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重难点03三角函数取值范围
4大高频考点概览
考点01 利用单调性求（最值）取值范围
考点02 利用对称性求（最值）取值范围
考点03 利用值域最值求（最值）取值范围
考点04 已知零点求（最值）取值范围
1．(21-22高一下·北京八一学校·期中)将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．(22-23高一下·北京东城区北京景山中学·期中)若函数在区间上单调递减，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(23-24高一下·北京延庆区·期中)若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．(21-22高一下·北京八中·期中)已知函数，，且在区间上是单调函数，则________，的取值范围为________.
5．(20-21高一下·北京大学附属中学·期中)若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_______．
1．(24-25高一下·北京中央民族大学附属中学（朝阳）·期中)已知（），，则ω的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高一下·北京东直门中学·期中)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．(23-24高一下·北京中关村中学·期中)在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：
①的取值范围是；
②的最小正周期可能是；
③在区间上单调递减；
④在区间上有且仅有3条对称轴；
其中所有正确结论的序号是___________.
4．(24-25高一下·北京中央民族大学附属中学（朝阳）·期中)已知函数（），有下列结论：
①若，则在上单调递增
②若，则正整数ω的最小值为2
③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．则为奇函数
④若在上有且仅有3个零点，则
其中所有正确的结论为________．
5．(23-24高一下·北京交大附中·期中)已知函数的图象过点，则__________.，若将函数图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为__________.
1．(21-22高一下·北京人大附中·期中)若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．(23-24高一下·北京门头沟区大峪中学·期中)已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论：
①在上的图象有且仅有3个最低点；
②在至多有7个零点；
③在单调递增；
④的取值范围是；
则正确的结论是______．（填写序号）
3．(22-23高一下·北京第二十中学·期中)已知函数，，其中，是这两个函数图象的交点，且不共线.
①当时，面积的最小值为_____；
②若存在是等边三角形，则的最小值为_____.
4．(24-25高一下·北京师范大学第二附属中学·期中)设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为___________．
5．(23-24高一下·北京第一六五中学·期中)设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______.
1．(22-23高一下·北京延庆区·期中)已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为_____________，的取值范围是_____________．
2．(22-23高一下·北京师范大学第二附属中学·期中)已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是_____．
3．(22-23高一下·北京清华大学附属中学永丰学校·期中)设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
4．(24-25高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中：
①的图象关于点对称； ②在内恰有5个最值点；
③在内单调递减； ④的取值范围是．
所有真命题的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④
5．(22-23高一下·北京中关村中学·期中)已知函数，振幅为2，初相为.
(1)若函数相邻的两条对称轴的距离为，
①求的值以及函数的单调递减区间；
②求在区间［0，］上的最值，以及相对应得的值.
(2)若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围.
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重难点03三角函数取值范围
4大高频考点概览
考点01 利用单调性求（最值）取值范围
考点02 利用对称性求（最值）取值范围
考点03 利用值域最值求（最值）取值范围
考点04 已知零点求（最值）取值范围
1．(21-22高一下·北京八一学校·期中)将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图象变换得的解析式，则利用函数单调性列不等式即可求得的取值范围.
【详解】函数的图像先向右平移个单位长度，得到再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，
令，，
整理得，，
由于函数在上单调递增，
故，，
解得，
由于，所以．
故选：B．
2．(22-23高一下·北京东城区北京景山中学·期中)若函数在区间上单调递减，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得函数的单调递减区间，再根据在区间上单调递减，由为单调递减区间的子集求得的范围，由，得到，根据方程在上有唯一解，由求解.
【详解】解：由题意令，
解得，，
∵在区间上单调递减，
∴且，，
∴，，
当时，，
因为方程在上有唯一解，
则有，解得，
综上，的取值范围为，
故选：C．
3．(23-24高一下·北京延庆区·期中)若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将平移变换后的函数图象求出来，再由奇函数列出等式求解即可.
【详解】函数的图象向左平移个单位后得到，
因为平移后的函数是奇函数，
所以，
解得，因为，
所以当时，.
故选：D.
4．(21-22高一下·北京八中·期中)已知函数，，且在区间上是单调函数，则________，的取值范围为________.
【答案】
【分析】利用偶函数及已知范围可求得，结合余弦函数的单调性可得的范围．
【详解】因为函数，，
所以
所以，又，所以，
则，
当时，由于，所以，
而函数在上单调，所以，，
所以的取值范围为．
故答案为：；．
5．(20-21高一下·北京大学附属中学·期中)若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】利用正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数在区间，上单调递减，建立不等式，即可求取值范围．
【详解】解：令，则，
函数在区间，上单调递减，
所以，解得，
又因，所以，即，
所以，可得的取值范围是．
故答案为：．
1．(24-25高一下·北京中央民族大学附属中学（朝阳）·期中)已知（），，则ω的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数值表示角，结合条件，即可求解.
【详解】由条件可知，，
即，，则，，，
所以时，取得最小值为.
故选：A
2．(23-24高一下·北京东直门中学·期中)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题得，，在上单调递减，得即可解决.
【详解】由题知，
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
因为，
所以，
因为在上单调递减，
所以，
所以，
所以的最大值为1.
故选：D
3．(23-24高一下·北京中关村中学·期中)在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：
①的取值范围是；
②的最小正周期可能是；
③在区间上单调递减；
④在区间上有且仅有3条对称轴；
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①②③.
【分析】依题意，先求出的范围，结合余弦函数的图象求得范围，即得①；根据范围求得的范围，即可判断②；分别求得在给定区间上的范围，，结合余弦函数的图象即可判断③和④.
【详解】①中，因为，所以，，
又因为在区间上有且仅有3个对称中心，
则在上有且仅有3个对称中心，结合余弦函数图象知，
所以，解得，所以①正确；
②中，由①知，，故最小正周期，因为，所以②正确；
③中，因为，所以，，
又由①知，，所以，
而在区间上单调递减，即在区间上单调递减，故③正确；
④中，当时，，由①知，需使，
而当时，在上有2条对称轴，
而当时,在上有3条对称轴，故④不正确.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查余弦型函数的性质应用，属于较难题.解题的关键在于一般要将辐角看成整体角，先求得其范围，再结合余弦函数的图象进行一一判断即得.
4．(24-25高一下·北京中央民族大学附属中学（朝阳）·期中)已知函数（），有下列结论：
①若，则在上单调递增
②若，则正整数ω的最小值为2
③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．则为奇函数
④若在上有且仅有3个零点，则
其中所有正确的结论为________．
【答案】①②④
【分析】①计算的范围，即可判断；②根据函数的对称轴，即可判断；③根据三角函数平移规律，即可判断；④计算的范围，结合正弦函数的零点，即可求解.
【详解】①，，则，
所以在上单调递增，故①正确；
②若，则函数关于对称，
则，,得，且，所以正整数ω的最小值为2，故②正确；
③的图象向右平移个单位长度后，得到，，所以不是奇函数，故③错误；
④，，
若在上有且仅有3个零点，则，
得，故④正确.
故答案为：①②④
5．(23-24高一下·北京交大附中·期中)已知函数的图象过点，则__________.，若将函数图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为__________.
【答案】 / /
【分析】 由条件列方程求，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为求解；
【详解】因为函数的图象过点，
所以，又，
所以，
函数（）的图象仅向左平移个单位长度
得到函数的图象，
函数（）的图象仅向右平移个单位长度
得到的图象，
则（），
化简得（），
解得（），
由于，所以当时，取得最小值，
故答案为：．
1．(21-22高一下·北京人大附中·期中)若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由在区间没有最值得在区间上单调，求出整体的范围，分单调递增和单调递减分别解不等式，最后取并集即可.
【详解】由在区间内没有最值，知在区间上单调，由可得，
当在区间上单增时，可得，解得，
时无解，令，得，又，故；
当在区间上单减时，可得，解得，
时无解，令，得，综上.
故选：B.
2．(23-24高一下·北京门头沟区大峪中学·期中)已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论：
①在上的图象有且仅有3个最低点；
②在至多有7个零点；
③在单调递增；
④的取值范围是；
则正确的结论是______．（填写序号）
【答案】②③④
【分析】根据第3个正最大值点在区间内，第4个正最大值点不在内列不等式可得的范围，可判断④；求出第3个正最小值点，结合的范围求出其范围即可判断①；根据的范围，求出第7、8个正零点的范围，可判断②；由得，结合的范围求出的范围可判断③.
【详解】对于④，由得的最大值点为，
因为在上的图象有且仅有3个最高点，
所以，解得，④正确；
对于①，由得的最小值点为，
因为，所以，
因为第3个正最小值点为，所以，
所以第3个正最小值点不一定在内，故①错误；
对于②，由得，
第7、8个正零点为，
因为，
所以第7个正零点有可能在内，第8个正零点不在内，
所以在至多有7个零点，②正确；
对于③，由得，
因为，所以在单调递增，③正确.
故答案为：②③④
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的范围，求出关键零点、最值点、端点的范围，然后即可得解.
3．(22-23高一下·北京第二十中学·期中)已知函数，，其中，是这两个函数图象的交点，且不共线.
①当时，面积的最小值为_____；
②若存在是等边三角形，则的最小值为_____.
【答案】 /
【分析】画出两函数图象，数形结合得到面积最小值；当相邻三个交点构成等边三角形时，取得最小值，结合列出方程，求出答案.
【详解】当时，，，
画出两函数图象，如下：过点作⊥于点，

当为如图所示的三个相邻的交点时，面积最小，
其中，
故，，
所以；
因为，函数最小正周期，
故当相邻三个交点构成等边三角形时，两函数的最小正周期最大，则取得最小值，
则，，
因为，所以，解得，即为最小值.
故答案为：，
4．(24-25高一下·北京师范大学第二附属中学·期中)设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为___________．
【答案】1
【分析】由条件确定当时，函数取得最大值，代入即可求的集合，从而得到的最小值.
【详解】由条件对任意的实数x都成立，可知，是函数的最大值，
当时，，，
解得：，，
所以当k=0时，取最小值为1.
故答案为：1
5．(23-24高一下·北京第一六五中学·期中)设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】由题意可得的最小值为，可得，，解方程可得的最小值.
【详解】解：若对任意的实数x都成立，
可得的最小值为，
可得，，
即有，，
由，
可得的最小值为2，此时.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
1．(22-23高一下·北京延庆区·期中)已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为_____________，的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据偶函数可知必为函数的一个零点，由此求得，根据方程的根得，即可求解.
【详解】函数在上为偶函数，又函数，有且仅有3个零点，故必有一个零点为，
，；
结合为偶函数，函数，的零点个数，
即方程在有唯一的实数根，
所以在有唯一的实数根，解得，
时，，时，
故且，，故；
故答案为：，,．
2．(22-23高一下·北京师范大学第二附属中学·期中)已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】化简函数解析式，由f (x) =0，可得，解得，结合即可得出结论.
【详解】
．
由，可得，解得，．
因为在区间内没有零点，
所以，且，
即且，
因为，
分别取，1,2,3，
，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：由三角函数化简求出函数零点，，分别取，可得不属于的集合，结合，可判断所在区间即可，属于难题.
3．(22-23高一下·北京清华大学附属中学永丰学校·期中)设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．
【详解】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．
4．(24-25高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中：
①的图象关于点对称； ②在内恰有5个最值点；
③在内单调递减； ④的取值范围是．
所有真命题的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、最值、单调性逐一判断即可.
【详解】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，
所以函数的解析式为：，
当时，，
因为函数在上有且只有5个零点，，
所以，解得，
因为，，
所以当时，，此时解不等式组，得，
当时，，即，
此时不等式组的解集为空集，故④正确；
①：因为，所以的图象关于点对称，
故本命题是真命题；
②：因为，所以，
又因为，所以，而，
即当时，，此时函数有4个最值点，故本命题是假命题；
③：因为，所以，
又因为，所以，而，故本命题是假命题；
故选：B
5．(22-23高一下·北京中关村中学·期中)已知函数，振幅为2，初相为.
(1)若函数相邻的两条对称轴的距离为，
①求的值以及函数的单调递减区间；
②求在区间［0，］上的最值，以及相对应得的值.
(2)若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围.
【答案】(1)①，（kZ）②当x＝时，最大值为2，当x＝时，最小值为-1.
(2)
【分析】（1）① 首先根据三角函数图像对称轴性质特征解得=，然后结合正弦函数图像的单调性，利用整体代入求得的单调递减区间为（kZ）②将x∈［0，］代入求得整体范围，然后分别找到对应的最大值和最小值以及相对应得的值即可；
（2）将，求得大范围，然后结合函数图像以及条件5个零点，确定范围，最后求解 的取值范围.
【详解】（1）由题知，，所以=
①由题函数相邻的两条对称轴的距离为，所以，
所以，=.
因为y＝sinx的单调递减区间为（kZ），
令（kZ），得（kZ）.
所以的单调递减区间为（kZ）.
②因为x∈［0，］，所以2x＋.
当2x＋=，即x＝时，最大值为2，
当2x＋=，即x＝时，最小值为-1.
（2）由题可得，所以，
因为，所以，
若有5个零点，则，即，
解得：，
所以的取值范围是.
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