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专题01 平面向量
4大高频考点概览
题型01 平面向量基本定理及线性运算
题型02 平面向量投影向量的运算
题型03 平面向量的数量积的运算
题型04 平面向量夹角的运算
题型05 有关平面向量模的运算
题型06 有关平面向量的垂直、共线的运算
题型07 平面向量与圆、三角函数等知识的交汇问题
(
地
城
考点01
平面向量
基本定理及
线性运算
)
1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得.
【详解】在中，点在边上，由，得，则，即，而，，所以．故选：B
2．（24-25高一下·福建漳州·期中）在中，点D在靠近A的三等分点上，连接，E为的中点，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示向量，即可求解.
【详解】由条件可知，，所以，，所以.
3．（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得.
【详解】
如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点，则，代入整理得，因点在上，故得，则.故选：B
4．（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】由题意或，结合向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】由线段的一个三等分点为，得或，若，
则，所以；若，则，
所以．故选：B.
5．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为，，所以，，
所以,又，，
所以.故选：A.
6．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦定理结合条件可得，结合图形推得，再利用向量数量积的运算律求模长即可.
【详解】由，可得，由余弦定理，，
由，
因，则，
所以.故选：C.
7．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A．9 B．13 C．15 D．18
【答案】C
【分析】由平面向量的线性运算将，用，表示出来，结合共线向量定理与平面向量基本定理建立方程组，求解即可．
【详解】因为，，，
所以，
，又因为，，三点共线，所以存在实数，使得，即，因为，是平面内的一组基底，所以由平面向量基本定理可得，解得.故选：C．
8．（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可.
【详解】因为三点共线，且，所以，又因为三点共线，且，所以，
可得，即，解得，所以，故选：
9．（24-25高一下·江西宜春·期中）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，是（不含边界）内的动点，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别取，的中点，，连接交于，分析可知M在线段（不含端点）上，求出关于的表达式，可得出k的取值范围，即可得解.
【详解】如图，分别取，的中点，，连接交于，，分别是，的中点，，，，则在线段（不含端点）上.，，，
则，同理，，.即的取值范围为.故选：D.
10．（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期中）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】依题意，画出图形，再结合选项依次判断即可．
【详解】由，及，得如图所示：
则，得，故A项正确；由，则，故B项正确；由与是同向共线的，故，故C项错误；，故D项正确．故选：ABD
11．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，，与分别相交于两点．则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．
D．若，，则
【答案】ACD
【分析】以为基底表示出可判断A；利用相似比，结合平面向量线性运算可判断BC；以为基底表示出，利用数量积性质求解可判断D.
【详解】对A，因为，所以，所以，A正确；对B，因为，所以，所以，又为的中点，，所以，同理可得，所以，
所以，B错误；
对C，，C正确；
对D，由上可得，因为，，所以，所以，所以，D正确.故选：ACD
12．（多选）（24-25高一下·广东江门·期中）在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若，，，则
C．
D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为
【答案】AC
【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确.
【详解】对于A，，则为的中点，故，设，因为，
则，
，由共线，得，解得，所以，故A正确；
对于B，，所以，所以，故B不正确；
对于C，为的中点，故，，又，所以，所以，，故C正确；
对于D，设的三边分别为，依题意得，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，由，得或，当时，，故D不正确.
故选：AC.
13．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________．
【答案】
【分析】根据，可得，根据，以及E、B、D三点共线，可求出．
【详解】因为，所以，则，
因为E、B、D三点共线，所以，所以．
14．（24-25高一下·内蒙古乌海·期中）如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____
【答案】
【分析】先根据相似三角形求出点P在线段上的具体位置，再根据平面向量的加减法几何运算，用平面向量基底表示出目标向量即可.
【详解】
如图所示，作中点，连接，是得三等分点，则，在中点为中点，点为中点，所以，所以，因为，可得，所以，由，
15．（24-25高一下·四川资阳·期中）已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为__________.
【答案】/0.25
【分析】利用重心向量公式，结合线性运算和平面向量基本定理，可得系数关系，即可求解参数，从而把面积之比转化为底边之比乘上高之比即可求解..
【详解】因为点是的重心，所以，因为，所以，
即，设，则，又因为，
所以，又因为，所以，即，则，所以与的面积之比，
16．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，.
(1)求线段的长度，
(2)求的值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）将、当作一组基底表示，平方之后求模即可；
（2）设，将、当作一组基底表示、，再利用垂直关系即可求解.
【详解】（1）因为，，
，，，，所以，所以.
（2）设，因为，所以，，，所以，所以.
17．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．
(1)若，请用向量来表示向量；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1);；(2)
【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式；
（2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由图和题设条件可得：
；.
（2）由图和可得：，即（*），
因，当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则，由（*）可得：，即，
因三点共线，故，又因，
当且仅当时，即时，等号成立，即时，的最小值为.
18．（24-25高一下·广东揭阳·期中）如图，平行四边形中，点是的中点，，，设，．
(1)用，表示，；
(2)若，，求的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算即可求解；
（2）先根据平面向量模的求法及向量数量积的运算法则求出 ，；再根据向量夹角的求法即可求解.
【详解】（1）由平行四边形性质可得：.因为点是的中点，所以.
又因为，，所以，
.
（2）因为，，所以， .
又因为，
，
所以.
19.（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，P为AB边上一点，且，，，
且，的夹角为．
(1)用，表示，；
(2)求的值；
(3)当与垂直时，求实数t的值．
【答案】(1)，；(2)；(3)
【分析】（1）利用平面向量运算法则计算即可得到答案；
（2）结合（1），利用平面向量的运算法则及数量积公式计算即可求解；
（3）根据与垂直，可得，进而结合（2）即可求出实数t的值．
【详解】（1）由，则，所以，
依题意可得．
（2）结合（1）有，，
所以
．
（3）由与垂直，且结合（2）有，
则
，解得．
(
地
城
考点02
平面向量投影向量的运算
)
1．（24-25高一下·云南文山·期中）在△ABC中，，，设，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理可得，再利用投影向量的定义求解.
【详解】根据余弦定理可得，∴，∴向量在上的投影向量为.故选：D．
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积的定义求得，再根据投影向量的概念计算即可.
【详解】依题意，，则，于是，向量在向量上的投影向量为.故选：D.
3．（24-25高一下·山西晋城·期中）若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用数量积来计算投影向量即可.
【详解】因为，，由可得：，以向量在向量上的投影向量为．故选：C．
4．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知四边形中，，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得四边形是等腰梯形即可由投影向量几何意义求解.
【详解】因为，所以，所以四边形是等腰梯形，所以向量在上的投影向量为.故选：D
5．（24-25高一下·福建三明·期中）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义求出，再根据向量数量积的运算律求出.
【详解】已知在上的投影向量为.因为是单位向量，所以，则，故.
可得.因为是单位向量，所以，可得.将，代入可得.故选：B.
6．（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得，故根据数量积定义、投影向量定义即可求解．
【详解】由题意可知，，得到，即，所以，
则向量在向量上的投影向量是．故选：B．
7．（24-25高一下·四川成都·期中）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先对进行平方，得到与的关系，再根据投影向量的计算公式求解即可.
【详解】，，，，
在方向上的投影向量为.故选：B.
8．（多选）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（ ）
A．
B．向量与的夹角为
C．
D．向量在方向上的投影向量的长度为
【答案】AB
【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解．
【详解】向量，，则，∵向量满足，∴，解得或，又因为，所以，所以，
对于A，，故A正确；对于B，，
，，向量与的夹角为，则，因为，所以，故B正确；对于C，，由于，所以不平行，故C错误；对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误．故选：AB．
9.（多选）（24-25高一下·河南·期中）已知平面向量，满足，，，则（ ）
A． B．与的夹角的余弦值为
C． D．在上的投影向量的坐标为
【答案】BCD
【分析】由向量模长公式及已知条件求出，从而判断A选项；由向量数量积求得向量夹角的余弦值，判断B选项；由向量的数量积为0判断两个向量垂直，判断C选项；利用投影向量的公式，代入对应值即可判断D选项.
【详解】∵，∴，即，，∴，∴A选项错误；，B选项正确；，∴，C选项正确；在上的投影向量：，D选项正确.故选：BCD.
10．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.
【答案】
【分析】根据投影向量的公式计算即可求解.
【详解】∵，，∴，，，
∴向量在向量上的投影向量的坐标为.
11．（24-25高一下·北京通州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若，，则向量在上的投影向量的模为________；设，，若，则________．
【答案】 4 /
【分析】先求出，结合可得向量在上的投影向量即为在上的投影向量，即为，进而求解即可；根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】由题意，设，则，，由，则，解得，
因为，所以向量在上的投影向量即为在上的投影向量，即为，
则在上的投影向量的模为；
由，
则，所以，则.
12．（24-25高一下·贵州·期中）已知向量，与的夹角为，且，则在上的投影向量的坐标为______________．
【答案】
【分析】由得出，再由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果．
【详解】因为且，所以，则，又，
所以在上的投影向量的坐标为．
13．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求在方向上投影向量的坐标．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据向量垂直和向量线性运算的坐标表示求解即可；
（2）根据向量平行的坐标表示求出，结合投影向量的公式计算即可.
【详解】（1）由可得：，
即，解得.
（2）由，可得，即，解得，则，
因在方向上投影向量为，故其坐标为：.
14．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，．
(1)若，求x；
(2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可得解；
（2）先根据投影向量的计算公式求出x，然后根据向量夹角为锐角即可得出，且与不共线，然后列出关于λ的不等式组，解出范围即可．
【详解】（1）∵，，，
∴，解得；
（2）∵在方向上的投影向量为，∴，解得，
∴，，，
∵与的夹角为锐角，∴，且与不共线，
∴，解得且，∴λ的取值范围为：．
15．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知向量，，，且，.
(1)求向量，的坐标；
(2)若，.
（i）求与的夹角；
（ii）求向量在向量上的投影向量的坐标.
【答案】(1)，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列式求解；
（2）（ⅰ）首先求向量和的坐标，再代入向量夹角的坐标公式，即可求解；（ⅱ）代入投影向量的坐标公式，即可求解.
【详解】（1）因为，所以.解得.
因为，所以.解得.所以，.
（2）（i）..
所以.因为，所以.
（ii）设向量在向量上的投影向量为，则.
(
地
城
考点0
3
平面向量的数量积的运算
)
1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解.
【详解】，.故选：A.
2．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得.
【详解】因为，化简得：，解得：.故选：C.
3．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得.
【详解】由，可得，则.故选：D.
4．（24-25高一下·重庆北碚·期中）矩形中，，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】根据线性运算利用基底表示向量，再由数量积的运算法则性质求解即可.
【详解】因为，，
∴.故选：B
5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．0 B．1 C．8 D．4
【答案】C
【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案.
【详解】由于向量在向量上的投影向量为，故可得，即，所以。6．（24-25高一下·北京西城·期中）已知等腰△ABC中，，，点P是边BC上的动点，则（ ）
A．为定值10 B．为定值5
C．不为定值，与点P位置有关 D．为定值12
【答案】A
【分析】令的中点，利用等腰三角形性质及数量积的定义求解.
【详解】令的中点，由，得，,，
所以.故选：A
7．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知向量，则为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由向量减法、模的坐标计算公式求解即可.
【详解】若向量，则.故选：C.
8．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】根据题意，求得为等腰直角三角形，且，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】因为，可得，所以为的中点，所以为的直径，可得，又因为，所以为等腰直角三角形，且，
所以.故选：A.
9．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理判断出，求得斜边上的高，由此求得的取值范围，根据的夹角的取值范围，以及向量数量积运算公式，求得的最大值.
【详解】由于，，，.如图，作，
垂足为D.由，得.由题意知,且.
又.∴当点均与点A重合时，最大
故.故选：A
10．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，是正八边形内的动点（含边界），则的取值可能是（ ）

A．-10 B．10 C．30 D．50
【答案】AB
【分析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，则，故只需求的范围即可.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，
过作的垂线，垂足为，正八边形中，边长为4，所以，
所以，所以，所以，设，则，，所以，因为是正八边形内的动点（含边界），
所以的范围为，所以，故选：AB.

11．（多选）（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上的投影向量为 B．当时，
C．当时， D．的最大值为0
【答案】BCD
【分析】根据已知得是边长为2的等边三角形，且，由投影向量的定义及向量的线性关系判断A；由题设在中边的中线上，进而有判断B；应用向量数量积的运算律及模长列方程求参数值判断C；化，进而得到，结合有，即可得判断D.
【详解】由题设，是边长为2的等边三角形，且，
A：当时，，又，即，故在上的投影向量为，错；
B：当时，，即在中边的中线上，又为等边三角形，故，即，对；
C：当时，，则，
所以，
所以，即，又，故（负值舍），对；
D：
,
由，即①，所以，要使该值最大，只需最小，由①得，则，所以，对.故选：BCD
12．（多选）（24-25高一下·广东湛江·期中）六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上的动点，且线段MN经过点O．已知，，P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P与点A重合，则的最大值是7 B．若P是线段AB的中点，则
C．若P是线段AB的中点，则 D．的最大值是7
【答案】ACD
【分析】运用数量积的运算律，结合线性运算转化，进行计算，逐个判断即可.
【详解】对于A，若点P与点A重合，连接PO并延长，与圆O的另一个交点为H．
当点M与点H重合时，取得最大值7，则A正确．
对于B，当P是线段AB的中点时，，则B错误．
对于C，因为，，所以，则C正确．
对于D，因为，且，所以，则D正确.
故选：ACD.
13．（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则___________．
【答案】
【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且，所以
14．（24-25高一下·北京顺义·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则__________.
【答案】
【分析】由图可求以及与的夹角，利用数量积的定义即可求解.
【详解】由图可知，所以，
15．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在矩形中，，与的交点为，为边上任意一点（包含端点），则的取值范围为________.

【答案】
【分析】建系，由平面向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】以点为坐标原点，，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，

则，，，设，所以，，
则，因为，所以.
16．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ．
【答案】1
【分析】应用向量数量积的运算律有，再由已知和数量积的定义得到关于的表达式，即可求最大值.
【详解】由，
且，，，，
所以
，当时，的最大值为1.
17．（24-25高一下·北京西城·期中）如图，正方形的边长为4，与交于点E，P是的中点，Q为上任意一点，则__________．
【答案】8
【分析】由题意，直角中，然后利用平面向量的数量积的定义求解即可.
【详解】因为正方形的边长为4，与交于点E，P是的中点，Q为上任意一点，
所以，，，在直角中，，
所以．
18．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，，在边上运动，则的最小值为________.
【答案】
【分析】根据题意分析可知：，设，化简可得，结合二次函数分析求解.
【详解】因为，所以.设，已知在边上运动，，则. 且，，
所以，.所以，
对称轴为，当时，取得最小值为.
19．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知点，O为坐标原点，为轴上一动点.
(1)，求点的坐标；
(2)当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设点，由向量垂直的充要条件列方程，求出的值，即得点坐标；
（2）由的表达式中，利用二次函数的性质，求出其最小值即此时的的值，利用向量夹角的坐标公式计算即得.
【详解】（1）根据题意，设点，又，得，
由，即，解得或，
的坐标为或；
（2）由（1）可得：，
当时，取得最小值，此时，，
设与夹角为，则此时.
20．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中.
(1)当时，求的值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意先求出，再结合平面向量基本定理将和用表示，然后利用向量数量积的运算律计算即可；
（2）根据题意结合平面向量基本定理将和用表示，然后化简计算，再结合可求出的取值范围.
【详解】（1）当时，，因为在平行四边形中，，
所以，，
因为，，
所以
；
（2）因为，，所以，
，
所以
，
因为，所以，得，
所以的取值范围为.
(
地
城
考点0
4
平面向量夹角的运算
)
1．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入公式直接计算可得.
【详解】因为，所以故选：A.
2．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知向量满足，且在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为，且在上的投影向量为，则，
所以.故选：B.
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可.
【详解】已知，，设与的夹角为，
由，解得，则与的夹角．故选：C
4．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知单位向量的夹角为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与的夹角为，根据向量夹角公式先求出，再求夹角即可.
【详解】则，因为，所以，即与的夹角为.
5．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将两边平方可得，然后结合向量夹角余弦公式可得答案.
【详解】由两边平方可得，又，，
所以，所以.
因为，所以.故选：A
6．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可.
【详解】
以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系，则，，，，，设，，，，，与共线，设，，即，与共线，设，，
即，，解得，， ，，，
，，，
.故选：A.
7．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选题）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】由向量垂直的坐标表示，夹角公式可判断AB，由投影向量计算公式可判断D，由共线定理可判断C.
【详解】对于A：，由，得，解得，错误；对于B：，正确；对于C：由，确定，正确；对于D：在上的投影向量为，正确.故选：BCD.
8．（多选）（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则实数的值为
C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D．在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用向量共线的坐标公式解方程即得；对于C，利用向量数量积的意义与向量共线的坐标公式列不等式求解即得；对于D，利用向量投影的计算公式即得.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因，则，
，由可得，解得，故B正确；
对于C，因，则，
由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故C错误；
对于D，因，在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD.
9．（多选）（24-25高一下·浙江·期中）若，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A，根据数量积的定义即可判断；对于B，，即可判断；对于C，判断是否为0即可；对于D，计算即可.
【详解】对于选项A，，所以A正确；
对于选项B，，则，所以B正确；
对于选项C，，所以，C正确；
对于选项D，因为，
所以，因为两向量夹角范围是，所以，所以D错误.故选：ABC
10．（22-23高一下·山东青岛·期中）设，，则与的夹角________．
【答案】
【分析】应用平面向量的夹角余弦公式计算结合夹角范围计算求角.
【详解】因为，，设与的夹角为，，
所以，所以．
11．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知，则_____________.
【答案】/
【分析】由题意可得，利用两向量的夹角公式即可求解.
【详解】已知，则，即，所以，又，
则，因为，所以，
12．（24-25高一下·四川广元·期中）平面向量满足，，则的夹角为_______．
【答案】
【分析】由已知可求得，，进而利用向量的夹角公式可求得的夹角.
【详解】因为，所以，因为，两边平方得，所以，所以，又，所以，
所以的夹角为.
13．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量．
(1)求；
(2)求向量与的夹角的大小；
(3)若向量满足，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的数量积的坐标公式计算即得；
（2）利用向量的夹角公式计算即得；
（3）利用向量相等构造方程求得，即得结果.
【详解】（1）由向量，得.
由向量，得，又，于是，
而，所以.
（3）依题意，即，于是，解得.
14．（24-25高一下·海南海口·期中）如图，在中，是边上的中线，点满足，连接交于点.
(1)用表示；
(2)已知，求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则可得；
（2）建立平面直角坐标系，由向量的夹角公式和坐标运算可得.
【详解】（1）.
（2）
以为原点，建立如图所示直角坐标系，由，可得，
是边上的中线，则，则，，
所以.
15．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，记它们的交点为，设．
(1)用表示；
(2)求与的夹角的余弦值．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）根据图形的几何形状直接分解向量即可；
（2）根据公式，只需由数量积的运算律分别求出的值即可.
【详解】（1）因为，所以，在平行四边形中，点是的中点，所以，且，所以，所以，则，即．
（2）已知，则，，又已知，则，因为，所以，
又，设与的夹角为，
则．
(
地
城
考点0
5
有关平面向量模的运算
)
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积可求的值.
【详解】,
2．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，，，则m的值为（ ）
A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2
【答案】D
【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果
【详解】向量，，故，所以，解得或2．
3．（24-25高一下·江苏南通·期中）直角梯形，且，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】用表示其它向量后，由数量积的运算律列式计算即可．
【详解】，又，所以，因为，所以，所以，所以．故选：A
4．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】AC
【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D.
【详解】，将，的代入，可得，故A正确；
，故B错误；，故，C正确.
设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误.故选：AC.
5．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．非零向量和满足，则与的夹角为
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．若，，则
【答案】ABC
【分析】利用数量积的运算律可得，再求出，最后根据夹角公式计算即可判断A；由即可判断B；根据投影向量的定义判断C；举特例即可判断D.
【详解】对于A，由，，
所以，即，所以，
所以，所以与的夹角为，故A正确；
对于B，由，，所以，则与共线，所以与不能作为平面向量的基底，故B正确；
对于C，，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确；对于D，当时，满足，，而不一定平行，故D错误.故选：ABC.
6．（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上的投影向量为
C． D．的最大值为
【答案】BCD
【详解】因为，所以，则，故A不正确；
又在上的投影向量为，故B正确；
则，故C正确；由可设，则，所以，
又因为，所以，
所以，当且仅当与反向时，取到最小值，即取得最大值，且最大值为，故D正确.故选：BCD.
7．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（ ）
A． B．当时，为中点
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可.
【详解】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,
因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则，，，，设，对于A，，，所以，故A选项正确；
对于B，，，，由于，所以，解得，则为中点，故B选项正确；对于C，，，则，
所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确；
对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确；故选：ABD
8．（24-25高一下·上海·期中）已知，，，则__________．
【答案】
【分析】利用结合已知条件求解即可.
【详解】因为，，，所以.
9．（24-25高一下·广东深圳·期中）若向量，满足，，，则______．
【答案】
【分析】根据题设，由平面向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】由，有，即，得，
又，得．
10．（24-25高一下·云南文山·期中）已知非零向量，，其中，，且满足，则__________.
【答案】2
【分析】根据向量垂直的充要条件和数量积的定义即可求解.
【详解】∵，∴，即，则.
又∵，，∴，解得：．
11．（24-25高一下·北京房山·期中）如图，已知矩形中，，，点为上一点，则________；当最大时，________．
【答案】 9
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出各向量，根据向量数量积运算的坐标表示，求出数量积的表达式，求出结果.
【详解】
因为四边形是矩形，所以以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系.可得,因为点为上，可设，
可知，则.可知，则，因为，所以当时，取得最大值，此时，，则.
12．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________
【答案】4
【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可．
【详解】，即，
解得或（舍去），则．
13．（24-25高一下·云南丽江·期中）已知，是单位向量，且．
(1)若非零向量满足，求的最大值；
(2)若向量满足，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设为向量与的夹角，表示，推出，进而得到最大值;
（2）方法一：令，，，则，，根据几何关系求解；
（2）方法二：令，，，，则，所以点在以点为圆心，半径为的圆上，当点，，共线时，得到最大值和最小值，进而得到答案.
【详解】（1）因为，所以
，其中为向量与的夹角，所以．又，，所以，所以的最大值为．
（2）方法一：由，得．又，且，不妨令，，，则．又，故根据几何关系可知，，所以的取值范围是．
方法二： 令，，，，则．又，所以点在以点为圆心，半径为的圆上，如图所示，易知当点，，共线时，取得最值，最大值为，最小值为，所以的取值范围是．
14．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.

(1)设，用和表示，并求实数t的值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合题意求得、、的坐标，然后求出，，结合平面向量基本定理求出和表示的式子，再根据B、P、D三点共线，列式算出实数t的值；
（2）根据平面向量的坐标运算法则求出，然后根据向量模的公式，结合二次函数的性质求出求的取值范围.
【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，可得，，，
则，根据平面向量的加法法则，可得，
设，可得，解得，所以；
若，则根据B、P、D三点共线，可知存在实数m，
使，所以，解得.
（2）因为，，
可得，所以，
即，当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为.
(
地
城
考点0
6
有关平面向量的垂直、共线的运算
)
1．（24-25高一下·山东济宁·期中），，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值.
【详解】，，.故选：D.
2．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量，且，则实数的值是（ ）.
A．1 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由向量平行的坐标关系列式计算可得结果.
【详解】由，则有，解得.故选：A
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解.
【详解】由向量，，得，
由，得，所以.故选：B
4．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两向量垂直的坐标运算求解.
【详解】由，得=0,得；
又，故，，
故，，代入得：，.故选：D
5．（24-25高一下·云南德宏·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量共线建立方程，由基底的定义，可得答案.
【详解】对于A，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故A错误；
对于B，设则，显然无解，则向量与向量不共线，即能构成一组基底，故B正确；对于C，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故C错误；
对于D，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故D错误.故选：B.
6．（多选）（24-25高一下·云南德宏·期中）已知点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若，则
D．若与的夹角为锐角，则
【答案】ACD
【分析】根据向量模的计算公式，可得判定A正确；根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得的值，可判定B错误；根据共线向量的坐标表示，可判定C正确；根据向量的数量积的运算公式，可判定D正确.
【详解】因为，可得
对于A，由，可得，故A正确；
对于B，由，可得，解得，故B错误；
对于C，由，可得，解得，故C正确；
对于D，由与的夹角为锐角，则满足且向量与不共线，
则满足且，解得，故D正确.故选：ACD.
7．（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为 B．若，则与的夹角为锐角
C．若，则的值为 D．若，则
【答案】AC
【分析】由向量垂直的坐标表示直接计算即可判断A；由向量夹角为锐角得且与不共线，列式求解即可判断B；由向量平行的坐标表示直接计算即可判断C；先由向量垂直的坐标表示直接计算求解t，再依次计算相应向量模长即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，若与的夹角为锐角，则，且与不共线，所以，解得且，
所以当且时与的夹角为锐角，故B错误；对于C，因为，所以，解得，故C正确；对于D，由题意得，.因为，所以，解得，当时，，，此时，，，故D错误.故选：AC.
8．（多选）（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知向量，，设与的夹角为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则与的夹角为60° D．若与垂直，则
【答案】AD
【分析】根据平面向量的坐标表示，依次判断各项正误.
【详解】由可得，解得，故A正确；
若，则，，则，故B错误；
当时，，，故C错误；，，则，解得，故D正确．故选：AD.
9．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】ABD
【分析】先利用求模公式以及数量积的运算律得出，再利用求模公式、数量积的运算律、向量的夹角公式逐一判断ABD；设，利用平面向量基本定理判断的存在性判断C.
【详解】由题意可知，，且，则，
，
，故，B正确；
，故A正确；因，，若，则，使得，因不共线，则，此方程组无解，故与不共线，故C错误；因，则，因，则，故D正确.故选：ABD
10．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知和向量若，则实数m的值为________．
【答案】/
【分析】先根据、两点坐标求出向量的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解的值.
【详解】；
11．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量不共线，若与共线，则实数的值为__________.
【答案】
【分析】利用平面向量共线定理以及基本定理可构造方程组求得结果.
【详解】由题意，设，，则有，解得.
12．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且，则________．
【答案】
【分析】利用向量数量积的坐标运算，由即可求解.
【详解】由题意有，
13．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知，若，则_____．
【答案】
【分析】根据向量数量积坐标公式计算求参.
【详解】已知，又因为，所以，所以则．
14．（24-25高一下·湖南株洲·期中）平面上有三点，，，向量，．
(1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值
【答案】(1)
(2)或j．
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示计算可得：
（2）求出向量，根据向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】（1）若三点不能构成三角形，则，
又，所以，解得．
（2）因为，所以，
因为，所以，解得或.
15．（24-25高一下·云南文山·期中）已知平面向量，满足：，.
(1)求；
(2)求；
(3)若向量与的方向相反，求m的值.
【答案】(1)11
(2)
(3)．
【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算即可求解.
（2）根据平面向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算即可求解.
（3）先根据平面向量线性运算的坐标表示得出向量与的坐标；再根据向量共线的坐标表示列出方程求出m的值；最后验证m的值是否满足题意即可.
【详解】（1）∵，，∴，则，所以.
则，∴.
（2）∵，∴，∴.
（3）∵，，∴，
.又∵向量与的方向相反，
∴向量与向量共线，则，
解得或．
当时，向量与向量的方向相同，不满足题意；
当时，向量与向量的方向相反，满足题意.
综上可得：．
16．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，，且与的夹角为，
(1)求的值，
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解即可；
（2）根据题意可得，再结合数量积的运算律运算求解即可.
【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则，
所以.
（2）由（1）可知：，，，若，则，
可得，即，解得.
17．（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)当为何值时？
(3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？
【答案】(1)
(2)
(3)，反向
【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果；
（2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果；
（3）利用向量共线的充要条件得，根据平面向量基本定理，可得解.
【详解】（1）由已知得，
因为.所以
（2）若，即，所以，
即，解得，即当时，.
（3）若，即，
根据平面向量基本定理可得，解得，此时与反向.
18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且.
(1)当时，若，求的值；
(2)当时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意建立平面直角坐标系，写出坐标和向量，再通过题目给的条件列式即可；
（2）先设出点坐标，利用和条件列式并联立即可求解.
【详解】（1）由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则，
，、，又D为AC边上的中点，，
当时，E为BC边上的中点，，即、、，
又，，即，解得，.
（2）设，则，又，，，
、，又，，即，
解得，，解得.
(
地
城
考点0
7
平面向量与三角函数等知识的交汇问题
)
1．（24-25高一下·广西玉林·期中）已知向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量垂直的坐标表示列等式，整理即可得到.
【详解】因为，所以，整理得．故选：B．
2．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，满足，且，，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】求出的夹角，建立平面直角坐标系，求出终点的轨迹，再利用圆的性质求出最小值.
【详解】由，得，而，则，在平面直角坐标系中，令，设，由，得，即，则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，由，得，则点的轨迹为直线，所以的最小值为.故选：D
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：建立平面直角坐标系，根据三角函数定义设，然后由平面向量的坐标运算表示出，结合三角恒等变换和三角函数性质即可得解；法二：取的中点为，中点为O，利用极化恒等式化简，结合图形可解.
【详解】方法1：由已知，弧是以为圆心，1为半径的圆的一部分，以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，，
由任意角的三角函数的定义，设，，则，，，，
，令，，
则，当时，，，
，存在，使，即，
当时，的最小值为．
方法2：利用极化恒等式，取的中点为，则，
，取中点为O，则：，因为，所以，
当在弧上时，，当且仅当三点共线时取等号，
则故选：A．
4．（多选）（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最大值为 D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示与同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用平面向量模的三角不等式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对A：若，则，解得，A正确；
对B：若，则，所以，所以，B错误；
对C：因为，，而，当且仅当、反向时等号成立，此时，解得，即当时，取最大值，C对；
对D：若，即，故，
所以，D正确．故选：ACD.
5．（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为5
D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；将目标式子转换为三角函数即可判断 D．
【详解】对于A，，故A正确；对于B，由A知，，
，故B错误；
对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，，
设，所以，
当时，的最大值为5，故C正确；
对于D，,,
因为，所以
，因为，
所以当时，取得最大值，故D正确．故选：ACD．
6．（多选）（24-25高一下·甘肃金昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．四边形的面积为
C．外接圆的周长为
D．
【答案】BCD
【分析】利用向量的坐标运算求得即可求解选项A；根据四边形的面积为求解选项B；利用正弦定理求解选项C；利用向量数量积公式求解选项D.
【详解】由题意可得，所以，故A错误；
过点作轴的垂线，设垂足为点，过点作轴的垂线，设垂足为点
，则四边形的面积为
，故B正确；因，在直角三角形中，易得，设外接圆的半径为，由正弦定理，，解得，故外接圆的周长为，故C正确；因，，故D正确.故选：BCD.
7．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则
C．若为的内心，，则
D．若是的外心，，则
【答案】ACD
【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可；对于B：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.对于C：利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断；对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.
【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，
所以，，同理可得、，
所以，又因为，所以.正确；
对于B：因为，所以，所以，
所以，所以，
化简得：，又因为不共线，
所以，所以，所以，错误；
对于C，若为的内心，，则.，
又（为内切圆半径），所以，，故，正确；
对于D：因为是的外心，，所以，，
所以，因为，则，
化简得，由题意知不同时为正，记，，
则，因为，所以，
所以，所以，正确.故选：ACD.
8．（24-25高一下·云南文山·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，，把点B绕点A顺时针旋转后得到点P，则点P坐标为__________.
【答案】
【分析】利用定义运算来求，再利用坐标运算即可求点P坐标.
【详解】∵，又将点B绕点A顺时针旋转后得到点P，相当于将点B绕点A逆时针旋转后得到点P，∴，设，
则，所以即，
9．（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为______.
【答案】
【分析】根据题意建系，设取，，由图可得，由题得，，由正弦定理可得，再利用向量数量积的定义将所求式化成关于角的正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可求得答案.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设点取，满足
则，取，连接，则，依题意，
记中角所对的边分别为，由正弦定理，，
则得，由
，
因，故，故当，即当时，取得最大值1，
此时取得最大值为.
10．（24-25高一下·山东淄博·期中）如图，在等腰中，底边，D，E是腰AC上的两个动点，且形，则当取得最小值时，的值为_________.
【答案】
【分析】由共线向量定理求得，然后由基本不等式求得等号成立的条件解得，由是等腰三角形，且底边，取中点，连接，，计算求解即可.
【详解】因为D，E是腰AC上的两个动点，根据三点共线分别可得：，，所以，又，得到，
根据基本不等式可得，当且仅当，即，时等号成立，所以，则
又是等腰三角形，且底边，取中点，连接，则，且，
根据平面向量数量积的公式可得：，
11．（24-25高一下·四川成都·期中）已知向量的模长分别为，且，则的最大值为__________.
【答案】/
【分析】结合题意可设，，，表示出，进而求解出最大值.
【详解】由，则，不妨设，，，
则，则
，其中，当时，取得最大值.
12．（24-25高一下·广东·期中）在圆心在原点的单位圆上，有三个不同的点A，B，C，AB为直径，，点，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先由几何图形，结合向量的线性运算，化简，转化为隐圆问题，求圆上的点与圆外的点的连线的取值范围.
【详解】如图，取的中点，取的中点，，
由条件可知，，，所以，，则，所以点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆， 的最大值为，最小值为，
的最大值为，最小值是.
13．（24-25高一下·辽宁·期中）设向量，，满足，，，则的最大值为________．
【答案】；
【分析】如图，设，由题可得终点C所在图形，据此可得答案.
【详解】如图，设，由题可得，，取AB中点为D，过D做AB垂线，在垂线上取点E，F，使，从而可使，再以E，F为圆心，为半径作圆，则当一点G分别在两圆优弧上时，.注意到，则，即终点C在两圆优弧上.由图可得，当C在圆E优弧上，且C，E，O三点共线时最大.则.
14．（24-25高一下·辽宁大连·期中）直角坐标系中，已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，且和的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】(1)1；(2)
【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，可得，然后利用齐次式即可求值；
（2）根据向量夹角为锐角，可得数量积小于0且不共线，代入坐标计算即可.
【详解】（1）因为，，且，所以.
因为，所以，故.
（2）因为，所以，又，所以，
.因为和的夹角为锐角，所以且与不共线，
则，解得.又，即，
所以的取值范围是.
15．（24-25高一下·云南昆明·期中）在等腰中，已知．
(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，，求的最小值．
(3)若的最小值为1，求的值．
【答案】(1)当时，与垂直.
(2)
(3)
【分析】（1）在中由余弦定理求出，然后由垂直的向量表示求解即可；
（2）画出图，由为的重心得，因为，，所以，由三点共线得，然后由基本不等式求解即可；
（3）设，的夹角为，，所以当时，有最小值，所以，解得.
【详解】（1）因为，，所以由余弦定理得，即，所以.若与垂直，则，
所以，所以，解得，即时，与垂直.
（2）
因为为的重心，所以，又因为，，
所以，由于三点共线，所以存在实数使得，
所以，化简为，所以，所以.
显然，则，当且仅当时，即时，
取“等号”.则的最小值为.
（3）设，的夹角为，在中，，
所以，
又
.所以当且仅当时，取最小值，
所以，解得，即取最小值1时，.
16．（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，.
(1)若，求及的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；；(2).
【分析】（1）利用向量的线性运算和数量积公式求解；
（2）利用余弦定理、正弦定理以及向量的运算求解.
【详解】（1）当时，，则为的中点，所以，
即，
所以，
（2）在△中，由余弦定理得，即，由正弦定理得，即，解得，
因为，所以，所以，
因为，所以，
，解得或（舍去），故.
17．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，在中，，，，，且，.
(1)若，求的值；
(2)若向量与向量平行，求的值；
(3)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）以向量为基底表示向量，再根据数量积公式表示；
（2）利用基底表示向量，再根据向量平行的充要条件，即可列式求解；
（3）首先利用基底表示，再结合数量积公式，以及基本不等式，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
,，,，
所以所以.
（2），因为，
所以存在实数使得，即，
消去可得，所以，
（3），
所以，化简得，
又因为，所以，解得或
又因为，，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.
18．（24-25高一下·河北保定·期中）如图，圆C的半径为3（圆心为C），其中A，B为圆C上的两点．
(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，，，求的最小值；
(3)若的最小值为1，求的值．
【答案】(1)；(2)2；(3)
【分析】（1）根据已知条件求出线段长度，再利用向量垂直的性质求出的值，
（2）根据三角形重心性质和三点共线得到与的关系，最后利用基本不等式求出的最小值.
（3）利用向量数量积公式和已知条件算出.接着根据向量模长与平方关系，将转化为含的式子.再把这个式子看成关于的式子，通过配方得到二次函数形式.然后根据二次函数性质，求出取最小值时的值.最后由最小值为列方程，解出的值.
【详解】（1）因为，，所以，
若与垂直，则，所以，
所以，解得，即时，与垂直．
（2）因为G为的重心，所以，又因为，，
所以，由于P，G，Q三点共线，所以存在实数t，使得，
所以，化简得，所以．
显然，，则，
当且仅当时，即时等号成立，则的最小值为2．
（3）设，与的夹角为θ，在中，，
所以，
又
，所以当时，有最小值，所以，解得，即取最小值1时，．
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专题01 平面向量
4大高频考点概览
题型01 平面向量基本定理及线性运算
题型02 平面向量投影向量的运算
题型03 平面向量的数量积的运算
题型04 平面向量夹角的运算
题型05 有关平面向量模的运算
题型06 有关平面向量的垂直、共线的运算
题型07 平面向量与三角函数等知识的交汇问题
(
地
城
考点01
平面向量
基本定理及
线性运算
)
1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·福建漳州·期中）在中，点D在靠近A的三等分点上，连接，E为的中点，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．1
3．（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（ ）
A． B． C．1 D．
4．（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
5．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A．9 B．13 C．15 D．18
8．（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（ ）
A．0 B． C． D．1
9．（24-25高一下·江西宜春·期中）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，是（不含边界）内的动点，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期中）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，，与分别相交于两点．则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．
D．若，，则
12．（多选）（24-25高一下·广东江门·期中）在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若，，，则
C．
D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为
13．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________．
14．（24-25高一下·内蒙古乌海·期中）如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____
15．（24-25高一下·四川资阳·期中）已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为__________.
16．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，.
(1)求线段的长度，
(2)求的值.
17．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．
(1)若，请用向量来表示向量；
(2)若，求的最小值．
18．（24-25高一下·广东揭阳·期中）如图，平行四边形中，点是的中点，，，设，．
(1)用，表示，；
(2)若，，求的余弦值．
19.（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，P为AB边上一点，且，，，
且，的夹角为．
(1)用，表示，；
(2)求的值；
(3)当与垂直时，求实数t的值．
(
地
城
考点02
平面向量投影向量的运算
)
1．（24-25高一下·云南文山·期中）在△ABC中，，，设，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·山西晋城·期中）若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知四边形中，，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·福建三明·期中）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1 B． C． D．
6．（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·四川成都·期中）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（ ）
A．
B．向量与的夹角为
C．
D．向量在方向上的投影向量的长度为
9.（多选）（24-25高一下·河南·期中）已知平面向量，满足，，，则（ ）
A． B．与的夹角的余弦值为
C． D．在上的投影向量的坐标为
10．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.
11．（24-25高一下·北京通州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若，，则向量在上的投影向量的模为________；设，，若，则________．
12．（24-25高一下·贵州·期中）已知向量，与的夹角为，且，则在上的投影向量的坐标为______________．
13．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求在方向上投影向量的坐标．
14．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，．
(1)若，求x；
(2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
15．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知向量，，，且，.
(1)求向量，的坐标；
(2)若，.
（i）求与的夹角；
（ii）求向量在向量上的投影向量的坐标.
(
地
城
考点0
3
平面向量的数量积的运算
)
1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
2．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（24-25高一下·重庆北碚·期中）矩形中，，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．4
5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．0 B．1 C．8 D．4
6．（24-25高一下·北京西城·期中）已知等腰△ABC中，，，点P是边BC上的动点，则（ ）
A．为定值10 B．为定值5
C．不为定值，与点P位置有关 D．为定值12
7．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知向量，则为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
9．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
10．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，是正八边形内的动点（含边界），则的取值可能是（ ）

A．-10 B．10 C．30 D．50
11．（多选）（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上的投影向量为 B．当时，
C．当时， D．的最大值为0
12．（多选）（24-25高一下·广东湛江·期中）六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上的动点，且线段MN经过点O．已知，，P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P与点A重合，则的最大值是7 B．若P是线段AB的中点，则
C．若P是线段AB的中点，则 D．的最大值是7
13．（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则___________．
14．（24-25高一下·北京顺义·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则__________.
15．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在矩形中，，与的交点为，为边上任意一点（包含端点），则的取值范围为________.

16．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ．
17．（24-25高一下·北京西城·期中）如图，正方形的边长为4，与交于点E，P是的中点，Q为上任意一点，则__________．
18．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，，在边上运动，则的最小值为________.
19．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知点，O为坐标原点，为轴上一动点.
(1)，求点的坐标；
(2)当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值.
20．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中.
(1)当时，求的值；
(2)求的取值范围.
(
地
城
考点0
4
平面向量夹角的运算
)
1．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知向量满足，且在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知单位向量的夹角为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选题）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．在上的投影向量为
8．（多选）（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则实数的值为
C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D．在上的投影向量的坐标为
9．（多选）（24-25高一下·浙江·期中）若，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高一下·山东青岛·期中）设，，则与的夹角________．
11．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知，则_____________.
12．（24-25高一下·四川广元·期中）平面向量满足，，则的夹角为_______．
13．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量．
(1)求；
(2)求向量与的夹角的大小；
(3)若向量满足，求实数的值．
14．（24-25高一下·海南海口·期中）如图，在中，是边上的中线，点满足，连接交于点.
(1)用表示；
(2)已知，求的余弦值.
15．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，记它们的交点为，设．
(1)用表示；
(2)求与的夹角的余弦值．
(
地
城
考点0
5
有关平面向量模的运算
)
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，，，则m的值为（ ）
A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2
3．（24-25高一下·江苏南通·期中）直角梯形，且，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
5．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．非零向量和满足，则与的夹角为
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．若，，则
6．（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上的投影向量为
C． D．的最大值为
7．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（ ）
A． B．当时，为中点
C．的最小值为 D．的最大值为
8．（24-25高一下·上海·期中）已知，，，则__________．
9．（24-25高一下·广东深圳·期中）若向量，满足，，，则______．
10．（24-25高一下·云南文山·期中）已知非零向量，，其中，，且满足，则__________.
11．（24-25高一下·北京房山·期中）如图，已知矩形中，，，点为上一点，则________；当最大时，________．
13．（24-25高一下·云南丽江·期中）已知，是单位向量，且．
(1)若非零向量满足，求的最大值；
(2)若向量满足，求的取值范围．
14．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.

(1)设，用和表示，并求实数t的值；
(2)求的取值范围.
(
地
城
考点0
6
有关平面向量的垂直、共线的运算
)
1．（24-25高一下·山东济宁·期中），，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量，且，则实数的值是（ ）.
A．1 B． C．4 D．
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·云南德宏·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选）（24-25高一下·云南德宏·期中）已知点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若，则
D．若与的夹角为锐角，则
7．（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为 B．若，则与的夹角为锐角
C．若，则的值为 D．若，则
8．（多选）（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知向量，，设与的夹角为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则与的夹角为60° D．若与垂直，则
9．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
10．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知和向量若，则实数m的值为________．
11．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量不共线，若与共线，则实数的值为__________.
12．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且，则________．
13．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知，若，则_____．
14．（24-25高一下·湖南株洲·期中）平面上有三点，，，向量，．
(1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值
15．（24-25高一下·云南文山·期中）已知平面向量，满足：，.
(1)求；
(2)求；
(3)若向量与的方向相反，求m的值.
16．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，，且与的夹角为，
(1)求的值，
(2)若，求的值．
17．（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)当为何值时？
(3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？
18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且.
(1)当时，若，求的值；
(2)当时，求的值.
(
地
城
考点0
7
平面向量与三角函数等知识的交汇问题
)
1．（24-25高一下·广西玉林·期中）已知向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，满足，且，，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最大值为 D．若，则
5．（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为5
D．若，则的最大值为
6．（多选）（24-25高一下·甘肃金昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．四边形的面积为
C．外接圆的周长为
D．
7．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则
C．若为的内心，，则
D．若是的外心，，则
8．（24-25高一下·云南文山·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，，把点B绕点A顺时针旋转后得到点P，则点P坐标为__________.
9．（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为______.
10．（24-25高一下·山东淄博·期中）如图，在等腰中，底边，D，E是腰AC上的两个动点，且形，则当取得最小值时，的值为_________.
11．（24-25高一下·四川成都·期中）已知向量的模长分别为，且，则的最大值为__________.
12．（24-25高一下·广东·期中）在圆心在原点的单位圆上，有三个不同的点A，B，C，AB为直径，，点，则的取值范围是______．
13．（24-25高一下·辽宁·期中）设向量，，满足，，，则的最大值为________．
14．（24-25高一下·辽宁大连·期中）直角坐标系中，已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，且和的夹角为锐角，求的取值范围.
15．（24-25高一下·云南昆明·期中）在等腰中，已知．
(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，，求的最小值．
(3)若的最小值为1，求的值．
16．（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，.
(1)若，求及的值；
(2)若，求的值.
17．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，在中，，，，，且，.
(1)若，求的值；
(2)若向量与向量平行，求的值；
(3)若，求的最大值.
18．（24-25高一下·河北保定·期中）如图，圆C的半径为3（圆心为C），其中A，B为圆C上的两点．
(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，，，求的最小值；
(3)若的最小值为1，求的值．
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