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专题05 统计概率和复数
3大高频考点概览
考点01 复数
考点02统计
考点03概率
一、单选题
1．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】B
【分析】根据复数除法的运算性质，结合复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】由，所以的虚部为，
故选：B
2．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复数乘法计算直接得出结果.
【详解】因为，故.
故选：A.
3．(24-25高一下·江西宜春丰城第九中学·期中)复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D
二、多选题
4．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知，设，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则的最大值为8
【答案】BC
【分析】对于A，举反例即可；对于B，根据条件求出即可得解；对于C，先求出，进一步得即可判断；对于D，由复数的几何意义即可判断.
【详解】设，显然满足，但，A错误；
由，得，所以，
则解得或，所以，B正确；
由，得，所以，C正确；
若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D错误．
故选：BC．
三、填空题
5．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)复数的共轭复数__________.
【答案】
【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z，结合共轭复数的概念即可求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
6．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知复数是纯虚数，则_____．
【答案】2
【分析】根据纯虚数的定义求参数值即可.
【详解】由题意知，解得.
故答案为：2
四、解答题
7．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知为实数，复数，复数在复平面内所对应的点位于第一象限.
(1)求的值；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据题意，由，列出方程求得，再由在复平面内所对应的点位于第一象限，得到的值；
（2）由（1）得到，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：由复数且，
可得，即，解得，
又由在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，故有.
（2）解：由复数对应的向量分别是，可得，
则且，
因为为与的夹角，可得，
又因为，所以.
8．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知复数，在复平面内对应的点分别为，．
(1)若，求；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题可知：，，进而可求和其模长；
（2）整理可得，结合复数的几何意义运算求解.
【详解】（1）由题可知：，，则，
所以．
（2）由题意可知：，
因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，
故实数m的取值范围为．
单选题
1．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，38，26，38，40，则这组数据的70%分位数为（ ）
A．26 B．32 C．35 D．38
【答案】D
【分析】根据百分位数的定义求解.
【详解】这组数据从小到大的排列为26，28，32，38，38，40，48．
因为，所以这组数据的70%分位数为38．
故选：D
多选题
2．(24-25高一下·江西宜春中学·期中)近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论正确的是（ ）
A． B．满意度计分的众数为75分
C．满意度计分的75%分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76
【答案】ABC
【分析】根据频率之和为1即可求解A，根据众数，中位数以及平均数的计算即可分别求解BCD．
【详解】对于A，，解得，故A正确；
对于B，由图可知，70－80段的频率/组距值最大，所以众数为，故B正确；
对于C，前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35=0.6＜0.75，前四组的频率之和为0.6+0.3=0.9＞0.75，则75%分位数，故，所以C正确；
对于D，，故D错误；
故选：ABC.
解答题
3．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求的值
（2）求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
（3）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率.
【答案】（1）；（2）平均数为岁；中位数为岁；（3）.
【解析】（1）由频率分布直方图即能求出；
（2）由频率分布直方图即能求出平均数和中位数；
（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，再利用列举法即可求出.
【详解】解：（1）由，得.
（2）平均数为岁；
设中位数为，则，∴岁.
（3）第组的人数分别为人，人，从第组中用分层抽样的方法抽取人，
则第组抽取的人数分别为人，人，分别记为.
从人中随机抽取人，有 ，
共个基本事件，从而第组中抽到人的概率.
【点睛】方法点睛：求解古典概型的问题方法之一：运用列举法是常用的方法，列举时，注意思考的顺序，做到不重不漏.
4．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位）
(2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率．
【答案】(1)，不低于分
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；
（2）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可.
【详解】（1）依题意得，，
又
，
所以第分位数位于，且，
他的物理成绩应不低于分较为合适．
（2）依题意甲能参加物理竞赛的概率，
乙能参加物理竞赛的概率，
二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为:
.
一、单选题
1．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（ ）
A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2
C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10
【答案】C
【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数，
则
，共18个基本事件，则，
设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误；
设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误；
设事件为两次朝上面的数字之和是9，
则共4个基本事件，则，
且，则，
，所以事件与事件相互独立，故C正确；
设事件两次朝上面的数字之和是10，
则，则，
且，则，
因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误.
故选：C.
2．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)抛一枚质地均匀的硬币100次，58次出现正面朝上，若再抛一次，则仍然是正面朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概型概率公式可求得抛一次硬币正面向上的概率.
【详解】抛一枚质地均匀的硬币有两个结果，正面向上或反面向上，
所以抛一次硬币正面向上的概率为，故再抛一次，则仍然是正面朝上的概率为.
故选：D.
3．(24-25高一下·江西宜春丰城第九中学·期中)某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据古典概型概率公式即可求解.
【详解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为.
故选：B.
4．(24-25高一下·江西宜春中学·期中)为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植棵恰好棵都成活的概率.先由计算机产生到之间取整数值的随机数，指定至的数字代表成活，代表不成活，再以每个随机数为一组代表次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下组随机数：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，据此估计，该树苗种植棵恰好棵都成活的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找出组随机数中代表该树苗种植棵恰好棵都成活的数据，结合古典概型的概率公式可得结果.
【详解】由题意可知，组随机数中代表该树苗种植棵恰好棵都成活的数据有：
、、、、、、、、，共组，
所以，该树苗种植棵恰好棵都成活的概率为.
故选：B.
二、多选题
5．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为
【答案】ACD
【分析】由已知易求得判断A；若，计算可判断B；由，，计算可判断C；利用相互独立事件的概率公式计算可判断D.
【详解】因为，所以，故A正确；
若，则，故B错误；
若，则，
若，则，
所以，故C正确；
若、相互独立，则也相互独立，所以，
所以和至少有一个发生的概率为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
6．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6．现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为______．
【答案】
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】甲、乙各随机出示一张卡片有，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，共个基本事件，
甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的有，，，，，共个基本事件，
故甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的概率．
故答案为：.
7．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)口袋中装有一些白球、黑球和红球，其中它们除颜色外完全相同，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.4，摸出黑球的概率为0.3，则摸出红球的概率为______．
【答案】0.3
【分析】根据摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件，求解概率.
【详解】根据题意，摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件，
所以其概率为.
故答案为：0.3
8．(24-25高一下·江西赣州十八县（）二十五校·期中)某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.2，0.1，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为______.
【答案】0.72/
【分析】根据独立性事件的乘法公式即可得到答案.
【详解】这两台设备在一周内都不发生故障的概率为.
故答案为：0.72.
9．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得______元．
【答案】60
【分析】分别求出小王、小明最终获胜的概率，即可求出结论.
【详解】若小王最后获胜的情况为第四局小王赢或第五局小王赢、
故小王赢的概率为，
若小明最后获胜的情况为后两局小明获胜，故小明获胜的概率为，
故两人获胜的比例为，故按获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得元.
故答案为：.
四、解答题
10．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，．
(1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率；
(2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用列举法列出从乙盒中任取两张卡片所有的取法，列举出取函数的定义域不同的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率．
（2）列举出从甲、乙两盒中各取一张卡片所有的取法．再由是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，得出恰为“奇遇”的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率.
【详解】（1）乙盒中的4个函数
，，，分别记为，
从乙盒中任取两张卡片，所有的取法为，共种，
又函数，的定义域均为，函数的定义域为，
函数的定义域为，
所取函数的定义域不同的取法有，共5种，
所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为．
（2）把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减，
则从甲、乙两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4），
（偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3），
（增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4），
共16种取法．
又是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，
恰为“奇遇”的有（偶，1），（奇4），（减，2），（增，3），共4种，
所以“奇遇”的概率为．
11．(24-25高一下·江西宜春丰城第九中学·期中)某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立．
(1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率；
(2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得甲两次抽到相同奖品的概率，利用对立事件的概率公式可求得甲两次抽到的奖品价值不同的概率；
（2）先得甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品的所有情况，求得对应的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解即可.
【详解】（1）记甲两次抽到相同奖品为事件，
记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件，
则，
，
所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为；
（2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次.
又获得的奖品价值总和不低于80元，
故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元，
又两次抽到40元，一次抽到30元的概率，
两次抽到40元，一次抽到20元的概率，
两次抽到40元，一次抽到10元的概率，
两次抽到30元，一次抽到40元的概率，
两次抽到30元，一次抽到20元的概率，
两次抽到20元，一次抽到40元的概率，
所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为：
.
12．(24-25高一下·江西赣州十八县（）二十五校·期中)近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478.
(1)求这6个数据的75%分位数及平均数；
(2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率.
【答案】(1)75%分位数是249，平均数是151.
(2)
【分析】（1）根据百分位数计算公式和平均数计算公式即可得到答案；
（2）写出所有样本空间，并列举出满足题意的样本点，最后利用古典概型的公式即可得到答案.
【详解】（1）因为，
所以这6个数据的75%分位数是249，
这6个数据的平均数是.
（2）从6个数据中任取2个数据，样本空间
，共含有15个样本点，
设事件表示“取到的2个数据都小于6个数据的平均数”，
则，共含有6个样本点，
所以.
答：取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率为.
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专题05 统计概率和复数
3大高频考点概览
考点01 复数
考点02统计
考点03概率
一、单选题
1．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
2．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高一下·江西宜春丰城第九中学·期中)复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、多选题
4．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知，设，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则的最大值为8
三、填空题
5．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)复数的共轭复数__________.
6．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知复数是纯虚数，则_____．
四、解答题
7．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知为实数，复数，复数在复平面内所对应的点位于第一象限.
(1)求的值；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
8．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知复数，在复平面内对应的点分别为，．
(1)若，求；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
单选题
1．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，38，26，38，40，则这组数据的70%分位数为（ ）
A．26 B．32 C．35 D．38
多选题
2．(24-25高一下·江西宜春中学·期中)近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论正确的是（ ）
A． B．满意度计分的众数为75分
C．满意度计分的75%分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76
解答题
3．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求的值
（2）求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
（3）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率.
4．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位）
(2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率．
一、单选题
1．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（ ）
A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2
C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10
2．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)抛一枚质地均匀的硬币100次，58次出现正面朝上，若再抛一次，则仍然是正面朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·江西宜春丰城第九中学·期中)某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·江西宜春中学·期中)为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植棵恰好棵都成活的概率.先由计算机产生到之间取整数值的随机数，指定至的数字代表成活，代表不成活，再以每个随机数为一组代表次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下组随机数：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，据此估计，该树苗种植棵恰好棵都成活的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为
三、填空题
6．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6．现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为______．
7．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)口袋中装有一些白球、黑球和红球，其中它们除颜色外完全相同，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.4，摸出黑球的概率为0.3，则摸出红球的概率为______．
8．(24-25高一下·江西赣州十八县（）二十五校·期中)某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.2，0.1，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为______.
9．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得______元．
四、解答题
10．(24-25高一下·江西景德镇乐平中学·期中)有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，．
(1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率；
(2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率．
11．(24-25高一下·江西宜春丰城第九中学·期中)某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立．
(1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率；
(2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率．
12．(24-25高一下·江西赣州十八县（）二十五校·期中)近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478.
(1)求这6个数据的75%分位数及平均数；
(2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率.
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