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重难点01平面向量的最值（范围）问题
5大高频考点概览
考点01 坐标法求数量积最值（范围）问题
考点02 基底法求数量积最值（范围）问题
考点03 公式法求数量积最值（范围）问题
考点04 模长的最值（范围）问题
考点05 系数的最值（范围）问题
1．(24-25高一下·广东江门新会华侨中学·期中)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

2．(24-25高一下·广东深圳第七高级中学·期中)已知矩形的长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·广东广州第二中学·期中)（多选）如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（ ）
A． B．面积的最小值是
C． D．存在最小值
4．(24-25高一下·广东广州黄埔区·期中)已知，，．若点P是所在平面内一点，且，则的最大值为______．
5．(24-25高一下·广东深圳福田某校·期中)德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．
1．(24-25高一下·广东深圳福田区红岭中学·期中)如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东普宁国贤学校等校·期中)在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是______；设点是线段上的动点，则的最小值为______.
3．(24-25高一下·广东广州第二中学·期中)在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，．
(1)若，AE与BF交于点N，，求的值；
(2)求的最小值．
4．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中)如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且 ，.
(1)求b边的长度；
(2)求的余弦值；
(3)设点，分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的最小值.
5．(24-25高一下·广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部·期中)如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.
(1)若，用，表示，；
(2)求的取值范围.
1．(21-22高一下·广东汕头潮阳林百欣中学·期中)已知在三角形中，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高一下·广东湛江吴川第一中学·期中)（多选）已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（ ）
A．的面积最大值为2 B．的取值范围为
C． D．的取值范围为
3．(24-25高一下·广东汕头澄海中学·期中)在中，，，，则的取值范围是__________．
4．(24-25高一下·广东汕头潮阳实验学校·期中)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则________.的取值范围为________.
5．(24-25高一下·广东佛山华南师范大学附属中学南海实验高级中学·期中)如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______．
1．(24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)已知平面向量，，，在上的投影向量为，，则取最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．(23-24高一下·广东广州华南师范大学附属中学·期中)已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．(24-25高一下·广东肇庆肇庆鼎湖中学·期中)已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是______.
4．(23-24高一下·广东深圳名校联考·期中)设，向量，，且，则____________；当时，的取值范围为____________．
5．(23-24高一下·广东东莞东莞实验中学·期中)已知向量，，，且向量与共线．
(1)证明：；
(2)求与夹角的大小；
(3)求最小值．
1．(24-25高一下·广东清远三校联盟·期中)如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
2．(24-25高一下·广东深圳南头中学·期中)如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为
A．4 B． C． D．6
3．(23-24高一下·广东普宁部分学校·期中)如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．(23-24高一下·广东深圳南山外国语学校（集团）高级中学·期中)如图所示，为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动.
(1)求出的值.
(2)求的范围.
(3)若，当最大时，求的值.
5．(24-25高一下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.
(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值.
(3)若的最小值为1，求的值.
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重难点01平面向量的最值（范围）问题
5大高频考点概览
考点01 坐标法求数量积最值（范围）问题
考点02 基底法求数量积最值（范围）问题
考点03 公式法求数量积最值（范围）问题
考点04 模长的最值（范围）问题
考点05 系数的最值（范围）问题
1．(24-25高一下·广东江门新会华侨中学·期中)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解.
【详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则
过作的垂线，垂足为，
正八边形中，边长为4，所以，
所以，所以，所以，
设，则，所以，
因为是正八边形内的动点（含边界），
所以的范围为，
所以，
故选：A.
2．(24-25高一下·广东深圳第七高级中学·期中)已知矩形的长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意，点在线段上，设，建立空间直角坐标系，根据点坐标，表示出，根据，求出答案.
【详解】由题意得，点在线段上，设，
且.以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
则，则，
由，
故，
所以，
由于，所以.
故选：A.
3．(24-25高一下·广东广州第二中学·期中)（多选）如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（ ）
A． B．面积的最小值是
C． D．存在最小值
【答案】ABC
【分析】根据直角坐标系，设出，，，根据及，即可找到三个点的坐标关系，分别写出，，即可判断A；取中点为，连接，根据，可得三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得到的最值情况判断D.
【详解】设中点为，连接，
以为原点，方向分别为轴建立如图所示的直角坐标系，
则，，设，，，，且，
所以，，因为，所以，
即，故，即，
所以，，，
因为，
所以，即，
因为，故，A正确；
因为，所以，即，
所以三点共线，且为靠近的三等分点，
所以
，
当且仅当，即时取等，故B正确；
因为，
所以 ，
当且仅当，即时取等，故，C正确；
因为，
所以 ，
因为且，所以，
记，由函数和在上递增，
可知在上单调递增，没有最值，即没有最值，故D错误.
故选：ABC
4．(24-25高一下·广东广州黄埔区·期中)已知，，．若点P是所在平面内一点，且，则的最大值为______．
【答案】/
【分析】以为原点，建立直角坐标系，首先求出点坐标，再利用向量的数量积的坐标运算，以及基本不等式计算可得.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设
则，可得，，
所以，即，故，，
所以，
当且仅当即时等号成立，
即的最大值为．
故答案为：．
5．(24-25高一下·广东深圳福田某校·期中)德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，，，
∴，
∴
令，，则，
当时，，
，
，
∴存在，使，即，
∴当时，的最小值为.
故答案为：.
1．(24-25高一下·广东深圳福田区红岭中学·期中)如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接，利用即可求解.
【详解】取的中点，连接，如图所示，
所以的取值范围是，即，
又由，所以.
故选：B.
2．(24-25高一下·广东普宁国贤学校等校·期中)在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是______；设点是线段上的动点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据定比分点以及向量线性运算，利用数量积的运算律计算可得；设，利用向量数量积的运算律并结合二次函数性质即可求得的最小值.
【详解】因为D为BC的三等分点（靠近C点），所以，
可得，
所以
；
设，
所以，
可得
；
可知当时，的最小值为.
故答案为：；；
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用平面向量的共线定理设出，再由向量的线性运算以及运算律计算可得结果.
3．(24-25高一下·广东广州第二中学·期中)在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，．
(1)若，AE与BF交于点N，，求的值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论；
（2）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值.
【详解】（1）当时，，即为的中点，
因为三点共线，
设，则
，
因为三点共线，
设，则，
又不共线，
根据平面向量基本定理得解得
所以，又，则
所以.
（2）因为，，
所以
，
因为，所以，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
4．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中)如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且 ，.
(1)求b边的长度；
(2)求的余弦值；
(3)设点，分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出和的关系式，进而求出的长度即可；
（2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出；
（3）首先设，，（），根据三点共线公式得到，
再根据面积的倍数关系求出，因此求出的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可．
【详解】（1）∵，
由正弦定理： ，
由余弦定理：，
∵c=1，
∴
（2）因为D为中点，所以，设的夹角为，
∴，
又，
∴，即，
解得或，
又，所以；
（3）设，，（）
，
根据三点共线公式，得
（，为∠BAC）
，
所以，
所以的最小值为
5．(24-25高一下·广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部·期中)如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.
(1)若，用，表示，；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由,结合向量的线性运算及平面向量基本定理,即可用,表示,.
（2）设,则,即可表示出.结合向量数量积的运算及,即可结合二次函数性质求得的取值范围.
【详解】（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形.

所以，
因为，，所以，
所以，
.
（2）因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，
所以，
设，则，.
所以，
，
所以
，
因为，
所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为.
所以的取值范围.
1．(21-22高一下·广东汕头潮阳林百欣中学·期中)已知在三角形中，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出，最后根据平面向量数量积的定义计算可得；
【详解】解：因为，，所以，即，解得，由余弦定理，所以
，因为，所以，所以，即；
故选：A
2．(23-24高一下·广东湛江吴川第一中学·期中)（多选）已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（ ）
A．的面积最大值为2 B．的取值范围为
C． D．的取值范围为
【答案】BCD
【分析】A选项，由余弦定理和基本不等式求出面积的最大值；B选项，由正弦定理得到，结合平面向量数量积公式得到，根据为锐角三角形得到，从而得到的取值范围；C选项，由正弦定理和正弦和角公式可得；D选项，变形得到，由，求出答案.
【详解】A选项，由余弦定理得，即，
所以，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
此时为锐角三角形，满足要求，
故，解得，故，A错误；
B选项，由正弦定理得，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以，，
解得，
则，，，B正确；
C选项，，
由正弦定理得，C正确；
D选项，，
由C选项可知，所以，
故，D正确.
故选：BCD
3．(24-25高一下·广东汕头澄海中学·期中)在中，，，，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得，再根据的范围和正切函数的值域即可求出其范围．
【详解】根据正弦定理得，即，
，
，
， ，所以，
，
即的取值范围．
故答案为：．
4．(24-25高一下·广东汕头潮阳实验学校·期中)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则________.的取值范围为________.
【答案】
【分析】由同角三角函数的关系可得，再由两角和差正切公式可得的值；由正弦定理得到，，再由余弦定理得到，结合向量数量积公式化简得到，换元后得到，从而得到，得到，由函数单调性得到答案.
【详解】锐角中，，所以，
，.
由正弦定理得，故，，
由余弦定理得，即，，
，
故
令，则，
因为，，
所以
，
其中锐角φ的终边经过点，故，，
因为为锐角三角形，所以，故，
注意到：，，
所以，所以，因为所以，
从而，因为，
故在上单调递减，其中，，
所以的取值范围是
故答案为：；.
5．(24-25高一下·广东佛山华南师范大学附属中学南海实验高级中学·期中)如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______．
【答案】 2 2
【分析】根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案.
【详解】由题意可知O为的中点，且，
则；
设，作，交的延长线于E，
在中，
故，则，
，又，故，
则，
故，
当时，取到最大值2，
故答案为：2；2
1．(24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)已知平面向量，，，在上的投影向量为，，则取最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用投影向量的定义求出，再利用向量数量积的运算律求解.
【详解】因为在上的投影向量为，所以，则，
所以，
当且仅当即时，取最小值.
故选：A.
2．(23-24高一下·广东广州华南师范大学附属中学·期中)已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，结合图象可得，从而可得，接下来方法一，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解.
【详解】和相互垂直，
则，则，
结合图象，，
则 ，
因为恒成立，则，
即，则，
法（一）：
对称轴时：
，即
法（二）：，因为，
所以向量的终点共线（起点重合），
则的面积，
，所以.
故选:．

【点睛】关键点点睛：数形结合发现，，则 ，因为恒成立，则.
3．(24-25高一下·广东肇庆肇庆鼎湖中学·期中)已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是______.
【答案】
【分析】根据数量积的定义和运算律可得，结合二次函数分析求解.
【详解】由题意可知：，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
4．(23-24高一下·广东深圳名校联考·期中)设，向量，，且，则____________；当时，的取值范围为____________．
【答案】
【分析】根据向量垂直列方程求得，进而可得空1答案；利用平方的方法，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】空1：因为，所以，即，得；
空2：由题知，又，
所以当时，取得最小值，最小值为12，
当时，取得最大值，最大值为28，
故的取值范围为．
故答案为：；.
5．(23-24高一下·广东东莞东莞实验中学·期中)已知向量，，，且向量与共线．
(1)证明：；
(2)求与夹角的大小；
(3)求最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3).
【分析】（1）利用向量共线的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示推理得证.
（2）由（1）中信息，利用向量夹角公式求出夹角.
（3）利用坐标计算模建立函数关系，进而求出最小值.
【详解】（1）向量，，由向量与共线，得，解得，，
因此，所以.
（2）由（1）知，，则，，而，
，因此，
而，则，所以与的夹角为.
（3）由（2）知，，则，
因此，
当且仅当时取等号，所以最小值为.
1．(24-25高一下·广东清远三校联盟·期中)如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可.
【详解】∵是的重心，，
又 ，结合题意知，
因为三点共线,
当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可．
2．(24-25高一下·广东深圳南头中学·期中)如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为
A．4 B． C． D．6
【答案】C
【详解】，又，，又三点共线，，即得，易知， ，当且仅当，即时，取等号，故选C.
【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
3．(23-24高一下·广东普宁部分学校·期中)如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可.
【详解】因为是的中点，且，
所以.
因为三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
4．(23-24高一下·广东深圳南山外国语学校（集团）高级中学·期中)如图所示，为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动.
(1)求出的值.
(2)求的范围.
(3)若，当最大时，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示，依题意点在圆上，设，即可表示，，，根据平面向量模的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）由（1）知，根据正弦函数的性质计算可得；
（3）根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再根据同角三角函数的基本关系，得到，又，两边同除，令，，将原式化为，再根据求出的取值范围，即可得解；
【详解】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示．
由正弦定理得外接圆半径，则，进而可得，．
因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，故设，
则，，，
所以
．
（2）由（1）知，
又因为，所以，
即.
（3）因为
，
所以，
代入整理得，，
显然，两边同时除以，
得，
令，，则，
即，
所以，即，
解得，所以（即）的最大值为．
此时，所以，
所以，，所以.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，将问题转化为三角函数及不等式问题.
5．(24-25高一下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.
(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值.
(3)若的最小值为1，求的值.
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果；
（2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算；
（3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可.
【详解】（1）因为 ，
所以由余弦定理得，即，所以.
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
（2）因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以.
显然，则，
当且仅当时，即时，取最值.
则的最小值为2.
（3）设与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值1时，．
【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形,向量垂直和数量积的关系,向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题
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