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专题02 解三角形
4大高频考点概览
考点01 正（余） 弦定理的基本应用
考点02 有关三角形形状及三角形解的个数判断问题
考点03 有关三角形的面积或周长问题
考点04 有关解三角形中的最值问题
考点05 有关三角形中的高、中线、角平分线问题
考点06 解三角形与平面向量等知识交汇问题
(
地
城
考点01
正（余）
弦定理的基本应用
)
1．（24-25高一下·山东·期中）已知的内角的对边分别是，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可求解．
【详解】，因为，所以，则，即，故选：C．
2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】应用正弦定理求得，结合且，即可得.
【详解】由题设及，则，又，故为锐角，且，所以.
3．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，已知，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据两角和差的正弦公式计算，再结合正弦定理即可.
【详解】由题意可知，，又，
则由正弦定理可得，.故选：D
4．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解.
【详解】因为，所以由正弦定理得，
，又在中，，，
，，的外接圆直径为，.故选：B.
5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】由可得，已知，由即可得到半径.
【详解】因为，所以，即，则，又，则，又，由正弦定理可得，解得，即外接圆的半径为.故选：A.
6．（多选）（24-25高一下·吉林·期中）在中，，，，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．外接圆的直径是
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质求出，再利用余弦定理求出，接着根据正弦定理求出外接圆直径，然后求出，最后根据三角形面积公式求出三角形面积，再结合大边对大角判断角的范围，从而对各选项进行判断.
【详解】已知，因为是三角形内角，即，根据三角函数平方关系，可得 根据余弦定理，
已知，，，代入可得：，
所以. 根据正弦定理，可得，将，，代入可得：，所以选项正确. 因为，根据大边对大角可知，又因为，且是三角形内角，所以，那么，
同时，所以选项错误. 根据三角形面积公式，将，，代入可得：
，所以C选项错误. 根据正弦定理（为外接圆半径），可得外接圆直径，所以选项正确. 故选：AD.
7．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）三角形中，，，，____________
【答案】或
【分析】利用余弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理，可得，解得或，经检验符合题意.
8．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____.
【答案】
【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小.
【详解】由题设，，则，所以，，则.
9．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则_________.
【答案】/
【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出.
【详解】设，在中，由正弦定理可得①，由可得，
则，，在中，由正弦定理可得②，①②两式相除，得，即，
整理得，故.
10．（24-25高一下·山西忻州·期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，求c．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用余弦定理进行求解；
（2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可.
【详解】（1）变形为：，
所以，因为，所以；
（2）因为，且，所以，
由正弦定理得：，即，解得：．
11．（24-25高一下·北京顺义·期中）在中，，．
(1)若，求的值和的面积；
(2)若，求角的大小．
【答案】(1)，的面积为；(2)
【分析】（1）通过余弦定理得，可求，求得，可求出的面积；
（2）本题可根据已知，，然后根据求得余弦，进而可得解.
【详解】（1）由余弦定理易知，，又，，．
所以，整理得，解得或（舍去），所以，
又，所以，所以的面积为。
因为，，所以，因为，，
所以，则，
因为，所以.
12．（24-25高一下·重庆北碚·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求的值；(2)若，求的值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由切化弦，通分化简，结合即可求解；
（2）由得：，再结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为在中，，，则，
由，则.
（2）由题意，，又由余弦定理可得，，由得，整理可得，即，所以.
13．（24-25高一下·河南·期中）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若的面积为，求.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用正弦定理，化简已知条件，即可求得；
（2）根据（1）中所求，结合三角形面积公式，求得，再利用余弦定理即可求得.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
则，即，又在中，由，故.
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，得.又由，有，
则，可得，由余弦定理得，则，可得.
14．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）在中，角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求的值；
(2)若，求
（i）的值；（ii）的值.
【答案】(1)；(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用余弦定理可求出的值；
（2）（i）利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值；
（ii）分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值.
【详解】（1）因为，可得，即，
由余弦定理可得.
（2）（i）因为，故为锐角，所以，
因为，由正弦定理可得，故；
（ii）因为，则，即，故为锐角，所以，
所以，，
因此，.
(
地
城
考点02
有关三角形形状及三角形解的个数判断问题
)
1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式.
【详解】因为，由余弦定理知，所以，整理得，即的形状是直角三角形.故选：B.
2．（24-25高一下·河北承德·期中）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（ ）
A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】由已知易求得，利用余弦定理，结合，可得，可得结论.
【详解】在中，，又，故．由余弦定理得，结合，得，解得，所以一定是等边三角形．故选：D．
3．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解；
对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解；对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解；
对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解.故选：D.
4．（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可.
【详解】解：，可得，由余弦定理可得，
整理可得：，即，所以或，
即或，∴的形状是等腰或直角三角形.故选：C。
5．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】利用余弦定理变形，再结合余弦函数的性质判断即可.
【详解】在中，由余弦定理得，整理得，而，函数在上单调递减，因此，所以是等腰三角形.故选：C
6．（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不确定的
【答案】A
【分析】根据题意，利用余弦定理，得到，再由，代入整理得，进而得到，即可得到答案.
【详解】在中，由余弦定理得，因为，可得，
代入上式，整理得，即，所以，所以，所以为等腰三角形.故选：A.
7．（多选）（25-26高一上·西藏昌都·期中）下列命题中， p是q的充要条件的有（ ）
A．设是的三条边，，为直角三角形，
B．设是的三条边，，为钝角三角形，
C．设是的三条边，，为锐角三角形，
D．两个三角形全等，两个三角形面积相等
【答案】ABC
【分析】利用余弦定理及充要条件的定义推理判断ABC；利用充要条件定义判断D.
【详解】对于ABC，是的三条边，且，则边所对角为最大角，由余弦定理得，为直角三角形，A是；
为钝角三角形，B是；
为锐角三角形，C是；对于D，面积相等的两个三角形不一定全等，p不是q的充要条件，D不是.故选：ABC
8．（多选）（24-25高一下·福建莆田·期中）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则三角形有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
【答案】AD
【分析】A：由大边对大角可知结论；B：由正弦定理，结合大边对大角，可得结论；C：解法一：利用余弦定理角化边然后分解因式可得结论,解法二：利用正弦定理边化角，利用二倍角公式化简，进而利用三角函数的性质得到结论；D：利用余弦定理得到,进而得到结论.
【详解】由大边对大角可知，故A正确；对于B：若，，，由正弦定理可知，∴，∴，∵，∴，∴角为锐角，∴角只有一解，∴只有一解，故B错误；
对于C：解法一：若，结合余弦定理可得，整理分解因式可得，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
解法二：∵，，∴，∴，
∵，∴或，∴或，
∴为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D：∵，结合余弦定理可得，又∵，则，
∴为钝角三角形，故D正确.故选：AD.
9．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．是锐角三角形，则
【答案】ACD
【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式判断C，根据，结合正弦函数单调性判断D.
【详解】选项A：因为，且是的内角，所以，所以，
所以都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；
选项B：由及正弦定理可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；
选项C：由及正弦定理可得，即，
因为是的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；
选项D：是锐角三角形，所以，即 ，则，故选项D正确；故选：ACD
10．（多选）（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形或直角三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则符合条件的有两个
【答案】ABD
【分析】对于A，分和两种情况结合正弦函数的单调性讨论即可；对于B，得到或，即可判断；对于C，可以得到，但是不一定是最大角，由此即可判断；对于D，由正弦定理即可判断.
【详解】对于A：由，则当时，，当时，由可知，所以，A正确；
对于B：由，，，得：或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确；
对于C：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断A，B的范围，C错误.
对于D：由，根据正弦定理得：，∴，且，所以满足条件的三角形有两个，D正确.
故选：ABD.
11．（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则的取值范围为_____.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
【详解】在中，由及正弦定理可得：.
∵有两解，，即.
12．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)设的面积为，，判断的形状．
【答案】(1)；(2)为钝角三角形.
【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理可得，再根据以及求解即可.
（2）由三角形面积公式可求得，求解与，再由，，的关系即可求解.
【详解】（1）由题意可得，，根据正弦定理可得，
即，所以，由，可得，因为，所以，可得.
（2）因为的面积为，所以，所以，因为，，
所以，解得或，所以或，
当，时，根据余弦定理，即，
同理当，时，解得，因为，可得为钝角三角形.
13．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若的面积为，周长为6，试判断的形状.
【答案】(1)；(2)等边三角形
【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式及特殊角三角函数值即可求得A的值；
（2）利用三角形面积公式和余弦定理求得的三边长，进而判断出的形状.
【详解】（1）由正弦定理，可化为，
又在中，,则上式可化为，
因为，则，则上式可化为，即，则，
又，则，故
（2）由，可得，又由，可得，
则可化为，整理得，又由，
则，可化为，解之得，则，解之得，
则的形状为等边三角形.
14．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，若
(1)若，求角；
(2)若，，判断的形状；
(3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围.
【答案】(1)或；(2)直角三角形；(3)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，化简可求的值，进而求出角；
（2）由题意求得或，结合勾股定理即可得解；
（3）根据余弦定理可求出的取值范围，进而求面积的取值范围.
【详解】（1），，
即，又，
即得，又或；
（2）由题意，
因为，
所以，解得，又因为，
所以或，因为，，所以是以为直角的直角三角形；
（3）角为钝角，，由余弦定理得：，
角为钝角，，即，.
(
地
城
考点0
3
有关三角形的面积或周长问题
)
1．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得.
【详解】由题意，，可得；由余弦定理，，
代入条件，可得，解得.故选：B.
2．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】由题意利用同角三角函数关系求得，利用三角形面积公式得，结合，利用余弦定理求解即可．
【详解】由可知，三边成等差数列，所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角，
因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角，又，所以.
由题意可得：，化简得，又，，
所以，所以，解得（负根舍去）.故选：B．
3．（24-25高一下·四川德阳·期中）已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为_____.
【答案】4或8
【分析】根据条件判断角，以及三角形的形状，结合条件，即可求解.
【详解】由条件可知，，且，所以，，所以是等腰直角三角形，或，时，，得，此时的面积为；
时，，得，此时的面积为.
4．（24-25高一下·贵州黔南·期中）在中，已知，面积，则_________．
【答案】
【分析】根据三角形的面积公式可求得，再结合二倍角公式求解即可.
【详解】在中，，则，即，
则.
5．（24-25高一下·四川成都·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)已知，若是的一条内角平分线，，求的周长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式可得；
（2）根据余弦定理和列方程组求出即可得解.
【详解】（1）由正弦定理边化角得，又，
所以，整理得，
因为，所以，因为，所以.
由余弦定理得，即，因为，
所以，整理得，代入得：，解得（负根已舍去），所以的周长为.
6．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图，中，，D是边上一点，，，．
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理求解即可.
（2）由（1）得，从而得到，再利用正弦定理求解即可.
（3）首先利用正弦定理得到，从而得到，再利用面积公式求解即可.
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理，得，又，所以.
（2）由（1）知，所以，在中，，由正弦定理，得.
（3）在中，，，所以，
在中，由正弦定理，得，
所以，所以.
7．（24-25高一下·重庆·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：．
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）利用正弦定理及条件，进行边化转角，进而利用三角恒等变换即可证明；
（2）利用正弦定理以及余弦定理，解得边与角，根据面积公式，可得答案.
【详解】（1）由正弦定理及，得，
所以，所以，
所以，因为，
所以或，所以或（舍去），所以；
（2）由正弦定理可得，即，所以，解得，又，所以，由余弦定理可得，则，
整理可得，分解因式可得，解得或，
当时，可得的面积．
当时，，则，此时，不合题意；综上所述：的面积为．
8．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角所对的边分别为．已知．
(1)求角；
(2)设为边上一点，记，的面积分别为，若，且．
①求；②求的值．
【答案】(1)；(2)①；②.
【分析】（1）由正弦定理和二倍角正弦公式得，结合三角形内角性质得，结合题设即可求得角；
（2）①由（1）可得，，利用等面积法及，应用三角形面积公式列方程，结合平方关系求，②根据①中方程求出，即可得的值.
【详解】（1）由和正弦定理，可得，即(*)，
又且，则，故由(*)可得，联立解得；
（2）①由（1）易得，则有，，因，，
则，
即得，代入，可得①，
由，可得②，
将①②两式相乘，得，又，
联立解得，因为锐角，则；
②由上可得，代入①，，
所以，故.
9．（24-25高一下·云南·期中）在中，角所对的边分别为，若.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由三角恒等变换和正弦定理得到，由余弦定理得到；
（2）由三角形面积公式得到，由余弦定理变形得到，求出三角形周长.
【详解】（1），其中，，由正弦定理得，，
.，∴；
（2），.又，
，.的周长为.
10．（24-25高一下·湖北十堰·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知外接圆半径为，且.
(1)求.
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理得到，结合，求出答案；
（2）先由正弦定理得到，再结合余弦定理得到，由三角形面积公式得到答案.
【详解】（1）因为，且，所以，
所以，由余弦定理，得，又，所以；
（2）因为，所以，由余弦定理得，
解得，所以
11．（24-25高一下·河南·期中）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
，
，
，
因为，所以，即，所以，
因为，所以，所以有，所以.
（2）因为，且的面积为，所以有，
所以，即，所以周长为.
12．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长；
（2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果
【详解】（1）因为，，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，在中，由余弦定理得，
所以，解得，所以四边形的周长为；
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以四边形的面积为．
13．（24-25高一下·湖南娄底·期中）在中，角的对边分别为.
(1)求.
(2)若，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理结合辅助角公式计算求解；
（2）应用余弦定理结合基本不等式计算求值.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因为0，所以，，又，所以.
（2）因为，由余弦定理可得，所以4，
，当且仅当时，取的面积的最大值.
14．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，当的周长取最大值时，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到；
（2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为，所以，又因为，且，所以，
又因为，，所以，即.
（2）在中，由余弦定理，得，
即，所以，
当且仅当时取等号，所以周长的最大值为，此时面积.
15．（24-25高一下·福建福州·期中）已知的内角所对的边分别为，．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由正弦定理、两角和的余弦公式及诱导公式求得的值；
（2）利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得， 所以，
所以，因为，所以，所以；
（2）因为，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，因为，由余弦定理得，
所以， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为.
(
地
城
考点02
有关解三角形中的最值
或范围
问题
)
1．（25-26高一上·广东·期中）古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形面积公式，结合基本不等式求解最值即可.
【详解】由题意可知，，，，
则，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为16，所以三角形面积的最大值.
2．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值.
【详解】
因为，，所以.又因为，所以，. 根据等面积法可得：，即，整理得.由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立.则，解得：，此时，时等号成立.故.故选：D
3．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】连接，
在中，，，
由余弦定理可得，在中，，由余弦定理可得
，即，当且仅当时，等号成立，所以，，即面积的最大值为.故选：A.
4．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据已知条件应用正弦定理结合基本不等式得出最大值，再应用二倍角公式及弦化切计算求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
又因为，
所以当且仅当，即时等号成立，即取最大值，又因为，所以，所以，由于，且，所以.
5．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而表示出，最后由面积公式及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，由余弦定理可得，
所以，所以，又，所以，
又，所以，
所以，所以当，即时，取得最大值，且.故选：D
6．（24-25高一下·河南·期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件结合余弦定理可得，利用正弦定理边化角得，求得，结合是锐角三角形和三角形内角和定理求出，再由正弦定理结合三角恒等变换可得，运算得解.
【详解】由余弦定理，与联立，可得，即，由正弦定理可得，，即，故或（舍去），因为，故，故，所以，因为是锐角三角形，所以，解得，则，
所以.
7．（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点在线段上，且，则面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式先求，进而得，由得，又，最后利用均值不等式和三角形的面积公式即可求解.
【详解】由题意有，所以，
又，所以，
所以，
所以
，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，故选：B.
8．（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若不存在，则a的取值范围为
B．若存在唯一，则a的取值范围为
C．若存在两个符合条件的，则a的取值范围为
D．若为锐角三角形，则a的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出，再利用正弦定理逐项分析判断.
【详解】在中，由及正弦定理，
得，而，则，由正弦定理得，对于A，由不存在，得，解得，A正确；
对于B，当时，，，唯一，B错误；对于C，存在两个符合条件的，则且，解得，C正确；对于D，当时，，则，，为钝角三角形，D错误.故选：AC
9．（多选）（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为 B．外接圆半径的范围为
C．的面积最小值为 D．的周长范围为
【答案】ABD
【分析】对A：根据三角形是锐角三角形，则每个角均为锐角，列出不等式组，求解即可；对B：根据正弦定理可得：，结合的范围，求得函数值域，即可求得范围；对C：根据正弦定理，求得三角形面积关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得面积的范围；对D：求得三角形周长关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得周长范围.
【详解】对A：因为△为锐角三角形，故可得：，也即，解得，故A正确；
对B：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，也即，
由A可知：，故，故，故B正确；
对C：由正弦定理，也即可得：，
故△的面积，
由A可知：，故，故，故，没有最小值，故C错误；
对D：由C可知：，，设△的周长为，则
也即，由A可知：，故，则，则，故，故D正确；故选：ABD.
10．（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为且.
(1)求角；
(2)求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解；
（2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解.
【详解】（1）因为，所以，又为锐角三角形，即，所以，由正弦定理，所以，因为，所以，又因为为锐角，所以；
（2）由正弦定理有，所以，
所以的面积
，
因为是锐角，所以，即解得，所以，
所以，所以，则的面积的取值范围为.
11．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设的内角的对边分别为，是边的中点，.
(1)若，求面积的最大值；
(2)若的面积为且 ，求的值;
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将放在坐标系中，为原点，设，，利用，即可求得，得到的范围，利用面积公式表示出三角形的面积，即可求得最大值；
（2）由是中点，所以的面积是面积的一半，即可求得的长，利用余弦定理求出的长，即可利用正弦定理求出；
（3）以为原点建立坐标系，设，利用向量数量积的变形，表示出，即可求得结果.
【详解】（1）如图，将放在坐标系中，为原点，设，，
因为，所以，又，
所以，解得，
即，即，又，可得，
又面积，所以当时，面积的最大，且为.
（2）在中，的面积为，因为是中点，所以的面积是面积的一半，即，所以，，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，即，所以.
（3）如图，以为原点，建立坐标系，则，设，则，
又，所以，
又，所以，因为，所以，所以，，
即的取值范围为.
12．（24-25高一下·广东江门·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，，求a；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（1）利用余弦定理角化边求解.
（2）利用三角形面积公式及余弦定理求解.
（3）由（1）令，再利用锐角三角形条件及和差角的正弦求出范围.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
而，解得，而，所以.
（2）由及，得，解得，而，则，
由余弦定理得，所以.
（3）由（1）知，令，由为锐角三角形，得，则，因此，所以的取值范围是.
13．（24-25高一下·广东·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求B；
(2)已知D为边AB上的一点，且.
（ⅰ）若，，求AC的长；（ⅱ）求的取值范围.
【答案】(1)；(2)（1）；（2）
【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合正弦和角公式可得,根据，化简可得，即可求解，
（2）（ⅰ）在中，由余弦定理求解，进而根据诱导公式以及正弦定理得，解得，进而根据同角关系以及锐角三角函数求解，
（ⅱ）在中由正弦定理，得，在中，由锐角三角函数得，进而可得，利用二倍角公式化简得，即可根据余弦函数的性质求解.
【详解】（1）由题意知，又由正弦定理得，
所以.又，所以，
所以，所以，因为，所以，所以，又因为，所以.

（2）（ⅰ）因为，根据余弦定理得，所以，因为，
所以，在中，由正弦定理知，，即，
所以，进而,所以故，
（ⅱ）因为，所以，在中，由正弦定理得，所以；又在中，；所以，
因为，所以，所以，
所以的取值范围是.
14．（24-25高一下·广东江门·期中）在锐角中，是角的对边，若满足.
(1)求角的大小；
(2)求取值范围；
(3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；
（2）利用三角恒等变换可得，结合角A的取值范围以及正弦函数有界性分析求解；
（3）分析可知为等边三角形，令，利用正、余弦定理可得，，结合面积公式运算求解即可.
【详解】（1）由，由正弦定理可得，
因为，则，
可得，即，
又因为，则，可得，即，且，所以.
（2）在锐角中，由（1）得，则，可得，解得，
可得，
由，得，则，即，
所以的取值范围为.
（3）由（2）知，当取得最大值时，，即，且，可知为等边三角形，
在中，令，由正弦定理可得，
则，由余弦定理可得，
则，
所以，所以
，
且，故当时等号成立，所以面积的最大值为.
15．（24-25高一下·河北承德·期中）已知中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求的大小；
(2)若，，求外接圆的半径；
(3)若点在线段上，，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）在中，利用正弦定理边化角，化简整理求出，所以；
（2）由余弦定理得求得，进而外接圆的半径；
（3）利用面积方法可得关系，然后利用基本不等式求最小值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，整理得，
而，则，两边平方得，又，
所以，，于是，解得，所以．
（2）由（1）知，由余弦定理得，
而，，则，解得，所以，
所以外接圆的半径为．
（3）由（1）知，由，则，
由，，则，则，即，
因此，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
16．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角的对边分别为.
(1)证明：；
(2)若，求的值；
(3)求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将题设条件合理变形，结合正弦定理与两角和的正弦公式化简即可.
（2）利用正弦定理得到，由题可得，再利用余弦定理即可求得的值.
（3）结合已知结论得到，设，再对其合理变形得到，利用正弦函数的值域建立不等式，求解即得的最大值.
【详解】（1）因为，
可得，
由正弦定理，，
则得，可得，即，得证.
（2）由（1）和正弦定理，可得，又，则，
由余弦定理，.
（3）由已知得，则，可得(*)，
，则得，因，则，此时，不合题意，
故，将（*）两边同除以，可得，解得，
令，则，化简得，则，
其中,可得，故，，则，得到，解得，综上，的最大值为.
17．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，，
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦、正弦定理及三角形面积公式求解.
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求出范围.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，整理得，而，
于是，而，则，由正弦定理得，
又，则，所以的面积为.
（2）由（1）知，由余弦定理，得，
即，则，当且仅当时取等号，又，因此.所以的取值范围
18．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）化简结合余弦定理求解即可
（2）根据面积与正弦定理可得，结合可得，再根据三角关系可得，进而可得取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
整理得，所以.因为，所以.
（2）因为的面积，所以.又，所以，
则.又因为，所以，所以，故，即的取值范围是.
19．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，所对的边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)点在边上，，．
（i）求面积的最大值；
（ii）求的最小值．
【答案】(1)
(2)；.
【分析】（1）由正弦定理边角互化结合余弦定理可得答案；
（2）（i）由题可得，则，然后由基本不等式可得，结合可得答案；
（ii）设，由，则，结合，可得，然后由分离常数，整体代换结合基本不等式可得答案.
【详解】（1）因，由正弦定理边角互化可得：
；
（2）（i）因，则，
又注意到，，
则，
由基本不等式，，又由（1），，
则.当且仅当，即时取等号.
（ii）设，则，其中.又，则.
由（1）可得，
则.
注意到.对于，令，其中.则，，
当且仅当，即时取等号.则，
则.
(
地
城
考点01
有关三角形中的高、中线、角平分线问题
)
1．（24-25高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理得，然后利用中线的向量表示得，利用数量积的运算律及模的运算公式求解的长即可.
【详解】由余弦定理得，解得（负根已舍去），因为是边上的中点即，所以，所以.故选：D
2．（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，点D为边上一动点，则（ ）
A． B．当为边上的高线时，
C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时，
【答案】ACD
【分析】根据余弦定理求出判断A，根据等积法求出上的高判断B，取的中点，连接，则由余弦定理可求，故可判断C，根据等积法可求出角平分线长后判断D.
【详解】对于A，由余弦定理，可得，所以，所以A正确；对于B，由正弦定理，可得，
而，故，所以B错误；对于C，如图所示，取的中点，连接，则，可得，在中，由余弦定理，可得，可得，所以C正确；
对于D，因为为角的平分线，设，由，可得，可得，所以D正确.故选：ACD.
3．（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（ ）
A．若CD是中线，则 B．若CD是高，则
C．若CD是角平分线，则 D．若D是线段AB的三等分点，则
【答案】AC
【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题.
【详解】
A选项：由余弦定理知：因为是中线，则
则则
B选项：
则则故B错误.
C选项：即
则则故C正确.
D选项：在中在中若，
可得若是线段的三等分点，则或，但,均不是方程的解，则选项D错误.
故选：AC.
4．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知中，分别为内角的对边，且，
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案
（2）利用三角形的面积关系解出即可
【详解】（1）在中，由正弦定理及得：，化简可得：，由余弦定理得，又，所以
（2） 是的角平分线，则，由可得，因为，，即有，故.
5．（24-25高一下·云南文山·期中）在中，角的对边分别为，且，.
(1)若，求的值；
(2)若为锐角三角形.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】(1)先边化角，结合两角和的正弦展开式求出角再利用余弦定理求的值；
(2) （ⅰ）锐角三角形中最大角必为锐角结合余弦定理写出三边关系求出的取值范围；
（ⅱ）由的取值计算出的取值范围结合面积公式及倍角公式计算出的取值范围即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∵，∴．
由余弦定理可得，∴，∴．
（2）（ⅰ）已知，，，∴，又∵△ABC为锐角三角形，
所以，即，∴，∴．
（ⅱ）因为，所以，所以．
又∵，∴，
化简得，又∵，∴，
∴，∴．
6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
【答案】(1)；(2)①；②
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解；
（2）①由面积公式求出，再由，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解；②由等面积法得到，再由基本不等式求出的最大值.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，由余弦定理，因为，所以，所以；
（2）①由（1）知，因为的面积为，所以，解得，
由为的中点，所以，
所以，当且仅当时，等号取得到，所以，则，故的最小值为；
②因为为角的角平分线，所以，由于，
所以，所以，又，
所以由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，故的最大值为
7．（24-25高一下·河南新乡·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，.
(1)求B；
(2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长；
(3)若为锐角三角形，求面积的范围.
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）由正弦定理化角为边，利用余弦定理可求答案；
（2）利用三角形的特征求出角，利用余弦定理可求答案；
（3）利用正弦定理表示，写成面积表达式，结合角的范围可求答案.
【详解】（1）由题可得，
∴，∵，∴.
（2）D为线段BC上一点，且满足，，∴为等边三角形，∴.
设，在中，，即，整理得：，解得或（舍），即.
（3）在△ABC中，，由正弦定理得：
，
于是得.因为是锐角三角形，则，且，于是有，则，即，，
从而得，所以△ABC面积的取值范围是.
8．（24-25高一下·山西吕梁·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，边上的中线的长为，求的面积；
(3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积；
解法二：由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积；
（3）由结合三角形的面积公式得出，利用基本不等式可得出的最小值，由此可求得面积的最小值.
【详解】（1）由及正弦定理得：
，
因为、，所以，则，故.
（2）解法一：因为，为中点，则，
由余弦定理得，得，
在中，，
在中，，因为，
所以，所以，，解得：，
故的面积为；
解法二：因为为的中点，则，
所以，，即，
由余弦定理可得，即，
所以，故的面积为.
（3）因为，平分，所以，
又，则由，得，所以，由基本不等式可得，则，得，当且仅当时，等号成立，所以，故面积的最小值为.
9．（24-25高一下·安徽·期中）记的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若是的一条内角平分线，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角转化，再结合两角差正弦计算求解；
（2）应用角平分线结合面积公式得出，再应用余弦定理计算求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
即，即，
.
（2）由题意得，，
由，得，
即，即，①.
由余弦定理，得，即②.联立①②，
得或（舍），的周长为.
10．（24-25高一下·山东淄博·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求边上的中线长度的最小值；
(3)若，，若为角平分线，求的长度．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解.
（2）利用余弦定理、中点向量公式，结合基本不等式求出最小值.
（3）利用三角形面积公式列式求解.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得，
即，而，则，又，所以.
（2）由（1）知，由余弦定理得，
，当且仅当取等号，则，又，
因此，
所以当时，边上的中线取得最小值.
（3）依题意，，，，
由，得，
则，解得，所以的长度为.
11．（24-25高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，，的平分线交于点，求线段的长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角；
（2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得；
（3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围
【详解】（1）
即 ，因，则，故，解得.
（2）由（1）已得 由为的平分线，可得
设，由可得 ，
即 解得 ，即.
（3）

方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点，
当点在之间时， 为锐角三角形
∴，即，因，则得，
的面积的取值范围为.
方法二：由正弦定理，可得
∵均为锐角 解得 故 可得
故又 ，的面积的取值范围为
12．（24-25高三上·四川眉山·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
(3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化成角，再利用和角的正弦公式求解即可；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求解即可；
（3）利用正弦定理求出，利用余弦定理得到，方法一根据得到，方法二利用向量加法得到，最后求出即可求出周长.
【详解】（1）由正弦定理得：，又，
，
即，又，，，又，；
（2）由余弦定理得，，
，，当且仅当时等号成立，
，所以面积最大值为；
（3）由正弦定理得，解得，即，
为边上的中点，，由余弦定理得，即①，
方法一：在中，，在中，，
，，即，整理得：②，
由①②得：，，解得：，
的周长为.
方法二：由向量加法得，，即②，
由①②得，，解得，
的周长为.
13．（24-25高一下·云南昆明·期中）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）由于，利用面积公式可得，再利用余弦定理可得，可求面积.
【详解】（1），由正弦定理，可得，
∴．
∵，∴，∴，又，∴．
（2）由（1）可知，而，由BD平分得：，
∴，即．
在中，，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，∴.
14．（24-25高一下·福建莆田·期中）记的内角的对边分别为，三个内角满足且为锐角，，
(1)求角的大小；
(2)为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值．
条件①：CD为的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）将已知的三角函数等式通过恒等变形转化为关于角的方程，利用角度和的三角恒等式和正切函数的和公式，最终求得角的正弦值，结合锐角条件确定角的大小.
（2）选择条件①：利用余弦定理与面积及均值不等式得出结果. 选择条件②：利用角平分线的性质与向量的平行四边形法则结合进行运算，最后在运用均值不等式得出结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，
所以，即，因为，所以．
（2）选择条件①：
在中，由余弦定理，得，即，
故，当且仅当时，等号成立，又因为.
所以.故CD的最大值为3．
选择条件②：
由题，平方得，
在中，由余弦定理得，所以，故，当且仅当时，等号成立，故有，从而，即CD的最大值为3．
15．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及诱导公式化简结合两角和正弦公式计算求解；
（2）由题意可得，两边平方化简可求出，从而可求出的面积，再利用三角形面积公式可求出BC边上的高.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
所以，
所以，所以，
因为，所以，即，所以，因为，所以；
（2）因为为边上的中线，
所以，两边同时平方得，因为，，
所以，得，所以，解得或（舍去），
所以的面积，
由余弦定理得，所以
设BC边上的高为，因为的面积，所以，得.
(
地
城
考点02
利用正（余）弦定理解决实际问题
)
1．（24-25高一下·天津河北·期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理可求答案.
【详解】因为，，所以，由正弦定理可得，
即，因为点C测得塔顶A的仰角为，所以.故选：C
2．（24-25高一下·辽宁·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数）
A．80.56米 B．81.46米 C．84.32米 D．86.56米
【答案】B
【分析】设，分别在与中利用正弦定理，列方程，解方程即可.
【详解】由已知设，则，，在中，由正弦定理得，即，又在中，由正弦定理得，即，
则，则，故选：B.
3．（24-25高一下·四川成都·期中）学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出各个角的度数，在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度.
【详解】依题意， 又，则，即有 在中，，由正弦定理得 且 则 在中， 所以山高为米.故选：A.
4．（19-20高三上·山东德州·期中）奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度．
【详解】如图，由题意可得，，
∴，在中由正弦定理，，即，解得．
∴，则（）．故选：B．
5．（24-25高一下·山东烟台·期中）斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先用三角函数表示出，进而得出，再根据同角三角函数的商数关系及两角差的正弦公式化简即可．
【详解】在中，，在中，，所以，故选：A．
6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（ ）
A．30 B．60 C．40或60 D．30或60
【答案】D
【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值．
【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达，
则，，，，由正弦定理可得：，即，．或，
（1）若，则，为直角三角形，；
（2）若，则，为等腰三角形，
综上，的值为30或60.故选：D．
7．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球 圆柱 棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣 索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶 教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣 索菲亚教堂的高度约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.
【详解】由题可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，
所以由正弦定理可得，所以，则在直角中，，即圣.索菲亚教堂的高度约为.
8．（24-25高一下·重庆渝北·期中）渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（ ）

A．34m B．35m C．36m D．37m
【答案】C
【分析】设直线与交于点E，分别用表示出，利用解出，再解出，最后求出雕像高即可.
【详解】如图，设直线CD与AB交于点E，则，

由题意得，又，且，
代入解得，从而，进而，则雕像高米，故C正确.故选：C
9．（24-25高一下·四川巴中·期中）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____.
【答案】
【分析】根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解.
【详解】由题意，在中，由余弦定理，；
因为，所以，在中，由正弦定理，所以，解得，
10．（24-25高一下·重庆·期中）“大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高为____m．
【答案】
【分析】利用三角形内角和及正弦定理可求得，再由正切函数即可求解.
【详解】在中，由三角形内角和定理可得，再由正弦定理得：，再解直角三角形可得：，
11．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）

(1)求，两点之间的距离；
(2)求，两点之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，应用正弦定理求解即可；
（2）在中，应用正弦定理，求出，再在中,由余弦定理求得答案.
【详解】（1）由题意知,在中,.由正弦定理得.
（2）在中, ，由正弦定理得，
在中,由余弦定理得，∴
12．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某湿地公园为方便民众周末游玩，拟建造一个四边形的亲子游乐园，如图所示.为考虑亲子游玩的需求，在四边形区域中，将三角形区域等分为植物园和科学博览园，三角形区域建成游乐场，相互间修建游览小径，连接，其中米，米，．
(1)如果游乐园区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么小径需要修建多长？
(2)考虑到儿童游玩的安全性，在规划四边形区域时，首先保证游乐场的占地面积最大时，再使得植物园的面积尽可能大，求满足条件的的长度．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）由米，米，结合三角形面积公式求得，根据同角三角函数关系式求得，利用余弦定理求得；
（2）由三角形的面积为，知当时，取得最大值，因此的面积取得最大值，求出.因为植物园和科学博览园等分区域，所以要使植物园的面积尽可能大，须使 区域面积尽可能大.由三角形面积公式知，由余弦定理及基本不等式可得的最大值，及此时的长度.
【详解】（1）（1）由题可知，所以.
因为，所以.若，
则由余弦定理得.
所以所以是锐角，
因为，所以是锐角三角形，与是钝角三角形矛盾，所以.
所以.所以所以小径BD需要修建米.
（2）的面积为，当时，取得最大值，最大值为1，因此的面积最大为平方米.此时，.因为植物园和科学博览园等分区域，所以要使植物园的面积尽可能大，须使 区域面积尽可能大.的面积为.由余弦定理，得，所以，即.当且仅当时，等号成立.所以植物园面积最大值为平方米，此时米.
13．（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点．
(1)若，求的长；（本题结果精确到米，，）
(2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值．
【答案】(1)米
(2)当时，为最大值，最大值为.
【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得；
（2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）在为直角三角形，，，，
所以，则，又，所以，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以（米）.
（2）设，则，在中由正弦定理，即，所以，
所以，
，
所以
，因为，所以当，即时为最大值，
且最大值为，即当时，为最大值，最大值为.
(
地
城
考点02
解三角形与平面向量等知识交汇问题
)
1．（24-25高一下·福建·期中）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理以及两角差的正弦公式得到，即可判断.
【详解】在中，因为，且，所以，由正弦定理得，所以，即，又，则，则，所以，所以该三角形为等腰三角形.故选：A
2．（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状.
【详解】因为，所以，则，因为，所以，
又，所以，由，所以，，所以为等腰直角三角形.故选：D.
3．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，再利用余弦定理及基本不等式求出范围.
【详解】由，得，在，由余弦定理得：，即，则，即，当且仅当时等号成立，因此，即，所以的取值范围为.故选：B
4．（25-26高一上·四川绵阳·期中）在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由平面向量的加法法则得的最小值为点到的距离，从而得到为等腰直角三角形，再根据得到点在线段上，所以的最大值即为的长，在中，利用余弦定理即可得到答案.
【详解】如图所示，作，
在中，由平面向量的加法法则得的最小值为点到的距离，即，
又，所以，为等腰直角三角形，又因为，，，，所以点在线段上，所以的最大值即为的长，
在中，，由知，
，即，所以的最大值为.
故选：C.
5．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，在扇形中，半径，圆心角，P是扇形弧上的动点，过P作于Q，作于R，记，，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．是定值 D．是定值1
【答案】C
【分析】利用直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理列式，结合差角的余弦化简即得.
【详解】当点与点都不重合时，，当点与点之一重合，上式也成立，在中，由余弦定理得
，因此，ABD错误，C正确.故选：C
6．（多选）（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．边上的高为 B．
C．边上的中线为 D．
【答案】ABC
【分析】根据投影向量的定义可得，结合已知有，进而得，应用余弦定理、向量数量积的定义及其运算律依次判断各项的正误.
【详解】由题设，则，即，又且，则，故，又，则，故，
，，则，B对，边上的高为，A对，，D错，
边上的中线为，C对.故选：ABC
7．（24-25高一下·湖北·期中）在中，角的对边分别为，则______．
【答案】
【分析】由余弦定理及数量积的定义即可求解.
【详解】由余弦定理得，∴，所以2．
8．（20-21高一下·天津南开·期中）在中，角的对边分别为，已知，角为锐角，向量与共线，且，则的周长为___________.
【答案】
【分析】根据与共线，得到，即，求得角B，再根据，利用正弦定理求得2R，然后将转化为边，再结合余弦定理求得即可.
【详解】因为与共线，所以，即，所以，因为，所以，则，解得，因为，
由正弦定理得， 又因为，
由正弦定理得，即，由余弦定理得，即，即，所以，解得，所以三角形的周长为，
9．（24-25高一下·福建莆田·期中）在中，边的长分别为.
(1)利用向量知识证明：；
(2)在中，.求的值及的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据向量的线性运算，即可根据模长公式求解，
（2）根据余弦定理可得，，即可根据面积公式求解.
【详解】（1）
在中，∵，∴.
∵边的长分别为∴，，，∴.
（2）在中，所以是锐角，由，可得，而，所以，可得，则，故.
10．（25-26高一上·江苏盐城·期中）如图，已知矩形中，，分别是边上的一动点（不含端点），为边的中点，且，设.
(1)求的值；
(2)求面积的取值范围（提示：）；
(3)求的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（1）根据平面向量线性运算，可得，再结合数量积的运算，即可求解；
（2）根据题意，可得，，所以，结合三角函数的运算，即可求解；
（3）由题意，可得，，再结合向量数量积的运算和三角函数的计算，应用换元法即可求解.
【详解】（1）根据题意，可得，，，
所以；
（2）因为，为边的中点，且，，
所以，，所以在直角中，，
同理，在直角中，，
所以，
因为，所以，
所以，即；
（3）在直角中，，
同理，在直角中，，
所以，，
令，则，
令，则，所以，
所以当且仅当，即时取到.
11．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知函数．
(1)求函数的对称中心和单调递增区间；
(2)若在区间上的取值范围是，求m的取值范围；
(3)若锐角外接圆半径为，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)对称中心为，单调递增区间为
(2)m的取值范围为；
(3)周长的取值范围为．
【分析】（1）化简得，利用整体法可求函数的对称中心和单调递增区间；
（2）由已知可得，结合值域为，可求得m的取值范围；
（3）利用边化角可得，，结合三角恒等变换和辅助角公式可求得周长的取值范围．
【详解】（1）
，
由，得，所以函数的对称中心为，
由，得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）当时，，又因为在区间上的取值范围是，
所以，由，得，所以m的取值范围为；
（3）因为，可得，所以，
又因为为锐角三角形，所以，所以，所以，解得，
又因为锐角外接圆半径为，所以，
所以，
所以
，
又因为为锐角三角形，所以，所以，所以，
所以，所以，所以，又，
所以，所以周长的取值范围为．
12．（24-25高一下·北京通州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，．
(1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积；
条件①：；条件②：；条件③：．
(2)若，求周长的取值范围．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】（1）选择①，利用正弦定理推出不存在；
若选择②，利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；
若选择③，首先求出，利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得；
（2）根据正弦定理及三角恒等变换公式化简可得的周长为，结合角的范围及正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）选条件①：，由正弦定理得，即，解得，
故无解，所以不存在；
选条件②：，由余弦定理得，则，解得或，
当时，；当时，.
选条件③：，则，由正弦定理得，
则，又，
所以.
由，则，则为钝角，因为，所以，
又，则的周长为
，因为，所以，
则，所以，即周长的取值范围为．
13．（24-25高一下·重庆北碚·期中）在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记（且）
(1)时，若，求的值；
(2)，为钝角，求角与的最大值；
(3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值.
【答案】(1)；(2)；的最大值为；(3)
【分析】（1）利用求出，再利用结合正弦定理即可求出；
（2）利用以及两角和差的余弦公式即可求出，再利用正弦定理边角互化得出，结合求三角函数的值域即可；
（3）先利用，余弦定理，基本不等式，化简得出，再求出，，结合倍角公式化简得出即可求出最值.
【详解】（1）在中，，得，又，则，
由题意有，则，在中利用正弦定理得，.
（2）在中，，
则，因，则，可得，又因为为钝角，所以.在中利用正弦定理，有
，
又因为，则，得，得.故的最大值为.
（3）由题有，即，在中，由余弦定理有
，当且仅当时等号成立，
设内切圆分别交，，于点E，F，G，内切圆圆心为，则，，，，有
，
内切圆半径，
外接圆半径，则
，故的最大值为.
14．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围；
(3)若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）利用正弦定理转化为的三角形函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，最后由正切函数的性质计算可得；
（3）根据数量积的运算律推导出为的外心，则，，再转化为关于的三角函数，即可得解.
【详解】（1）因为，即，
整理可得，即，在中，，故，
又为锐角三角形，故.
（2）因为，可得，
由正弦定理，，即，则，
又，故，则；由为锐角三角形可得：，
可得，所以，则，则.
（3）因为，
所以，所以，，即，所以为的外心，所以，，
所以
,由（2）同理可得，
则，所以，所以.
15．（24-25高一下·福建·期中）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)已知，①为的外心，求的值；
②若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值；
（2）①利用向量在上的投影数量的几何意义，即可求出，从而求出.
②利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
故在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以
（2）如图，设是的中点，则，
①.
②由正弦定理可得（为外接圆的半径）
所以，，因为，则，，
所以
因为为锐角三角形，则，解得
则，，故.
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专题02 解三角形
4大高频考点概览
考点01 正（余） 弦定理的基本应用
考点02 有关三角形形状及三角形解的个数判断问题
考点03 有关三角形的面积或周长问题
考点04 有关解三角形中的最值问题
考点05 有关三角形中的高、中线、角平分线问题
考点06 解三角形与平面向量等知识交汇问题
(
地
城
考点01
正（余）
弦定理的基本应用
)
1．（24-25高一下·山东·期中）已知的内角的对边分别是，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ）
A． B． C． D．或
3．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，已知，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
4．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
6．（多选）（24-25高一下·吉林·期中）在中，，，，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．外接圆的直径是
7．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）三角形中，，，，____________
8．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____.
9．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则_________.
10．（24-25高一下·山西忻州·期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，求c．
11．（24-25高一下·北京顺义·期中）在中，，．
(1)若，求的值和的面积；
(2)若，求角的大小．
12．（24-25高一下·重庆北碚·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求的值；(2)若，求的值.
13．（24-25高一下·河南·期中）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若的面积为，求.
14．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）在中，角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求的值；
(2)若，求（i）的值；（ii）的值.
(
地
城
考点02
有关三角形形状及三角形解的个数判断问题
)
1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
2．（24-25高一下·河北承德·期中）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（ ）
A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
3．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
5．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
6．（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不确定的
7．（多选）（25-26高一上·西藏昌都·期中）下列命题中， p是q的充要条件的有（ ）
A．设是的三条边，，为直角三角形，
B．设是的三条边，，为钝角三角形，
C．设是的三条边，，为锐角三角形，
D．两个三角形全等，两个三角形面积相等
8．（多选）（24-25高一下·福建莆田·期中）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则三角形有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
9．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．是锐角三角形，则
10．（多选）（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形或直角三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则符合条件的有两个
11．（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则的取值范围为_____.
12．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)设的面积为，，判断的形状．
13．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；(2)若的面积为，周长为6，试判断的形状.
14．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，若
(1)若，求角；
(2)若，，判断的形状；
(3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围.
(
地
城
考点0
3
有关三角形的面积或周长问题
)
1．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．（24-25高一下·四川德阳·期中）已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为_____.
4．（24-25高一下·贵州黔南·期中）在中，已知，面积，则_________．
5．（24-25高一下·四川成都·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)已知，若是的一条内角平分线，，求的周长.
6．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图，中，，D是边上一点，，，．
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)求的面积．
7．（24-25高一下·重庆·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：．
(2)若，，求的面积．
8．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角所对的边分别为．已知．
(1)求角；
(2)设为边上一点，记，的面积分别为，若，且．
①求；②求的值．
9．（24-25高一下·云南·期中）在中，角所对的边分别为，若.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求的周长.
10．（24-25高一下·湖北十堰·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知外接圆半径为，且.
(1)求.
(2)若，，求的面积.
11．（24-25高一下·河南·期中）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
12．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
13．（24-25高一下·湖南娄底·期中）在中，角的对边分别为.
(1)求.
(2)若，求的面积的最大值.
14．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，当的周长取最大值时，求的面积.
15．（24-25高一下·福建福州·期中）已知的内角所对的边分别为，．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
(
地
城
考点02
有关解三角形中的最值
或范围
问题
)
1．（25-26高一上·广东·期中）古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·河南·期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点在线段上，且，则面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若不存在，则a的取值范围为
B．若存在唯一，则a的取值范围为
C．若存在两个符合条件的，则a的取值范围为
D．若为锐角三角形，则a的取值范围为
9．（多选）（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为 B．外接圆半径的范围为
C．的面积最小值为 D．的周长范围为
10．（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为且.
(1)求角；
(2)求的面积的取值范围.
11．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设的内角的对边分别为，是边的中点，.
(1)若，求面积的最大值；
(2)若的面积为且 ，求的值;
(3)若，求的取值范围.
12．（24-25高一下·广东江门·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，，求a；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
13．（24-25高一下·广东·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求B；
(2)已知D为边AB上的一点，且.
（ⅰ）若，，求AC的长；（ⅱ）求的取值范围.
14．（24-25高一下·广东江门·期中）在锐角中，是角的对边，若满足.
(1)求角的大小；
(2)求取值范围；
(3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．
15．（24-25高一下·河北承德·期中）已知中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求的大小；
(2)若，，求外接圆的半径；
(3)若点在线段上，，，求的最小值．
16．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角的对边分别为.
(1)证明：；
(2)若，求的值；
(3)求的最大值.
17．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，，
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
18．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的取值范围.
19．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，所对的边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)点在边上，，．
（i）求面积的最大值；
（ii）求的最小值．
(
地
城
考点01
有关三角形中的高、中线、角平分线问题
)
1．（24-25高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，点D为边上一动点，则（ ）
A． B．当为边上的高线时，
C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时，
3．（多选）（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（ ）
A．若CD是中线，则 B．若CD是高，则
C．若CD是角平分线，则 D．若D是线段AB的三等分点，则
4．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知中，分别为内角的对边，且，
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
5．（24-25高一下·云南文山·期中）在中，角的对边分别为，且，.
(1)若，求的值；
(2)若为锐角三角形.
（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围.
6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
7．（24-25高一下·河南新乡·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，.
(1)求B；
(2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长；
(3)若为锐角三角形，求面积的范围.
8．（24-25高一下·山西吕梁·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，边上的中线的长为，求的面积；
(3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值．
9．（24-25高一下·安徽·期中）记的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若是的一条内角平分线，，求的周长.
10．（24-25高一下·山东淄博·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求边上的中线长度的最小值；
(3)若，，若为角平分线，求的长度．
11．（24-25高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，，的平分线交于点，求线段的长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
12．（24-25高三上·四川眉山·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
(3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长.
13．（24-25高一下·云南昆明·期中）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积．
14．（24-25高一下·福建莆田·期中）记的内角的对边分别为，三个内角满足且为锐角，，
(1)求角的大小；
(2)为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值．
条件①：CD为的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线．
15．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高.
(
地
城
考点02
利用正（余）弦定理解决实际问题
)
1．（24-25高一下·天津河北·期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·辽宁·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数）
A．80.56米 B．81.46米 C．84.32米 D．86.56米
3．（24-25高一下·四川成都·期中）学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（ ）
A． B．
C． D．
4．（19-20高三上·山东德州·期中）奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·山东烟台·期中）斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（ ）
A．30 B．60 C．40或60 D．30或60
7．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球 圆柱 棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣 索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶 教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣 索菲亚教堂的高度约为（ ）

A． B． C． D．
8．（24-25高一下·重庆渝北·期中）渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（ ）

A．34m B．35m C．36m D．37m
9．（24-25高一下·四川巴中·期中）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____.
10．（24-25高一下·重庆·期中）“大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高为____m．
11．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）

(1)求，两点之间的距离；
(2)求，两点之间的距离.
12．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某湿地公园为方便民众周末游玩，拟建造一个四边形的亲子游乐园，如图所示.为考虑亲子游玩的需求，在四边形区域中，将三角形区域等分为植物园和科学博览园，三角形区域建成游乐场，相互间修建游览小径，连接，其中米，米，．
(1)如果游乐园区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么小径需要修建多长？
(2)考虑到儿童游玩的安全性，在规划四边形区域时，首先保证游乐场的占地面积最大时，再使得植物园的面积尽可能大，求满足条件的的长度．
13．（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点．
(1)若，求的长；（本题结果精确到米，，）
(2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值．
(
地
城
考点02
解三角形与平面向量等知识交汇问题
)
1．（24-25高一下·福建·期中）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
2．（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·四川绵阳·期中）在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，在扇形中，半径，圆心角，P是扇形弧上的动点，过P作于Q，作于R，记，，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．是定值 D．是定值1
6．（多选）（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．边上的高为 B．
C．边上的中线为 D．
7．（24-25高一下·湖北·期中）在中，角的对边分别为，则______．
8．（20-21高一下·天津南开·期中）在中，角的对边分别为，已知，角为锐角，向量与共线，且，则的周长为__________.
9．（24-25高一下·福建莆田·期中）在中，边的长分别为.
(1)利用向量知识证明：；
(2)在中，.求的值及的面积.
10．（25-26高一上·江苏盐城·期中）如图，已知矩形中，，分别是边上的一动点（不含端点），为边的中点，且，设.
(1)求的值；
(2)求面积的取值范围（提示：）；
(3)求的最大值．
11．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知函数．
(1)求函数的对称中心和单调递增区间；
(2)若在区间上的取值范围是，求m的取值范围；
(3)若锐角外接圆半径为，且，求周长的取值范围．
12．（24-25高一下·北京通州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，．
(1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积；
条件①：；条件②：；条件③：．
(2)若，求周长的取值范围．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
13．（24-25高一下·重庆北碚·期中）在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记（且）
(1)时，若，求的值；
(2)，为钝角，求角与的最大值；
(3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值.
14．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围；
(3)若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围.
15．（24-25高一下·福建·期中）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)已知，①为的外心，求的值；
②若为锐角三角形，求的取值范围.
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