度
横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍
向下平移个单位长度
所以，即，A项正确.
由得，
即函数的对称中心为，B项错误.
由，得，由三角函数的图象可得
，所以x的取值范围为，C项正确.
令，则，，
若方程在内恰有两个根，，
则即在内恰有两个根，
所以，而，故，
故，D项正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：在三角函数的解题中，我们经常使用整体代换的思想，令解决问题.
9．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是.结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的是（ ）
A．是函数（）的对称中心
B．函数在区间上单调递增，满足题意的的值组成集合，则
C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度小
D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉
【答案】C
【分析】对于A：根据正弦函数的对称中心判断；对于B：观察函数单调性判断；对于C：确定函数周期来判断；对于D：确定函数频率来判断.
【详解】对于A：由正弦函数的对称中心可得是函数（）的对称中心，故A正确；
对于B：由正弦函数的单调性可得当时为递增函数；
当时为增函数；
当时为增函数；
当为增函数，由复合函数的单调性可得原函数在区间上单调递增，
所以当时，，故B正确；
对于C：，即的振幅比的振幅大，又响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小，所以声音甲的响度一定比纯音响度大，故C错误；
对于D：因为，
所以的一个周期为，
假设存在一个为的一个周期，
则，
即，
所以，
因为，，
所以不符合题意，所以的最小正周期为，频率为，
的频率为，，所以声音乙一定比纯音更低沉，故D正确.
故选：C
10．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）已知函数.
(1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围；
（2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围.
【详解】（1）由为偶函数，则，，又，则，
所以，则
，
存在，使不等式成立，则，
所以在上能成立，而，
所以；
（2）由题设，且，则，
所以，
而，则，所以，
对任意的，总存在，使成立，
所以，即，
令，则，故，
当，则在上单调递增，此时，可得；
当，则在上单调递减，此时，可得；
当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得；
综上，.
(
考点03
解三角形
)
11．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
即，
所以，
整理得：，
因为，
所以，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，即，
由，解得：，
因为，
所以，
解得：，
故选：C
12．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由得，得，利用基本不等式运算即可.
【详解】，
,
，
，，
，
，
即，
，
当且仅当时等号成立，
，即的最大值是.
故选：D
13．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则为直角三角形
B．若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为锐角三角形
【答案】BCD
【分析】对A，由已知确定的角平分线与垂直，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得解；对B，根据可得O为的重心，结合判断；对C，由正弦定理角化边得，利用余弦定理可判断，得解；对D，由两角和的正切公式结合条件可得，进而判断得解.
【详解】对于A，因为分别为单位向量，
所以的角平分线与垂直，所以．
又因为，即，因为，所以，
故，所以为等边三角形，故A错误；
对于B，因为，所以O为的重心，
由知O为的外心，故为等边三角形，故B正确；
对于C，由，可得，由正弦定理可得，
所以，因为，所以，则为钝角三角形，故C正确；
对于D，由，
所以，而，故都为锐角，故D正确.
故选：BCD.
14．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）在平面四边形中，，，，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据题意作图，延长，交于，作，分别求出和两个临界位置的长，即可得出的取值范围
【详解】如图所示，延长，交于，作，
由，，可得，
所以点与不重合，点与也不重合，点与不重合，
在中，，，，，
由正弦定理可得，即，
由，解得，
在中，，则，
则是正三角形，解得（此时为临界位置，不能取），
所以的取值范围为.
故答案为：
15．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为______．
【答案】8
【分析】由正弦定理可得，再由三角恒等变换计算可得，利用换元法以及基本不等式计算可得当时取得最小值为8.
【详解】根据正弦定理由，可得，
所以，
即可得，
又因为，可得，
因此，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，
令，可知，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于由题目条件并结合三角恒等变换得出，并求得，由锐角三角形以及基本不等式计算即可.
16．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，且．
(1)求角B的大小．
(2)求的取值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等式将条件方程化简，结合锐角三角形的性质确定角B的大小；
（2）通过余弦定理和三角形面积公式建立边角关系化简可得，进而可得出结果.
【详解】（1）化简可得：，
， 整理得：，
所以，即，
因为，所以.
根据正弦定理可得：则，
又因为，所以，解得，
由于是锐角三角形，所以
（2）由余弦定理：，
所以
利用面积公式： ,代入 得：
，结合余弦定理 ,得：
，即 ,此时三角形为等边三角形, ,
故：
17．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）在非钝角中，角，，所对的边分别为，，.
(1)证明：；
(2)若，.
（Ⅰ）求的取值范围.
（Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算即可证明；
（2）（I）根据正弦定理，由（1），利用三角恒等变换的化简计算可得，结合即可求解；（II）易知，则，作出图形，得函数的零点依次为，，，……，分别代入建立不等式，解之即可.
【详解】（1）
，
即证：；
（2）（Ⅰ）因为，所以，
由正弦定理得，
由（1）得，
在中，知，且，
所以，
解得或.
若，在中，得；
若，在中，此式不成立，
所以，得，即，
由正弦定理，得，又，所以，
因为为非钝角三角形，，得，
由，，得，
所以，得，所以.
（Ⅱ）依题意的最小值为，，∴
在坐标系中大致作图如下；

因为在有且只有一个零点，
则有，，所以
又由图可知，函数的零点依次为，，，……，
①当唯一的零点是时，，解得；
②当唯一的零点是时，，解得；
③当唯一的零点不小于时，，解得，与相矛盾，故舍去.
故的取值范围是或.
18．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求边长的最大值；
(3)若的面积为，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理求出A，再由题意可求解；
（2）由（1）知，由余弦定理和勾股定理得到，在中，利用余弦定理及基本不等式求解；
（3）由余弦定理及面积公式转化为关于正切的三角函数，根据，利用正弦定理和正切函数求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理，得，
又是锐角三角形，所以.
而分别是以为边的等边三角形的中心，
所以，从而.
（2）由（1）知，
在中，设，，
由余弦定理得，即，
故，故，同理，
所以.
而在中由余弦定理有，
.
当且仅当时等号成立，从而，
由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为.
（3）由的面积为知，
在，中分别由余弦定理有
①，
②.
联立①②，消去，
可得.
所以面积，
又，
所以.
从而得面积的取值范围是.
19．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
(1)若，且，求A和；
(2)若求的值．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）根据题意可得，则，即，又，可得，，再在中，利用正弦定理求解；
（2）先根据，得，结合余弦定理可得，由正弦定理可得，在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，，进一步化简即可.
【详解】（1）∵，∴，∵，，
∴，
∴，∴，即，又，
由勾股定理得，则．
在中，设，则，
由正弦定理可得，
所以，化简可得．
综上，，．
（2）
，所以．
在，，中，分别由余弦定理得：
，，，
三式相加整理得：，
由上面可得，
所以，
先求，
在中，由正弦定理可得，
所以，
同理可得，，
所以
再求．
在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，
，，
三式相加可得：，
由（2）可知，所以；
所以
．
20．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向．
(1)求二桥CD的长度．
(2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值．
【答案】(1)2千米
(2)平方千米
【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理解三角形，求出边长可得结果.
（2）利用三角恒等变换表示出面积和之间的关系，根据角度的变化范围可求面积的最大值.
【详解】（1）
如图所示，过点作，过点作，
点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向.
根据题意可知，所以,
由题意得，，
所以，故，
在中，由正弦定理得，即 ，故，
因为，
所以.
在中，，
由正弦定理可得，，解得．
在中，，
由余弦定理可得，解得，
所以二桥的长度是2千米.
（2）
由（1）知扇形所在区域半径，圆心角.
如图，取线段的中点，连接交于，连接．
设.
根据垂径定理可知，故．
在中，由得，，
所以，
则矩形的面积，
由得，
所以当，即时，公园面积的最大值为平方千米．
21．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点P即为费马点．已知分别为三内角的对边，，点P是的“费马点”．
(1)求角A；
(2)若，求的周长；
(3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可.
（2）设，由数量积定义可得，利用三角形面积公式，由得，再结合余弦定理可求出可得周长.
（3）在中，根据余弦定理列方程组求解可得，然后参变分离，利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为，所以可化为，
由正弦定理可得，因为，所以，
因此，，
即，因为．
所以，故．
（2）因为，所以的内角均小于，所以点P在的内部，且，
设，
因为，
整理得：，
由得，
即，
在中，由余弦定理得，即，
则，解得，所以的周长为．
（3）在中，由余弦定理得：
将三个等式左右分别相加，，
由（2）知①，
在中，由余弦定理得，即②，
将①，②代入整理得，，
于是，
从而，，
由题意，当时，不等式恒成立，
即在上恒成立．
因为，当且仅当时等号成立，故，
即实数n的取值范围为．
(
考点04
函数及其性质
)
22．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数．
(1)已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数．
(2)若，，且为型函数．
①证明：；
②若，对于，，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)① 证明见解析；②
【分析】（1）根据型函数的定义，结合函数奇偶性的判断方法即可证明；
（2）① 设，由为型函数可得，由此推出，即得，故得证；② 先将题设不等式转化成，通过化简，利用换元，将其化成关于的二次函数，即可求其值域，得到参数范围.
【详解】（1）若关于对称，所以，
即，
故为偶函数，即为型函数．
（2）① 设，
则为奇函数，即在R上恒成立；
由
，
则，即，
因为，所以．
② 由①知，，则不等式化为：
，则.
因
,
令，则，，
故当时，取到最小值，所以．
故a的取值范围为．
(
考点05
复数
)
23．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．
(1)试将写成三角形式（辐角取主值）；
(2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求；
(3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可；
（2）先计算得，再代入化简即可；
（3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值.
【详解】（1）由于，故，所以，
所以，因为，所以，
所以.
（2）
.
.
（3）设，
则
.
因为存在实数，使得成立，所以为实数，
所以，
因为，所以，
当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分．
设所表示的复数为，
则
记所表示的复数为，则，
故，
当时，.
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