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重难点02解三角解答题
5大高频考点概览
考点01 基本不等式法求最值问题
考点02 三角函数法求最值范围问题
考点03 三角形中线问题
考点04 三角形角平分线问题
考点05 多三角形问题
考点06 三角形的高线
考点07 三角形存在问题
考点08 三角形存在且唯一问题
1．(22-23高一下·北京丰台区·期中)已知函数（）．用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下：
(1)求的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图像．若为偶函数，求的最小值；
(3)在中，角所对的边分别为，若，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）利用三角函数的性质可得出函数的解析式；
（2）利用三角函数的平移变换原则可得，根据整体代入法可得，解方程即可求解.
（3）由余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）由题意得.
因为，所以.
因为，，所以.
所以.
（2）由题意得，
.因为为偶函数，所以，，.
因为，所以当时，的最小值为.
（3）由题意得.
在△中，因为，所以.
因为
，
所以 ， 所以，，即.
所以△周长的最大值为6.
2．(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)已知的内角的对边为，且
(1)求;
(2)若的面积为
①已知为的中点，且，求底边上中线的长;
②求内角的角平分线长的最大值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可.
（2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得，即，
故，因为，所以，
所以.
（2）①由（1）知，因为的面积为，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以，即.
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
得到，
由于，所以，
由二倍角公式得，则，解得，
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故.
3．(23-24高一下·北京陈经纶中学·期中)在中，.
(1)求;
(2)除上述条件外，同时满足____________，求的值;
请从①，②，③中选择一个符合题意的条件，补充到上面问题中，并完成解答.
(3)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）借助正弦定理及三角形内角性质计算即可得；
（2）若选①，借助三角形内角和及两角和的正弦公式计算即可得；若选③：借助正弦定理与三角形内角和及两角和的正弦公式计算即可得，不可选②；
（3）借助余弦定理与基本不等式计算即可得.
【详解】（1），
由，则，故，即，
又，则；
（2）若选①：
；
若选③：，即，
由正弦定理：可得，
即，则
；
不可选②，理由如下：
由，则，又，，矛盾，故不存在该三角形；
（3）由，则，即，
则，即，当且仅当时，等号成立，
则.
4．(23-24高一下·北京通州区·期中)在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)；
(2)6.
【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出最大值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，又，
所以.
（2）由（1）及余弦定理，得，而，
则，即，又，
于是，整理得，解得，
则当且仅当，即时取等号，
所以，即周长的最大值为6.
5．(23-24高一下·北京顺义区第一中学·期中)①；②；③向量与平行，在这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.
已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①：借助正弦定理与余弦定理计算即可得；若选②：借助正弦定理将边化为角后借助两角和的正弦定理计算即可得；若选③：借助向量平行计算即可得；
（2）借助余弦定理与基本不等式计算即可得.
【详解】（1）若选①：：
借助正弦定理可得，即，
即，又，故，故；
若选②：：
借助正弦定理可得，
即有，
即，
又，故，故，故；
若选③：向量与平行：
由题意可得，即，
又，故，故，故；
（2）由（1）知：，又，
所以，即，
即，当且仅当时，等号成立，
故，
即面积的最大值为.
1．(24-25高一下·北京丰台区·期中)在中，，．
(1)求；
(2)求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以，所以，故.
（2）由正弦定理，可得，
所以，，所以.
因为，所以，
因为
，
所以.
因为，所以，所以.
所以，即，所以，
即△周长的取值范围为.
2．(21-22高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若 ，求的面积；
(3)若角为钝角，直接写出的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由正弦定理化边为角，整理化简得，由推得，求得角；
（2）由余弦定理和题设条件，求出，代入三角形面积公式计算即得；
（3）由正弦定理化边为角，再消去角，整理得，利用时正切函数的值域即可求得的取值范围.
【详解】（1）由和正弦定理得，，
因，
则有，因，则，
又，故.
（2）由余弦定理，，代入得，，
因，则有，即得，
故的面积.
（3）由正弦定理，可得，
因，代入化简得：
因为钝角，故由可得，
则，，即，故的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理在求角、面积和解析式范围上的应用，属于难题.
解题思路即是遇到与三角形中的边相关的解析式求范围问题时，一般运用正、余弦定理将其化成内角的三角函数式，利用三角函数的有界性求其范围.
3．(22-23高一下·北京广渠门中学·期中)已知在中，．
(1)求角的大小：
(2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，将转化为关于角的三角函数，结合角的范围及正弦函数的性质，求出的取值，即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，，
，
，因为，所以，所以，
， ；
（2）由正弦定理得，，
所以
，
因为是锐角三角形，
所以，，
即且，
所以，所以，
即，
所以，所以，
三角形周长的取值范围为．
4．(20-21高一下·北京丰台区·期中)在中，角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）由余弦定理求得；
（Ⅱ）把表示为一个角如的函数，利用两角和与差的正弦公式变形后，由正弦函数性质得最大值．
【详解】（Ⅰ）
，得
由,得
，
因为,得
当时，即时，有最大值为.
5．(20-21高一下·北京第五中学·期中)已知中，．
（I）求B的大小；
（II）已知，，若D、E是边BC上的点，使，求当△ADE面积的最小时，∠BAD的大小．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）结合正弦定理在边化角，结合辅助角公式整理即可求出结果；
（2）设，则，在中，由正弦定理得到，在中，由正弦定理得，结合三角形得面积公式得，从而化简整理结合函数得图象与性质即可求出结果..
【详解】（1）因为，在中结合正弦定理得，因为，所以，所以，即，又因为，所以；
（2）由（1）知，又因为，所以，又因为，所以，设，则，且，在中，由正弦定理，所以，又因为，所以，在中，由正弦定理得，故，结合三角形得面积公式得
，
因为，所以，所以当，即时取得最大值，此时取得最小值，此时.
1．(23-24高一下·北京通州区·期中)在中，角，，所对的边为，，.，.
(1)求；
(2)若，为边上的中点，求边长及中线的长.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据正弦定理即可求出；
（2）根据余弦定理求出，利用中线定理，再平方代入数据即可.
【详解】（1）因为，，
在中，由正弦定理得，
所以.
（2）因为，，所以，
在中，，
根据余弦定理得，
整理得，解得或（舍），
因为D为AC中点，故，
.
故中线.
2．(23-24高一下·北京十一学校·期中)在中，．
(1)求；
(2)在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长．
条件①；
条件②的周长为；
条件③的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可求得各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1）因为，所以，
所以，因为，
所以当时，，所以，
不合题意，舍去，所以，
所以，所以；
（2）选①：，与已知条件矛盾，
故不存在；
选②：因为，，所以，
因为，
所以，，，
所以，
所以，所以，，，
设中点为，所以，
因为在中由余弦定理有，，
所以，所以边上的中线长度为；
选③：因为，
所以，，
同理
因为，
所以.
3．(23-24高一下·北京丰台区·期中)在△中，，．
(1)求的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)选择条件②或③，
【分析】（1）由正弦定理可解得；
（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.
【详解】（1）在中，因为，又，所以．
因为，所以．
因为，所以．
（2）选择条件②：因为中，，，，
所以，即为等腰三角形，其中．
因为，所以．
所以．
设点为线段的中点，在中，．
因为中，
，
所以，即边上的中线的长度为．
选择条件③：因为中，，，，
所以，即为等腰三角形，其中．
因为的面积为，即，
所以．
设点为线段的中点，在中，．
因为中，
，
所以，即边上的中线的长度为．
由题可知，故①不合题意.
4．(24-25高一下·北京第五十五中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．
(1)求角A的值；
(2)求的值；
(3)若D是中点，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，求出，再由正弦定理，求出，得到答案；
（2）根据，借助两角和的正弦公式化简求值；
（3）在中，根据余弦定理，求得答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
根据正弦定理，即，
解得，
又因为，所以.
（2）
（3）
因为，，所以，
若D是中点，则根据余弦定理得
，
所以.
5．(24-25高一下·北京大兴区·期中)在中，．
(1)求的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求BC边上中线的长．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，得到，求得，即可求解.
（2）取BC中点，则BC边上中线为，且，选条件①：由余弦定理，求得或，再利用余弦定理，即可求得的值；选条件③：由的面积为，结合面积公式，求得，结合余弦定理，即可求解.
【详解】（1）在中，可得，所以，
由正弦定理，可得，
因为，所以，
又因为且，所以，所以
因为，所以.
（2）取BC中点，则BC边上中线为，且，
选条件①：当时，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，解得或，
当时，可得，所以；
当时，可得.
选条件③：由的面积为，
在中，可得，解得，
由余弦定理，可得，所以．
若选条件②：由，
由函数在上为单调递减函数，所以，
此时，不符合题意.
1．(22-23高一下·北京师范大学附属中学·期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
（i）求证:；
（ii）若，，求CD的长.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由正弦边角关系得，应用余弦定理求C的大小；
（2）（i）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；
（ii）由正弦定理可得，进而得，设并表示出，应用余弦定理列方程求k，最后求CD的长.
【详解】（1）由题设，则，故，
所以，又，故.
（2）（i）由题设，若上的高为，
又，
，
所以，即.
（ii）由，则，又为锐角，故，
若，则，且，，
由余弦定理知：，
所以，可得或，
当，则，，此时，则；
当，则，即，不合题设；
综上，.
2．(22-23高一下·北京大兴区·期中)在△ABC中，．
(1)求B的值；
(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
【答案】(1)
(2)正确条件为①③，（i），（ii）
【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值；
（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；
（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．
【详解】（1）由题设，
而，
所以，故；
（2）若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由，则，即，
又，可得，
所以，可得，则，
故；
（ii）因为且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得．
3．(22-23高一下·北京第一六六中学·期中)在中，角，，所对的边分别是，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
若，，点是边上的一点，且___________.求线段的长.
①是的高；②是的中线；③ 是的角平分线.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
【答案】（1）；（2）具体见解析.
【分析】（1）由题得，进而根据余弦定理可得；
（2））选①，由余弦定理得，进而根据等面积法求解即可；
选②，根据并结合向量的模计算即可；
选③， 根据计算即可得答案.
【详解】解：（1）因为，所以整理得，
所以由余弦定理得，
因为，所以
（2）选①，是的高
由余弦定理得，所以
所以根据等面积法得；
选②，是的中线，
则由于，所以，
所以，
所以；
选③， 是的角平分线
由于，
所以，即，
解得.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，根据等面积法求边长，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于利用等面积法或者向量法求解.
1．(23-24高一下·北京十一学校·期中)如图，在梯形ABCD中，，，
(1)求；
(2)求BC的长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值.
（2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长.
【详解】（1）在中，，，则、均为锐角，
则，，
.
（2）在中，由正弦定理得，，
由，得，在中，由余弦定理得：，
所以.
2．(22-23高一下·北京海淀区·期末)如图所示，已知中，为上一点，．
(1)求；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由正弦定理可得答案；
（2）由（1）得．法1：由正弦定理、可得，再由余弦定理可得．法2：求出及，再由两角差的正弦展开式求出，在中由正弦定理可得答案．
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
所以，
又因为，
所以；
（2）因为，所以，所以，
由（1）结论，计算可得，
法1：由正弦定理可知，又，
所以，
由余弦定理可得，
化简整理得，
解得．
法2：因为且，
所以，
由题意可得，所以，
所以
，
在中，由正弦定理可得，
所以．
3．(22-23高一下·北京广渠门中学·期中)如图，已知在四边形中，平分，，，，．
(1)求的值；
(2)求的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式求出的值，从而求出的值，再根据数量积公式求出的值即可；
（2）根据两角差的正弦公式求出的值，再根据正弦定理求出的长即可．
【详解】（1）在中，，，，
，
，，
；
（2）由（1）得，，
而，
，
在中，由正弦定理得，
即，解得，即的长度是．
4．(22-23高一下·北京一零一中学·期中)在中，角的对边分别为，.
(1)求角的大小；
(2)若，为外一点，如图，，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解；
（2）根据题意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四边形，进而可得最值.
【详解】（1）因为由正弦定理得，
，即，
因为，所以，即，
因为，所以.
（2）在中，，，
所以，
又，则为等边三角形，，
又，
所以，
所以当时，四边形的面积取最大值，最大值为.
5．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)如图，在中，，点D在边BC上，且．
(1)求；
(2)求线段的长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可；
（2）先利用同角关系求，在中利用正弦定理即可求解．
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
又，
；
（2）因为，所以，
，
由，可得，
在中根据正弦定理得： ，
又，，，
所以．
1．(24-25高一下·北京陈经纶中学·期中)在中，．
(1)求的大小；
(2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高线的长．
条件①：；条件②：的面积为；条件③：．
【答案】(1)
(2)选择①，
【分析】（1）利用倍角公式，通过解方程可得答案；
（2）先利用正弦定理求出，选择①利用余弦定理求出或先判断为最长边，然后可得答案；选择②利用面积公式和余弦定理求解出两组答案，不合题意；选择③利用余弦定理得到的方程无解，不合题意.
【详解】（1）因为,所以,
所以，所以，
因为，所以舍,所以.
（2）选择①
因为，由正弦定理，代入得.
法一：
由余弦定理，代入得，
所以，所以或（舍），所以边最长，
边上的高线.
法二：
因为，所以，
所以，所以，所以为最长边,
边上的高线.
选择②
因为, 所以,
因为，由余弦定理,
所以,
所以或,三角形不唯一，不能选择条件②
选择③，由余弦定理,
得，此时，，所以，三角形不存在．
2．(24-25高一下·北京顺义区·期末)在中，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高．
条件①：，；
条件②：，的周长为20；
条件③：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】(1)
(2)选条件②③时，最长边上的高为.
【分析】（1）根据正弦定理可得，结合辅助角公式可求；
（2）条件①中三角形不唯一，若选条件②，则可以通过余弦定理求出两边，故可求最长边上的高；若选条件③，利用正弦定理可求边，再由余弦定理求得，故可求最长边上的高.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
而为三角形内角，故，故，
所以，而，
故即.
（2）若选①，则，，由余弦定理可得，
整理得到：，故或，
因为三角形不唯一，故舍；
若选②，则，的周长为20，
故，由余弦定理得，故，
故最长边为，该边上的高为；
若选③，则，，由正弦定理得，
故，由余弦定理可得，
解得或(舍)，以下同选条件②.
3．(22-23高一下·北京东直门中学·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，向量，且．
(1)求；
(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值
条件①：，条件；②：条件；③：．
注．如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由平面向量的共线定理和正弦定理求出，进而求得的值；
（2）若选①，由正弦定理求得，判断为锐角或钝角两种情况，存在且不唯一．
若选择②：由的面积求出，再根据列方程组求出、，利用余弦定理求得；
若选择③：由求得，再求，设外接圆的半径为，利用的面积求出，再计算．
【详解】（1）因为向量，向量，且，
所以，由正弦定理得，
在中，，，可得，
即，又，所以；
（2）若选①：，由（1）知，
根据正弦定理得，所以，即，且，
所以角为锐角或钝角两种情况，存在且不唯一，不满足题意．
若选择②：，因为的面积为，解得，
由，得，所以，解得（负值舍去），所以，
由余弦定理得，解得；
若选择③：，所以，
所以，
设外接圆的半径为，则，，
所以，解得，
所以．
4．(22-23高一下·北京师范大学第二附属中学未来科技城学校·期中)在中，，
条件①：；
条件②：，边上的高为；
条件③：
(1)求
(2)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定时，求的面积
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1）由二倍角的余弦公式求解即可；
(2）选①，由正弦定理结合余弦定理求解即可；选②，由余弦定理可得 ,
存在但不唯一确定．选③，由正弦定理结合余弦定理求解即可．
【详解】（1）已知中，，',
则
即 ,
又,则；
（2）选①，即 ；
由正弦定理可得 ,
由余弦定理 可得：则,
则
即 存在且唯一确定，此时 的面积为.
选②，即, BC 边上的高为2,即
由余弦定理可得：
则 ,
即存在但不唯一确定．
选③，即,
结合正弦定理 及 可得：
由余弦定理可得：
,
即 ,则
，
即存在且唯一确定，此时 的面积为.
5．(22-23高一下·北京丰台区·期中)在中，角所对的边分别为，向量，，且．
(1)求的大小；
(2)若，，求边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简即可得出答案；
（2）由余弦定理求出，设边上的高为，由三角形的面积公式带入计算即可得出答案.
【详解】（1）因为，，且，所以.
由正弦定理得，因为，所以，
所以，所以.
因为，所以.
（2）在中，因为，
所以， 所以.
解得，或（舍），设边上的高为，
因为，
所以.
1．(23-24高一下·北京第八十中学·期中)从①，②，③这三个条件中选一个补充在下面的问题中，使问题中的三角形存在，并完成第（1）、（2）问．
问题：在中，它的内角的对边分别为，______，且，．
(1)求出的值；
(2)求的面积．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据，得，即可根据余弦定理求解，即可根据条件①求解，根据正弦定理可得，即可根据余弦定理求解，即可求解条件②，利用正弦定理边角互化得，根据余弦定理可得矛盾即可求解条件③，
（2）根据三角形面积公式即可求.
【详解】（1）若选①：
∵，∴．
∵，∴，．
∵，，∴．
符合，故存在满足条件的．
若选②：
由正弦定理，得，
∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴．
由，解得：．
符合，故存在满足条件的．
若选③
∵，∴，
由，所以，
由于，所以，但，故此时不存在，
（2）由（1）知：
若选①时，此时，，．所以，
若选②时，此时，，．所以，
2．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)在中，．
(1)求的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；
（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的.
【详解】（1）由，得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又，所以；
（2）选条件①：边上中线的长为：
设边中点为，连接，则，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得或（舍），
所以的面积为，
选条件③：：
在中，由余弦定理得，即，
整理得，解得或，
当时，的面积为．
当时，的面积为．
不可选条件②，理由如下：
若，故为钝角，则，
则，，即，
其与为钝角矛盾，故不存在这样的.
3．(21-22高一·北京第四中学·期中)在中，.
(1)求的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
【答案】(1)
(2)选条件②③，
【分析】（1）由余弦定理结合，即可求出；
（2）由（1）可知，则可得出，而条件①等价于故条件①恒不成立，即选择条件②③，利用正弦定理可求出，再由，代入，即可求出答案.
【详解】（1）由余弦定理得：
又
所以.
（2）因为，所以，
所以，
当时，，与矛盾，故条件①恒不成立，
则选择条件②：与条件③：.
由正弦定理得：，
又因为，
所以，
所以，
所以 .
4．(24-25高一下·北京通州区·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，，．
(1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积；
条件①：；
条件②：；
条件③：．
(2)若，求周长的取值范围．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）选择①，利用正弦定理推出不存在；
若选择②，利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；
若选择③，首先求出，利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得；
（2）根据正弦定理及三角恒等变换公式化简可得的周长为，结合角的范围及正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）选条件①：，由正弦定理得，
即，解得，
故无解，所以不存在；
选条件②：，由余弦定理得，
则，解得或，
当时，；
当时，.
选条件③：，则，
由正弦定理得，则，
又
，
所以.
（2）由，则，则为钝角，
因为，所以，
又，
则的周长为
，
因为，所以，则，
所以，
即周长的取值范围为．
5．(24-25高一下·北京第五十五中学·期中)在中，．
(1)求；
(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用余弦定理的推论，将等式进行变形即可求出的值，在由同角三角函数的基本关系即可求解；
（2）选择条件①时，利用面积公式求出，再利用正弦定理得，联立求解即可；选择条件②：利用面积公式求出，利用，且，所以．进一步得出，再联立求解即可；选择条件③：不符合题意，因为，不可能．
【详解】（1）在中，因为，
由余弦定理，得．
因为，所以．
（2）选择条件①：
因为，所以，．
由题意得，所以．
因为，，
所以
．
由正弦定理，得，
又，解得，所以．
选择条件②：
由题意得，所以．
因为，且，所以．
又，所以，
又，解得或．
选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能．
1．(24-25高一下·北京北京中学·期中)在中，
(1)求c的值；
(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长．
条件①：；
条件②：AB边上的高为；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值；
（2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长.
【详解】（1）由正弦定理及
得．
所以．
所以．
又因为，所以．
所以．
（2）选条件①：因为，且，
所以．
因为，所以．所以．
又因为，所以．
所以．
又，所以．
所以的周长为．
选条件②：因为边上的高为，所以．
又因为，所以．
所以．
因为，所以．
（1）当时，由，得．
又，所以．
所以．
所以的周长为．
（2）当时，由，得．
又，所以，不符合题意．
综上，的周长为．
选条件③：
由余弦定理，可得，即。
解得或，此时不唯一，不符合要求.
2．(23-45高一下·北京第十一中学·期中)在中，
(1)求证为等腰三角形；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求b的值.
条件①：； 条件②：的面积为；条件③：边上的高为3.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，根据余弦定理及已知可得，所以，可得结果；
（2）若选择条件①，可得，可得，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果.
【详解】（1）在中，，设，
根据余弦定理，得，
整理，得，
因为，解得， 所以，
所以为等腰三角形.
（2）若选择条件①：若 ，由（1）可知，及，
所以，
所以不存在.
若选择条件②：在中, 由,
由（1），
所以，
解得，即.
若选择条件③： 在中，由边上的高为3， 得，
由，解得.
3．(23-24高一下·北京丰台区·期中)在中，角的对边分别为，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
【答案】(1)；
(2)选择见解析，.
【分析】（1）根据余弦定理求解即可；
（2）选择①②或①③：利用平方关系求得，然后由正弦定理和余弦的和差公式求解即可；选择②③：由正弦定理可判断三角形有两解，不满足题意.
【详解】（1）因为，由余弦定理得，
又因为，所以；
（2）由（1）知，
若选条件①：，条件②：，
因为，，所以，
在中由正弦定理可得，即，解得，
，
因为，所以，
所以；
若选条件①：，条件③：，
因为，，所以，
在中由正弦定理可得，即，解得，
，
因为，所以，
所以．
若选条件②：；条件③：．
因为，，所以，解得，
因为，所以存在两解，不满足题意.
4．(24-25高一下·北京清华大学附属中学·期中)在中，，.
(1)求的大小；
(2)是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积；
(3)如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)游击手不能接到球，理由见解析
【分析】（1）根据题意利用正余弦定理分析求解；
（2）对于①：在，利用余弦定理求得，进而可得面积；对于②：根据（1）中边的关系分析可得，进而可得面积；对于③：根据（1）中边的关系分析判断；
（3）根据题意结合分析可得，进而可得结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
由余弦定理可得，
即，则，所以.
（2）对于①：AB边上的中线长为，
在，由余弦定理得
即，解得，
则，
所以的面积为；
对于②：因为，解得，
则，
所以的面积为；
对于③：若，这与相矛盾，不合题意；
（3）游击手不能接到球，理由如下：
由题意可知：，则，
因为，
即，可得，所以游击手不能接到球.
5．(23-24高一下·北京第八中学·期中)设的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．
第①组条件：，；
第②组条件：边上的高，；
第③组条件：，．
【答案】(1)
(2)选①不符合题意；选②；选③
【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解；
（2）选①利用余弦定理可求出边，可判断不满足题意；选②先利用高和角列式可求出，然后利用余弦定理可求出边，进而求出面积；选③先求，然后利用正弦定理求出边，再结合两角和的正弦公式求，进而可求出面积.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得,
又因为，所以，所以，
显然，则，
又因为，所以.
（2）若选①，由余弦定理得，即，即，
解得或，不符合题意；
若选②，因为边上的高，所以，则，
由余弦定理得，即，即，
解得（舍去），
故唯一，符合题意，
此时的面积；
若选③，因为知道角，，边，所以唯一，符合题意，
因为，，所以，
由正弦定理得，
则，
此时的面积.
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重难点02解三角解答题
5大高频考点概览
考点01 基本不等式法求最值问题
考点02 三角函数法求最值范围问题
考点03 三角形中线问题
考点04 三角形角平分线问题
考点05 多三角形问题
考点06 三角形的高线
考点07 三角形存在问题
考点08 三角形存在且唯一问题
1．(22-23高一下·北京丰台区·期中)已知函数（）．用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下：
(1)求的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图像．若为偶函数，求的最小值；
(3)在中，角所对的边分别为，若，求周长的最大值．
2．(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)已知的内角的对边为，且
(1)求;
(2)若的面积为
①已知为的中点，且，求底边上中线的长;
②求内角的角平分线长的最大值.
3．(23-24高一下·北京陈经纶中学·期中)在中，.
(1)求;
(2)除上述条件外，同时满足____________，求的值;
请从①，②，③中选择一个符合题意的条件，补充到上面问题中，并完成解答.
(3)求面积的最大值.
4．(23-24高一下·北京通州区·期中)在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的最大值.
5．(23-24高一下·北京顺义区第一中学·期中)①；②；③向量与平行，在这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.
已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值.
1．(24-25高一下·北京丰台区·期中)在中，，．
(1)求；
(2)求周长的取值范围.
2．(21-22高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若 ，求的面积；
(3)若角为钝角，直接写出的取值范围.
3．(22-23高一下·北京广渠门中学·期中)已知在中，．
(1)求角的大小：
(2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围．
4．(20-21高一下·北京丰台区·期中)在中，角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值.
5．(20-21高一下·北京第五中学·期中)已知中，．
（I）求B的大小；
（II）已知，，若D、E是边BC上的点，使，求当△ADE面积的最小时，∠BAD的大小．
1．(23-24高一下·北京通州区·期中)在中，角，，所对的边为，，.，.
(1)求；
(2)若，为边上的中点，求边长及中线的长.
2．(23-24高一下·北京十一学校·期中)在中，．
(1)求；
(2)在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长．
条件①；
条件②的周长为；
条件③的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
3．(23-24高一下·北京丰台区·期中)在△中，，．
(1)求的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
4．(24-25高一下·北京第五十五中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．
(1)求角A的值；
(2)求的值；
(3)若D是中点，求的长．
5．(24-25高一下·北京大兴区·期中)在中，．
(1)求的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求BC边上中线的长．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
1．(22-23高一下·北京师范大学附属中学·期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
（i）求证:；
（ii）若，，求CD的长.
2．(22-23高一下·北京大兴区·期中)在△ABC中，．
(1)求B的值；
(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
3．(22-23高一下·北京第一六六中学·期中)在中，角，，所对的边分别是，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
若，，点是边上的一点，且___________.求线段的长.
①是的高；②是的中线；③ 是的角平分线.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
1．(23-24高一下·北京十一学校·期中)如图，在梯形ABCD中，，，
(1)求；
(2)求BC的长．
2．(22-23高一下·北京海淀区·期末)如图所示，已知中，为上一点，．
(1)求；
(2)若，求的长．
3．(22-23高一下·北京广渠门中学·期中)如图，已知在四边形中，平分，，，，．
(1)求的值；
(2)求的长度．
4．(22-23高一下·北京一零一中学·期中)在中，角的对边分别为，.
(1)求角的大小；
(2)若，为外一点，如图，，求四边形面积的最大值.
5．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)如图，在中，，点D在边BC上，且．
(1)求；
(2)求线段的长．
1．(24-25高一下·北京陈经纶中学·期中)在中，．
(1)求的大小；
(2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高线的长．
条件①：；条件②：的面积为；条件③：．
2．(24-25高一下·北京顺义区·期末)在中，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高．
条件①：，；
条件②：，的周长为20；
条件③：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
3．(22-23高一下·北京东直门中学·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，向量，且．
(1)求；
(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值
条件①：，条件；②：条件；③：．
注．如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
4．(22-23高一下·北京师范大学第二附属中学未来科技城学校·期中)在中，，
条件①：；
条件②：，边上的高为；
条件③：
(1)求
(2)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定时，求的面积
5．(22-23高一下·北京丰台区·期中)在中，角所对的边分别为，向量，，且．
(1)求的大小；
(2)若，，求边上的高．
1．(23-24高一下·北京第八十中学·期中)从①，②，③这三个条件中选一个补充在下面的问题中，使问题中的三角形存在，并完成第（1）、（2）问．
问题：在中，它的内角的对边分别为，______，且，．
(1)求出的值；
(2)求的面积．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
2．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)在中，．
(1)求的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
3．(21-22高一·北京第四中学·期中)在中，.
(1)求的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
4．(24-25高一下·北京通州区·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，，．
(1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积；
条件①：；
条件②：；
条件③：．
(2)若，求周长的取值范围．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
5．(24-25高一下·北京第五十五中学·期中)在中，．
(1)求；
(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
1．(24-25高一下·北京北京中学·期中)在中，
(1)求c的值；
(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长．
条件①：；
条件②：AB边上的高为；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
2．(23-45高一下·北京第十一中学·期中)在中，
(1)求证为等腰三角形；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求b的值.
条件①：； 条件②：的面积为；条件③：边上的高为3.
3．(23-24高一下·北京丰台区·期中)在中，角的对边分别为，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
4．(24-25高一下·北京清华大学附属中学·期中)在中，，.
(1)求的大小；
(2)是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积；
(3)如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
5．(23-24高一下·北京第八中学·期中)设的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．
第①组条件：，；
第②组条件：边上的高，；
第③组条件：，．
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