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专题04 简单几何体的表面积与体积
5大高频考点概览
考点01 有关柱体、锥体、台体的基本概念
考点02简单几何体的表面积与体积
考点03斜二测画法
考点04有关几何体中的最值问题
考点05 有关几何体的内切球、外接球问题
(
地
城
考点01
有关柱体、锥体、台体的基本概念
)
1．（24-25高一下·甘肃武威·期中）下列立体图形为平行六面体的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】平行六面体是一种底面为平行四边形的四棱柱 ，属于特殊的四棱柱结构，其六个面均由平行四边形组成，即可依次判断ABCD.
【详解】由平行六面体的定义，选项A,C,D底面不为平行四边形，故A,C,D错误；选项B满足平行六面体的特征.故选：B.
2．（24-25高一下·山西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面
【答案】D
【分析】根据正棱锥的概念判断A，根据棱台的概念判断B，根据圆锥的概念判断C，根据球的截面形状判断D.
【详解】各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱台，只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，B错误；直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，C错误；用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，D正确.故选：D
3．（24-25高一下·广东·期中）下列命题中为真命题的是（ ）
A．圆台的侧面展开图是一个扇形
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D．五棱锥共有6个顶点，11条棱
【答案】C
【分析】利用圆台、棱台、棱柱、棱锥的结构特征逐项判断即得.
【详解】对于A，圆台的侧面展开图是一个扇环的一部分，A错误；
对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，B错误；
对于C，由棱柱的定义知，C正确；对于D，五棱锥共有6个顶点，10条棱，D错误.故选：C
4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．圆台的轴截面不可能为直角梯形
【答案】D
【分析】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D．
【详解】
图1 图2
对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误；
对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误；
对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误；
对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形，这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形，故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确．故选：D．
5．（24-25高一下·广东惠州·期中）下列正确的是（ ）
A．过球面上两点与球心有且只有一个平面
B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
【答案】C
【分析】对于A选项，举反例：球面上两点与球心在一条直线上；对于B选项：举反倒，平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台；对于C选项：由正棱锥的定义与性质知正确；对于D选项，举反例 ，侧棱的延长线不交于一点.
【详解】对于A选项：当球面上两点与球心在一条直线上时，这样的平面有无数多个，如下图：
对于B选项： 若平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台,如下图:
对于C选项：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，所以侧面是全等的等腰三角形；对于D选项：棱台要求侧棱的延长线交于一点,反例如下：
故选：C.
6．（多选）（24-25高一下·广东广州·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】D
【分析】利用棱柱、棱锥、圆锥的结构特征逐项判断即可.
【详解】对于A，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，A错误；对于B，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱，B错误；对于C，沿直角三角形的斜边所在直线旋转一周，得到是共底面的两个圆锥组成的组合体，C错误；
对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确.故选：D
7．（多选）（24-25高一下·云南·期中）下列命题正确的是（ ）
A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆
C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形
【答案】C
【分析】根据柱体和锥体的定义，即可判断选项.
【详解】正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，不一定是正方体，也可能是长方体，故A错误.圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故B错误.一个棱柱至少有5个面，比如三棱柱，故C正确.正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故D错误.故选：C
8．（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个棱柱至少有5个面
B．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．若平面内任意直线和平面平行，则平面平面
D．若直线平行于平面，则直线与平面内的无数条直线垂直
【答案】ACD
【分析】利用棱柱的几何特征可判断A选项；利用圆锥的几何特征可判断B选项；利用面面平行的定义和线面平行的性质定理可判断CD选项，.
【详解】对于A选项：一个棱柱最少有5个面，且此棱柱为三棱柱，故A正确；对于B选项：直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是由两个同底的两个圆锥拼接而成的组合体，故B错误；对于C选项：若平面内任意直线和平面平行，则平面内任选两条相交直线与平面平行，由面面平行判定定理可知平面，故C正确；对于D选项：若直线平行于平面，则在平面内存在直线，使得，则在平面内垂直于直线的直线都垂直于直线，故D正确.故选：ACD.
9．（多选）（24-25高一下·广东湛江·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．棱台的侧面一定是梯形
B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面
【答案】ABC
【分析】根据棱台的基本概念，棱台的侧面一定是梯形，且侧棱延长交于一点判断AC正确，利用圆锥形成的概念可确定C选项，选项D当三点共线时，有无数个平面.
【详解】由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确；绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确；因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确；当三点共线时，有无数个平面，则D错误．故选：ABC.
10．（多选）（24-25高一下·福建漳州·期中）下列命题中正确的有（ ）．
A．空间内三点确定一个平面
B．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间那部分多面体是棱台
C．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
D．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上
【答案】BD
【分析】根据基本事实1判断A的正误，根据基本事实3判断D的正误，根据棱台的定义判断B的正误，根据圆台的定义可判断C的正误.
【详解】对于A，空间内不共线的三点确定一个唯一的平面，故A错误；对于B，一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截去上面的小棱锥后余下的几何体为棱台，即棱台是棱锥底面与截面之间那部分多面体，
故B正确；对于C，以直角梯形中垂直于上下底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体才是圆台，故C错误；
对于D，由平面基本事实3可知：如果分别两个相交平面内的直线相交，则交点必定在两个平行的交线上，故D正确.故选：BD.
11．（多选）（24-25高一下·云南德宏·期中）下列说法正确的有（ ）
A．用斜二测画法画出边长为 2 的等边三角形的直观图，则直观图的面积为
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
【答案】AB
【分析】根据斜二测画法的原则，结合棱柱、棱台、圆锥定义进行逐一判断即可.
【详解】A：如图所示：，因为是边长为 2 的等边三角形，
所以，根据斜二测画法可知，，因此直观图的面积为 ，故本选项说法正确；
B：根据棱柱的定义可知棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故本选项说法正确；
C：根据棱台的定义可知，此时必须还要看侧棱的延长线是否交于一点，因此本选项说法不正确；
D：当按照直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个共同底面的圆锥组成的几何体，故本选项说法不正确，故选：AB
12．（多选）（24-25高一下·河北承德·期中）在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，正确的是(　　)
A．不能构成每个面都是等边三角形的四面体
B．不能构成每个面都是直角三角形的四面体
C．能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体
D．能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体
【答案】CD
【分析】作出正方体，再举例说明各个选项即可.
【详解】如图所示的正方体，
对于A，四面体的每个面都是等边三角形，A错误；对于B，四面体的每个面都是直角三角形，B错误；对于C，四面体的三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形，C正确；
对于D，四面体的三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形，D正确．故选：CD
13．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为），固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面所在四边形的面积为定值
C．棱总与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值）
【答案】ACD
【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义即可判断A、B、C选项，再根据棱柱的体积公式计算D选项.
【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形，
对于A：依题意，水面，而平面平面，平面，则，同理，而，，又平面，平面平面，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确；
对于B：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐增大，故B错误；对于C：因为，平面，平面，因此平面，即棱总是与水面所在的平面平行，故C正确；对于D :当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为， 又，，所以，故D正确.故选：ACD
(
地
城
考点02
简单几何体的
表面积与
体积
)
1．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分别表示出棱柱的表面积和体积，由已知等量关系可构造方程求得结果.
【详解】由题意知：棱柱的体积，表面积，
，，解得.故答案为：C.
2．（24-25高一下·天津静海·期中）小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】根据球的体积以及圆柱的体积计算，可得答案.
【详解】馒头的体积为，火腿的体积为.
3．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么（　　）
A．6︰5 B．7︰5
C．8︰3 D．4︰3
【答案】B
【分析】因为分别为的中点，得到，利用棱台的体积公式，求得，得到则，即可求得的值.
【详解】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则，因为分别为的中点，所以，所以，则，所以.故选：B.
4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
【答案】B
【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解.
【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为.故选：B.
5．（24-25高一下·天津·期中）在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体和正四面体的表面积公式计算即可得解.
【详解】正方体中，正四面体，如图：
不妨设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，所以正方体的表面积为，正四面体的表面积为，
所以正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为.故选：B
6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸
【答案】B
【分析】根据题意先求积水深9寸的水面半径，求出盆中水的体积，根据平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积即可求解.
【详解】由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸，所以盆中水的体积为（立方寸）．所以平地降雨量等于（寸），故选：B.
7．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆锥侧面积公式以及体积公式计算即可求得.
【详解】根据题意可知上、下两部分几何体分别为小圆锥和圆台，设小圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为，原来的大圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为，因此小圆锥的侧面积为，大圆锥的侧面积为；又上下两个几何体的侧面积之比为，所以，由相似比可得，即可得，即，所以小圆锥和原圆锥的体积比为；因此小圆锥和圆台的体积比为.故选：D
8．（24-25高一下·浙江·期中）如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出旋转体，则该几何体的表面积由两个圆锥的侧面和一个矩形组成，分别求其面积相加即可得解.
【详解】作出旋转体如下图：
过点作所在直线的垂线，垂足为,，，，则，
即底面圆的半径为，则圆的周长为，圆锥侧面展开图的半径为，上下两个圆锥的侧面积为，几何体的侧面展开是一个矩形，，所以几何体的表面积为.
故选：B.
9．（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ）
A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是
C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是
【答案】A
【分析】C选项，由体积法求内切球半径；D选项，正四面体的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；A选项，由底面积和高求四面体的体积；B选项、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体外接球求出外接球的半径的即可．
【详解】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，
所以正四面体的表面积．故D选项正确；如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心，
正四面体各棱长为，则，，，
四面体的体积为，故A选项错误；正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r，则有，即，解可得，C选项正确；将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，
∵正四面体的棱长为，正方体的棱长为，正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为，，．故B选项正确．故选：A．
10．（24-25高一下·福建漳州·期中）正四棱台上、下底面边长分别为和，所有顶点都在半径为的球面上，则该四棱台的体积是（ ）．
A．14 B．12 C．或12 D．或14
【答案】D
【分析】分球心在棱台上、下底面之间，和球心在下底面下方两种情况，利用球心到上、下底面中心的距离，上、下底面外接圆半径，和球的半径之间的关系，求出棱台的高即可得解.
【详解】记正四棱台的上、下底面对角线的交点分别为，球心为，
由正四棱台的性质可知，三点共线，易知，，
当球心在棱台上、下底面之间时，如图所示，则棱台的高，
所以该棱台的体积.
当球心在下底面下方时，如图所示，则棱台的高，
所以该棱台的体积.综上，该棱台的体积为或.故选：D
11．（多选）（24-25高一下·云南昆明·期中）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（ ）
A．母线长为2 B．表面积为
C．高为 D．体积为
【答案】ABC
【分析】首先根据圆台的上底面周长求出，进而可根据母线的公式求出母线长和高，从而可求出体积、表面积.
【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为，因为扇环所对的圆心角为180°，所以，又，所以，同理，故圆台的母线，高，体积，表面积，故A，B，C正确，D错误.故选：ABC.
12．（多选）（24-25高一下·广西贵港·期中）在三棱锥中，E，F分别在棱AB，AC上，且，，记三棱锥，三棱锥，四棱锥的体积分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】设的面积为S，三棱锥的高为h，结合棱锥的体积公式及向量关系易得，，，，进而判断选项即可.
【详解】设的面积为S，三棱锥的高为h，则，因为，所以F是线段AC的中点，则，因为，所以，则，
所以，故，．故选：BD.
13．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选题）已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（ ）
A．四面体的高 B．四面体表面积为
C．四面体体积为 D．四面体的内切球半径为
【答案】BCD
【分析】由正四面体的定义和性质,结合勾股定理和面积、体积公式，计算可得结论.
【详解】四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则该四面体的表面积为，故B正确；
由正四面体的高和侧棱与侧棱在底面的射影组成一个直角三角形， 则高，故A错误；正四面体的体积为，故C正确；设四面体内切球的半径为r，由，得，故D正确.故选：BCD
14．（多选）（24-25高一下·广东·期中）已知圆锥的底面半径，母线长，设该圆锥的侧面展开图为扇形AOB，O为扇形圆心，则（ ）
A．扇形AOB的圆心角为
B．圆锥的高h为
C．圆锥的表面积为
D．从点绕圆锥侧面一周回到点的最短距离为
【答案】BCD
【分析】根据圆锥的几何结构特征，结合圆锥的侧面积公式，以及侧面展开图的应用，逐项求解，即可得到答案.
【详解】对于A中，设圆锥的侧面展开图所得扇形的圆心角为，可得，即，解得，所以A错误；对于B中，圆锥的高为，所以B正确；对于C中，由圆锥的侧面积为，底面积为，所以圆锥的表面积为，所以C正确；对于D中，如图所示，圆锥的侧面展开图中，可得，
即从点绕圆锥侧面一周回到点的最短距离为，所以D正确.故选：BCD.
15．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是______，体积是______．
【答案】
【分析】根据题设易知，易得外接圆的半径，若球体的半径为，结合已知有求半径，进而求球体的表面积、体积.
【详解】由题设，则，故外接圆的半径，若球体的半径为，则球心到截面的距离为，故，所以，故球的表面积是，体积为.
16．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为______．
【答案】
【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式和表面积公式列式即可求解.
【详解】设圆柱与圆锥的底面半径分别为，，母线长分别为，，高均为，
由题意可得：，即，化简可得：.
17．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正三棱台的体积是，，，则这个三棱台的高是______.
【答案】4
【分析】根据给定条件，利用正三棱台的体积公式列式求解.
【详解】设正三棱台的高为，而，
由正三棱台的体积是，得，所以.
18．（24-25高一下·吉林·期中）多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为______．

【答案】
【分析】根据正八面体的结构特征确定球心位置，令正八面体的棱长为2，有外接球半径，再由等体积法求得内切球的半径，即可得.
【详解】由正八面体的结构特征易知，其外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点，
令正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为，则外接球半径，
各侧面积，构成正八面体的两个正四棱锥的高为，所以正八面体的体积，可得，所以外接球和内切球的表面积比为.
19．（24-25高一下·湖南·期中）如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______．
【答案】
【分析】根据旋转所成的两个半球，且可合为一个半径为10的球体，即可求表面积.
【详解】由图象知，以直线为轴旋转，弧和线段旋转一周形成的面所围成的
几何体是两个半径均为10的半球，可合为一个完整的球，故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积，即．
20．（24-25高一下·广东汕头·期中）正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积是____________，体积是__________
【答案】
【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可.
【详解】

如图在正六棱台中，因为，所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：，所以梯形的面积为：，所以该正六棱台的上底面积为：，同理下底面积为：，所以正六棱台的表面积为：，正六棱台的高为，所以正六棱台的体积为：，
21．（24-25高一下·四川遂宁·期中）如图所示，长方体的底面是边长为2的正方形，其体积为16．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求三棱锥的表面积．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）先由柱体的体积公式求出，再由锥体的体积公式求解即可；
（2）由三棱锥的表面积公式求解即可.
【详解】（1），，；
（2）记三棱锥的表面积为，则，
几何体为长方体，均为直角三角形，为等腰三角形，
，，
，，
．
22．（24-25高一下·湖南·期中）一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周.
(1)求所得几何体的体积；
(2)求所得几何体的表面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为4的圆柱挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥，求出体积可得答案；
（2）由可得答案.
【详解】（1）将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥，所以所得几何体的体积；
（2）易知圆锥的母线为，所以，
，
所得几何体的表面积.
23．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为．
(1)求的体积；(2)求的表面积．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据球体与柱体的体积公式直接求解；
（2）根据球体与柱体的表面积公式直接求解.
【详解】（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示．
，，，，
，所以的体积为．
（2），，，
，．
所以的表面积为．
(
地
城
考点0
3
斜二测画法
)
1．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，水平放置的的斜二测直观图为已知则的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】作出原平面图形，由斜二测画法分析原图的数量关系，计算可得答案．
【详解】根据题意，作出原图，
由斜二测画法，在原图中所以故的周长为
2．（24-25高一下·山西太原·期中）已知水平放置的等边的边长为4，则该三角形斜二测直观图的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据结合面积公式运算求解即可.
【详解】由题意可知：.故选：C.
3．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中的斜二测直观图是，其中，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】将斜二测直观图还原成平面直角坐标系中的平面图，即可由勾股定理求得长.
【详解】由斜二测画法可知，图形中平行于轴、轴的线段，在直观图中分别平行于轴和轴，
平行于轴的线段在直观图中保持不变，平行于轴的线段在直观图中变为原来的一半.如图为在平面直角坐标系中的平面图，则，，则.故选：B.
4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法及已知确定原图的高和底边长，即可求面积.
【详解】由斜二测画法知，原四边形的高为，，
所以四边形的面积为.故选：A
5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用直观图的画图原则画出原图图形，则可得出直角梯形的边长，再利用圆台的体积公式计算即可.
【详解】作出其平面图形，则在平面图形中，，，则圆台的上底面半径，下底面半径，高，则上底面面积，下底面面积，由圆台的体积公式.故选：C.
6．（24-25高一下·重庆南岸·期中）如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，则三棱锥外接球的体积（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由斜二测画法得，再结合底面求出外接球半径，即可求解.
【详解】
由题意得，且．所以由斜二测画法得，在原图中，，，，
所以三棱锥外接球的半径，则．故选：A.
7．（24-25高一下·浙江·期中）如图的平面直角坐标系中，线段长度为2，且，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】在中求出，的值，根据斜二测画法，得到，的值，在中，根据余弦定理求出.
【详解】因为，，所以，，由斜二测画法得，，
因为，所以在中，
，
8．（24-25高一下·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是直角梯形，，，，若四边形的斜二测直观图为，轴的夹角为，则直观图中四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的规则，画出直观图，求出各边长可得结果.
【详解】如图，作出对应的轴，轴，使.
由题意得，，作于点，作于，则四边形为矩形，且，由得为等腰直角三角形，故.由四边形为矩形得，，所以，故，所以四边形的周长为.故选：C.
9．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为______.
【答案】
【分析】运用斜二测画法画出原图，进而求出四边形面积即可．
【详解】如图，运用斜二测画法画出原图.
在轴位置不变，，点在轴上，由得，则，且，．
则四边形为平行四边形，面积为：．
10．（24-25高一下·山东淄博·期中）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是__________；原平面图形的周长是__________．
【答案】
【分析】求出直观图中梯形的下底长，作出原图形，结合梯形的周长和面积公式可求得结果.
【详解】直观图中，梯形的下底长为，作出原图形如下图所示：
由图可知，原图形为直角梯形，且该梯形的上底长为，下底长为，高为，，因此，原图形的面积为.，原图形的周长为.
11．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，．
(1)求平面四边形的面积；
(2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【答案】(1)；(2)体积为，表面积为．
【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可；
（2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积和体积即可求出答案.
【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，，，如图所示：
所以平面四边形的面积为.
（2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径，高，圆锥的底面半径为，高，母线长，
则旋转体的体积为，
表面积为.
12．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图所示，'为四边形的斜二测直观图，其中，，.
(1)求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以为旋转轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积.
【答案】(1)4；(2)
【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积.
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解.
【详解】（1）在直观图中，，，则在平面图形中，，，于是，所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
（2）直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；圆锥的高为，母线长为，所以体积.
(
地
城
考点0
4
有关几何体表面路线等最值
问题
)
1．（24-25高一下·福建福州·期中）已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据侧面展开图可得最短距离.
【详解】由已知，需绕三棱柱的侧面绕行两周，则将三棱柱沿展开，并沿底边扩大倍，
如图所示，
则展开图是以为底，为高的矩形，则最短路径即为其对角线长为，故选：D.
2．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解.
【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内．由题意可知，，设，则，所以，所以．由余弦定理可得，则，即细绳的最短长度为．故选：C.
3．（24-25高一下·湖南·期中）圆柱高为4，底面积为，在圆柱内部有一个可自由转动的正四面体，则该正四面体的最大棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可得当圆柱底面半径等于正四面体的外接球的半径时，正四面体有最大棱长，进而求解即可.
【详解】由题意可知，圆柱高为4，底面积为，则圆柱的底面半径为1，当圆柱底面半径等于正四面体的外接球的半径时，正四面体有最大棱长a，如图，在正四面体中，棱长为a，其外接球的半径为，
为的中点，为的中心，连接，则平面，设为正四面体外接球的球心，连接，因为为正三角形，所以，在中，，所以，在中，由，得，解得，则.故选：D.
4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．正四棱锥的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为
【答案】ACD
【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D.
【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确；
对于B，几何体的表面积为，故B错误；
对于C，该几何体的体积为，故C正确；
对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或，由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图，
取中点，连接，则，而，
所以最短路程为，故D正确.故选：ACD
5．（多选）（24-25高一下·浙江宁波·期中）“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ）
A．该“十字贯穿体”有22个顶点
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为
【答案】ACD
【分析】对于A：根据几何体特征判断即可；对于B：该“十字贯穿体”由4个正方形和16个与梯形全等的梯形组成，分别求出来即可；对于C：求出两个正四棱锥重叠部分为多面体的体积，然后求整个几何体的体积；对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，则线段的长即为所求.
【详解】对于A：该“十字贯穿体”有22个顶点，A正确；
对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成，
故表面积，B错误；
对于C：如图两个正四棱锥重叠部分为多面体，取的中点，则多面体可以分成8个全等的三棱锥，又，所以该“十字贯穿体”的体积是，C正确；
对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，如图：
则，所以为钝角，连接，则线段的长为一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长，根据对称性可得，因为，所以，又，所以，所以，
又，所以，则，D正确.
故选：ACD.
6．（多选）（24-25高一下·湖南·期中）圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，点是母线上靠近点的三等分点，，是底面圆周上两点，且，则（ ）
A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的面积最大值为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．存在点在圆锥上，使得直线平面
【答案】AC
【分析】先由题设得，对于A，先由题设求出圆锥沿展开的侧面展开图扇形所对圆心角弧度数，再由余弦定理求解线段的长即可求解；对于B，设截面三角形顶角为，结合正弦定理面积公式即可计算求解；对于C，求出得到球心位置，再由即可求解判断；对于D，分别延长至使得，连接，求证平面平面即可得解.
【详解】由题，即分别为的中点，对于A，当时，则，圆锥沿展开的侧面展开图如图扇形所示，则该扇形所对圆心角弧度数为，
所以当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为途中所示线段的长，
该长度为，故A正确；
对于B，当时，，，所以，如图为过圆锥顶点和两母线的截面三角形，则由题意，

过顶点和两母线的截面三角形的面积为，当时，过顶点和两母线的截面三角形的面积最大值为，故B错误；对于C，当时，，则，所以圆锥的外接球球心在线段上，设外接球半径为R，则，即，
所以该圆锥的外接球表面积为，故C正确；对于D，如图，分别延长至使得，连接，则由题意，，
又在平面外，平面，所以平面，平面，
又，所以平面平面，所以过点B与平面平行的直线均在平面内，显然该平面上的点只有点B在圆锥上，所以不存在点在圆锥上，使得直线平面，故D错误.
故选：AC
7．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的高为_____；侧面积为_____．
【答案】
【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理求出．求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的表面积．
【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：

该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，．设底面圆的半径为r，则有，解得．∴这个圆锥的高为，
这个圆锥的侧面积为．
8．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________．
【答案】 /
【分析】①由，得圆台的下底面和上底面的半径，结合梯形的高为圆台的高，利用圆台的体积公式即可求解；②由圆台性质，延长，，交于点，由与相似即可计算，设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角，在侧面展开图中，连接，，即可计算出的最短距离.
【详解】①由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，圆台的高为，
所以圆台的体积为.②在梯形中，，即母线长为3，如图，由圆台性质，延长，，交于点，
由与相似，得，即，解得，设该圆台的侧面展开图的圆心角为，则，所以，在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段，又在中，，，，由余弦定理得，
所以.验证知，由，，，得，此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意.
9．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图是一个以为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知.

(1)求几何体的体积；
(2)线段上有一动点，求使最小时的长.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）在上取点，使得，在取点，使得，得到三棱柱为正三棱柱，再取的中点，取的中点，证得平面，根据锥体和柱体的体积公式，结合，即可求解；
（2）解：将梯形沿为旋转轴，展在平面上，使得变为点，连接， 得到与的交点，即为点，结合，求得，进而求得的长.
【详解】（1）在上取点，使得，在取点，使得，
如图所示，连接，则三棱柱为正三棱柱，取的中点，连接，取的中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为，所以，，所以，，
所以几何体的体积为.

如图所示，将梯形沿为旋转轴，展在平面上，使得变为点，变为点，连接， 因为平面，平面，所以，在直角中，，所以，
此时取得最小值，所以与的交点，即为点，又因为，所以，
可得，所以，所以

10．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，．
(1)求圆台的高；
(2)求圆台轴截面的面积；
(3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可；
（2）利用梯形的面积公式求解；
（3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解．
【详解】（1）如图1，作交于，
易得，则，则圆台的高为．
（2）圆台的轴截面面积为：．
（3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为，设的中点为，连接（如图2），
可得，则，
所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为．
11．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，圆锥的底面直径和高均是2cm，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
(1)若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
(2)当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
【答案】(1)表面积，体积；
(2)，.
【分析】（1）根据圆锥，圆柱的侧面积，表面积和体积公式即可求出.
（2）设，用的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出其最大值．
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，由三角形中位线定理知，，圆柱母线长，
而圆锥的母线长为，因此圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，即，圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，即.
（2）设，则，解得，
因此被挖去的圆柱的侧面积为，当且仅当时取等号，
所以时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为.
12．（24-25高一下·浙江·期中）圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
(1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
(2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）作出侧面的展开图，最短路程即为的长，由余弦定理可求解；
（2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积.
【详解】（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长，由，可得，即母线，在中，由余弦定理可得
所以爬行的最短路程为；
（2）因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为，从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为，又圆锥的表面积为，所以剩下几何体的表面积，剩下几何体的体积为.
13．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高．
(1)求四棱台的表面积；
(2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台.
①求削去部分与圆台的体积之比；
②先将整个铁料圆台融化（不考虑损耗），再将全部铁水凝固成一个圆柱，当圆柱的底面半径为何值时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小.
【答案】(1)；(2)①；②
【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积；
（2）①最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比；②设圆柱的底面半径为，高为，根据体积相等得到，即，再表示出底面周长与侧面积，最后利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取中点，连接，
过点作，交于点.则，
所以，
所以四棱台的表面积.

（2）①若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高.则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，
高，则圆台的体积为．
又正四棱台的体积，
所以削去部分的体积，所以削去部分与圆台的体积之比为；
②设圆柱的底面半径为，高为，则，即，所以，
所以圆柱的底面周长，侧面积，则圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和为，
当且仅当，即时取等号，
所以当圆柱的底面半径为时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小.
14．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点．
(1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积；
(2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？
【答案】(1)该正三棱柱的表面积为，；(2)最小值为，
【分析】（1）根据表面积、体积公式计算可得；
（2）将侧面绕旋转至与侧面共面，,当三点共线时，取得最小值，然后用勾股定理求解，再利用相似三角形的性质求出的长度.
【详解】（1）因为正三棱柱的高为，，所以，
，所以该正三棱柱的表面积为，
所以；
（2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．
当三点共线时，取得最小值，且最小值为，
此时因为，所以，所以，即，解得．
(
地
城
考点0
5
有关几何体的内切球、外接球
问题
)
1．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上，则球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据外接球性质结合圆柱特征得出球的半径结合球的表面积公式计算求解.
【详解】圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上，
则球的半径为则球的表面积是.故选：A.
2．（24-25高一下·四川成都·期中）将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知，此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的特征求得球的直径，再由球的表面积公式求解即可．
【详解】要将长方体铁块磨制成一个球体，则球体直径最大不超过长方体的最短棱长，又长方体的最短棱长为3，则此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为3，所以球的半径为，其表面积是.故选：C
3．（24-25高二下·上海·期中）如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的外接圆半径即为球的半径可求解.
【详解】因为四边形为正方形，且边长为2.所以正方形外接圆半径为：，即为已知半球的半径.所以半球的表面积为：.故选：C
4．（24-25高一下·山西太原·期中）已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径即可计算判断．
【详解】画出圆台的轴截面，如图所示：
则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心；所以圆台的母线长为，连接、和，所以是直角三角形，且，所以球的半径为，球O的体积为．故选：A．
5．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解.
【详解】由题意可知球的半径，因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离，
根据球的截面圆的性质，可得，即，解得，棱柱底面与球的截面圆的半径，三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为，
所以三角形的面积为，该棱柱的体积为.
6．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，，，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得梯形的外接圆的圆心为的中点，据此计算可求外接球的体积.
【详解】因为，，所以，
在中，由余弦定理可得，又，
所以，所以，所以的外心是的中点，连接，可得四边形是平行四边形，所以，从而是梯形的外接圆的圆心，过作平面，为四棱锥的外接球的球心，
因为平面，又平面，所以，又因为，所以，所以，所以，所以球的体积.故选：B
7．（多选）（24-25高一下·广东汕头·期中）“阿基米德多面体”也称半正多面体，又多个不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称之美．如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的表面积是
B．直线与平面所成的角为45°
C．该半正多面体有外接球，且它的表面积为
D．该半正多面体有内切球，且它的表面积为
【答案】ABC
【分析】根据题设及图求半正多面体的表面积判断A；由正方体结构特征知直线在平面上的投影与正方体底面一条棱所在直线重合，结合图即可得线面角大小判定B；利用正方体的对称性知若半正多面体存在内切球、外接球，它们的球心重合且为正方体的中心，再依次确定球体的半径判断C、D.
【详解】半正多面体的表面积是，A对，
由题左图示，易知平面平面，平面，所以直线在平面上的投影与正方体底面一条棱所在直线重合，且直线与其投影所成角为，B对，由题设，易知正方体的棱长为2，结合对称性，若半正多面体存在内切球、外接球，它们的球心重合且为正方体的中心，所以正方体的中心到半正多面体各顶点的距离均为，故半正多面体有外接球，且它的表面积为，C对，正方体的中心到半正多面体的正方形侧面距离为1，正方体的中心和半正多面体三角形侧面的三个顶点所成棱锥是棱长为的正四面体，所以该正四面体的高为，故半正多面体不存在内切球，D错.故选：ABC
8．（多选）（24-25高一下·河北邢台·期中）已知某圆台的上，下底面的半径分别是和，且该圆台的上，下底面的圆周都在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据旋转体的性质可得外接球半径与圆台轴截面外接圆半径相等，即可得解.
【详解】旋转体的性质可得外接球半径与圆台轴截面外接圆半径相等，如图所示，
当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，则，解得，
圆台的体积为；
当球的球心在圆台内时，则，即圆台的高，
则圆台的体积为.，综上，该圆台的体积为或，故选：AC.
9．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为______.
【答案】/
【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是球的直径，求出球的表面积和正方体的表面积，即可得解.
【详解】正方体的体对角线就是球的直径，设正方体棱长为，则正方体的体对角线长为，则正方体的外接球的半径为，则球的表面积为：，而正方体的表面积为：，所以球的表面积与这个正方体的表面积之比为.
10．（24-25高一下·山东济南·期中）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为10的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥)，若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为___________
【答案】/
【分析】求出求的半径，将正四面体补成正方体，设正四面体的棱长为，可得出正方体的棱长为，利用正方体的体对角线长小于等于球的直径可得出关于的不等式，即可求得的最大值.
【详解】由题意可知，球为棱长为的内切球，则该球的半径为，设正四面体的棱长为，将正四面体补成正方体，如下图所示：
则正方体的棱长为，则该正方体的体对角线长为，解得，显然等号可以成立.
11．（24-25高一下·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____.
【答案】
【分析】先由余弦定理得到为直角三角形，解得，再根据得到与的关系，而后由三棱锥的体积最大值为得到，此时，即可求得，代入球的表面积公式可得答案.
【详解】由余弦定理可知：，即，又，解得.
因为，故，所在小圆的圆心为中点，小圆半径；记球心到小圆圆心的距离为，球半径为，三棱锥的高为，则有，当三棱锥的体积最大时，与在球心两侧，此时有，再由，可知，
故，解得，此时，
12．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知圆台甲、乙有相同的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球），两圆台的高为，圆台的母线长分别为、，则圆台甲与乙的体积之比为________.
【答案】
【分析】设甲圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，得到，可得乙圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，得到，结合圆台的体积公式，即可求解.
【详解】设甲圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，可得，又由，即，联立方程组，可得，所以甲圆台的体积以为，设乙圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，可得，又由，即，联立方程组，可得，所以甲圆台的体积以为，所以甲乙圆台的体积比为.
13．（24-25高一上·四川·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为_____.
【答案】
【分析】需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而内切球半径即为该勒洛四面体的能够容纳的最大球的半径，进而结合球的面积公式求解即可.
【详解】由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，如图：
正外接圆半径，正四面体的高，
令正四面体的外接球半径为，在中，，解得，此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：
图中取正四面体中心为，连接..交平面于点，交曲面于点，其中即为正四面体外接球半径，因为点..均在以点B为球心的球面上，所以，设勒洛四面体内切球半径为，则由图得，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，
则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为.
14．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切．
(1)求这两个球的半径之和．
(2)当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值．
【答案】(1)；(2)，
【分析】（1）作出对角面及两球的截面，利用两球半径表示即可得解；
（2）由面积公式及基本不等式的变形即可求出最值.
【详解】（1）由题知ABCD为过球心和对棱AB，CD的截面，如图，
则．设球的半径分别为r，R，
则．由，解得．
（2）设这两个球的表面积之和为S，则，所以．又因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以，当且仅当时，等号成立．
15．（24-25高一下·河北·期中）如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆.
(1)求圆锥的外接球的表面积；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理计算得，再根据半径关系列式求解，最后应用球的表面积公式计算即可；（2）先求底面面积的最大值，再应用三棱锥体积公式计算；
（3）据三角形相似可知，再应用圆台的体积公式计算.
【详解】（1）设底面圆心为，半径为，，所以，由正弦定理可知，，又圆锥的侧面展开图是半圆，所以，所以，所以圆锥的高，设圆锥外接球的半径为，则，解得，所以外接球的表面积为
（2）过圆心作弦的垂线，垂足为，则，
那么底面面积的最大值为，所以三棱锥的最大值为
（3）设圆台的上底面半径为，内切球的半径为，由图根据三角形相似可知，
解得，，所以圆台的体积为。
16．（24-25高一下·云南昆明·期中）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图①所示．如图②是一个半径为3的球体，平面ABC与球相交，截面为圆B，延长BO，交球于点D，则BO垂直于圆B（BO垂直于圆B内的所有直线），．
(1)求圆锥DB的表面积和体积；
(2)如图平面ABC上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求出圆锥高和母线，从而求其表面积和体积；
（2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥．取同一高度h的截面．令球冠截面半径为，面积为，圆锥截面半径为，所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等，根据求解．
【详解】（1）因为，，设，则，圆锥高，母线长，，．
（2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥．
取同一高度h的截面．令球冠截面半径为，面积为，圆锥截面半径为，
面积为，．，，
所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等．所以．
依题意圆柱的高为2，半径为3．圆台的上底面半径为3，下底面半径为，因为即为球冠的底面积，所以由，得，所以
所以
17．（24-25高一下·天津·期中）如图，已知正三棱柱的体积为，点分别为棱与的中点.
(1)若边长为2，求三棱柱的高；
(2)求三棱锥的体积；
(3)若球与三棱柱的各棱均相切，求球的表面积.
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据三棱柱的体积公式求解；（2）利用等体积法，进行求解；
（3）设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上，根据球与三棱柱的各棱均相切，求得，可求解.
【详解】（1）设的高为，，；
（2）；
（3）设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上，
球切棱于，切棱于，由题意，①
因为，又，所以，
所以，解得②，联立①②可得，所以球的半径为，
所以球的表面积为.
18．（24-25高一下·天津静海·期中）求下列几何体的体积或表面积
(1)长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，求该球的表面积；
(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，求这两个圆锥的体积之和；
(3)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为2，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为多少
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）可知外接球直径即为长方体的体对角线，即可得半径和表面积；
（2）作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果；
（3）利用正棱柱外接球的性质，结合正弦定理与勾股定理，球的表面积与体积公式即可得解.
【详解】（1）设外接球的半径为，可知外接球直径即为长方体的体对角线，则，
所以球的表面积为.
（2）如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，则，可得，，
因为，则，可得，又因为，则，可得，则，所以这两个圆锥的体积之和为.
（3）根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图：
则的外接圆的半径为，所以其外接球的半径为，所以球的表面积为.
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专题04 简单几何体的表面积与体积
5大高频考点概览
考点01 有关柱体、锥体、台体的基本概念
考点02简单几何体的表面积与体积
考点03斜二测画法
考点04有关几何体中的最值问题
考点05 有关几何体的内切球、外接球问题
(
地
城
考点01
有关柱体、锥体、台体的基本概念
)
1．（24-25高一下·甘肃武威·期中）下列立体图形为平行六面体的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·山西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面
3．（24-25高一下·广东·期中）下列命题中为真命题的是（ ）
A．圆台的侧面展开图是一个扇形
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D．五棱锥共有6个顶点，11条棱
4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．圆台的轴截面不可能为直角梯形
5．（24-25高一下·广东惠州·期中）下列正确的是（ ）
A．过球面上两点与球心有且只有一个平面
B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
6．（多选）（24-25高一下·广东广州·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
7．（多选）（24-25高一下·云南·期中）下列命题正确的是（ ）
A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆
C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形
8．（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个棱柱至少有5个面
B．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．若平面内任意直线和平面平行，则平面平面
D．若直线平行于平面，则直线与平面内的无数条直线垂直
9．（多选）（24-25高一下·广东湛江·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．棱台的侧面一定是梯形
B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面
10．（多选）（24-25高一下·福建漳州·期中）下列命题中正确的有（ ）．
A．空间内三点确定一个平面
B．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间那部分多面体是棱台
C．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
D．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上
11．（多选）（24-25高一下·云南德宏·期中）下列说法正确的有（ ）
A．用斜二测画法画出边长为 2 的等边三角形的直观图，则直观图的面积为
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
12．（多选）（24-25高一下·河北承德·期中）在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，正确的是(　　)
A．不能构成每个面都是等边三角形的四面体
B．不能构成每个面都是直角三角形的四面体
C．能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体
D．能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体
13．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为），固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面所在四边形的面积为定值
C．棱总与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值）
(
地
城
考点02
简单几何体的
表面积与
体积
)
1．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·天津静海·期中）小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么（　　）
A．6︰5 B．7︰5
C．8︰3 D．4︰3
4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
5．（24-25高一下·天津·期中）在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸
7．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一下·浙江·期中）如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ）
A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是
C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是
10．（24-25高一下·福建漳州·期中）正四棱台上、下底面边长分别为和，所有顶点都在半径为的球面上，则该四棱台的体积是（ ）．
A．14 B．12 C．或12 D．或14
11．（多选）（24-25高一下·云南昆明·期中）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（ ）
A．母线长为2 B．表面积为
C．高为 D．体积为
12．（多选）（24-25高一下·广西贵港·期中）在三棱锥中，E，F分别在棱AB，AC上，且，，记三棱锥，三棱锥，四棱锥的体积分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选题）已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（ ）
A．四面体的高 B．四面体表面积为
C．四面体体积为 D．四面体的内切球半径为
14．（多选）（24-25高一下·广东·期中）已知圆锥的底面半径，母线长，设该圆锥的侧面展开图为扇形AOB，O为扇形圆心，则（ ）
A．扇形AOB的圆心角为
B．圆锥的高h为
C．圆锥的表面积为
D．从点绕圆锥侧面一周回到点的最短距离为
15．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是______，体积是______．
16．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为______．
17．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正三棱台的体积是，，，则这个三棱台的高是______.
18．（24-25高一下·吉林·期中）多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为______．

19．（24-25高一下·湖南·期中）如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______．
20．（24-25高一下·广东汕头·期中）正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积是____________，体积是__________
21．（24-25高一下·四川遂宁·期中）如图所示，长方体的底面是边长为2的正方形，其体积为16．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求三棱锥的表面积．
22．（24-25高一下·湖南·期中）一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周.
(1)求所得几何体的体积；
(2)求所得几何体的表面积.
23．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为．
(1)求的体积；(2)求的表面积．
(
地
城
考点0
3
斜二测画法
)
1．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，水平放置的的斜二测直观图为已知则的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
2．（24-25高一下·山西太原·期中）已知水平放置的等边的边长为4，则该三角形斜二测直观图的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中的斜二测直观图是，其中，，则（ ）
A． B． C． D．2
4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·重庆南岸·期中）如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，则三棱锥外接球的体积（ ）

A． B． C． D．
7．（24-25高一下·浙江·期中）如图的平面直角坐标系中，线段长度为2，且，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为，则（ ）
A．4 B． C． D．
8．（24-25高一下·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是直角梯形，，，，若四边形的斜二测直观图为，轴的夹角为，则直观图中四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为______.
10．（24-25高一下·山东淄博·期中）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是__________；原平面图形的周长是__________．
11．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，．
(1)求平面四边形的面积；
(2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
12．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图所示，'为四边形的斜二测直观图，其中，，.
(1)求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以为旋转轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积.
(
地
城
考点0
4
有关几何体表面路线等最值
问题
)
1．（24-25高一下·福建福州·期中）已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·湖南·期中）圆柱高为4，底面积为，在圆柱内部有一个可自由转动的正四面体，则该正四面体的最大棱长为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．正四棱锥的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为
5．（多选）（24-25高一下·浙江宁波·期中）“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ）
A．该“十字贯穿体”有22个顶点
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为
6．（多选）（24-25高一下·湖南·期中）圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，点是母线上靠近点的三等分点，，是底面圆周上两点，且，则（ ）
A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的面积最大值为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．存在点在圆锥上，使得直线平面
7．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的高为_____；侧面积为_____．
8．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________．
9．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图是一个以为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知.

(1)求几何体的体积；
(2)线段上有一动点，求使最小时的长.
10．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，．
(1)求圆台的高；
(2)求圆台轴截面的面积；
(3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程．
11．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，圆锥的底面直径和高均是2cm，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
(1)若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
(2)当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
12．（24-25高一下·浙江·期中）圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
(1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
(2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.
13．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高．
(1)求四棱台的表面积；
(2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台.
①求削去部分与圆台的体积之比；
②先将整个铁料圆台融化（不考虑损耗），再将全部铁水凝固成一个圆柱，当圆柱的底面半径为何值时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小.
14．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点．
(1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积；
(2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？
(
地
城
考点0
5
有关几何体的内切球、外接球
问题
)
1．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上，则球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·四川成都·期中）将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·上海·期中）如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·山西太原·期中）已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，，，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）（24-25高一下·广东汕头·期中）“阿基米德多面体”也称半正多面体，又多个不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称之美．如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的表面积是
B．直线与平面所成的角为45°
C．该半正多面体有外接球，且它的表面积为
D．该半正多面体有内切球，且它的表面积为
8．（多选）（24-25高一下·河北邢台·期中）已知某圆台的上，下底面的半径分别是和，且该圆台的上，下底面的圆周都在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为______.
10．（24-25高一下·山东济南·期中）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为10的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥)，若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为___________
11．（24-25高一下·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____.
12．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知圆台甲、乙有相同的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球），两圆台的高为，圆台的母线长分别为、，则圆台甲与乙的体积之比为________.
13．（24-25高一上·四川·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为_____.
14．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切．
(1)求这两个球的半径之和．
(2)当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值．
15．（24-25高一下·河北·期中）如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆.
(1)求圆锥的外接球的表面积；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积.
16．（24-25高一下·云南昆明·期中）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图①所示．如图②是一个半径为3的球体，平面ABC与球相交，截面为圆B，延长BO，交球于点D，则BO垂直于圆B（BO垂直于圆B内的所有直线），．
(1)求圆锥DB的表面积和体积；
(2)如图平面ABC上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积．
17．（24-25高一下·天津·期中）如图，已知正三棱柱的体积为，点分别为棱与的中点.
(1)若边长为2，求三棱柱的高；
(2)求三棱锥的体积；
(3)若球与三棱柱的各棱均相切，求球的表面积.
18．（24-25高一下·天津静海·期中）求下列几何体的体积或表面积
(1)长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，求该球的表面积；
(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，求这两个圆锥的体积之和；
(3)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为2，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为多少
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