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专题06 空间点线面的位置关系
6大高频考点概览
考点01空间点线面的位置关系
考点02空间线面之间的平行与垂直
考点03 空间的线线角、线面角、面面角问题
考点04 空间的距离问题
考点05 空间的动点轨迹问题
考点06 空间几何体的截面问题
(
地
城
考点01
间点线面
之间
的位置关系
)
1．（24-25高一下·云南红河·期中）若直线平面，直线平面，则与（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质推理即得.
【详解】由直线平面，直线平面，得直线直线.故选：D
2．（24-25高一下·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）
A．直线在平面内 B．直线平行平面
C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行
【答案】D
【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意即可判断．
【详解】由题，设直线为，平面为，要使一条直线的两点到一个平面的距离为2，则由线面位置关系可得，当时，可满足题意，当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意，当时，无法满足题意，故直线与平面相交或平行．故选：D．
3．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（ ）个区块.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三棱柱三个侧面、两个平行的底面将空间分成21部分，再由三棱柱变为三棱锥可得解.
【详解】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，
故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7=21部分，把三棱柱上面的三个顶点合成一个点，变成三棱锥，这样三棱柱上面的7部分变为1部分，中间和下面的各有7部分，所以一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为15个区块.故选：B.
4．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知直线a，b，平面，，且，，，a，b共面，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C．直线与内的任意直线均异面 D．a，b，l交于一点或互相平行
【答案】D
【分析】令a，b共面，分或进行判断.
【详解】令a，b共面，则，若，，，则，
又，，所以，则；若，则，而，所以，
所以a，b，l交于一点，，b，l交于一点或互相平行.故选：D
5．（24-25高一下·吉林长春·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若a、b是两条直线，、是两个平面，且，，则a、b是异面直线
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．四边形可以确定一个平面
D．已知两条相交直线a、b，且平面，则b与的位置关系是相交
【答案】B
【分析】根据空间中点线面的位置关系，分别判断各选项正误.
【详解】
如图所示，当，被第三个面所截，截得交线为，此时，，不满足a、b是异面直线，所以A错误.
如图所示，三条直线两两相交不公点，形成不在一条直线上的三个点，这三个点确定一个平面，这三条线每条线有两个点在面上，则这三条线也在面上，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，所以B正确.
如图所示，四边形有四个顶点，当第四个点不在前面三个点形成的平面上时，四边形不能确定一个面，所以C错误.
如图所示，当两条相交直线a、b形成的平面平行平面时，有平面，b平面，所以D错误.
故选：B.
6．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据线、面之间的位置关系逐项分析即可.
【详解】选项A：若，则或与相交，故A选项不正确；
选项B：若，根据面面垂直的判定，则，故B选项正确；
选项C：若，则或与相交且不垂直或两平面平行，故C选项不正确；
选项D：若，则或，故D选项不正确；
故选：B.
7．（24-25高一下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．过三个点有且只有一个平面
B．四边形可以确定一个平面
C．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行
D．若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点
【答案】D
【分析】由平面的确定及线面平行的性质逐个判断即可.
【详解】对于A，当三点共线时，有无数个平面，错误；
对于B，空间四边形可确定4个平面，错误；
对于C，若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内，错误；
对于D, 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点,正确，
故选：D
8．（24-25高一下·广东佛山·期中），是两个平面，m，n是两条直线，则（ ）
A．如果，，那么
B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，那么
D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线
【答案】C
【分析】根据线面位置关系及线线位置关系判断各个选项.
【详解】如果，，那么或相交或异面，A选项错误；
如果，，m，n是异面直线，那么n与相交或平行，B选项错误；
如果，，那么无交点，所以，C选项正确；
如果，n与相交，那么m，n是异面直线或相交直线，D选项错误；故选：C.
9．（24-25高一下·新疆·期中）若直线与平面相交，则下列结论正确的是（ ）
A．平面内任意直线和直线异面 B．平面内存在直线和直线平行
C．平面内有且仅有一条直线和直线相交 D．平面内有无数条直线都与直线相交
【答案】D
【分析】根据直线与平面的位置关系对各个选项逐一分析判断，即可求解．
【详解】因为直线与平面相交，所以平面内的直线与直线的关系相交或异面，设直线与平面交于点，
对于A，当平面内的直线过交点时，此时过点的直线和直线相交，故A不正确；
对于B，若平面内存在直线和直线平行，根据线面平行的判定定理得出平面，与已知矛盾，故B不正确；
因为平面内过交点的直线有无数条，且这些直线都与相交，故C不正确；D正确．
故选：D．
10．（25-26高二上·上海闵行·期中）已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可.
【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误；
对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误；
对于C：若，则都有 ，又，则使得，
∴，又，∴，故C正确；
对于D：若，，则或或或与相交但不垂直，故D错误.
故选：C
11．（多选）（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）若直线与平面垂直，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与平面的所有直线都垂直
B．在平面内存在与直线异面的直线
C．在平面内存在无数条直线与直线相交
D．在平面内存在与直线平行的直线
【答案】ABC
【分析】根据线面垂直的定义与性质，逐一分析各选项.
【详解】A选项：根据线面垂直的定义，若，则面内的所有直线，A正确；
B选项：已知，设，平面内所有不过点的直线均与异面，因此存在无数条这样的直线，B正确；
C选项：平面内所有过垂足的直线均与相交于，这样的直线有无数条，C正确；
D选项：若，则平面内所有直线均与垂直，不可能存在与平行的直线，D错误.
故选：ABC.
12．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平行的说法正确的是（ ）
A．空间中平行于同一条直线的两直线平行
B．a、b、c是空间中的三条直线，若且，则
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用公理4判断A；举例说明判断B；面面平行的性质判断C；利用线面平行的判定判断D.
【详解】对于A，空间中平行于同一条直线的两直线平行，A正确；
对于B，直三棱柱的侧棱垂直于底面两边所在直线，B错误；
对于C，若，则或是异面直线，C错误；
对于D，，D正确.故选：AD
13．（24-25高一下·河南郑州·期中）使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)点P与直线
(2)点B与直线
(3)点P与直线
(4)点与平面
(5)直线与平面
(6)直线与平面
(7)平面与平面
【答案】(1)直线
(2)直线
(3)直线
(4)平面
(5)直线平面
(6)直线平面
(7)平面平面
【分析】（1）（2）（3）判断点与直线位置并用符号表示出.
（4）判断点与平面位置并用符号表示出.
（5）（6）判断直线与平面位置并用符号表示出.
（7）判断平面与平面位置并用符号表示出.
【详解】（1）点P在直线上，则直线.
（2）点B不在直线上，则直线.
（3）点P不在直线上，则直线.
（4）点不在平面内，则平面.
（5）直线在平面内，则直线平面.
（6）直线与平面平行，则直线平面.
（7）平面与平面平行，则平面平面.
14．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：直线、、三线共点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线相交，设交于，同理可得直线相交于点，再由可得三线共点.
【详解】（1）
（2）由于且，故直线相交，设交于，则，
同理可得直线相交于点，则，故与重合，
故直线三线相交于点O，故直线三线交于一点．
15．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点.
(1)若点F满足，求证：四点共面；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，则可得四边形为平行四边形，再结合正方体的性质可得，从而可证得结论；
（2）延长交与，连接，过作交与，连接，过作与，连接，则与面所成角就是与面所成角，可得就是与面所成角，在Rt中求解即可.
【详解】（1）连接，由，知，且，
因为为的中点，所以，所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，因为,，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，故四点共面.
（2）延长交与，连接，则与面所成角就是与面所成角.
过作交与，连接，过作与，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，因为，平面，所以平面
所以就是与面所成角.，令，由，得，
在Rt中，由等面积法可求得，
同理在Rt中，，
在Rt中，，故直线平面所成角的正弦值为.
16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点E，F分别为的中点，点D满足，
(1)若直线与直线交于点G，求证：B，C，G三点共线；
(2)线段上是否存在一点H，使得？若存在，请在图中找到点H，并证明，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，证明见解析.
【分析】（1）利用点为平面和平面的公共点即可得证；
（2）先证明由为的中点，然后由三角形中位线定理可确定点的位置.
【详解】（1）若直线与直线交于点G，则，又平面，平面，所以平面，平面，又平面平面，所以，即B，C，G三点共线.
（2）存在，证明如下：
延长相交于点，连接，因为为的中点，，所以，
所以，所以为的中点，为的中点，
在平面中，由平面向量知识可知，，又，所以，
所以，因为，所以三点共线，即直线与直线交于点，
由为的中点可知，当取为的中点时，，即.
(
地
城
考点02
空间线面的平行与垂直
)
1．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（ ）
A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行
C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行
【答案】D
【分析】由面面平行的判定定理即可判断.
【详解】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交，
对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交，
对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交，
对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理，
故选：D
2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若，，，且，，则
【答案】C
【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误；
对于B，由，，，，得或与相交，B错误；
对于C，由，，，得，C正确；
对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误.
故选：C
3．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中错误的是（ ）
A．与平行 B．与为异面直线
C．与成60°角 D．与垂直
【答案】A
【分析】还原成正四面体，逐项判断即可.
【详解】还原成正四面体，
如图，由异面直线判定定理：易知与为异面直线，A错，与为异面直线，B对，
易知：，又，所以与成角，C对，
因为正四面体对棱垂直，所以，所以，D对，故选：A
4．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】BD
【分析】画出图形，结合正方体的性质逐一判断各选项：选项A，根据正方体性质得出四边形是平行四边形，得出，结合正方形的对角线互相垂直的性质，得出；选项B：根据线面平行定理进行判断；选项C：根据正方体性质得出是等边三角形，结合，得出即为与所成夹角；选项D：根据线面垂直定理进行判断.
【详解】设正方体的棱长为，如图，连接.
选项A：根据正方体性质可知，，
四边形是平行四边形，，又平面，且平面，
平面，又平面，，故A错.
选项B：由选项A知，平面，故B正确.
选项C：根据正方体的性质可知，，为等边三角形，又，
等于与所成的角，故C错.
选项D：根据正方体的性质可知，平面，又平面，.根据正方形的性质，的对角线.又平面，
平面，故D正确.故选：BD.
5．（多选）（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．平面平面PBM
C．存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行
D．若，则直线CM与平面PAM所成角为
【答案】ABD
【分析】根据面面垂直的性质可得面平面，即可求解判断AB；根据线面平行的性质即可求解可判断C，直线与平面所成的角为，求解可判断D.
【详解】对于A，平面平面，平面平面平面平面，又平面，故A正确；
对于B，由A知平面，又平面平面平面，故B正确；
对于C，设平面平面，假设底面，平面平面，平面平面，，则与重合，则，显然不成立，则假设不成立，故C错误；
对于D，由A知平面，在矩形中，，直线与平面所成的角为，在中，，故D正确.
故选：ABD
6．（多选）（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．平面平面PBM
C．存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行
D．若，则直线CM与平面PAM所成角为
【答案】ABD
【分析】根据面面垂直的性质可得面平面，即可求解判断AB；根据线面平行的性质即可求解可判断C，直线与平面所成的角为，求解可判断D.
【详解】对于A，平面平面，平面平面平面平面，又平面，故A正确；
对于B，由A知平面，又平面平面平面，故B正确；
对于C，设平面平面，假设底面，平面平面，平面平面，，则与重合，则，显然不成立，则假设不成立，故C错误；
对于D，由A知平面，在矩形中，，直线与平面所成的角为，在中，，故D正确.
故选：ABD
7．（多选）（24-25高一下·广东·期中）在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（）
A．对于任意的点，
B．存在点，使得平面
C．存在点，使直线与直线共面
D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值
【答案】ABD
【分析】对于A，由面面平行的性质定理可得；对于B，当点为的中点时，有平面；对于C，易知直线与直线是异面直线；对于D，利用侧面展开图可求解最短周长.
【详解】对于A，因为平面平面，平面平面，
平面平面，由面面平行的性质定理得，故A正确；对于B，当点为的中点时，有平面，证明如下：由A可知，当点为的中点时，为的中点，此时，，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，不论点在何位置，直线与直线永远为异面直线，故直线与直线不可能共面，故C错误；对于D，由A可知，同理可知，故四边形为平行四边形，所以四边形的周长，将矩形绕棱向内旋转90度，使矩形和矩形共面，连接交于点，如下图所示：
故存在唯一的点E，使得最小，此时截面四边形的周长取得最小值，故D正确.
故选：ABD
8．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________．
①平面；②平面；③平面．
【答案】①③
【分析】结合已知条件，利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可.
【详解】对于①，因为，平面，平面，所以平面，所以①正确，
对于②，延长到，使，连接，如图，
因为为的中点，所以，因为与平面交于点，所以与平面不平行，所以②不正确；对于③，连接交于，连接，如图，
因为，为的中点，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，
所以平面，所以③正确，故答案为：①③
9．（24-25高一下·天津·期中）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断：
①平面; ②平面; ③平面;其中推断正确的序号是_________.
【答案】①③
【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断①；由，与平面相交可判断②；由，根据线面平行的判定定理可判断③，
【详解】如图，连接，
对于①：因为在正方体中，，，分别是，，的中点，
所以，因为，所以，因为平面， 平面，
所以平面，故①正确；对于②：因为，与平面相交，所以与平面相交，故②错误；对于③：因为，，分别是，，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故③正确；故答案为：①③
10．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）如图，是的直径，点是上的动点，，分别是，的中点.
(1)若为弧的中点，求与所成的角；
(2)若过动点的直线垂直于所在平面，判断直线与平面的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)
(2)垂直，证明见解析
【分析】（1）由异面直线夹角定义将与所成的角转换为与所成的角,即可求解；
（2）由题意得到平面，结合，即可求证；
【详解】（1）为弧的中点，所以，所以，由中位线可知：，所以与所成的角即为与所成的角,所以与所成的角为
（2）因为垂直于所在平面，在所在平面内，所以，又，，平面，∴平面，∵、分别为、中点，∴，∴面.
11．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接交于，连，可证得四边形为平行四边形，则，从而利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由已知可得平面，则，再证得，从而利用线面垂直的判定定理可证得结论.
【详解】（1）证明：连接交于，连，
在三棱柱中，矩形中，，则，
因为分别为的中点，所以且，
因为为中点，所以且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面.
（2）证明：因为底面，平面，所以，
因为∥，所以因为，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，
因为平面，所以，因为在矩形中，为的中点，
所以，因为底面，平面，所以，
所以均为等腰直角三角形，
所以，所以，所以，
因为平面，所以平面.
12．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)设平面平面，求证：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用中位线性质可得，再由线面平行判定定理可证明所以平面；
（2）根据线面垂直性质由平面可得，结合正方形中可证明平面，再由线面垂直判定定理证明平面；
（3）易证平面，由平面平面，根据线面平行性质定理证明，即可得平面．
【详解】（1）连接，交于，如下图所示：
因为底面是正方形，故为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）∵平面，平面∴，又∵在正方形中，，
，，平面，∴平面，又∵平面，∴，
∵，为中点，故，又，且平面PCB，平面，
∴平面
（3）在正方形中，有，因为平面，平面，所以平面，
又因为面，平面平面，所以，又因为平面，平面，
所以平面．
13．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．

(1)证明：平面；
(2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论；
（2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值．
【详解】（1）证明：取PB的中点，连接，在四棱锥中，底面为正方形，
E，F分别为AD，PC的中点，，且，，且，
四边形为平行四边形，，而平面平面PBE，平面；
（2）存在满足条件的，且，
证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则，
由平面平面平面，又平面平面，
又平面平面与重合，即为BC的中点，．

14．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点.
(1)求证: ∥平面;
(2)求证: 平面⊥平面;
(3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面 若存在，求 若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据线线平行可得线面平行；
（2）利用面面垂直可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；
（3）当N为中点时，由中位线可得线线平行，据此可得线面垂直，即可得解.
【详解】（1）在正方形中，E、M分别为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面⊥平面，且交线为，，平面，
所以CD⊥平面，由于平面，所以平面⊥平面.
（3）存在，当N为中点时，平面⊥平面，
证明如下：连接，交于点O，连接.
因为∥，并且 ，所以四边形为平行四边形，所以.
又因为为中点，所以.因为平面⊥平面，平面平面，
又平面，由已知可得，所以平面， 所以⊥平面.
又因为平面，所以平面⊥平面.
所以存在点N，使得平面⊥平面，且
15．（24-25高一下·青海西宁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为棱，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
(3)求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理即可得证；
（2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，证明，，即可得证；
（3）首先证明四边形是平行四边形，由线面平行的判断定理，可得平面，再由平面结合面面平行的判定定理即可得证.
【详解】（1）如图，连接，设，连接，因为，，可得四边形是平行四边形，则，又，则，因为平面，平面，故平面；
（2）由四边形是平行四边形，，故四边形为菱形，则，
因平面，平面，则，
又，、平面，故平面；
（3）由，则，又，故四边形是平行四边形，
故，又平面，平面，故平面，
又平面，，、平面，故平面平面.
16．（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面是菱形，.
(1)若分别是的中点，证明：平面；
(2)若，证明：平面平面；
(3)若平面平面，且二面角的大小为60°，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，得出，即可得证；
（2）取的中点，连接，利用勾股定理的逆定理可得，结合，可证平面，进而可证结论；
（3）过作于点，连接，可证，进而得为二面角的平面角，进而可得，求得，可得，进而利用勾股定理可求得.
【详解】（1）证明：如图，
取的中点，连接，因为为的中点，所以，故四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；
取的中点，连接，因为，所以，又因为，所以，因为，四边形是菱形，所以是等边三角形，所以，所以，所以，又，
平面，所以平面，又平面，所以平面平面；
（3）取中点，连接，
因为底面是菱形，，所以是等边三角形，所以，
又因为，所以，所以为二面角的平面角，
又二面角的大小为60°，所以，在中，可得
所以，
因为，所以，在中，，
所以，所以
17．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线PC与平面所成角的正弦值；
(3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）只需证明平面，只需证明（由正方形性质可得），，要证，只需证明平面即可.
（2）作，垂足为，连接，从而为直线与平面所成的角，只需解直角三角形即可.
（3）作，交于，连接，可以证明，故只需解直角三角形求出即可.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为底面是边长为2的正方形，所以，且平面，所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
（2）
作，垂足为，连接，因为平面平面，平面，
平面平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，
因为，，，所以，因为平面，平面，所以，所以在直角三角形中，由勾股定理可得，
所以；
（3）
作，交于，连接，因为，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，所以，因为，，
所以，解得，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以，又因为，所以.
(
地
城
考点0
3
空间的线线角、线面角、面面角问题
)
1．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】做出平行线，找到异面直线所成角的平面角，即可求解.
【详解】
如图所示，不妨设正方体的棱长为1.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角.
在中，，所以为等边三角形，则，
因此，异面直线与所成的角为.故选：C.
2．（24-25高一下·河北邯郸·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若直线平面，直线平面，则∥
C．直线与平面所成角的取值范围是
D．若直线与平面所成的角为，直线与平面内的直线所成的角为，则总有
【答案】B
【分析】对于A，考虑到两条直线相交、平行或异面三种情况都有可能即可判断；对于B，根据线面垂直的性质定理即可判断；对于C，考虑到直线和平面的位置关系有直线在平面内，直线和平面平行，直线和平面相交三种情况即可判断；对于D，根据线面角的定义，考虑到直线与平面内的直线所成角中的最小角即为线面角即可判断.
【详解】对于A，若两条直线和同一个平面所成的角相等，这两条直线可能相交、平行或异面，故A错误；
对于B，两直线同时垂直于同一平面，根据线面垂直的性质定理可知两直线平行，故B正确；
对于C，当直线在平面内或者直线与平面平行时，直线与平面所成的角为0；
当直线与平面斜交时，直线与平面所成角的取值范围是；当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，所以直线与平面所成角的取值范围为，故C错误；对于D，根据线面角的定义可知，直线与平面内的直线所成角中的最小角为，所以，故D错误；故选：B
3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得，又，则就是异面直线与BD所成角或其补角，利用余弦定理推理求余弦值即可.
【详解】
如图，因为和与底面所成的角分别为和，所以，又，
则，，
在长方体中，，所以就是异面直线与BD所成角或其补角，
又，由余弦定理，.
故选：B.
4．（多选）（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线 B．平面
C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为
【答案】ABC
【分析】利用正方体的结构特征，结合平面基本事实、线面垂直的判定推理判断AB；利用线面角及面面角的几何法求解判断CD.
【详解】在正方体中，连接，由为的中点，得是的中点，
对于A，，平面，而，则平面，而平面，平面，且平面平面，所以，即，，三点共线，A正确；
对于B，由平面，平面，得，又，平面，则平面，又平面，所以，同理，
而平面，因此平面，B正确；
对于C，连接，令交点为，连接，由选项B，同理平面，则是直线与平面所成的角，所以，所以，因此直线与平面所成角为，C正确；对于D，由选项B得，则是平面和平面夹角，而平面，则，，D错误.
故选：ABC
5．（多选）（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线所成角为 B．平面
C．M、O、三点共线 D．直线与平面所成角的为
【答案】ABC
【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；求出线面角判断D.
【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面，
则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角，
而，因此，A正确；
对于B，平面，平面，则，又，
平面，则平面，又平面，
于是，同理，又，因此平面，B正确；
对于C，由，平面，得平面，
由，平面，得平面， 则是平面和平面的公共点，
同理，点和都是平面和平面的公共点，
因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确；
对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面，
则为直线与平面所成的角，在中，，
因此，，D错误.
故选：ABC
6．（多选）（24-25高二下·湖北宜昌·期中）如图所示，在长方体中，若，E、F分别是、的中点，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．EF与垂直
B．EF与所成的角大小为
C．EF与平面所成角大小为
D．直线EF与平面平行
【答案】ACD
【分析】A. 连接，易得，再由 平面判断；B.易得EF与所成的角为判断；C.易得平面，结合判断；D.由判断.
【详解】如图所示：

A. 连接，则，由 平面，平面，则 ，所以，故A正确；
B. 由选项A知：EF与所成的角为，因为长度不定，所以EF与所成的角不确定，故错误；
C. 易知平面，则平面，所以EF与平面所成角大小为，故正确；
D.由选项A知：，且平面，平面，所以直线EF与平面平行，故正确，
故选：ACD
7．（多选）（24-25高一下·福建厦门·期中）已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ）
A．圆台的体积
B．与底面所成的角为
C．二面角小于
D．正四棱台的外接球的表面积为
【答案】ABD
【分析】根据圆台的体积公式判断A，过作，则即为所求，根据已知条件求解即可判断B；过作，连接，找到二面角的平面角为，再解三角形即可判断C；设出球心和球半径，根据几何关系，列出等量关系求解即可判断D．
【详解】根据题意，作图如下：
过作，作截面的平面图，易知为等腰梯形，且为中点，易得故，即圆台的高，又又，即四棱台的上下底面长分别为和；
对A：圆台的体积，故A正确；
对B：易得即为与底面所成角，在三角形中
又，故，即与底面所成的角为，故B正确；
对C：过作，垂足为，连接由面，//，则面，又面，故，又，面，故面，又面，
故，则即为二面角的平面角；，又，
故，由B选项知，结合在单调递增可知，故C错误；
对D：设外接球半径为，球心到下底距离为，在的平面图中，为球心，
则，故，解得； 故表面积，故D正确；
故选：ABD
8．（多选）（24-25高一下·吉林·期中）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则下列选项正确的有（ ）
A．直线与直线所成的角是
B．二面角的平面角是
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．三棱锥外接球半径为
【答案】ACD
【分析】A.易知直线与直线所成的角为判断；B.由面，得到二面角的平面角是判断；C.易知平面截正方体所得的截面图形为梯形判断；D.确定的外接圆半径为，易知外心为的中点，且到面距离为，再由三棱锥外接球半径为判断.
【详解】A.如图所示：
易知，所以直线与直线所成的角为，易知，
所以直线与直线所成的角是，故正确；
B.如图所示：
面，平面，所以，则二面角的平面角是，易知，所以二面角的平面角是，故错误；
C.如图所示：
易知平面截正方体所得的截面图形为梯形，作，
易知 ，则，
所以梯形的面积为，故正确；
D.如图所示：
易知，的外接圆半径为，则 ，所以 ，外心为的中点，且到面距离为，所以 三棱锥外接球半径为，故正确；
故选：ACD
9．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为_________．
【答案】
【分析】取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形，根据题中信息求出圆台上、下底面半径，结合台体体积公式可求得该圆台的体积.
【详解】如下图所示，在圆台中，设该圆台上、下底面的半径分别为、，高为，
取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形，
过点、在平面内作，，垂足分别为、，
由题意可知，，则、都为等腰直角三角形，
故，，则，，
在平面内，因为，，，则四边形为矩形，故，
由题意可知，梯形的周长为，
即，解得，故，
因此，该圆台的体积为.
10．（23-24高一下·浙江·期中）如图，点是棱长为1的正方体上底面的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为______.
【答案】
【分析】先利用直线与平面所成的角为，求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度.
【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上，又因为点是正方体上上的一个动点，所以点的轨迹为圆弧，如图所示，则点的轨迹长为．
11．（23-24高二上·辽宁·期中）已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影相互垂直，则________.
【答案】
【分析】结合题意作出图形，可得，从而可求得，进而证得，再利用勾股定理即可得解.
【详解】如图，设点在平面内的射影为，点在平面内的射影为，

则，，所以，又，
则，所以，因为，所以，
在线段上取点，使得，所以四边形为平行四边形，
所以，，因为，所以，所以，
又，所以.
12．（24-25高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，．

(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点为Q，连接，先证出四边形是平行四边形，进而得出，再由线面垂直的性质及判定即可证明；
（2）过点A作于H，得出为直线与平面所成角，求得，再得出或其补角为直线与直线所成角，连接，由余弦定理即可求解．
【详解】（1）如图：

取中点为Q，连接，因为，，，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以三点共圆，
且圆心为，所以，即，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面．
（2）如图：

过点A作于H，由（Ⅰ）知平面，又平面，
所以，又，，平面，所以平面，
所以为在平面内的射影，为直线与平面所成角，
设，在直角三角形中，，
解得，由（Ⅰ）知四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角为直线与直线所成角，连接，，
在中，，，，
所以直线与直线所成角的余弦值为．
13．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点是线段上的动点（不含端点）.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)当直线与平面所成角的正弦值为时，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)或.
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）过作于点，连接，可证得，即是二面角的平面角，结合立体几何的图形关系，即可求得；
（3）通过证明，可得是直线与平面所成角，在直角中，可求得，所以，在中，设，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）过作于点，在等腰梯形中，，，
可得，所以，所以，又平面为正方形，所以
又平面平面，且平面平面，
所以平面，所以，又，，平面；
平面平面；
（2）过作于点，连接，平面，，
又，，平面，，是二面角的平面角.
在直角中，，，得，
，二面角的平面角的余弦值为；
（3）平面，平面平面，
过作于点，连接，
平面平面，平面平面，，平面，
是直线与平面所成角，，
在直角中，，，，得，，
在中，，，，，设，得，
即，解得或，即或.
14．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，直线平面.
(1)求的值；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围.
【答案】(1)2;
(2);
(3).
【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的性质定理得到，再由线段成比例可得；
（2）取的中点，的中点，连接，，，由面面垂直的性质定理得到平面，然后由三角形的面积公式和棱锥的体积公式可得；
（3）先由线面垂直的性质定理和判定定理得到，设，得到，再过作交于，连接，得到，然后由余弦定理和三角函数值求出的表达式，再由函数的单调性可得.
【详解】（1）连接交于，连接.因为直线平面，平面，
平面平面，所以，
因为，，所以根据相似的性质可得.则.
（2）取的中点，的中点，连接，，.
因为是边长为6的等边三角形，则，.
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
，，
由（1）可知，，所以.
（3）因为平面，平面，所以，.
又因为，分别为，的中点，所以，
而，所以，又，平面，
则平面，又平面，得，
所以是二面角的平面角，即.
设，则，得.
过作交于，连接，由于平面，所以平面，
则为直线与平面所成的角，即.，，.
因为，在中，根据余弦定理，，
所以，则.
因为，所以.故的取值范围为.
15．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值；
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明；
（2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解；
（3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解.
【详解】（1）取中点，连接.因为是等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以.
又因为，，、平面，
所以平面，而平面，所以.因为为的中点，所以，
又，，平面，所以平面.
（2）过点作，垂足为.因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，所以为与平面所成的角.
因为，，，
所以，，
在中，由余弦定理得，
所以与平面所成角的余弦值为.
（3）取的中点，连接，易知，，
过点作，垂足为，连接.由（1）知，平面，所以平面.
又，平面，所以，.
因为，，平面，所以平面.
又因为平面，所以，所以为二面角的平面角.
由（1）知平面，平面，所以，
所以在中，，
由（2）知，平面，又平面，所以.
在中，，即，解得，
在中，，所以二面角的平面角的正弦值为.
16．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）如图， 在正方体中， 是的中点.
(1)求异面直线和所成角的大小；
(2)求证：平面；
(3)求和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角即为异面直线和所成角，从而得解；
（2）连接，设直线交直线于点，连接，即可得到，从而得证；
（3）设正方体的棱长为，利用等体积法求出点到平面的距离，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线和所成角，
又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为；
（2）连接，设直线交直线于点，连接，
因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点，又因为为的中点，
所以，又因为平面，平面，所以直线平面．
（3）设正方体的棱长为，则，
又，，所以，
设点到平面的距离为，则，即，解得，
设和平面所成角为，则，所以和平面所成角的正弦值为.
17．（24-25高一下·浙江·期中）如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面平面ABCD，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE；
(3)当时，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由矩形性质可得线线平行，根据线面平行的判定以及面面平行判定，可得答案；
（2）由异面直线的夹角的定义，确定其平面角，根据正切函数的差角公式、余弦定理以及空间向量的夹角计算，结合图象，可得答案；
（3）根据二面角的平面角定义，可得线面角，根据等体积法求得点面距，由锐角三角函数，可得答案.
【详解】（1）由为矩形可得：，
因为平面，平面，所以平面，又，同理可得平面，
因为，平面，所以平面平面.
（2）
如图，取中点，连接，由且，则四边形为平行四边形，
则，所以即为异面直线与所成角的平面角；设，
法一：（正切和差公式）
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，因为平面，所以，
，当且仅当时取等．
法二：（余弦定理）
，当且仅当时取等．
（3）过点作，
易知平面与平面所成角为直线与平面所成角，设为，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，由，则，
由，，，则中边上的高为，
设点到面的距离为，由，，
即，故．
18．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证.
（2）作出线面角，利用定义法求出大小.
（3）延长棱台侧棱还原成棱锥，再利用面面角的定义计算推理即可.
【详解】（1）在三棱台中，，，
在等腰梯形中，，
由余弦定理得：，则，即，
而平面平面，平面平面平面，
所以平面.
（2）过，垂足为，因为平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，平面，
得 又，平面，
则平面，为与平面所在角，，
因此，所以与平面所成角为.
（3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形，
由平面，平面，得平面平面，取中点，
则，而平面平面，平面，则平面，
作交于，则平面，而平面，则，
作于，连接，即在平面上的射影，

又，平面，则平面，
又平面，于是，为二面角的平面角，
若存在使得二面角的大小为，即，
设，则，，
即，解得，，，
因此，，所以存在满足题意的点.
(
地
城
考点0
4
空间的距离问题
)
1．（23-24高一下·河南商丘·期末）设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据线面位置关系分别判断充分必要条件即可.
【详解】若，则A，B两点到平面的距离相等，但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧，
且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交．故选：B．
2．（24-25高二下·江苏常州·期中）在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知求出的面积，再由等体积法求点到平面的距离．
【详解】如图，连接，
正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形，
，设点到平面的距离为，
由，得，可得，则点到平面的距离为．故选：C．
3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】将棱锥补全为长方体，进而确定球心的位置并求出半径，若为的中点，连接，证明平面平面，得到是与平面的夹角，结合已知求点面距即可.
【详解】由平面，平面，则，，
由，可将三棱锥补全为一个长方体，如下图示，
则球心为该长方体体对角线的中点，则球的半径，
易知中，，若为的中点，连接，
显然，且都在平面内，则平面，
又平面，所以平面平面，故在平面的投影在上，
所以是与平面的夹角，而，
则，所以，则球心到平面的距离为.故选：B
4．（24-25高一下·河南·期中）如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，做过与的两平行平面，则异面直线与之间的距离为两平行平面间距离.
【详解】如图，取AB中点为F，中点为，中点为，连接.
，则为正方体，因，四边形为平行四边形，
有，平面，平面，则平面，
同理有平面，，平面，则平面平面，
则异面直线与之间的距离为两平行平面间距离.
如图连接，由题可得平面ABCD，又平面ABCD，
则DF，又，平面，
则平面，又平面，则.
又同理可得，结合平面，
则平面，又平面平面，则平面.
则平面间距离，为减去A到平面距离，再减去到平面距离.
设A到平面距离为，到平面距离为则.
注意到，，则，同理可得，又，则平面间距离为，即异面直线与之间的距离为.
故选：C
5．（多选）（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P使得平面
B．存在点P使得平面
C．若P是的中点，则到平面的距离为
D．若直线与平面所成角的正弦值为，则
【答案】BC
【分析】A.根据正方体可知，与不垂直，即可判断A，B.根据线面平行的判断定理，即可判断B，C.利用等体积转化为点到平面的距离，D.首先设，利用等面积转化，以及根据几何关系，求点到直线的距离，再根据线面角的定义，即可判断.
【详解】A.在正方体中易知，与不垂直，故A不正确；
B.因为，又平面并且平面，所以平面，故B正确；
C.正方体中易知，，不在平面内，在平面内，所以平面，
所以到平面的距离即为到平面的距离，在正方体中，易知平面平面，且相交于，所以到平面的距离即为到的距离，
又因为点P是的中点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，
又，，解得，故C正确；
D.设（），所以，
因为平面，且平面，所以平面平面，
且平面平面，所以点和到平面的距离就是到的距离，
计算可得，所以，
可得，所以直线与平面所成角的正弦为，所以，故D错误.
故选：BC
6．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，三棱锥中，分别为棱的中点，平面，，，，则（ ）
A．四点共面
B．点与点到平面的距离相等
C．直线与直线垂直
D．三棱锥的体积为6
【答案】BD
【分析】通过线面垂直的性质定理得平面，即可判断A；证明平面，点与点到平面的距离相等，再由点与点到平面的距离相等可判断B；证明平面，假设，则平面，而过点有且只有一条直线与平面垂直可判断C；利用等体积法计算三棱锥的体积可判断D.
【详解】因为分别为棱的中点，所以，，
又平面，所以平面，所以平面，所以四点不共面，故A错误；
因为，且平面，平面，所以平面，
所以点与点到平面的距离相等，因为是线段的中点，
所以点与点到平面的距离相等，所以点与点到平面的距离相等，故选项B正确；
因为平面，平面，所以，因为，即，
，平面，所以平面，
因为，所以平面，因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，因为平面，所以，
假设，，平面，则平面，
而过点有且只有一条直线与平面垂直，假设不成立，
所以直线与直线不垂直，故选项C错误；
因为，且，因为平面，所以平面，
因为为的中点，，所以，
所以，故选项D正确；
故选：BD
7．（多选）（24-25高一下·云南·期中）如图所示，在正三角形中，分别为边的中点，其中，把沿着翻折至的位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是（ ）
A．点到平面的距离为
B．
C．直线与直线所成的角的正弦值为
D．四棱锥的外接球半径为
【答案】ACD
【分析】A选项，作出辅助线，得到为二面角的平面角，故，并证明出平面，故的长即为点到平面的距离，求出，故A正确；B选项，求出各边长，得到，故与不垂直，故B错误；C选项，作出辅助线，得到就是直线与所成的角，求出各边长，由余弦定理和同角三角函数关系得到，故C正确；D选项，为底面梯形的外接圆的圆心，分在平面的上方和下方两种情况，设，外接球的半径为，根据得到方程，求出，进而求出外接球半径.
【详解】A选项，如图1所示，作，交于，延长交于，连接，
则，故为二面角的平面角，
故，因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面，
在平面中作，交于点，由面面垂直的性质可知平面，
故的长即为点到平面的距离，
在正三角形中，，，故A正确；
B选项，为边的中点，故，因为平面，平面，所以，
又，，平面，故平面，
因为平面，所以，
因为，，故为等边三角形，故，
在中，，由勾股定理得，
则，由勾股定理逆定理得与不垂直，故B错误；
C选项，连接，易得，，就是直线与所成的角，，故，所以，故C正确；
D选项，易得，故为底面梯形的外接圆的圆心，
设四棱锥的外接球的球心为，则平面，且.
若在平面的上方，如图1所示：设，外接球的半径为，
过作的垂线，垂足为，则，易得，解得，舍去；
故在平面的下方，如图2所示：设，外接球的半径为，
过作的垂线，垂足为，则，易得，解得，
，故D正确.
故选：ACD.
8．（24-25高一下·北京·期中）在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为______．
【答案】
【分析】根据正四棱锥性质求高，即得顶点P到底面的距离.
【详解】如图，设为底面的中心，则底面，因为平面，所以，由题意，，则在正方形中，，所以，则顶点P到底面的距离为.
9．（24-25高一下·河南·期中）已知正六棱柱的各个顶点都在球O的球面上，球心O到正六棱柱的上、下底面的距离均为1，若，则球O的表面积为_______.
【答案】
【详解】因为，所以正六边形的的外接圆半径，所以球O的半径，
所以球O的表面积为.
10．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________.
【答案】
【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案.
【详解】因为，平面，平面，所以平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，连接，与相交于点，则⊥，又⊥平面，平面，所以⊥，又，平面，所以⊥平面，故即为点到平面的距离，因为正方体的棱长为2，
所以，故直线到平面的距离.
11．（24-25高一下·天津·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）借助中位线平行来证明线面平行即可；（2）借助等体积法来求点到面的距离即可.
【详解】（1）
取与的交点为，连接，由侧面均为正方形，可得，又因为点是棱的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面；
（2）
因为侧面，均为正方形，，，所以，，又因为点是棱的中点，所以，即可得，
所以，又因为，
设点到平面的距离为，则根据等体积公式可得，
．解得，故到平面的距离为.
12．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，得到，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）作垂足为，求得，求得的面积，结合锥体的体积公式，列出方程求得到平面的距离，再由，得到点到平面的距离是点F到平面的距离的3倍，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，且，可得，
连接，因为，所以，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）因为，，所以，又因为四边形是等腰梯形，，
在平面中，作垂足为，则，
则的面积为，
所以三棱锥的体积为，解得，即点到平面的距离为，
因为，所以点P到平面的距离是点F到平面的距离的3倍，
所以点到平面的距离为.
13．（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点，
(1)证明：平面；
(2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理证明结论；
（2）由条件先证明，再结合（1）将问题求直线到平面的距离转化为求点到平面的距离，证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得结论.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形是正方形，所以是的中点
因为是的中点，所以又因为平面，平面，所以平面；
（2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面
因为平面，所以，由（1）知，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离
因为为正方形，所以
因为平面，平面，，所以平面，
所以点到平面的距离即线段的长度在正方形中，，
所以，所以直线到平面的距离为
14．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
(3)若正方体的棱长为2，求直线到平面AEC的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立．
（3）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用求解即可.
【详解】（1）连接交于，连接．因为为正方体，底面为正方形，
对角线交于点，所以为的中点，又因为为的中点，在中，是的中位线，则，又平面平面，所以平面；
（2）因为为的中点，为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面；
由（1）知平面，又因为，平面，所以平面平面．
（3）因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为．
因为正方体棱长为2，为的中点，所以．
，．，．因为，
所以，求得．
15．（24-25高一下·重庆·期中）如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，D，E分别为，的中点．求证：
(1)平面；
(2)若，求点E到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位线可得，结合线面平行的判定定理可证结论；
（2）利用等体积法可求点E到平面的距离.
【详解】（1）因为D，E分别为，的中点，所以，
因为，所以，因为平面，平面，所以平面.
因为底面为直角三角形，，，所以，因为，
所以，由于,所以的面积为；
因为底面为等腰直角三角形，所以,所以的面积为;
设点E到平面的距离为，，所以,
解得，即点E到平面的距离为.
16．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与底面所成的角的正切值；
(3)求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得，，根据面面垂直得判定定理证明即可；
（2）设，点为的中点，连接，，，根据正四棱锥性质可得平面，进而得线面角的平面角，计算可得；
（3）根据，利用等体积法计算可得.
【详解】（1）因为在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，
所以，，又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）设，点为的中点，连接，，，
因为在正四棱锥中，所以平面，
因为在中，点为的中点，点为的中点，所以，且，
所以平面，因为平面，
所以，则即为直线与底面所成的角，
因为正四棱锥中，所有棱长均为，
所以，，所以，，
在中，由余弦定理可得：，所以；
（3）设点到平面的距离为，因为在正四棱锥中，所有棱长均为，所以四个侧面的正三角形的面积均为，底面正方形的面积为，依题意可得，所以，
即，解得.
(
地
城
考点0
5
空间的动点轨迹问题
)
1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】取的中点分别为，连接，则可证平面平面，故的轨迹为线段，故可求其长度.
【详解】取的中点分别为，连接，
在正方形中，因为为中点，故且，由正方体可得且，所以，，故四边形为平行四边形，故，而，故，同理，故，而平面，平面，故平面，
同理平面，而平面，故平面平面，而平面平面，结合平面，故的轨迹为线段，其长度为，故选：A.
2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件可得点的轨迹是以为球心，半径为的球面与正三棱柱表面的交线，再按点所在位置分类求解.
【详解】由，得点在以为球心，半径为的球面上，
而点在正三棱柱表面上，因此点的轨迹是球与正三棱柱表面的交线，
当点在面内时，由平面，平面，则，
，此时点的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，弧长为；令弧的端点为，则，
当点在面内时，点的轨迹分别是以为圆心，为半径，
圆心角为的圆弧，弧长都为；当点在侧面内时，取中点，连接，
由平面，平面，则，
而，平面，则平面，
又平面，因此，而，则，
此时点的轨迹是以为直径的半圆，弧长为，
所以动点的轨迹的长度为.
故选：C
3．（24-25高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】C
【分析】根据线面垂直及圆的性质判断点O的轨迹为圆的一部分，再由弧长公式能求出结果.
【详解】取中点P，连接，的中点为，如图，
是中点，是等边三角形，所以，又N为棱上的中点，由直三棱柱性质知，又因为，平面，∴平面，又平面，
∴平面⊥平面，过N作,为垂足，又平面 平面，
平面，∴⊥平面，所以O点轨迹是在平面内且以为直径的圆弧，
当点M在点C时，O点位于P点，当点M到点时，O点到最高点，
此时，所以直角中，，
从而，∴弧长， ∴当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为.
故选：C.
4．（24-25高一下·山东·期中）在正四棱柱中，，、分别为棱、的中点，点满足，，动点在矩形内部及其边界上运动，且满足，点在棱上，将绕边旋转一周得到几何体，则（ ）
A．以正四棱柱的上下底面的内切圆为底且与正四棱柱等高的圆柱的侧面积，与正四棱柱的外接球的表面积之比为
B．动点的轨迹长度为
C．存在，，使得平面
D．当动点的轨迹与几何体只有一个公共点时，几何体的侧面积为
【答案】ACD
【分析】求出圆柱的侧面积、球的表面积判断A；确定轨迹并求出长度判断B；作平行平面判断C；求出圆锥底半径及母线求解判断D.
【详解】对于A，圆柱的底面圆半径，圆柱的侧面积，
正四棱柱的外接球直径，此球的表面积，，A正确；
对于B，在正四棱柱中，，，则，而，则点是以点为圆心为半径的四分之一圆，动点F的轨迹长度，B错误；
对于C，连接，在上取点，过点作的平行线交于点，再过点作的平行线，与的轨迹相交，令交点为，而，则，又平面，平面，则平面，同理平面，又，因此平面平面，
平面，故平面，C正确；
对于D，几何体是以为旋转轴，为母线的圆锥，当动点的轨迹与几何体只有一个公共点时，圆锥与平面的交线与所在的圆弧相切，由，得，
由，则，解得，该圆锥的底面半径，
所以几何体的侧面积，D正确.
故选：ACD
5．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（）
A．动点的轨迹是一条线段
B．直线与的夹角为
C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D．平面截正方体所得截面的面积为
【答案】ABD
【分析】对于A，过做一个平面，使得该平面与平面平行，该平面与正方体左侧面的交线段即为动点的轨迹；对于B，或其补角为异面直线与的夹角，在三角形中求角即可；对于C，由A知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，进而体积为定值；对于D，取的中点，连接，则四边形为为正方体的截面，计算边长即可求面积.
【详解】对于A，如图：
分别取的中点H，G，连接，，，．由正方体的性质可得，且平面，平面，所以平面，同理可得：平面，
且平面，所以平面平面，而平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，故A正确；
对于C，由A可知的轨迹为线段，平面平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，故三棱锥的体积是定值，不会随点的运动而变化，故C错误；
对于B，如图：
连接，，因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角为异面直线与的夹角，因为为正方体，，都为面对角线，
所以，所以为等边三角形，所以，故B正确；
对于D，如图：
取的中点，连接，取的中点，连接，易知且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且.
同理可证四边形也为平行四边形，所以且，所以且.
所以四点共面，即四边形为为正方体的截面，，同理可求得四边形为的其它边长也为，
故该四边形为为棱形，对角线，，
故该棱形的面积为，故D正确.
故选：ABD
6．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形，内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A．动点F轨迹的长度为
B．直线与不可能垂直
C．当三棱锥的体积最小时，直线与所成角的余弦值为
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，举反例即可根据棱锥体积公式分析即可，对C，由最小时，体积最小，得到为异面直线所成角，即可求解；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接，又正方体中，为棱的中点，可得,，平面,平面,又，
且平面，平面平面,
又平面，且平面，平面，又为正方形内一个动点（包括边界），
平面平面，而平面平面，
，即的轨迹为线段.由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；
对B，由可知三角形为等腰三角形， 当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,，而，,故选项B不正确；
对C，由侧棱底面，所以三棱锥体积为，
所以最小时，体积最小，∵，可得在处时最小，由知此时与所成角为，等腰三角形中，，故选项C正确；
对D，同理可得当在处时，三棱锥的体积最大，由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，，，，
由勾股定理易知底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，
如图，设外接球半径为，由，，可得外接球半径，
外接球的表面积为，故选项D正确．
故选：ACD
7．（24-25高一下·河南·期中）如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥的体积为定值
B．当时，点P的轨迹长度为
C．当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为
D．若直线平面，则点P的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】求出四棱锥的体积即判A断；求出的长度，分析点的轨迹，计算其长度判断BC；利用面面平行的性质得出点的轨迹，并计算出轨迹长度判断D.
【详解】对于A，点到侧面的距离即为，，，四棱锥的体积为定值，A正确；对于B，由平面，平面，得，则，
点的轨迹是以点为圆心，为半径的四分之一圆，其轨迹长度为，B错误；
对于C，由与平面所成的角为，则为等腰直角三角形，
，则点的轨迹是以点为圆心，为半径为半径的四分之一圆，其轨迹长度为，C正确；对于D，取的中点，连接，由为的中点，得，
由平面，平面，得平面，由且，得四边形为平行四边形，则，而，则，由平面，平面，
得平面，由，平面，得平面平面，当点在线段上运动时，平面，则平面，因此点的轨迹为线段，其长度为，D正确.故选：ACD
8．（24-25高一下·重庆·期中）已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．时，
B．时，的最小值为
C．时，三棱锥的体积为定值
D．时，直线与平面的交点轨迹长度为
【答案】ABC
【分析】先分别由各选项的条件确定动点的轨迹后再判断.A项，由线面垂直可证线线垂直；B项，由线面垂直性质得直角三角形，由直角边小于斜边可得最值；C项，由线面平行关系得距离定值，再由体积公式可得；D项，线面交点轨迹转化为面面交线问题求解即可.
【详解】由题意，正方体的棱长为1，为线段的中点，且，其中，对于A中，取，分别为的中点，当时，可得点在线段上运动，
如图（1）所示，在正方形中，因为，为中点，，所以与全等，则，可得，又由平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，所以A正确；
对于B，如图（2）在上分别取点和点，使得，连接，当时，可得点在线段上运动，由，平面，所以平面，又平面，
则，所以在直角Rt中，显然为的最小值，
且，所以B正确；
对于C中，如图（3）所示，取的中点，分别连接，当时，可得点在线段上运动，由且平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，
又由的面积为定值，所以（定值），所以C正确：
对于D中，如图（4）所示，连接分别交于点和点，连接，当时，可得点在线段上运动，设直线与平面的交点在必在平面与平面的交线上.
因为且平面，所以平面，又因为平面平面，所以，由与相似，且相似比为1:2，所以，
即直线与面的交点轨迹为，长度为，所以D不正确．故选：ABC.
9．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱，，的中点，点满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．若Q，M，N，P四点共面，则
C．过点Q有且仅有一条直线与，都相交
D．若，点F在侧面上（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】利用面面平行可判断线面平行，可判断A，利用正方体取六条棱的中点截面是正六面形截面，可判断B，利用面面相交可通过作图来判断C，利用作面面平行来确定交线，可判断D.
【详解】对于A,因为平面平面,平面,所以平面,故A正确；
对于B,作直线，分别交延长线于点，再连接并延长交延长线于点，
连接交于点，因为分别是棱，，的中点，可作正方体截面为正六边形，
它们交于各棱中点，所以为中点，由可得，故B错误；
对于C,由平面平面，则，因为都在平面内，所以由图可得必与相交，根据以上作图可得唯一交点，所以直线是唯一与和相交的直线，故C正确；
对于D，由分别是棱的中点，点满足，则过作平行于，交于，由图可得，连接，再过点作的平行线交于，可得，再过点作的平行线交于，可得为的中点，则可得平面，平面，平面，所以平面平面，若平面，则平面，
因为平面平面，所以，
由于正方体棱长为2，可得，故D正确；故选：ACD.
10．（24-25高一下·浙江台州·期中）在棱长为3的正方体中，P是平面内的一个动点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹长度为 B．直线不可能与垂直
C．直线与平面所成角为 D．三棱锥的体积最大值为
【答案】ACD
【分析】证明出平面，利用勾股定理计算出的长，可判断A；当时，可证平面，此时，可判断B；利用线面角的定义可判断C；计算出面积的最大值，结合锥体体积公式可判断D.
【详解】连接，因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，因为，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，
因为，平面，所以平面，
设平面，即平面，对于A，由得，，则，，所以点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，其周长为.故A正确；对于B，当时，因为，所以平面，此时.故B错误；
对于C，因为平面，所以为直线与平面的所成角，,，故C正确；对于D，因为点到直线的距离为，点到直线的最大距离为，故的面积的最大值为,因为平面，
则三棱锥体积的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
11．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，作出过点与平面平行的正方体截面，再求出截面周长即可.
【详解】在棱长为2的正方体中，取的中点，连接，
由为的中点，得，四边形为平行四边形，
则，又，则四边形是平行四边形，
，于是，四边形是平行四边形，
而平面，平面，则平面，同理平面，
又平面，因此平面平面，
又平面，P在正方体表面上移动，于是点的轨迹是与正方体的交线，
所以P的轨迹长为.
(
地
城
考点0
6
空间
几何体的截面
问题
)
1．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，长方体被一个平面截成两个几何体，且，这两个几何体分别是（ ）
A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱
C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台
【答案】A
【分析】由棱柱的几何特征即可求解.
【详解】由于，所以,所以几何体为三棱柱，几何体为五棱柱，故选：A.
2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（ ）
A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形
【答案】B
【分析】应用平面的基本性质画出截面图形，结合正方体的结构特征判断截面的形状.
【详解】延长交直线于，连接交于，连接，即即为所求截面，
由题设有，即为的中点，则且，又，，则为平行四边形，所以且，故且，
又，所以为等腰梯形.故选：B
3．（24-25高一下·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】求出圆锥的底面半径，假设截面与圆锥底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面积关于的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值．
【详解】因为圆锥的高是，母线长是，则底面半径，设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OA⊥CD于E，
设，则，，可得截面SCD的面积，当且仅当，即时等号成立，
所以截面积的最大值为2.故选：C.
4．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（ ）
A．五边形， B．六边形，
C．五边形， D．六边形，
【答案】B
【分析】根据题意作出截面可判断截面形状，得出截面与侧面的棱相交，并计算出其位置即可求得交线长.
【详解】设中点为，连接，是中点，底面，，连接，并延长交的延长线于，又是中点，所以≌，则，过点作，且交的延长线于，与的延长线交于R，∽，则，所以，，
连接交于G，所以∽，即，
其中，故，又，则，，所以截面与侧面的交线为，延长交的延长线于，连接交于H，并延长交的延长线于K，连接交于I，所以截面为六边形，故选：B.
5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先证明，当平面平面时，三棱锥的体积最大，由面面垂直的性质得到平面，求出截面圆的半径，即可得解.
【详解】依题意，所以梯形的高，
所以，则，又，所以，即，
当平面平面时，三棱锥的体积最大，又平面平面，平面，所以平面.的中点为球心，取的中点，则为的中位线，
所以，平面.
以为直径的球被平面所截的截面为圆面，由以上分析可知点为该圆的圆心，其半径，该圆面面积为.
故选：B
6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）正方体的棱长为，分别为的中点，过三点的平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长至，且，延长至，且，延长至，且，连接交与，交与，连接，交与，交与，连接，交与，交与，证明共面， 与点重合，与点重合，点与点重合，由此确定过三点的平面截正方体所得截面形状及面积.
【详解】延长至，且，延长至，且，延长至，且，
因为为不共线三点，所以过有且只有一个平面，记为平面，
因为平面，所以直线平面，连接交与，交与，
连接，交与，交与，连接，交与，交与，
所以平面，故共面，
因为，所以，又，所以，故，
所以与点重合，因为，所以，又，
所以，故，所以与点重合，同理可证点与点重合，
所以过点的截面为六边形，且，
所以六边形的面积为，故选：C.
7．（多选）（24-25高一下·山东济南·期中）正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．三棱锥的体积为定值
C．平面AEF截正方体所得的截面周长为
D．直线AF与平面所成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】确定外接球并求出表面积判断A；证明线面平行并结合等体积法判断B；求出截面周长判断C；求出线面角的正弦判断D.
【详解】对于A，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，则该外接球的直径为，因此三棱锥的外接球表面积为，A错误；
对于B，连接，由且，得四边形是平行四边形，
则，又，于是，四边形是平面截正方体所得的截面图形，
连接，则由、均为所在棱的中点，得，，则四边形是平行四边形，，又平面，平面，因此平面，点到平面的距离即为到平面的距离，为定值，即三棱锥的体积为定值，B正确；
对于C，由选项B知，平面截正方体所得的截面图形为四边形，而，，，
平面截正方体所得的截面周长为，C正确；
对于D，连接，由平面，得是直线与平面所成的角，又，，，，因此直线与平面所成角的正弦值为，D错误．
故选：BC
8．（多选）（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面中，则下列说法中正确的是（ ）

A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
C．当时，取得最小值
D．的最小值为
【答案】AC
【分析】A根据平面的基本性质画出截面，结合正方体的结构特征判断；B根据已知确定球心的位置并求得球体半径为3，再由几何关系判断的位置判断；C将面展开与面在同一平面上，利用平面上两点距离最短判断；D画出示意图，找到关于面对称的点在线段上，进而确定最小时对称点的位置，即可判断.
【详解】A：延长交于，连接并延长交于，连接交于，连接，则平面截正方体的截面为，根据作图易知，所以有，为线段中点，则为线段中点，结合平面的基本性质及正方体的结构特征知且，则为平行四边形，对；

B：由外接球的球心必在正方体上下底面中心连线上，如下图示，

所以球体半径为，则，得，则到下底面距离，又在线段上运动，所以在下底面上方，则，显然不存在这样的点，错；
C：将面展开与面在同一平面上，如下图，

当为与的交点时，最小，对；
D：如下图，线段关于面的对称线段为，它们的交点为，则在平面中， 且，则关于面对称的点在线段上，若对称点为，连接，则，若与的夹角为，则，所以，
若，则，此时不在线段上，不符；
所以，即最小为，错.

故选：AC
9．（多选）（24-25高一下·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形
C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．当时，的最小值为
【答案】ABD
【分析】先证明所可得A正确，B，C作出截面图即可，D把立体几何展开形成平面的问题即可求解.
【详解】对A，当时，，为中点，∵是中点，∴ ，又，所以，即可得平面，故A正确；对于B，如图延长交与H，连接交与I，易知当时，I在线段上，截面如图为梯形，
当时，I在延长线上，截面如图为五边形，所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形，
故B正确；对于C，当时，为中点，∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形，
正方体边长为1，故截面正六边形边长为，面积，故C错误；
对于D，当时， ，∴ 四点共面，如图对平面和平面沿进行展开，
四边形为等腰梯形，，∴高，又三角形为等腰三角形，，∴高，∴，又，所以的最小值为，故D正确；故选：A B D.
10．（多选）（24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体所得的截面可能是五边形
B．一定是锐角三角形
C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为
D．的最小值是
【答案】AD
【分析】对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离．
【详解】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长，分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点，连接此时截面为五边形，所以A正确；
对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，，此时因为，故为钝角，所以B错误；
对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则，所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形,易知，所以其截面面积为，故C错误；
对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得，连接与于P点，此时，故D正确.
故选：AD
11．（24-25高一下·河北承德·期中）在棱长为3的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，则截面图形的周长为________．
【答案】
【分析】作出截面，借助平行线分线段成比例定理计算相关线段长，再结合勾股定理求出周长.
【详解】如图，画直线交的延长线分别于点，连接交于点，
交延长线于点，连接交分别于点，连接，
则六边形即为过点，，的截面，由为棱上靠近点的三等分点，
得，即，由，得点为上靠近点的三等分点，即，
由，得，，由，
得，即，由，得，
由勾股定理得，，同理得，
所以截面图形的周长为．
12．（24-25高一下·宁夏银川·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点的平面与直线垂直，则截正方体所得截得的面积为________．
【答案】
【分析】根据线线垂直可证明平面，平面，平面，进而可得平面为平面，利用正方体中的边角关系求解长度，根据面积公式求解即可.
【详解】如图，设分别为棱，的中点，连接，，，，，，，
∴，又，∴，∴A，，四点共面．
又∵平面，平面，∴，
又∵，故，
因此,∴，
又∵，，平面，∴平面，
又∵平面，∴．又∵平面，平面，∴，
又∵和分别为棱和的中点，,∴，
又∵，，平面，∴平面，
又∵平面，∴．又∵，，平面，
∴平面，即平面为平面，由，得，∴，，得等腰梯形的高为，
∴截面的面积．故选：B．

13．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，
(1)求四棱锥的体积；
(2)若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用体积公式即可求解，
（2）根据题意得截面为五边形，即可利用三角形的边角关系求解长度得解.
【详解】（1）由正方体特征知，
（2）如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接，．则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形．
因为为的中点，为的中点，所以，，
所以，，所以，
，，，
即截面周长为．
14．（24-25高一下·重庆南岸·期中）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是边上的点，且．
(1)求证：、、、四点共面；
(2)若四面体为棱长为6的正四面体，且，求四边形的周长；
(3)若平面截四面体所得的五面体的体积占四面体的，求的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【分析】（1）利用平行的传递性证明即可；
（2）由余弦定理及线段成比例即可求解；
（3）延长，则必交于点，利用相似比求解即可.
【详解】（1）连接，因为H、G分别是AD、CD的中点，
所以，又，所以，所以，所以E、F、G、H四点共面；
（2），为三等分点，又是中点，所以，
由余弦定理可得：，得：，同理
，、分别是、的中点，所以，，所以四边形的周长.
（3）延长，则必交于点，
证明如下：设，因为平面，所以平面，同理平面，
又平面平面，所以，所以，则必交于点，
取的中点，连接，因为，所以，又，
所以，所以，又，所以，
所以，所以，即，
所以，，所以，
，
所以，即，所以，
即，所以，解得或，又因为，所以
15．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当时，求过点A ，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，再证，进而可证平面，再由面面垂直的判定定理可证平面平面；
（2）根据题意将截面做出来，易知，只需计算的最大值即可，因此需要求出相应的边长，利用面积公式求出，结合二次函数即可求最大值.
【详解】（1）由已知得点E是的中点，且平面.
由可得.所以，
因为，故即.
由正四棱柱可知平面，因为平面，所以.
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）延长，交于，设过点的截面与棱的公共点为G，连.
由面面平行的性质定理可得此截面四边形是平行四边形
由，得.从而，
，
设，在中由余弦定理得：
，
故当时，取得最小值，从而，故截面四边形的最小值为.
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专题06 空间点线面的位置关系
6大高频考点概览
考点01空间点线面的位置关系
考点02空间线面之间的平行与垂直
考点03 空间的线线角、线面角、面面角问题
考点04 空间的距离问题
考点05 空间的动点轨迹问题
考点06 空间几何体的截面问题
(
地
城
考点01
间点线面
之间
的位置关系
)
1．（24-25高一下·云南红河·期中）若直线平面，直线平面，则与（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
2．（24-25高一下·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）
A．直线在平面内 B．直线平行平面
C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行
3．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（ ）个区块.
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知直线a，b，平面，，且，，，a，b共面，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C．直线与内的任意直线均异面 D．a，b，l交于一点或互相平行
5．（24-25高一下·吉林长春·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若a、b是两条直线，、是两个平面，且，，则a、b是异面直线
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．四边形可以确定一个平面
D．已知两条相交直线a、b，且平面，则b与的位置关系是相交
6．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（24-25高一下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．过三个点有且只有一个平面
B．四边形可以确定一个平面
C．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行
D．若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点
8．（24-25高一下·广东佛山·期中），是两个平面，m，n是两条直线，则（ ）
A．如果，，那么
B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，那么
D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线
9．（24-25高一下·新疆·期中）若直线与平面相交，则下列结论正确的是（ ）
A．平面内任意直线和直线异面 B．平面内存在直线和直线平行
C．平面内有且仅有一条直线和直线相交 D．平面内有无数条直线都与直线相交
10．（25-26高二上·上海闵行·期中）已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
11．（多选）（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）若直线与平面垂直，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与平面的所有直线都垂直
B．在平面内存在与直线异面的直线
C．在平面内存在无数条直线与直线相交
D．在平面内存在与直线平行的直线
12．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平行的说法正确的是（ ）
13．（24-25高一下·河南郑州·期中）使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)点P与直线
(2)点B与直线
(3)点P与直线
(4)点与平面
(5)直线与平面
(6)直线与平面
(7)平面与平面
14．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：直线、、三线共点．
15．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点.
(1)若点F满足，求证：四点共面；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.
16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点E，F分别为的中点，点D满足，
(1)若直线与直线交于点G，求证：B，C，G三点共线；
(2)线段上是否存在一点H，使得？若存在，请在图中找到点H，并证明，若不存在，请说明理由．
(
地
城
考点02
空间线面的平行与垂直
)
1．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（ ）
A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行
C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行
2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若，，，且，，则
3．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中错误的是（ ）
A．与平行 B．与为异面直线
C．与成60°角 D．与垂直
4．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
5．（多选）（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．平面平面PBM
C．存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行
D．若，则直线CM与平面PAM所成角为
6．（多选）（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．平面平面PBM
C．存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行
D．若，则直线CM与平面PAM所成角为
7．（多选）（24-25高一下·广东·期中）在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（）
A．对于任意的点，
B．存在点，使得平面
C．存在点，使直线与直线共面
D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值
8．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________．
①平面；②平面；③平面．
9．（24-25高一下·天津·期中）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断：
①平面; ②平面; ③平面;其中推断正确的序号是_________.
10．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）如图，是的直径，点是上的动点，，分别是，的中点.
(1)若为弧的中点，求与所成的角；
(2)若过动点的直线垂直于所在平面，判断直线与平面的位置关系，并说明理由.
11．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面.
12．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)设平面平面，求证：平面．
13．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．

(1)证明：平面；
(2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
14．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点.
(1)求证: ∥平面;
(2)求证: 平面⊥平面;
(3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面 若存在，求 若不存在，说明理由.
15．（24-25高一下·青海西宁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为棱，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
(3)求证：平面平面.
16．（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面是菱形，.
(1)若分别是的中点，证明：平面；
(2)若，证明：平面平面；
(3)若平面平面，且二面角的大小为60°，求的值.
17．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线PC与平面所成角的正弦值；
(3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由.
(
地
城
考点0
3
空间的线线角、线面角、面面角问题
)
1．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·河北邯郸·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若直线平面，直线平面，则∥
C．直线与平面所成角的取值范围是
D．若直线与平面所成的角为，直线与平面内的直线所成的角为，则总有
3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线 B．平面
C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为
5．（多选）（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线所成角为 B．平面
C．M、O、三点共线 D．直线与平面所成角的为
6．（多选）（24-25高二下·湖北宜昌·期中）如图所示，在长方体中，若，E、F分别是、的中点，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．EF与垂直
B．EF与所成的角大小为
C．EF与平面所成角大小为
D．直线EF与平面平行
7．（多选）（24-25高一下·福建厦门·期中）已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ）
A．圆台的体积
B．与底面所成的角为
C．二面角小于
D．正四棱台的外接球的表面积为
8．（多选）（24-25高一下·吉林·期中）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则下列选项正确的有（ ）
A．直线与直线所成的角是
B．二面角的平面角是
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．三棱锥外接球半径为
9．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为_________．
10．（23-24高一下·浙江·期中）如图，点是棱长为1的正方体上底面的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为______.
11．（23-24高二上·辽宁·期中）已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影相互垂直，则________.
12．（24-25高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，．

(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值．
13．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点是线段上的动点（不含端点）.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)当直线与平面所成角的正弦值为时，求.
14．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，直线平面.
(1)求的值；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围.
15．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值；
(3)求二面角的正弦值.
16．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）如图， 在正方体中， 是的中点.
(1)求异面直线和所成角的大小；
(2)求证：平面；
(3)求和平面所成角的正弦值.
17．（24-25高一下·浙江·期中）如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面平面ABCD，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE；
(3)当时，求二面角的正弦值．
18．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
(
地
城
考点0
4
空间的距离问题
)
1．（23-24高一下·河南商丘·期末）设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高二下·江苏常州·期中）在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．3
4．（24-25高一下·河南·期中）如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P使得平面
B．存在点P使得平面
C．若P是的中点，则到平面的距离为
D．若直线与平面所成角的正弦值为，则
6．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，三棱锥中，分别为棱的中点，平面，，，，则（ ）
A．四点共面
B．点与点到平面的距离相等
C．直线与直线垂直
D．三棱锥的体积为6
7．（多选）（24-25高一下·云南·期中）如图所示，在正三角形中，分别为边的中点，其中，把沿着翻折至的位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是（ ）
A．点到平面的距离为
B．
C．直线与直线所成的角的正弦值为
D．四棱锥的外接球半径为
8．（24-25高一下·北京·期中）在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为______．
9．（24-25高一下·河南·期中）已知正六棱柱的各个顶点都在球O的球面上，球心O到正六棱柱的上、下底面的距离均为1，若，则球O的表面积为_______.
10．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________.
11．（24-25高一下·天津·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离．
12．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离.
13．（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点，
(1)证明：平面；
(2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离．
14．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
(3)若正方体的棱长为2，求直线到平面AEC的距离．
15．（24-25高一下·重庆·期中）如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，D，E分别为，的中点．求证：
(1)平面；
(2)若，求点E到平面的距离．
16．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与底面所成的角的正切值；
(3)求.
(
地
城
考点0
5
空间的动点轨迹问题
)
1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．π
4．（多选）（24-25高一下·山东·期中）在正四棱柱中，，、分别为棱、的中点，点满足，，动点在矩形内部及其边界上运动，且满足，点在棱上，将绕边旋转一周得到几何体，则（ ）
A．以正四棱柱的上下底面的内切圆为底且与正四棱柱等高的圆柱的侧面积，与正四棱柱的外接球的表面积之比为
B．动点的轨迹长度为
C．存在，，使得平面
D．当动点的轨迹与几何体只有一个公共点时，几何体的侧面积为
5．（多选）（24-25高一下·福建莆田·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（）
A．动点的轨迹是一条线段
B．直线与的夹角为
C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D．平面截正方体所得截面的面积为
6．（多选）（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形，内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A．动点F轨迹的长度为
B．直线与不可能垂直
C．当三棱锥的体积最小时，直线与所成角的余弦值为
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
7．（多选）（24-25高一下·河南·期中）如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥的体积为定值
B．当时，点P的轨迹长度为
C．当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为
D．若直线平面，则点P的轨迹长度为
8．（多选）（24-25高一下·重庆·期中）已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．时，
B．时，的最小值为
C．时，三棱锥的体积为定值
D．时，直线与平面的交点轨迹长度为
9．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱，，的中点，点满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．若Q，M，N，P四点共面，则
C．过点Q有且仅有一条直线与，都相交
D．若，点F在侧面上（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
10．（多选）（24-25高一下·浙江台州·期中）在棱长为3的正方体中，P是平面内的一个动点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹长度为 B．直线不可能与垂直
C．直线与平面所成角为 D．三棱锥的体积最大值为
11．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________．
(
地
城
考点0
6
空间
几何体的截面
问题
)
1．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，长方体被一个平面截成两个几何体，且，这两个几何体分别是（ ）
A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱
C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台
2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（ ）
A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形
3．（24-25高一下·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（ ）
A．五边形， B．六边形，
C．五边形， D．六边形，
5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）正方体的棱长为，分别为的中点，过三点的平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）（24-25高一下·山东济南·期中）正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．三棱锥的体积为定值
C．平面AEF截正方体所得的截面周长为
D．直线AF与平面所成角的正弦值为
8．（多选）（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面中，则下列说法中正确的是（ ）

A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
C．当时，取得最小值
D．的最小值为
9．（多选）（24-25高一下·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形
C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．当时，的最小值为
10．（多选）（24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体所得的截面可能是五边形
B．一定是锐角三角形
C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为
D．的最小值是
11．（24-25高一下·河北承德·期中）在棱长为3的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，则截面图形的周长为________．
12．（24-25高一下·宁夏银川·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点的平面与直线垂直，则截正方体所得截得的面积为________．
13．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，
(1)求四棱锥的体积；
(2)若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长．
14．（24-25高一下·重庆南岸·期中）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是边上的点，且．
(1)求证：、、、四点共面；
(2)若四面体为棱长为6的正四面体，且，求四边形的周长；
(3)若平面截四面体所得的五面体的体积占四面体的，求的值．
15．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当时，求过点A ，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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