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专题10 三角函数的综合应用
4大高频考点概览
考点01 三角函数零点问题
考点02 三角函数恒（能）成立问题
考点03 三角函数的实际应用
考点04 三角函数跨模块综合
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都成都七中·期中)当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．(24-25高一下·四川南充高级中学·期中)已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·四川成都第七中学·期中)（多选）已知函数（，），满足，且函数在区间上单调，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则函数的最小正周期为
C．关于x的方程在上可以有4个不等实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知函数，其中，则下列说法中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．方程在上有三个解 D．在上单调递减
5．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)（多选）已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ）
A．的取值范围是
B．若的图象关于点对称，则在上单调递增
C．在上的最小值可能为
D．若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则
6．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)（多选）已知函数，则（ ）
A．对于任意的均为偶函数 B．当时，的最小正周期为
C．当时， D．当时，在上有12个零点
7．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)（多选）已知函数的部分图象如图所示，其中，则（ ）
A． B． C．在上单调递减 D．在上有4050个零点
二、填空题
8．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知，恰有两个零点，，则________．
9．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 .
三、解答题
10．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)设函数.
(1)求的最小正周期，单调增区间，对称中心；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围.
11．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知向量，，函数．
(1)求的最小正周期及其对称中心；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围．
12．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)设函数，
(1)若函数在是增函数，求实数的最大值；
(2)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
13．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围．
14．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)如图，已知函数，点A 分别是的图象与轴、轴的交点，分别是的图象上横坐标为、的两点，轴，且点A关于点的对称点恰为点.
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求；
（3）若关于的函数在区间上恰好有一个零点，求实数的取值范围.
15．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，求函数的取值范围；
(3)①将函数的图像向上平移个单位，得到函数的图像；
②将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；
③将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像；
从上述三个变换中选择一个变换，使函数在上有两个零点，并求出零点.
16．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若当时，的值域为，求实数的取值范围.
(3)设，若函在上有两个不同零点，，求实数的取值范围.
17．(24-25高一下·四川泸州龙马潭区泸化中学·期中)函数（，，）的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值.
18．(24-25高一下·四川川南名校联考·期中)已知函数的部分图象如图所示：
(1)求函数的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位，再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若函数在区间上恰有三个零点，且，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若，使得成立，求实数的取值范围．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)已知，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．(24-25高一下·四川成都外国语学校·期中)（多选）已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个
C．若，则的取值范围是
D．若，则的取值范围是
二、解答题
3．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)已知函数，
(1)求出函数的单调增区间；
(2)当时，求函数的最大值；
(3)若当时，恒成立，求实数的取值范围.
4．(24-25高一下·四川成都玉林中学·期中)设
(1)求的单调增区间．
(2)设，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
5．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．
6．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知函数．
(1)求关于x的不等式；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)存在非零常数T，对任意，有成立，则称函数为“T函数”．若函数为“T函数”，求实数k的取值范围．
7．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知函数的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围；
(3)若函数在上有3个零点,求的取值范围．
8．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在上的值域；
(3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围.
9．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)已知函数．
(1)若为奇函数，求的值；
(2)若在上有解，求的取值范围．
10．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)设常数，若在区间上是增函数，求的取值范围；
(3)将的图像向下平移一个单位，所有纵坐标缩短为原来的一半得到函数．若对一切恒成立，求实数a的取值范围．
11．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知函数，且为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.
①求不等式的解集；
②若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)某兴趣小组以某闰年春分为起始时间（已知春分时太阳直射点在赤道上），测量了一整年内太阳直射点纬度，并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直射点的变化．已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬，用代表天数，代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的变化近似满足下列哪个函数（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（）
A．点P所满足的函数表达式为 B．点P第一次到达最高点需用时5秒
C．P再次接触水面需用时10秒 D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
二、填空题
3．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于山东省潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），则______（m）．
三、解答题
4．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？
5．(24-25高一下·四川川南名校联考·期中)风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点与地面的距离为（单位：m），若以点离地面最近时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系式为．
(1)求点转动的频率；
(2)若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益；
(3)在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点距离地面的高度差（单位：m）关于时间的函数解析式，并求高度差的最大值．
6．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmHg），t为时间（min），试回答下列问题：
(1)求函数的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数的草图，并求出此人的血压在血压计上的读数．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若，则是第一象限角或第二象限角
B．若，是锐角的内角，则
C．函数是偶函数
D．函数是增函数
2．(24-25高一下·四川川南名校联考·期中)（多选）在中，下列判断正确的是（ ）
A．一定成立 B．若函数是奇函数，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
3．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)下面四个命题，
（1）函数在第一象限是增函数；
（2）在中，“”是“”的充分非必要条件；
（3）函数图像关于点对称的充要条件是；
（4）若，则.
其中真命题的是_________.（填所有真命题的序号）
三、解答题
4．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若锐角满足，求.
5．(24-25高一下·四川泸州龙马潭区泸化中学·期中)已知向量，，设函数，.
(1)求函数的解析式；
(2)求的单调递减区间和对称轴方程；
6．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知向量，，设．
(1)求函数的表达式及单调减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式，并求关于的方程在区间上的解集．
7．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)设函数，其中，，.
(1)化简的解析式，求函数的单调增区间；
(2)在中，角所对的边分别为，，求周长的取值范围；
(3)若函数在内有两个相异的零点，求实数的取值范围.
8．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时的值；
(3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
9．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)求函数单调递增区间和对称轴方程；
(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．
10．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
(1)设，试求函数的相伴向量；
(2)记向量的相伴函数为，求当且时，的值；
(3)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
11．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
(1)若，求函数的“平衡”数对；
(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
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专题10 三角函数的综合应用
4大高频考点概览
考点01 三角函数零点问题
考点02 三角函数恒（能）成立问题
考点03 三角函数的实际应用
考点04 三角函数跨模块综合
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都成都七中·期中)当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】在同一直角坐标系中，作出函数与的图形如下：根据图象可知：交点为6个，故选：C
2．(24-25高一下·四川南充高级中学·期中)已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
所以当时，取到最大值，解得，所以.
令，在区间上有2个零点，
即在区间上有2个零点，，解得.
故选：D
3．(24-25高一下·四川成都第七中学·期中)（多选）已知函数（，），满足，且函数在区间上单调，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则函数的最小正周期为
C．关于x的方程在上可以有4个不等实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
【答案】ABD
【详解】，所以，A正确；由在区间上单调，，得，，，则是对称轴方程，而是对称中心，所以，，B正确；由在区间上单调，，得，，所以在上至多有3个完整周期，而在1个完整周期内只有1解，故在上最多有3个实数解，因此C错误；函数在区间上恰有5个零点，则，即，解得，又，即，，所以，D正确．故选：ABD．
4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知函数，其中，则下列说法中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．方程在上有三个解 D．在上单调递减
【答案】ABC
【详解】由题知的一个周期为，又
，所以函数关于对称，所以我们只要分析时的图像即可，当时，，所以
，
其中，又，所以，且，不妨取，又，所以，，故存在唯一，使，即在单调递增，在单调递减，
故时，，
又，，所以，故AB正确；又函数关于对称，所以函数在一个周期内的简要图像如下，所以在上有三个解，故C正确；对于D，由图可知每个单调区间长度小于，而区间长度为，所以函数在上不可能单调，故D错误；故选：ABC.
5．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)（多选）已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ）
A．的取值范围是
B．若的图象关于点对称，则在上单调递增
C．在上的最小值可能为
D．若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则
【答案】ABD
【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴，因为，所以，所以，所以，即的取值范围是，故A正确；对于B：因为的图象关于点对称，则有，即，因为，所以，当时，，则在上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，因为，所以，所以在上的最小值小于，故C错误．对于D：因为的图象关于直线对称，则，即，又，所以，所以，令函数的根即为函数与的交点的横坐标，作出图象如图所示，因为，， 要使有奇数个零点，则，即有，故D正确..故选：ABD.
6．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)（多选）已知函数，则（ ）
A．对于任意的均为偶函数 B．当时，的最小正周期为
C．当时， D．当时，在上有12个零点
【答案】ABD
【详解】A项：的定义域为，，
即证明，A选项正确；B项：，因为函数的最小正周期均为，所以的最小正周期为，B选项正确；C项：取，，C选项错误；D项：由图象的翻折变换和余弦函数的性质可知的最小正为周期，
在每个周期内存在2个零点，因为区间的长度为，又
所以6个周期内为12个零点，D选项正确.故选：ABD.
7．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)（多选）已知函数的部分图象如图所示，其中，则（ ）
A． B． C．在上单调递减 D．在上有4050个零点
【答案】ABD
【详解】依题意得，，则，所以，解得，故A正确；由图可知，所以，又，所以，故B正确；延长的图象如图所示，观察可知，在上先减后增，故C错误；因为在上有2个零点，所以在上有4050个零点，故D正确.故选：ABD.
二、填空题
8．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知，恰有两个零点，，则________．
【答案】/
【详解】由题意知，，得，又函数图象在上的对称轴为，所以.所以.故答案为：
9．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得，因为，且，则，
由题意可得：，解得，所以的取值范围为.故答案为：.
三、解答题
10．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)设函数.
(1)求的最小正周期，单调增区间，对称中心；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围.
【详解】（1），
则最小正周期，
令，得，
则的单调递增区间为，
令，得，
则的对称中心为.
（2），则，则，则，
故当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值.
（3）函数在上有两个零点，则在上有两个根，
又，则，结合正弦函数图象可得，，得，
则取值范围为
11．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知向量，，函数．
(1)求的最小正周期及其对称中心；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围．
【详解】（1），
的最小正周期.
令，解得，则对称中心为
（2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根，
即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点，
令，
做出的图像与直线，如图.
由图知，当时，的图像与直线有两个交点.
12．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)设函数，
(1)若函数在是增函数，求实数的最大值；
(2)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
【详解】（1）
．
令，则，
令，则；令，则；令，则；
若函数在是增函数，则，则的最大值为；
（2），
因为，则当时，，
为使在上恰有两个零点，则，
解得，则的取值范围为．
13．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围．
【详解】（1）因，
令，解得，
函数的单调递增区间为；
（2）将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象，
若函数在上有两个零点，
则与在上有两个交点，
由，得，由，得，
所以结合正弦函数性质可得，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，，
所以要使与在上有两个交点，只要，故m的范围为．
14．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)如图，已知函数，点A 分别是的图象与轴、轴的交点，分别是的图象上横坐标为、的两点，轴，且点A关于点的对称点恰为点.
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求；
（3）若关于的函数在区间上恰好有一个零点，求实数的取值范围.
【详解】（1）∵点A与点关于点对称，点的横坐标为.
又点与点关于直线对称，
函数的最小正周期，，
又代入B点，，，得，符合，
因此；
（2）由，，，
所以，·
所以；
（3）在区间上恰好有一个零点，令，得在区间上恰好有一个根，
当时，设，由于方程恰好仅一根，如图，可知，
或时，方程在区间上恰好有一个根，
或，
或，即或，解得或.
所以实数的取值范围是.
15．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，求函数的取值范围；
(3)①将函数的图像向上平移个单位，得到函数的图像；
②将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；
③将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像；
从上述三个变换中选择一个变换，使函数在上有两个零点，并求出零点.
【详解】（1）依题意，，
所以函数的最小正周期，
由得：，
所以函数的单调递增区间是：.
（2）由（1）知，，当时，，
则当，即时，，当，即时，，
所以函数的取值范围是.
（3）选①：，由（2）知当时，，
因此函数在上无零点，不符合题意；
选②：，由得：，
当时，，于是得或，解得：或，
因此函数在上有两个零点，两个零点分别为和；
选③：，由得：，
当时，，于是得，解得：，
因此函数在上有一个零点，，不符合题意，
所以选择变换②，两个零点分别为和.
16．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若当时，的值域为，求实数的取值范围.
(3)设，若函在上有两个不同零点，，求实数的取值范围.
【详解】（1）因为
又相邻两个对称轴之间的距离为，根据正弦函数性质，可得，解得，
所以.
（2）因为，则，
当时，；当时，，
因为的值域为，所以.
解不等式，可得，即，
解不等式，可得，即，
所以的取值范围是.
（3）令，即.画出的草图如上.
因为在上有两个不同零点，则与的交点有两个.
所以关于对称，则.由图知道.
所以，则，即的取值范围是.
17．(24-25高一下·四川泸州龙马潭区泸化中学·期中)函数（，，）的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值.
【详解】（1）由图象可得，，，，则，
，又图象过点，
所以，解得，又，，
所以函数的解析式为.
（2）由余弦函数可知，，，，
所以函数的单调递增区间为.
（3）由题可得，，又因为，所以，
令，则，
设直线与的图象交点横坐标自左向右依次为，
由的图象可知，，，且，
，又由图象知，所以，
又，，
所以，又
，
.
18．(24-25高一下·四川川南名校联考·期中)已知函数的部分图象如图所示：
(1)求函数的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位，再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若函数在区间上恰有三个零点，且，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若，使得成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）由题意，的周期，，
当时，，，，
又，，又由图知过点，，，
故的解析式为；
（2）由题意：
，，
由题意知，与在区间上有三个交点，
作出在区间上的图象为：
由图象可知，当，即时，满足题意与在区间上有三个交点，此时有，
；
（3）由（2）知，，又由，使得成立可知，成立，
当时，，，，
当时，，，，，
又，．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)已知，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】当时，，则，
于是，而，令，
函数在上单调递减，因此，即
依题意，，所以实数的最大值为2.故选：C
2．(24-25高一下·四川成都外国语学校·期中)（多选）已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个
C．若，则的取值范围是
D．若，则的取值范围是
【答案】ABD
【详解】对于A，由及在上单调递减，得的图象关于点对称，因此，A正确；对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，即，解得，，而周期，则，又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确；对于C，，取，函数在上单调递减，即也满足要求，C错误；对于D，依题意，为单调递减区间的子集，则，其中，解得，，当时，，当时，，所以的取值范围是，D正确.故选：ABD
二、解答题
3．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)已知函数，
(1)求出函数的单调增区间；
(2)当时，求函数的最大值；
(3)若当时，恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1），
令，，解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（2）由（1）知，，时，，
由于在上单调递增，
故当时，取得最大值，最大值为；
（3）由（2）知，当时，取得最小值，最小值为，故，
，
①当时，恒成立，②当时，令，
将看作关于一次函数，其中，
则需满足，解得且，
综上所述，的范围为.
4．(24-25高一下·四川成都玉林中学·期中)设
(1)求的单调增区间．
(2)设，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）由题意可得：，
令，解得，
所以的单调增区间为.
（2）因为，
若，则，可得，
又因为，令，则，
原题意等价于在内恒成立，
又因为，当且仅当时，等号成立，
可得，所以实数的取值范围为.
5．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．
【详解】（1）化简得
==，
令，解得
所以单调递增区间为，.
（2）由（1）可得，
即，对任意的恒成立，只需要即可，
，
令，因为，则，所以，
所以，
由对勾函数性质可得，当时，为减函数，
所以当时，，所以．
6．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知函数．
(1)求关于x的不等式；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)存在非零常数T，对任意，有成立，则称函数为“T函数”．若函数为“T函数”，求实数k的取值范围．
【详解】（1）由，得，
故，解得,
所以关于x的不等式的解集为.
（2）由，得.
设，
因为，所以，所以，所以.
，故，
所以对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立.
设，，任取，且，
则.
因为，且，所以，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，所以，即，
所以实数a的取值范围是.
（3）设，因为是“T函数”，所以是“T函数”，
即存在非零常数T，对任意，有，即.
当时，恒成立，此时是“T函数”；
当时，
因为，且，所以，
于是，
故要使成立，只有.
当时，成立，则.
当时，成立，即成立，
则，即.
综上，实数的取值范围是.
7．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知函数的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围；
(3)若函数在上有3个零点,求的取值范围．
【详解】（1）因为
，
函数的最小正周期为，又，则，所以，
所以.
（2）因为是增函数，当时，
当时，，则，所以，
由题意可知，则解得，即的取值范围为．
（3）（3）令，由（2）知当时，，即，
则函数有两个零点，
且的图象与直线，共有3个公共点，
由的图象可知，当，时，，得，
由，得，，符合题意．
当，时，，解得，
综上，的取值范围为．
8．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在上的值域；
(3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围.
【详解】（1）
．
最小正周期．
令，解得．
故的增区间为.
（2）时，，
故，即在上的值域为．
（3），原不等式可化为对任意的恒成立
对任意的恒成立，
对任意的恒成立且，
记，条件可化为对任意的成立，
设，则，
设，则，
由在上递减，上递增可得，在上递减，在上递增，
即时，，即时，，
因此的最大值为，由题意得，故．
9．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)已知函数．
(1)若为奇函数，求的值；
(2)若在上有解，求的取值范围．
【详解】（1）因为，所以的定义域为，
又为奇函数，则，
解得，故，当时，，
此时，即，
所以函数为奇函数.综上，故．
（2）设，由上一问结论知是奇函数，
则，
从而方程等价于，
即，即，
取合适的实数使得，，
则
，
故原方程又化为，即，
显然，该方程有解的充要条件是，即，即，
所以的取值范围是．
10．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)设常数，若在区间上是增函数，求的取值范围；
(3)将的图像向下平移一个单位，所有纵坐标缩短为原来的一半得到函数．若对一切恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】（1）
，.
（2），由得，，
所以的单调递增区间为，，
在区间上是增函数，当时，有，
，解得，的取值范围是.
（3）由题意，可得，代入不等式得：，
即，
令，则，需在上恒成立，
由二次函数的性质可知，只需端点处满足不等式即可，即且,
当时，需满足或；当时，需满足或.
综上，可得实数a的取值范围是.
11．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知函数，且为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.
①求不等式的解集；
②若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.
【详解】（1）因为为偶函数，所以的图象关于对称，
即，则， 又，得到，
故的解析式为；
（2）①由题意得将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则，
令，则，解得，
即不等式的解集为；
②令，则，
即，
其中辅助角的终边过点，即，，，
因为，则，
则由图可知，即，
由得，得到，则，
即，
由反比例函数性质得在上单调递减，由正比例函数性质得在上单调递减，则在上递减，且，，
故的取值范围是.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)某兴趣小组以某闰年春分为起始时间（已知春分时太阳直射点在赤道上），测量了一整年内太阳直射点纬度，并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直射点的变化．已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬，用代表天数，代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的变化近似满足下列哪个函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，又，则，因为太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬，且太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，所以，则近似满足函数．
故选：B.
2．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（）
A．点P所满足的函数表达式为 B．点P第一次到达最高点需用时5秒
C．P再次接触水面需用时10秒 D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
【答案】BC
【详解】函数中，所以，时，，解得，因为，所以，所以，A错误；令得，则，解得，所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．故选：BC
二、填空题
3．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于山东省潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），则______（m）．
【答案】52
【详解】以摩天轮轮盘圆心为原点，互相垂直的水平、竖直方向分别为轴建立直角坐标系，如图所示：点为轮盘上距离地面最近的位置，当时，游客甲坐上摩天轮的座舱，即，所以满足题意,因为轮盘直径为124，所以，
因为最高点距离地面145米，所以，解得，而匀速转动一周大约需要30分钟，所以，所以，.
故答案为：52.
三、解答题
4．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？
【详解】（1）设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示：
设，由，，可得，所以.
，，，
由题意可知，函数的最小正周期为，，
所以点距离水面的高度关于时间的函数为；
（2）由，得，
令，则，
由，解得，又，
所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米.
5．(24-25高一下·四川川南名校联考·期中)风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点与地面的距离为（单位：m），若以点离地面最近时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系式为．
(1)求点转动的频率；
(2)若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益；
(3)在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点距离地面的高度差（单位：m）关于时间的函数解析式，并求高度差的最大值．
【详解】（1）由题意，的周期，频率；
（2）由（1）知频率，故1秒钟叶片转动圈，
秒钟可获电量0.5度，收益为0.3元，小时的收益为元；
（3）由题意，
利用，可得
高度差关于时间的函数解析式为，且的最大值为．
6．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmHg），t为时间（min），试回答下列问题：
(1)求函数的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数的草图，并求出此人的血压在血压计上的读数．
【详解】（1）由于，代入周期公式，可得，
所以函数的周期为．
（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率（次）．
（3）列表：
t 0
115 140 115 90 115
描点、连线并向左右扩展得到函数的简图如图所示：
由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若，则是第一象限角或第二象限角
B．若，是锐角的内角，则
C．函数是偶函数
D．函数是增函数
【答案】AD
【详解】对于A，由可得是第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角，所以A错误，
对于B，由于，是锐角的内角，所以，故，因此，故B正确，对于C，为偶函数，C正确，对于D，在是增函数,故D错误，故选：AD
2．(24-25高一下·四川川南名校联考·期中)（多选）在中，下列判断正确的是（ ）
A．一定成立 B．若函数是奇函数，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【详解】，所以，所以A错误；若函数是奇函数，则，因为，所以，B正确；
若，，C正确；若，则，D正确.故选：BCD
二、填空题
3．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)下面四个命题，
（1）函数在第一象限是增函数；
（2）在中，“”是“”的充分非必要条件；
（3）函数图像关于点对称的充要条件是；
（4）若，则.
其中真命题的是_________.（填所有真命题的序号）
【答案】（3）
【详解】（1）在第一象限中的单调区间为：，；并非在第一象限内是增函数，（1）错误；（2）在中，若，则，由正弦定理知：，充分性成立；若，由正弦定理知，则，必要性成立；可知在中，“”是“”的充要条件，（2）错误；（3）关于点对称，，，（3）正确；
（4）当时， ，
，又 ，（4）错误.真命题为（3）故答案为（3）
三、解答题
4．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若锐角满足，求.
【详解】（1）.
，
所以函数的最小正周期.
（2）因为，得，又因为是锐角，所以，
因为是锐角，所以，且，所以，
则，
故.
5．(24-25高一下·四川泸州龙马潭区泸化中学·期中)已知向量，，设函数，.
(1)求函数的解析式；
(2)求的单调递减区间和对称轴方程；
【详解】（1）因为向量，，则.
（2）令，，则，
的单调递减区间为，.
令，，解得，.
对称轴方程，.
6．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知向量，，设．
(1)求函数的表达式及单调减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式，并求关于的方程在区间上的解集．
【详解】（1）依题意，，
由，解得，
所以函数的表达式，单调减区间为.
（2）由（1）知；
由，得，由，得，
则或或，解得或或，
所以方程在区间上的解集为．
7．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)设函数，其中，，.
(1)化简的解析式，求函数的单调增区间；
(2)在中，角所对的边分别为，，求周长的取值范围；
(3)若函数在内有两个相异的零点，求实数的取值范围.
【详解】（1）由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间；
（2）由（1）知 ，所以，
又因为，所以， ，所以，，
所以
，
因为，所以，
所以 ，所以，
即，所以周长的取值范围为；
（3）由函数在内有两个相异的零点，
即在内有两个相异的实根，
即和的图象在内有两个不同的交点，
由（1）知函数的单调递增区间为，
因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，，
又，，
要使得和的图象在内有两个不同的交点，
结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.
8．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时的值；
(3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【详解】（1），故；
（2）由题意得：，故，由于，所以，所以，所以
.
（3），所以，假设存在点，使得，则即，因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得.
9．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)求函数单调递增区间和对称轴方程；
(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．
【详解】（1），
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以.
（2）令，则，
所以的单调递增区间为;
令, 解得,
即的对称轴方程为.
（3）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，再向左平移个单位得，
令，则，所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，所以的取值范围是
10．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
(1)设，试求函数的相伴向量；
(2)记向量的相伴函数为，求当且时，的值；
(3)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
【详解】（1）因为
，
所以，函数的相伴向量.
（2）向量的相伴函数，
令，即，
，，，
．
（3）的“相伴函数”，
因为在处取得最大值，
所以当，即时，有最大值，
所以，所以，
因为，所以，
所以，令，则，
因为均为上的单调递减函数，所以在上单调递减，
所以，所以，，
所以的取值范围为
11．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
(1)若，求函数的“平衡”数对；
(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,,
即,即对于任意实数恒成立,
只有,,故函数的“平衡”数对为,
（2）若,则,,
要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,
此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.
（3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有
则
均为函数的“平衡”数对，
，函数单调递增，
即的取范围为
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