资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
重难点04三角函数的最值
6大高频考点概览
考点01 整体法求函数的值域最值
考点02 换元法求值域最值
考点03 值域最值求参数
考点04 恒成立与存在问题
考点05 零点问题
考点06 分段函数的值域
1．(24-25高一下·北京交通大学附属中学·期中)已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求函数的最小值，并求取最小值时x的集合；
(3)求函数的单调增区间；
(4)求函数在区间上的值域.
2．(23-24高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)设函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若在上的值域为，
①若，求m的值；
②若，求m的取值范围．（①②两问直接写出答案）
3．(21-22高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数．
(1)求的最小正周期和对称轴方程；
(2)求在上的最大值；
(3)若在上单调递减，在上单调递增，其中，且，求的值并讨论在上的值域．
4．(21-22高一下·北京铁路第二中学·期中)已知函数，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调增区间；
(3)当时，求函数的值域．
5．(21-22高一下·北京人大附中·期中)已知函数.
(1)求在区间的值域.
(2)设函数对任意，有，且当时，.求在区间上的解析式.
1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)函数的值域是_____．
2．(23-24高一下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)函数的值域为__________.
3．(22-23高一下·北京大峪中学·期中)已知，则的值域为____________.
4．(23-24高一下·北京翔宇中学·期中)求函数的值域.
5．(21-22高一下·北京西城·期中)已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，求函数的值域；
(3)若，求函数的值域.
1．(24-25高一下·北京理工大大学附属中学·期中)已知函数的一段图象如图所示：
(1)求函数的表达式和单调递减区间；
(2)若函数在的值域是，求的取值范围；
(3)若，，求的值．
2．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的对称轴及单调递减区间；
(3)若，的值域为，求的取值范围.
3．(24-25高一下·北京第十九中学·期中)已知函数
(1)若，求m的值
(2)在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和m的值的两个条件作为已知
（i）求的解析式；
（ii）求的单调递增区间；
（iii）若时，该函数有最小值无最大值，求实数的取值范围.
条件①：的图象过点；
条件②：的最大值与最小值之和为0；
条件③：的图象的两个相邻对称轴的距离等于；
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
4．(24-25高一下·北京回民学校·期中)已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：．
5．(22-23高一下·北京中关村中学·期中)已知函数.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知. 条件①：＝2；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为π.
(1)求的值；
(2)若函数在区间［0，a］上是增函数，求实数a的最大值
1．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)若在恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高一下·北京十一学校·期中)已知函数．
(1)求函数的单调递增区间和最小正周期；
(2)填写由函数的图象变换得到的图像的过程：
先将图象上的所有点______，得到的图象；
再把的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标______，得到的图象．
(3)若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（3），并求解．
其中，①有解；②恒成立．
3．(21-22高一下·北京第五十五中学·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，，求的值．
4．(22-23高一下·北京东直门中学·期中)已知函数，且的图象相邻的两个对称中心之间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
5．(22-23高一下·北京海淀区八一学校·期中)已知函数，．
(1)请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最值，及取得最值时x的值．
(3)若，都有恒成立，求实数m的取值范围．
1．(24-25高一下·北京第一六一中学·期中)已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.
(1)求的值；
(2)若函数在区间上的有且仅有两个零点，求a的取值范围.
条件①；
条件②是的一个零点；
条件③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．(24-25高一下·北京铁路第二中学·期中)已知函数.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)当时，若曲线与直线恰有两个公共点，求m的取值范围.
3．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数的零点为，求．
4．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)设函数.
(1)求的最小正周期，单调增区间，对称中心；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围.
5．(23-24高一下·北京延庆区·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调增区间；
(2)若，求函数的最大值和最小值及相应x的值；
(3)①将函数的图像向左平移个单位，得到的图像；
②将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像；
③将函数的图像向下平移个单位，得到的图像；
从上述①②③中选择一个变换，求出的解析式，使得在上有两个零点，并求出零点．
注：如果选择的条件不符合要求，第（3）中求零点得0分．
1．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)已知函数，给出下列四个结论：
①的值域是；
②是以为最小正周期的周期函数；
③在区间上单调递增；
④在上有个零点；
其中所有正确结论的序号是_____.
2．(22-23高一下·北京顺义区·期中)已知，.有下列四个说法：
①的一个正周期为；②在上单增；
③值域为；④图象关于对称.
其中，所有正确说法的序号是______.
3．(22-23高一下·北京师范大学附属中学·期中)对任意实数，定义运算，则关于函数的说法正确的是__________.（填序号）
①函数的值域为；
②当时，；
③是函数的一个周期；
④函数图像的对称轴为.
4．(21-22高一下·北京昌平区·期末)已知函数，．给出下列三个结论：
①是偶函数；
②的值域是；
③在区间上是减函数．
其中，所有正确结论的序号是_______．
5．(22-23高一下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)关于函数，给出下列四个结论：
①函数的最小正周期为；
②函数的最小值是1；
③函数的最大值是；
④函数在区间上单调递增.
其中全部正确结论的序号是__________.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
重难点04三角函数的最值
6大高频考点概览
考点01 整体法求函数的值域最值
考点02 换元法求值域最值
考点03 值域最值求参数
考点04 恒成立与存在问题
考点05 零点问题
考点06 分段函数的值域
1．(24-25高一下·北京交通大学附属中学·期中)已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求函数的最小值，并求取最小值时x的集合；
(3)求函数的单调增区间；
(4)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)最小值为，x的取值集合为
(3)单调递增区间为
(4)
【分析】（1）利用二倍角及辅助角公式进行化简，再结合正弦函数的周期公式求解.
（2）结合正弦函数的最值及取得最值的条件求解.
（3）结合正弦函数的单调性求解.
（4）结合正弦函数最值及取得最值的条件求解．
【详解】（1）依题意，，
所以的最小正周期为.
（2）当，即时，函数取得最小值，
此时x的取值集合为；
（3）由，得，
所以函数的单调递增区间为.
（4）当时，，，，
因此，所以函数的值域为.
2．(23-24高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)设函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若在上的值域为，
①若，求m的值；
②若，求m的取值范围．（①②两问直接写出答案）
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用倍角公式及两角差的正弦函数公式化简可得解析式：，利用周期公式即可得解；
（2）由已知的范围可得，，结合已知函数值域，以及正弦函数的性质可分别求解①②.
【详解】（1） ，
.
（2）①时，由，可得，
若函数的值域为，则，即；
②若函数值域为，则解得：，
故m的范围为.
3．(21-22高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数．
(1)求的最小正周期和对称轴方程；
(2)求在上的最大值；
(3)若在上单调递减，在上单调递增，其中，且，求的值并讨论在上的值域．
【答案】(1)最小正周期，对称轴方程；
(2)3；
(3)，值域见解析
【分析】（1）由恒等变换得，即可利用函数的性质求解；
（2）先求的范围，即可结合函数单调性求得最值；
（3）由上单调递减，在上单调递增得且为的极小值点，结合的范围与函数单调性，即可求得的值；
由，可得，结合函数单调性，即可对的值分类讨论（分界点为的情形），即可判断最值
【详解】（1），所以最小正周期，由得，对称轴方程为；
（2）由，得，所以当时，取得最大值，为3；
（3）由题， ，为的极小值点，
又，故，所以，即，
由，得，，即，当时，可解得，
i.当，即，此时在上的值域为，即；
ii. 当，即,此时在上的值域为，即
4．(21-22高一下·北京铁路第二中学·期中)已知函数，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调增区间；
(3)当时，求函数的值域．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）由降幂公式化简得，再求最小正周期即可；
（2）令直接解出单调增区间即可；
（3）先求出整体的范围，再求的值域即可.
【详解】（1）
，
故函数的最小正周期；
（2）由（1）知，令，
解得，
故的单调增区间为；
（3）由得，故当时，取最小值，最小值为；
当时，取最大值，最大值为，
故函数的值域为.
5．(21-22高一下·北京人大附中·期中)已知函数.
(1)求在区间的值域.
(2)设函数对任意，有，且当时，.求在区间上的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等变换得到，再利用正弦函数的性质求解；
（2）根据，得到 ，再由时，，分和求解.
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
因为，
所以，则，
所以；
（2）因为函数对任意，有，
所以 ,
因为当时，，
当时，，
则，
当时，，
则，
所以.
1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)函数的值域是_____．
【答案】
【分析】利用，将原函数化简为，再令，转化为二次函数，即可求解值域．
【详解】因为，所以，
令，可知，则，，
二次函数图象开口向下，对称轴为，
当，，
当，，即函数的值域为．
故答案为：.
2．(23-24高一下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)函数的值域为__________.
【答案】
【分析】由已知可知，，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大与最小值，则值域可得.
【详解】由正弦函数的性质可知，当，
当时，；当或时，，故值域为.
故答案为：
3．(22-23高一下·北京大峪中学·期中)已知，则的值域为____________.
【答案】
【分析】利用倍角余弦公式可得，设，则，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设，则
可得当时，，
当时，
可得的值域为.
故答案为：.
4．(23-24高一下·北京翔宇中学·期中)求函数的值域.
【答案】
【分析】将函数化简配方，由，利用二次函数的图象与性质，即可得到函数的值域.
【详解】，
因为，
所以当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
5．(21-22高一下·北京西城·期中)已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，求函数的值域；
(3)若，求函数的值域.
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为；
(2)
(3)
【分析】（1）利用辅助角公式化简得到，从而求出最小正周期，整体法求解函数单调递增区间；
（2）在第一问求解的函数解析式基础上，求解函数的值域；
（3）配方得到，结合求出值域.
【详解】（1），
故的最小正周期，
令，解得：，
故单调递增区间为；
（2），则，
故，
函数的值域为
（3），
其中，
故，
所以的值域为.
1．(24-25高一下·北京理工大大学附属中学·期中)已知函数的一段图象如图所示：
(1)求函数的表达式和单调递减区间；
(2)若函数在的值域是，求的取值范围；
(3)若，，求的值．
【答案】(1)，单调递减区间为
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象即可求得的表达式，令，求解即可得出单调减区间；
（2）根据正弦函数的性质即可求解；
（3）根据诱导公式，正弦函数的单调性及同角三角函数的平方关系即可求解．
【详解】（1）由图象可知，，所以，又，故，
由，得，
又，故，于是，
由，
解得，
所以函数的单调递减区间为．
（2）因为，所以，
又，所以，
由正弦函数的性质得，，所以．
（3），即，
，
由，得，又，
所以，
则，
于是．
2．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的对称轴及单调递减区间；
(3)若，的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)对称轴为，单调递减区间为
(3)
【分析】（1）利用降幂升角及辅助角公式，得到，即可得出结果；
（2）根据（1）中结果，再利用的图像与性质即可求出结果；
（3）先求出的值，再结合图像与条件，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由（1）知，由，得到，
由，，
所以，的对称轴为，单调递减区间为.
（3）因为，由，得到，即，令，得到，
如图，由对称性，轴右侧函数图像与轴第一个交点为，
又当时，的值域为，所以.
3．(24-25高一下·北京第十九中学·期中)已知函数
(1)若，求m的值
(2)在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和m的值的两个条件作为已知
（i）求的解析式；
（ii）求的单调递增区间；
（iii）若时，该函数有最小值无最大值，求实数的取值范围.
条件①：的图象过点；
条件②：的最大值与最小值之和为0；
条件③：的图象的两个相邻对称轴的距离等于；
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)-1；
(2)答案见解析
【分析】（1）根据得到方程，求出；
（2）（i）根据条件①得到，根据条件②得到，根据条件③得到，故不能选①②，若选①③，则，若选②③，则；
（ii）选①③和②③，方法相同，整体法求解函数单调递增区间；
（iii）选①③和②③，方法相同，先得到，数形结合得到，求出答案.
【详解】（1），解得；
（2）（i）条件①，的图象过点，则，解得，
条件②，的最大值与最小值之和为0；
的最大值为，最小值为，
故，解得，
条件③，的图象的两条相邻对称轴的距离等于；
设的最小正周期为，则，解得，
又，故，
若选①②，则两者求出的值不同，不合要求，舍去；
若选①③，则有，则，
若选②③，则有，则，
（ii）若选①③，则，
令，解得，
故的单调递增区间为；
若选②③，则，
令，解得，
故的单调递增区间为；
（iii）若选①③，则，
，则，
时，该函数有最小值无最大值，故，
解得，
若选②③，则，
，则，
时，该函数有最小值无最大值，故，
解得.
4．(24-25高一下·北京回民学校·期中)已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使成立，从而可求解.
（2）根据（1）中可得，再利用整体代换法得，从而可求得，再结合，从而可求解.
【详解】（1）由，
若选条件①：可知当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件①时存在，故可选①；
若选条件②：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选②；
若选条件③：，
所以，因为，可得，故条件③能使成立，故可选③；
综上所述：故可选择条件①或③，此时.
（2）由（1）知，当时，，
且的最小值为，所以可得，解得，又，
所以，
所以的取值范围为.
5．(22-23高一下·北京中关村中学·期中)已知函数.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知. 条件①：＝2；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为π.
(1)求的值；
(2)若函数在区间［0，a］上是增函数，求实数a的最大值
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】本题为劣构题；
（1）选择条件然后对应分析解析；
条件① ②：由①知，根据，解得m=2；由②知，根据，解得，矛盾，不能同时选；
选条件① ③：解得，从而解得，结合函数图像的单调性确定a的最大值为；
选条件② ③：根据条件解得，，解得，
（2）结合函数图像的单调性确定a的最大值为；
【详解】（1）函数．
选条件① ②：
由①知，，所以m=2；
由②知，，所以，矛盾，不能同时选；
选条件① ③：
由条件③得，，又因为ω>0，所以ω=2．
由①知，，所以m=2．
则．
所以．
选条件② ③：
由于最小正周期为，所以ω=2，所以；
由最大值与最小值之和为0，
，
故，解得．
所以，
所以．
（2）选条件① ③：
令，所以，
所以函数f（x）的单调增区间为．
因为函数在区间［0，a]上单调递增，且，此时k=0，
所以，故a的最大值为．
选条件② ③：解法同选择① ③ ：
令，所以，
所以函数的单调增区间为．
因为函数在区间［0，a]上单调递增，且，此时k=0，
所以，故a的最大值为．
1．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)若在恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将不等式变形后，分类讨论并参变分离，分析右边函数的单调性,得到其最大值即得参数范围.
【详解】由可得（*），
当时不等式为显然成立；
当时，（*）式可化为：，
因时，单调递增且恒为负，故单调递减；
同时又因单调递减且恒为正，则单调递增，
又单调递增，故在时单调递减.
综上可知，在时为减函数，
故当时，函数有最大值为，故.
故选：B.
2．(23-24高一下·北京十一学校·期中)已知函数．
(1)求函数的单调递增区间和最小正周期；
(2)填写由函数的图象变换得到的图像的过程：
先将图象上的所有点______，得到的图象；
再把的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标______，得到的图象．
(3)若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（3），并求解．
其中，①有解；②恒成立．
【答案】(1)，；
(2)左平移个单位长度，变为原来的；
(3)答案见解析.
【分析】（1）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；
（2）由（1）中函数，利用三角函数图象变换求解即得.
（3）若选①，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.
【详解】（1）依题意， ，
所以函数的最小正周期；
由，得，
所以函数的单调增区间为.
（2）先将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到的图象；
再把的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象.
（3）若选择①，不等式有解，即，
由，得，
则当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以.
若选择②，不等式恒成立，即．
由，得，
则当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．
【点睛】思路点睛：求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.
3．(21-22高一下·北京第五十五中学·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果；
（2）利用正弦型函数最值求法可求得，由此可得的范围；
（3）根据同角三角函数关系可得，由，利用两角差的正弦公式可求得结果.
【详解】（1），
的最小正周期.
（2）当时，，
当，即时，取得最小值，，
即实数的取值范围为.
（3），，
，，，
.
4．(22-23高一下·北京东直门中学·期中)已知函数，且的图象相邻的两个对称中心之间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，根据函数的大小求出函数的周期，然后求出的值即可．
（2）由的取值范围，求出的范围，根据正弦函数的性质求出函数的最大值即可．
【详解】（1）因为
，
的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，
，即，则， ，
即．
（2）当，则，
则当，即时，取得最大值，且，
若不等式恒成立，，
即实数的取值范围是．
5．(22-23高一下·北京海淀区八一学校·期中)已知函数，．
(1)请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最值，及取得最值时x的值．
(3)若，都有恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)最大值为1，此时；最小值为，此时；
(3)
【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式结合辅助角公式化简可得，结合正弦函数的单调性即可求得答案；
（2）根据时，确定的范围，结合正弦函数的性质即可求得答案；
（3）由，都有恒成立，可得，结合（2）的结论，即可求得答案.
【详解】（1）因为
,
令，则，
故函数的单调递增区间为.
（2）当时，，
由于在单调递减，在单调递增，
当，即时，,取得最小值；
当时，；
当，即时，取得最大值；
（3）若，都有恒成立，
即，
由（2）可知，
故，即实数m的取值范围为.
1．(24-25高一下·北京第一六一中学·期中)已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.
(1)求的值；
(2)若函数在区间上的有且仅有两个零点，求a的取值范围.
条件①；
条件②是的一个零点；
条件③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先将函数进行化简，然后①将函数值代入函数中，②将零点代入函数中，③列出等式，即可求出的值.
（2）首先求出函数的零点，然后根据条件判断的取值范围.
【详解】（1）因为，所以.
将①作为已知条件，因为，
所以，所以.
因为，所以.
将②作为已知条件，因为是的一个零点，
所以.
所以，因为，所以.
将③作为已知条件，因为，
所以.
所以，展开化简得，进而得，因为，所以.
（2）按照条件①②③求得的，所以函数解析式为：.
因为在区间上有且仅有两个零点，
所以令，则，
解得.
当时，；当时，；当时，.
所以的取值范围为：.
2．(24-25高一下·北京铁路第二中学·期中)已知函数.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)当时，若曲线与直线恰有两个公共点，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）将函数化简后再代入求值即可；
（2）根据正弦函数性质列不等式求解即可；
（3）作出函数与直线的图象，根据题意即可求解.
【详解】（1）
，
所以；
（2）令，，
解得，，
函数的单调递增区间为，；
（3）根据五点作图法得如下表格：
根据函数具有周期性结合表格得函数与图象如图所示：
因为，，
当时，要使曲线与直线恰有两个公共点，则.
3．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数的零点为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间；
（2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可.
【详解】（1），
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）得，
因为函数的零点为，所以.
4．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)设函数.
(1)求的最小正周期，单调增区间，对称中心；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围.
【答案】(1)；单调递增区间为；对称中心为
(2)最小值；最大值.
(3)
【分析】（1）利用辅助角公式和二倍角公式化简，再利用周期公式求周期，令求单调增区间，令求对称中心；
（2）求的取值范围，再结合正弦函数图象可求其值域；
（3）求的取值范围，再结合正弦函数图象可求其零点.
【详解】（1）
，
则最小正周期，
令，得，
则的单调递增区间为，
令，得，
则的对称中心为.
（2），则，则，
则，
故当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值.
（3）函数在上有两个零点，则在上有两个根，
又，则，
结合正弦函数图象可得，，得，
则取值范围为
5．(23-24高一下·北京延庆区·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调增区间；
(2)若，求函数的最大值和最小值及相应x的值；
(3)①将函数的图像向左平移个单位，得到的图像；
②将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像；
③将函数的图像向下平移个单位，得到的图像；
从上述①②③中选择一个变换，求出的解析式，使得在上有两个零点，并求出零点．
注：如果选择的条件不符合要求，第（3）中求零点得0分．
【答案】(1),,.
(2)当时,函数的最小值为;当时,函数的最大值为.
(3)答案见解析
【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调区间;
（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最大值和最小值;
（3）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数解析式，进一步求出零点的个数.
【详解】（1）函数,
故函数的最小正周期为,
令，
整理得,
故函数的单调递增区间为,.
（2）由于,故,
故,
所以函数的值域为.
当时,函数的最小值为,当时,函数的最大值为;
（3）选择①：
将函数的图像向左平移个单位,
得到的图像;
由于,故,
当时,，
故函数在上有唯一个零点.
选择②：
将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,
得到的图像,
由于,故,
当时,，
故函数在上有唯一个零点.
选择③：
将函数的图像向下平移个单位,
得到的图像,
令,
整理得,
当或时函数的值为0，
故函数在上有两个零点.
故只有③满足有两个零点.
1．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)已知函数，给出下列四个结论：
①的值域是；
②是以为最小正周期的周期函数；
③在区间上单调递增；
④在上有个零点；
其中所有正确结论的序号是_____.
【答案】①④
【分析】化简函数的解析式，利用特殊值法可判断②；数形结合可判断①③④.
【详解】由，
当时，即当时，
，即；
当时，即当时，
，即.
所以，
作出函数的图象如下图所示：
对于①，由图可知，函数的值域为，①对；
对于②，因为，，所以，
所以不是函数的周期，②错；
对于③，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数在区间上不单调，③错；
对于④，由图可知，函数在区间上的零点为、，
即函数在上有个零点，④对.
故答案为：①④.
2．(22-23高一下·北京顺义区·期中)已知，.有下列四个说法：
①的一个正周期为；②在上单增；
③值域为；④图象关于对称.
其中，所有正确说法的序号是______.
【答案】①③④
【分析】利用三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、对称性等知识即可求得结果.
【详解】对于①，因为 ，所以①正确；
对于②，当时，，此时，
又，所以在单调递增，
因为 ，为偶函数，
所以在单调递减，故②错误；
对于③，因为 ，
所以值域为，故③正确；
对于④，因为
，所以图象关于对称.
故答案为:①③④.
3．(22-23高一下·北京师范大学附属中学·期中)对任意实数，定义运算，则关于函数的说法正确的是__________.（填序号）
①函数的值域为；
②当时，；
③是函数的一个周期；
④函数图像的对称轴为.
【答案】①④
【分析】把根据题意写成分段函数的形式，画出函数的部分图像，根据图像即可判断值域、函数值的正负、周期性、对称轴.
【详解】由题意得，函数，
如图，作出函数在的图像.
由图可知：函数为周期函数，最小正周期为，为其中一个周期.
在内，
①当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，
所以函数的值域为正确；
②当时，，所以当时，错误；
③函数的最小正周期为，所以是函数的一个周期错误；
④函数关于和对称，
所以函数图像的对称轴为正确.
故答案为：①④
4．(21-22高一下·北京昌平区·期末)已知函数，．给出下列三个结论：
①是偶函数；
②的值域是；
③在区间上是减函数．
其中，所有正确结论的序号是_______．
【答案】①③
【分析】计算出可判断①，分、两种情况求出的范围，然后结合其周期性可得其值域，即可判断②，当时，，然后可判断③.
【详解】因为，所以是偶函数，故①正确，
当时，，
当时，
又因为，所以的值域是，故②错误；
当时，，此时，
所以在区间上是减函数，故③正确，
故答案为：①③
5．(22-23高一下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)关于函数，给出下列四个结论：
①函数的最小正周期为；
②函数的最小值是1；
③函数的最大值是；
④函数在区间上单调递增.
其中全部正确结论的序号是__________.
【答案】①②③
【分析】首先把三角函数变形成的形式，进而逐一分析三个结论的真假，可得答案.
【详解】函数，
则，
且，
函数图象如下所示：
所以函数的最小正周期为，故①正确；
故当时，函数的最小值为，故②正确；
当时，函数取最大值，故③正确；
当时，，因为在上不单调，故函数在区间上不单调，故④错误；
故答案为：①②③
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑