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专题06 立体几何初步
4大高频考点概览
考点01几何体的结构特征与直观图
考点02 空间几何体的表面积与体积
考点03 空间中点线面的位置关系
考点04 空间几何体的截面及动点轨迹问题
一、选择题
1．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)下列说法错误的是（ ）
A．棱台侧棱的延长线必相交于一点 B．正四棱锥的侧面可以是等边三角形
C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．矩形旋转一周一定能形成一个圆柱
【答案】D
【详解】对于A，根据棱台的定义，其侧棱的延长线必交于一点，故A说法正确；对于B，根据棱锥的定义，当正四棱锥的高为底面正方形对角线的一半时，正四棱锥的侧面可以是等边三角形，故B说法正确；
对于C，根据棱柱的定义，棱柱的侧面都是平行四边形，故C说法正确；对于D，矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误.故选：D.
2．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】由已知可知，的原图如下：其中，
所以.故选：D
3．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据斜二测画法还原得下图，因为四边形是边长为的正方形，则，所以，，又因为，，则，同理可得，，因此，原图形的周长为.故选：B.
4．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】用斜二测画法画出的水平放置的直角梯形的直观图如图所示，
可知四边形是梯形，，，，且，过点作于点，由，故，所以.故选：C.
5．(24-25高一下·四川南江中学·期中)如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】做轴与交点为,由题意可知,,
根据勾股定理可知,由斜二测画法可知,画出平面图形如图,
平面图为平行四边形,面积.故选：A.
6．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由是等腰直角三角形，，斜边，得，因此，，
所以原平面图形的面积是.故选：A
7．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．棱锥的侧面一定都是三角形
C．棱台各侧棱的长都相等
D．在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是
【答案】BD
【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误；对于B，棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；对于C，只有在特定的情况下，如正棱台（即由正棱锥截得的棱台），各侧棱的长度才相等，对于一般的斜棱台，侧棱长度可以不等，所以C错误；对于D，如图，易得三棱锥的体积为，故D正确.故选：BD.
二、填空题
8．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是________．
【答案】
【详解】易知，所以原图形中，且，如下图所示：因此其面积为.故答案为：
9．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为_______．
【答案】
【详解】由题意，所以，可得为直角三角形，所以，
根据题意，将直观图还原为原图，如图所示，可得为直角三角形，其中，由勾股定理得，所以的周长为．故答案为：.
10．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为_____.
【答案】4
【详解】将直观图还原为原图，如图所示， 则是直角三角形，其中，
故的面积为．故答案为：4.
11．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)如图所示为一个水平放置的矩形，在直角坐标系中，点B的坐标为，则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中，顶点到轴的距离为________．

【答案】
【详解】直观图如图所示，则，，故到轴的距离为.
故答案为：
12．(24-25高一下·四川南江中学·期中)已知底面半径为，高为的圆柱的侧面积等于半径为的球的表面积，则__________．
【答案】
【详解】由已知得，则，则.故答案为：.
13．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______.
【答案】
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，则，解得.
故答案为：.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)一个球的表面积是，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】一个球的表面积是，设球的半径为，球的表面积公式为，代入可得，解得，所以球的体积为，故选：D.
2．(24-25高一下·四川南江中学·期中)一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】正方体的对角线是球的直径，所以，则，所以球的表面积.
故选：D.
3．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设球的半径为r，则，，所以球的表面积与圆柱的表面积之比为，故选：C.
4．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A． B． C．13 D．26
【答案】A
【详解】如图所示，正四棱锥被平行于底面的平面所截，由题意可知，因为∥，所以∽，所以，
所以，所以，所以所得棱台的体积为.故选：A
5．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B.
6．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．16
【答案】C
【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1.如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.因为正四棱锥的底面边长为，
所以.又，所以，
即，解得.所以，所以正四棱锥的体积为.故选：C.
7．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知球的半径，因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离，根据球的截面圆的性质，可得，即，解得，棱柱底面与球的截面圆的半径，
三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为，所以三角形的面积为，该棱柱的体积为.
8．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发 渗透 流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下：
24小时降雨量（精确到）
降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】D
【详解】设的面积为，底面水平放置时，液面高为，侧面水平放置时，水的体积为，当底面水平放置时，水的体积为，于是，解得，所以当底面水平放置时，液面高为．故降雨量等级为暴雨，故选：D
9．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)（多选）将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】要将长方体铁块磨制成一个球体，则球体直径最大不超过长方体的最短棱长，又长方体的最短棱长为3，则此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为3，所以球的半径为，其表面积是.故选：C
10．(24-25高一下·四川南江中学·期中)用一根长为36cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A，B，C，将半径为4cm的球放置在这个框架上（如图）.若M是球上任意一点，则四面体MABC体积的最大值为（ ）

A．72 B．216 C．24 D．6
【答案】A
【详解】设球的球心为，半径为，△内切圆圆心为，由题意知△三边长均为，
则△内切圆半径，则，所以四面体的高.因为，所以四面体体积的最大值. 故选：A.
11．(24-25高一下·四川南江中学·期中)（多选）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】设长方体的长宽高分别为，，则，，，故，，，，则B错误，ACD正确；
故选：ACD.
12．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆台的高为2 B．圆台的侧面积为
C．圆台外接球的体积是 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5
【答案】BCD
【详解】对于A,如图所示，过作交于点，过作交于点,根据题意在中，,故A错误；
对于B，圆台的侧面积为，故B正确；对于C，设圆台外接球的球心为，半径.由题意可得：.设，则，由，即，解得：.即重合，所以.圆台外接球的体积是.故C正确； 对于D，如图示，
在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确.故选：BCD.
13．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)（多选）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．圆锥外接球体积为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
【答案】BCD
【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误；
B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确；C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确；D. 若，则是等腰直角三角形，，，所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面，此时三点共线时，的最小值是，中，，
由余弦定理可知，，故D正确.
故选：BCD
二、填空题
14．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为__________.
【答案】
【详解】由三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成正方体，则正方体的棱长为6，且正方体的外接球即为所求，设半径为，所以，所以外接球的表面积为.故答案为：.
15．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上，下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积为______.
【答案】
【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示： 为正四棱台，，，，
连接，得，，过作，过作，所以，，在直角三角形中，，所以正四棱台的高，正四棱台上、下底面积为和，所以体积 .
故答案为：.
三、解答题
16．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)在平面直角坐标系中，已知，，.
(1)若三点共线，求实数的值；
(2)若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积.
【详解】（1）∵，，，，.
∵三点共线，，，解得，即实数的值为.
（2）由（1）知，.
，，，即.
，，，，.
以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥，
故该几何体的表面积为.
17．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)如图所示，长方体的底面是边长为2的正方形，其体积为16．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求三棱锥的表面积．
【详解】（1），，；
（2）记三棱锥的表面积为，则，
几何体为长方体，
均为直角三角形，为等腰三角形，
，，
，
，
．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)（多选）已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是（ ）
A．两条平行直线 B．两条互相垂直的直线 C．同一条直线 D．一条直线及其外一点
【答案】ABD
【详解】不妨以正方体为例，与在平面ABCD上的射影互相平行，A正确；与在平面ABCD上的射影互相垂直，B正确；如果a、b在α上的射影是同一条直线，那么a、b共面，C不正确．与在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点，D正确．故选：ABD．
2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
【答案】C
【详解】若，，则直线，可能相交、平行或异面，故选项A错误；若，，则或，故选项B错误；若，，，则由面面平行的性质定理可知，故选项C正确；如图所示，平面，平面，平面，平面，但平面与平面相交，故选项D错误.故选：C.
3．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ）
A．如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面
B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，m、n共面，那么
D．如果，那么m平行于经过n的任何平面
【答案】C
【详解】对于A，当l与相交与点时，在平面内，过点的直线与l都是共面的，故A错误；
对于B，如图1，可能是，故B错误；
对于C，设m、n共面于平面，由，可得,
由，则根据线面平行的性质可得，故C正确；
对于D，若，则m平行于经过n的任何平面或m在经过n的平面内，故D错误．
故选：C.
三、解答题
4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【详解】（1）取的中点，连接，
∵为的中点，∴且，
∵为的中点，∴且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，∴.
又∵平面平面，∴平面.
（2）∵，∴，∴.
在直三棱柱，易知平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离，∴，
又∵平面，∴.
5．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)平面与侧棱相交于点，求的值．
【详解】（1）连接，在中，，，且，
又，，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面.
（2）由（1）得，又平面，平面，平面，
在中，，，
又平面，平面，平面，
又因且均在平面中，平面平面.
（3）由（1）知，又面，面，平面，
又平面，面面，
，又，，．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，设DE，交于点F，AC，BD交于点G，连接FG，则三棱锥就是三棱锥与三棱锥的公共部分．因为，所以，所以，设点到平面ABCD距离为，则点F到平面ABCD的距离是，又，所以三棱锥的体积为.故选：A．
2．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（ ）
A．五边形， B．六边形， C．五边形， D．六边形，
【答案】B
【详解】设中点为，连接，是中点，底面，
连接，并延长交的延长线于，又是中点，所以≌，
则，过点作，且交的延长线于，与的延长线交于R，
∽，则，所以，，
连接交于G，所以∽，即，
其中，故，又，则，，
所以截面与侧面的交线为，
延长交的延长线于，连接交于H，并延长交的延长线于K，
连接交于I，所以截面为六边形，故选：B.
3．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知,在正四面体中,为中点,,平面,设中点为,连,为中点,,且,平面,即为在平面上的射影,沿展开平面,使之与平面重合,此时,的最小值即为点到的距离,
故过点作于点,又,,
,,,故选:A.
4．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)（多选）如图，在正方体中，E，F是底面正方形四边上的两个不同的动点，过点的平面记为，则（ ）
A．截正方体的截面可能是正五边形
B．当E，F分别是的中点时，分正方体两部分的体积之比是25∶47
C．当E，F分别是的中点时，上存在点P使得
D．当F是中点时，满足的点E有且只有2个
【答案】BCD
【详解】A.若截正方体的截面为五边形，则五边形必有两条边位于正方体相对的平行平面上，此时该五边形必有两条边相互平行，但正五边形没有哪两条边平行，故截面不可能是五边形，选项A错误．B.如图，延长分别交于点G，I，连接分别交于点H，J，
∴截面为五边形，记正方体棱长为6，，截面下侧的体积为，另侧体积为：，∴，故选项B正确.C．截面为图中等腰梯形，此时取中点P，知，平面,平面 ∴，故选项C正确．
D.当E在上时，设，由，故上有一个点E；当E在上时，，故上不存在这样的点E；当E在上时，，故上也不存在；当E在上时，设，，故上存在一个点E， ∴共2个，选项D正确．故选：BCD.
三、解答题
5．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.
(1)在图中作出面和面的交线，并证明：平面；
(2)若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长.
【详解】（1）证明：如图，延长交于点F，则面，且面，
连接，则面，且面，即是面和面的交线，
取中点，因为，且，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以为的中点，又点为棱的中点，
所以，因为平面，在平面外，
所以平面，即平面；
（2）因为，为的中点，所以B为的中点，连接，则，
取中点，连接，则即，所以，
所以四点共面，则四边形即为所求截面，
因为，，
所以，
又，
所以，
所以在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长为.
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专题06 立体几何初步
4大高频考点概览
考点01几何体的结构特征与直观图
考点02 空间几何体的表面积与体积
考点03 空间中点线面的位置关系
考点04 空间几何体的截面及动点轨迹问题
一、选择题
1．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)下列说法错误的是（ ）
A．棱台侧棱的延长线必相交于一点 B．正四棱锥的侧面可以是等边三角形
C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．矩形旋转一周一定能形成一个圆柱
2．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(24-25高一下·四川南江中学·期中)如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
7．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．棱锥的侧面一定都是三角形
C．棱台各侧棱的长都相等
D．在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是
二、填空题
8．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是________．
9．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为_______．
10．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为_____.
11．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)如图所示为一个水平放置的矩形，在直角坐标系中，点B的坐标为，则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中，顶点到轴的距离为________．

12．(24-25高一下·四川南江中学·期中)已知底面半径为，高为的圆柱的侧面积等于半径为的球的表面积，则__________．
13．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)一个球的表面积是，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·四川南江中学·期中)一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A． B． C．13 D．26
5．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．16
7．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发 渗透 流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下：
24小时降雨量（精确到）
降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
9．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)（多选）将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．(24-25高一下·四川南江中学·期中)用一根长为36cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A，B，C，将半径为4cm的球放置在这个框架上（如图）.若M是球上任意一点，则四面体MABC体积的最大值为（ ）

A．72 B．216 C．24 D．6
11．(24-25高一下·四川南江中学·期中)（多选）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆台的高为2 B．圆台的侧面积为
C．圆台外接球的体积是 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5
13．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)（多选）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．圆锥外接球体积为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
二、填空题
14．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为__________.
15．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上，下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积为______.
三、解答题
16．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)在平面直角坐标系中，已知，，.
(1)若三点共线，求实数的值；
(2)若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积.
17．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)如图所示，长方体的底面是边长为2的正方形，其体积为16．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求三棱锥的表面积．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)（多选）已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是（ ）
A．两条平行直线 B．两条互相垂直的直线 C．同一条直线 D．一条直线及其外一点
2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
3．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ）
A．如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面
B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，m、n共面，那么
D．如果，那么m平行于经过n的任何平面
三、解答题
4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
5．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)平面与侧棱相交于点，求的值．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（ ）
A．五边形， B．六边形， C．五边形， D．六边形，
3．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)（多选）如图，在正方体中，E，F是底面正方形四边上的两个不同的动点，过点的平面记为，则（ ）
A．截正方体的截面可能是正五边形
B．当E，F分别是的中点时，分正方体两部分的体积之比是25∶47
C．当E，F分别是的中点时，上存在点P使得
D．当F是中点时，满足的点E有且只有2个
三、解答题
5．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.
(1)在图中作出面和面的交线，并证明：平面；
(2)若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长.
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