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难点06立体几何中的夹角与距离
3大高频考点概览
考点01 点面距
考点02 线面距
考点03 二面角
1．(23-24高一下·广东广州清华附中湾区学校·期中)如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
2．(23-24高一下·广东麻涌，塘厦，七中，济川四校·期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，.
(1)求证：；
(2)求点C到平面ABH的距离；
(3)在线段PB上是否存在点N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
3．(23-24高一下·广东惠州惠阳区第一中学高中部·期中)已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，.
(1)求证：；
(2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离.
4．(24-25高一下·广东佛山南海区·)如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离.
5．(24-25高一下·广东汕头金山中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，．
(1)求证：平面；
(2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离．
1．(23-24高一下·广东东莞七校·期中)（多选）如图，在长方体中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．与是相交直线
B．与的夹角为
C．与平面所成角的余弦值为
D．该长方体的外接球的表面积为
2．(23-24高一下·广东深圳光明区光明中学·期中)如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面，，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角.
3．(23-24高一下·吉林长春第二实验中学·期中)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
(1)证明，是直角三角形；
(2)若，，求直线AB与平面所成角的正弦值．
4．(23-24高一下·广东珠海第二中学·)如图，正方体的棱长是.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
5．(24-25高一下·广东广州第七中学·期中)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．
1．(23-24高一下·广东河源部分学校·期中)（多选）已知圆锥的顶点为，底面圆心为为底面直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．的面积为4
2．(23-24高一下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)已知平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求与平面所成角的余弦值．
(3)在（2）的条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值．
3．(23-24高一下·广东深圳光明区光明中学·期中)已知三棱柱中，平面平面ABC，四边形为菱形，且，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值的大小.
4．(23-24高一下·广东河源部分学校·期中)如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
5．(23-24高一下·广东茂名高新中学·期中)如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
(1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．
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难点06立体几何中的夹角与距离
3大高频考点概览
考点01 点面距
考点02 线面距
考点03 二面角
1．(23-24高一下·广东广州清华附中湾区学校·期中)如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取中点，证明平面，再利用线面垂直的性质和中位线的性质即可得到答案.
（3）可得是直线与平面所成角，在中，计算可得结果.
【详解】（1）∵，为等边三角形，又是的中点. ∴，
∵平面，且在平面内，，
∵在平面内，CB在平面内，且，
所以平面.
（2） 是等边三角形，取中点，则，
又平面，平面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
在中，，所以，
在底面内过点作，则平面，
因为点是的中点，则点为中点，则，
则点到平面的距离为.
（3）由（2）知平面，
是直线与平面所成角，
因为底面，底面,所以，
，所以，
.
2．(23-24高一下·广东麻涌，塘厦，七中，济川四校·期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，.
(1)求证：；
(2)求点C到平面ABH的距离；
(3)在线段PB上是否存在点N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）证明平面即能证出
（2）利用三棱锥等体积即能求C到平面ABH的距离.
（3）取的中点，则能得平面平面，即得出，利用相似即能得出比值.
【详解】（1）因为底面，平面，所以.
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2）设点到平面的距离为.
因为底面，，为的中点，
所以点到平面的距离为.
又因为在中，，，．
则，
.
又因为底面，平面，所以 ，
又因为，，为的中点，
所以，
又因为由（1）知平面，平面，所以，
则.
所以，则，
则的面积为，
所以，解得.
（3）线段上当点满足，使平面.
证明：取CH的中点K，连接MK，NK．
因为为的中点，
所以由为的中位线，可得.
又因为平面，平面ABC，所以平面；
由，可得，则，
又因为平面ABC，平面ABC，所以平面．
又因为平面，
所以平面平面，
又因为平面MNK，所以平面ABC．
3．(23-24高一下·广东惠州惠阳区第一中学高中部·期中)已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，.
(1)求证：；
(2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接，利用余弦定理、勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的判定性质推理即得.
（2）证明平面，再利用等体积法求出点到平面的距离即可.
【详解】（1）连接，由，，
得，
在中，由余弦定理得，
则，于是，而平面，
因此平面，又平面，
所以.
（2）在中，由，，得，而平面，
平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离，
又，设点到平面的距离为，则，
，，
，，
由，得，即，解得，
所以点N到平面的距离.
4．(24-25高一下·广东佛山南海区·)如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，得到，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）作垂足为，求得，求得的面积，结合锥体的体积公式，列出方程求得到平面的距离，再由，得到点到平面的距离是点F到平面的距离的3倍，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，且，可得，
连接，因为，所以，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：因为，，所以，
又因为四边形是等腰梯形，，
在平面中，作垂足为，则，
则的面积为，
所以三棱锥的体积为，解得，
即点到平面的距离为，
因为，所以点P到平面的距离是点F到平面的距离的3倍，
所以点到平面的距离为.
5．(24-25高一下·广东汕头金山中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，．
(1)求证：平面；
(2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据已知证明，由线面垂直得到，再由线面垂直的判定证明结论；
（2）若是的中点，易得，异面直线与所成的角为，利用线面垂直的判定及性质证明相关线段垂直，并求出相关线段的长度，应用等体积法求点面距.
【详解】（1）由，，，，即为直角梯形，
所以，，
所以，即，
又平面，平面，则，
由平面，故平面；
（2）若是的中点，则，故为平行四边形，

所以且，故异面直线与所成的角，即为，
由平面，平面，则，
又，易知，则，
所以，则，
由平面，平面，则，
由平面，平面，则，
由，，则，而平面，
所以平面，平面，则，
故，
所以，而，且，
设点B到平面的距离为，
则，即，可得.
1．(23-24高一下·广东东莞七校·期中)（多选）如图，在长方体中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．与是相交直线
B．与的夹角为
C．与平面所成角的余弦值为
D．该长方体的外接球的表面积为
【答案】BC
【分析】对于A，运用反证法思路易得；对于B，通过平移使之相交，解直角三角形即得；对于C，先通过添设辅助线，找到直线与平面所成角，解三角形即得；对于D，理解长方体的外接球的直径即体对角线的长，求解即得.
【详解】对于A，假设与是相交直线，交于点,则因平面，则平面，
同理平面,即平面与平面有公共点，这与平面平面矛盾，故A错误；
对于B，因,则与的夹角即,在中，，，故，
即与的夹角为，故B正确；
对于C，如图，连接,设，连接.
在长方体中，平面,因平面,则,
又，易得，因,故得平面，
故为在平面上的射影，故得为 与平面所成角，
又,则,则，故C正确；
对于D，依题意，长方体的外接球的直径即体对角线的长，
因，故长方体的外接球的表面积为，故D错误.
故选：.
2．(23-24高一下·广东深圳光明区光明中学·期中)如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面，，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，由平行四边形的判定定理与性质可得，结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）找出在平面上的投影即可得直线与平面所成的角为，计算即可得.
【详解】（1）取的中点，连接，，
因为是的中点，所以且，
又是的中点，是正方形，所以，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；

（2）因为平面，平面，所以平面平面，
平面平面，又四边形为正方形，所以，
又因为平面，所以平面，
所以是在平面上的射影，
所以即为直线与平面所成的角，
又，所以为等腰直角三角形，所以，
即直线与平面所成的角为.
3．(23-24高一下·吉林长春第二实验中学·期中)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
(1)证明，是直角三角形；
(2)若，，求直线AB与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由圆的性质可得，再由平面，则，然后由面面垂直的判定可得平面，从而可得，进而可证得结论.
（2）过作于，可证得是直线与平面所成的角，在中求解即可.
【详解】（1）由是⊙O的直径，是圆周上不同于的一动点，得，
由平面，平面，得，
又，平面，则平面，
又平面，因此，所以是直角三角形．
（2）过作于，

由平面，平面，得，
又，平面，则平面，
于是是直线与平面所成的角，
在中，，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
4．(23-24高一下·广东珠海第二中学·)如图，正方体的棱长是.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理即可证得结论成立；
（2）设点到平面的距离为，计算出三棱锥的距离，以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离，再求出.
【详解】（1）证明：连接、，如下图所示：
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，平面，平面，
平面，，
四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，平面，平面，
平面，，
又因为，平面，平面，
平面.
（2）设点到平面的距离为，，
，
易知，则是边长为的正三角形，
所以，，
所以，，解得，
因此，点到平面的距离为
因为，
所以平面所成角的正弦值为.
5．(24-25高一下·广东广州第七中学·期中)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的定义，表示，再相加，即可求解；
（2）先根据题设中垂直关系结合点C处的离散曲率求得、，然后过点A作于点，利用线面垂直的判定定理得平面，即可求解点面距离；
（3）过点作交于，连结，得为直线与平面所成的角，设，表示出，再利用余弦定理求，再由余弦值，转化为正切值，得到关于的等式求解即可得答案.
【详解】（1）根据离散曲率的定义得，
，
，
又因为
，
所以．
（2）∵平面平面，∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面，∴，
∵，即
∴，∴，过点A作于点，
由平面平面，得，
又平面，则平面，
因此点A到平面PBC的距离为线段的长，在中，，
∴点到平面的距离为.
（3）过点作交于，连结，
∵平面，∴平面，
∴为直线与平面所成的角，
依题意可得，，
，
，，
设，则，
在中， ，
又，所以，
则，
∴，解得：或（舍）
故.
1．(23-24高一下·广东河源部分学校·期中)（多选）已知圆锥的顶点为，底面圆心为为底面直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．的面积为4
【答案】AC
【分析】由已知可得，由锥体体积公式可求圆锥的体积判断A；求得侧面积判断B；设是的中点，连接，可得，进而可求得AC判断C；求得，可求判断D.
【详解】依题意，，所以，
对于选项，圆锥的体积为选项正确；
对于选项，圆锥的侧面积为，选项错误；
对于选项，设是的中点，连接，则，

所以是二面角的平面角，则，所以，
故，则，选项正确；
选项，，所以，选项错误.
故选：AC.
2．(23-24高一下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)已知平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求与平面所成角的余弦值．
(3)在（2）的条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)．
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可得，又由等边三角形可得，即可求证，
（2）根据平面可得为与平面所成角，即可利用三角形的边角关系求解，
（3）根据二面角的几何法可得为二面角的平面角，利用三角形的边角关系即可求解.
【详解】（1）因为，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以．
因为平面平面，平面平面，,平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面．
（2）过点作，垂足为．如图所示，
由（1）知，平面，因为平面，所以，
，，平面，所以平面，
所以为与平面所成角．
在中，因为，，所以
因为为的中点，所以，
在中，，
在中，，
在中，，
所以与平面所成角的余弦值为．
（3）取的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，，
因为平面，所以平面，平面．
所以，过点作，垂足为，连接，
，，平面，所以平面．
平面，所以，
所以为二面角的平面角．
在中，，
由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，
所以，
由（1）知，平面，平面．所以，
在中，，
由（2）知，，即，解得．
因为平面，平面，所以，
在中，，
所以，
即二面角的平面角的余弦值为．
3．(23-24高一下·广东深圳光明区光明中学·期中)已知三棱柱中，平面平面ABC，四边形为菱形，且，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质可证得，由四边形为菱形，得，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）设，作于E，连AE，则可证得为二面角的平面角，然后在中求解即可.
【详解】（1）证明：因为平面平面ABC，平面平面，，平面，
所以平面.
又平面，所以，
因为四边形为菱形，所以.
又，，平面.
所以平面.
（2）解：设，作于E，连AE，如图所示

由（1）平面，平面，所以，
又，，，平面AEO，所以平面AEO，
又因为平面AEO，所以，
所以为二面角的平面角，
又四边形1是菱形，，所以，
所以是等边三角形，则，，
在中，，则，，，
由平面，平面知，即，
所以，所以，
所以二面角的余弦值为.
4．(23-24高一下·广东河源部分学校·期中)如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值.
【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，
由侧面底面，侧面底面平面，
得平面，又平面，则，
又侧面是正三角形，是的中点，则，
又平面，所以平面.
（2）如图，
在平面内，过点作，垂足为，显然，
由侧面底面，交线为，得底面，底面，
则，过作，垂足为，连接，显然，
平面，则平面，而平面，因此，
则即为二面角的平面角，其大小为，
在中，，则，
由 ，得四边形为平行四边形，则，
由 ，得（或其补角）为异面直线与所成角，
由（1）知平面，则为直角三角形，，
所以异面直线与所成角的正切值为.
5．(23-24高一下·广东茂名高新中学·期中)如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
(1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，连接，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）在平面中，过点C作射线，可得为二面角的平面角，过点作，可得平面，则即为直线和平面所成的角，利用锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）连接交于，连接，
因为侧面为矩形，
所以，又为中点，
所以，
又因为，
所以．
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）在平面中，过点作射线，
因为底面为矩形，所以，
所以为二面角的平面角，且．
又，平面，所以平面，
在平面中，过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
则即为直线和平面所成的角，
于是为点到平面的距离，且，
设直线和平面所成角为，又，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
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