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重难点03解三角解答题
5大高频考点概览
考点01 基本不等式法求最值问题
考点02 三角函数法求最值范围问题
考点03 三角形中线问题
考点04 三角形角平分线问题
考点05 多三角形问题
1. (23-24高一下·广东广州二中·期中)在中，，，分别为内角，B，的对边，且.
(1)求的大小；
(2)若，试判断的形状；
(3)若，求周长的最大值.
2. (24-25高一下·广东东莞翰林实验学校·期中)已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且．
(1)判断的形状；
(2)若D为AC的中点，且，求面积的最大值及此时的三边长．
3. (23-24高一下·广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学·期中)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________.
(1)求角B；
(2)若，求周长的最小值.
4. (22-23高一下·广东湛江第二中学·期中)在中，已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)若为锐角三角形，且满足，求实数的最小值.
5. (23-24高一下·广东湛江吴川第二中学·期中)记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
1. (24-25高一下·广东湛江·期中)如图，在四边形中，，，是等边三角形．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的面积；
(3)求的面积的最大值．
2. (24-25高一下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若的平分线交于，，，求的值；
(3)求的取值范围.
3. (23-24高一下·广东广州培正中学·期末)已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且.
(1)求角C的值；
(2)若，求的取值范围.
4. (24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)已知分别为锐角三个内角的对边，且.
(1)求A；
(2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值；
(3)若，求面积的取值范围.
5. (24-25高一下·广东汕头潮南区某校·期中)在中，角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
(3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
1. (24-25高一下·广东汕头金山中学·期中)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，，边上的中线，相交于点M．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
2. (24-25高一下·广东东莞第十三高级中学等三校·期中)在△中，内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若△的面积为，求边上的中线的长．
3. (24-25高一下·广东清远·期中)在中，角，，所对的边分别为，，.为边上的中线，点，分别为边，上的动点，交于点.已知，且.
(1)求；
(2)若，求；
(3)在（2）的条件下，若，求的取值范围.
4. (23-24高一下·广东汕尾海丰县林伟华中学·期中)如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求；
(2)求∠MPN的余弦值．
5. (23-24高一下·广东深圳光明区光明中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.
(1)令，，用，表示；
(2)证明：；
(3)若，，，求∠MPN的余弦值.
1. (22-23高一下·江苏连云港海州高级·期中)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为．
①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角A的角平分线长的最大值．
2. (24-25高一下·广东惠州博罗县·)在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若的角平分线交于点，且，，求边的长度；
(3)若为锐角三角形，，求周长的取值范围.
3. (24-25高一下·广东潮州松昌中学·期中)如图，已知三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，设为三角形的角平分线，求的长.
4. (24-25高一下·广东肇庆第六中学·期中)已知在中，．
(1)求的大小；
(2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长．
5. (23-24高一下·广东佛山南海区石门中学·期中)在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
1. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且
(1)若时，求的长；
(2)若△的面积是△的面积的倍，求的大小；
(3)当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？
2. (24-25高一下·广东汕头金山中学·期中)如图，圆的内接四边形中，，，C为圆周上一动点，．
(1)若为直径，求四边形的面积；
(2)求四边形的周长的最大值．
（参考结论：圆的内接四边形对角互补．）
3. (24-25高一下·广东汕头潮南区某校·期中)如图，在梯形中，，.
(1)若，求；
(2)若，求外接圆的半径；
(3)若，且，证明：只有一解.
4. (24-25高一下·广东汕头澄海中学·期中)如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，.
(1)若，求的面积；
(2)证明：；
(3)若，求的面积的取值范围.
5. (24-25高一下·广东广州第七中学·期中)记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，.
(1)求；
(2)若，求线段的长.
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重难点03解三角解答题
5大高频考点概览
考点01 基本不等式法求最值问题
考点02 三角函数法求最值范围问题
考点03 三角形中线问题
考点04 三角形角平分线问题
考点05 多三角形问题
1. (23-24高一下·广东广州二中·期中)在中，，，分别为内角，B，的对边，且.
(1)求的大小；
(2)若，试判断的形状；
(3)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)等腰钝角三角形
(3)最大值为
【分析】（1）根据正弦定理结合余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可求得角的值，由此可得出结论；
（3）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值．
【详解】（1）因为，
根据正弦定理得，整理得
由余弦定理可得
又，所以
（2）由（1）知，又得，
即，
因为，则，
，即，，
则为等腰钝角三角形；
（3）由，及余弦定理知
则，知，当且仅当时等号成立
所以
因此周长的最大值为.
2. (24-25高一下·广东东莞翰林实验学校·期中)已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且．
(1)判断的形状；
(2)若D为AC的中点，且，求面积的最大值及此时的三边长．
【答案】(1)等腰三角形．
(2)最大值为6，
【分析】（1）方法一：根据正弦定理、余弦定理，从边的角度判断三角形的形状.
方法二：利用正弦定理实现边化角，再结合三角形内角和公式与两角和的余弦公式，从角的角度判断三角形的形状.
（2）方法一：在和中，利用余弦定理表示，列式可得的数量关系，再结合基本不等式可求面积的最大值及对应的边长.
方法二：建立平面直角坐标系，用解析法探索的关系，再结合基本不等式可求面积的最大值及对应的边长.
【详解】（1）法一：，由正弦定理得，
由余弦定理得，
化简得，即，
故为等腰三角形．
法二：，
由正弦定理得，
整理得，
即，
，即，
，
整理得，即，
故为等腰三角形．
（2）法一：由为的中点，且，可得，
由余弦定理得，，
整理得，
如图1，过点向作垂线，垂足为点，由（1）易知，
在中，由勾股定理可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时面积的最大值为6，
由解得，
综上，面积的最大值为6，此时．
法二：建立平面直角坐标系如图2，由（1）可得，
由为的中点可得，
因为，由两点间距离公式可得，
整理得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时面积的最大值为6，
由，可得，则，
综上，面积的最大值为6，此时.
3. (23-24高一下·广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学·期中)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________.
(1)求角B；
(2)若，求周长的最小值.
【答案】(1).
(2)6
【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解；
（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积
【详解】（1）选①，
由正弦定理可得，即得，
即有，由于，可得，即.
选②，
由正弦定理可得，
因为，，所以，即.
由于，可得.
选③，
由正弦定理和诱导公式可得，即为，
由余弦定理可得. 由于，可得.
（2）由（1）知，由余弦定理可得，
即为，而，即.
若，则，可得（当且仅当时取得等号），
则，所以周长的最小值为6.
4. (22-23高一下·广东湛江第二中学·期中)在中，已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)若为锐角三角形，且满足，求实数的最小值.
【答案】(1)
(2)实数m的最小值为2
【分析】（1）由，可得，进而可求的值；
（2）由（1）可求A，由已知可得，结合正、余弦定理可得，由基本不等式可求实数m的最小值．
【详解】（1）向量，，且，
则，得；
（2）在中，，，，
由可得，
即，
由正、余弦定理且可得，
当且仅当时，等号成立，
所以实数m的最小值为2
5. (23-24高一下·广东湛江吴川第二中学·期中)记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦的二倍角公式以及两角和的余弦公式求解；
（2）利用正弦定理以及基本不等式求解.
【详解】（1）因为，
即，
所以；
（2）由（1）知，，所以，所以，则，
而，
所以，即有,
所以
,
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
1. (24-25高一下·广东湛江·期中)如图，在四边形中，，，是等边三角形．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的面积；
(3)求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2).
(3)．
【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边的边长.从而得到面积.，
（2）在中用余弦定理得到得余弦及正弦值，从而得到的余弦值，进而求出的面积.
（3）由（2）知，可设出，通过正余弦定理在表示出，表示出，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得:
，则．
因为是等边三角形，所以的面积．
（2）在中，由余弦定理可得，
则，故，
因为是等边三角形，所以，
所以
，
则的面积为，
（3）设，，
在中，由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
，
则，
所以的面积：
，
因为，，
所以，
当时，取得最大值，即的面积的最大值为．
2. (24-25高一下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若的平分线交于，，，求的值；
(3)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理得，由两角和与差的正弦公式可得，从而得到；
（2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值；
（3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设，根据在上单调递增即可求得的取值范围.
【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），所以.
（2）由（1）知，所以为锐角，
因为， 所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即.
（3）因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，
由正弦定理得
.
令，则在上单调递增，
而，所以，
所以.
3. (23-24高一下·广东广州培正中学·期末)已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且.
(1)求角C的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据数量积的坐标表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化边可得；方法二：利用和差公式化简即可得解.
（2）方法一：利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得；方法二：利用正弦定理将b表示为关于角的函数，利用正切函数性质求出b的范围，由余弦定理用b表示c，然后表示出，根据函数单调性可解.
【详解】（1）因为，
所以
，
方法一：利用正弦定理角化边得，
又，
，则，
又为锐角三角形，故.
方法二：由和差公式可得，
又因为，所以，
又为锐角三角形，故.
（2）由正弦定理得，
，
由于为锐角三角形，则，
又，解得，
方法一：所以
，
而，即，
，故的取值范围为.
方法二：所以，所以，
又，所以，
由余弦定理得，
记，
易知在上单调递增，
所以，即，
所以的取值范围为.
4. (24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)已知分别为锐角三个内角的对边，且.
(1)求A；
(2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值；
(3)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先用正弦定理边角互化，继而用诱导公式与两角和与差的正弦公式进行化简，得，最后由角，的范围得到结果；
（2）先根据第一问的结论与余弦定理得，再根据重要不等式得到，而为边的中点，所以，两边平方化简可得到的范围，即可求最大值；
（3）由正弦定理表示，再由三角形面积公式列式，已知角的大小，故面积可以化简为，最后由为锐角三角形求出角的范围，即可得到面积的范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，，
因为，则，所以，故.
（2）由及，可得，
而，当且仅当时取等号，
又为边的中点，，
两边平方得
，
故，当且仅当时取等号，
所以长的最大值为.
（3）由正弦定理，得，，
因为，所以，所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，所以.
5. (24-25高一下·广东汕头潮南区某校·期中)在中，角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
(3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据边角互化，结合三角恒等变换可得，
（2）选择①，利用等面积法以及余弦定理即可求解的值，即可根据面积公式求解，选择②，利用向量的模长公式以及余弦定理可得的值，即可根据面积公式求解，
（3）根据正弦定理可得外接圆半径，即可根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可结合三角函数的性质求解的范围，即可利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）
在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
（3）由正弦定理得，
故
,
由于为锐角三角形，故,故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
1. (24-25高一下·广东汕头金山中学·期中)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，，边上的中线，相交于点M．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角的性质得，即可求角的大小；
（2）（i）由并应用向量数量积的运算律求模长即可；（ii）首先得到，再由及向量数量积的运算律求模长即可得.
【详解】（1）由题设及正弦定理可得，
所以，
整理得，且，
可得，故，
又，则，可得.
（2）（i）由，则 ；
（ii）令且，又，则，
由共线，则，即，
而，则 ，
所以.
2. (24-25高一下·广东东莞第十三高级中学等三校·期中)在△中，内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若△的面积为，求边上的中线的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义、数量积的运算进行求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，
由余弦定理得：，
又，所以．
（2）由，所以，
由（1），所以，
因为为边上的中线，所以，
则
，即.
故边上的中线的长为.
3. (24-25高一下·广东清远·期中)在中，角，，所对的边分别为，，.为边上的中线，点，分别为边，上的动点，交于点.已知，且.
(1)求；
(2)若，求；
(3)在（2）的条件下，若，求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解；
（2）利用余弦定理以及中线的性质求得边长，进而利用余弦定理求解；
（3）利用三角形面积公式，结合平面向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算，可得到关于系数的函数，利用分离常数法求值域即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，
由余弦定理可得，，
所以，得，即.
（2）在中，由余弦定理可得，
在中,,
,
化简可得，因此
因此,
解得（负值舍去），进而，,
故中，
（3）由题意，设.
则，
，.
为的中点，，即，
所以，
又三点共线，即.
所以
，
，，
，
又由，可得，
所以，
，.
故的取值范围是.
4. (23-24高一下·广东汕尾海丰县林伟华中学·期中)如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求；
(2)求∠MPN的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理即可得解；（2）与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.
【详解】（1）因为，为的中点，所以,
在中，
，
所以
（2）因为为的中点，所以，
又，
所以,
所以，
，
所以，
又与的夹角相等，
所以，
所以的余弦值为.
5. (23-24高一下·广东深圳光明区光明中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.
(1)令，，用，表示；
(2)证明：；
(3)若，，，求∠MPN的余弦值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由条件可得，结合可解；
（2）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得；
（3）与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.
【详解】（1）由题可知是的重心，且，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得
.
（3）因为，，，
所以，
所以，即的余弦值为.
1. (22-23高一下·江苏连云港海州高级·期中)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为．
①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角A的角平分线长的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD的最值.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角A的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于，所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故．
2. (24-25高一下·广东惠州博罗县·)在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若的角平分线交于点，且，，求边的长度；
(3)若为锐角三角形，，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解；
（2）结合角分线的性质及三角形面积公式化简可得解；
（3）由正弦定理进行边角互化可得，结合三角恒等变换可得，结合三角函数性质可得取值范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可知，即，
又由余弦定理可知，
又，则；
（2）由已知的角平分线交于点，
则，
又在中，，
即，
即，
解得；
（3）由正弦定理可知，
则，，
又在中，，
则周长，
因为为锐角三角形，
则，即，
则，
所以，
故周长.
3. (24-25高一下·广东潮州松昌中学·期中)如图，已知三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，设为三角形的角平分线，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解；
（2）利用面积方法和三角形的面积公式计算.
【详解】（1）由得,
又因为，
所以,
又因为，
所以,
又因为,
所以.
（2）因为，
所以,
又因为,
所以,
所以,
故答案为：.
4. (24-25高一下·广东肇庆第六中学·期中)已知在中，．
(1)求的大小；
(2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）利用余弦定理求出，再由及面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
又，所以，所以，
又，所以；
（2）因为，，
由余弦定理得，
即，解得.
为角的角平分线，，
∵，
∴，
∴，得.
5. (23-24高一下·广东佛山南海区石门中学·期中)在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解；
（2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，
因为，两式相除得，所以，
又因为，可得，所以.
（2）因为，所以，
又因为平分，可得，
因为，且，，
所以，
即，解得，
在中，由余弦定理得
，所以.
1. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且
(1)若时，求的长；
(2)若△的面积是△的面积的倍，求的大小；
(3)当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？
【答案】(1)2；
(2)；
(3)时，的面积取最小值为.
【分析】（1）求出角、的大小，利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长；
（2）设，根据已知条件可得出，由正弦定理得出，可得出的值，结合角的范围可得出角的值，即可得解；
（3）设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值.
【详解】（1）由，，， 得，
又，则，，所以，
在中，由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
（2）设，
因为的面积是的面积的倍，
所以，即，
在中，，
由，得，
从而，即，而，
由，得，所以，即.
（3）设，由（2）知，
又在中，由，得，
所以
，
所以当且仅当，
即时，的面积取最小值为.
2. (24-25高一下·广东汕头金山中学·期中)如图，圆的内接四边形中，，，C为圆周上一动点，．
(1)若为直径，求四边形的面积；
(2)求四边形的周长的最大值．
（参考结论：圆的内接四边形对角互补．）
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设圆的半径为，则，且，应用余弦定理列方程求得，再由四边形的面积，应用三角形面积公式求面积；
（2）由（1）及余弦定理得，应用基本不等式求得，即可得周长的最大值.
【详解】（1）设圆的半径为，则，由，则，
所以，故，可得，
四边形的面积 .
（2）由（1），
又，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
综上，四边形的周长.
3. (24-25高一下·广东汕头潮南区某校·期中)如图，在梯形中，，.
(1)若，求；
(2)若，求外接圆的半径；
(3)若，且，证明：只有一解.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得；
（2）首先求出，再由正弦定理计算可得；
（3）首先利用余弦定理求出，再由余弦定理求出，最后利用余弦定理求出.
【详解】（1）在中由正弦定理，即，
所以；
（2）因为，所以，
又，设外接圆的半径为，则，
所以，即外接圆的半径为；
（3）因为，，且，
在中由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以，
在中由余弦定理
，
所以，
所以只有一解.
4. (24-25高一下·广东汕头澄海中学·期中)如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，.
(1)若，求的面积；
(2)证明：；
(3)若，求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解；
（2）在中，利用正弦定理，结合三角恒等变换即可求解，
（3）利用余弦定理得，正弦定理得，结合（2）的结论以及三角形面积公式可得,利用三角函数的性质即可求解．
【详解】（1）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，
在中，由余弦定理，，
所以，则，所以，
又因为为等边三角形，
所以，且，
所以，
则的面积为；
（2）在中，由正弦定理可得，
即且，
由于，
故，
由于三角形中，，因此，得证，
（3）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设，
在中，由余弦定理，，
，
在中，由正弦定理，，即，所以，
结合
，
又因为，所以，
所以，
即的面积的取值范围为．
5. (24-25高一下·广东广州第七中学·期中)记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，.
(1)求；
(2)若，求线段的长.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理得，最后再利用正弦定理解三角形即可；
（2）根据正弦定理得，再求出，最后余弦定理即可得到答案.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，即.
由余弦定理可得，又，所以.
在中，由正弦定理可得，
所以.
（2）在中，由正弦定理可得，
又，所以.
因为，所以为锐角，则为钝角，
所以.
在中，由余弦定理可得，
即，
即，解得(负值舍去).
故线段的长为3.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是先利用正弦定理得，再求出，最后利用余弦定理得到关于的方程，解出即可.
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