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重难点02奔驰定理及三角形的四心
3大高频考点概览
考点01 奔驰定理求面积比
考点02 三角形的重心
考点03 三角形的内心
考点04 三角形的外心
考点05 三角形的垂心
1．(24-25高一下·广东深圳·期中)（多选）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则
C．若为的内心，，则
D．若是的外心，，则
2．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中) （多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，且、、、四点一定构成平行四边形
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．对任意向量，，，都有
D．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
3．(24-25高一下·广东清远四校联盟·期中) （多选）已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为的垂心
C．若且（，），则
D．若，，，且，则的值为
4．(23-24高一下·广东广州育才中学·期中) （多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是的重心
B．若，则点在边的延长线上
C．若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则
D．若，且，则的面积是面积的
5．(23-24高一下·广东广州真光中学·期中) （多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，，，则
D．若为的垂心，则
1．(23-24高一下·广东广州第八十九中学·期中)（多选）是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上的投影向量等于.
C．
D．的最小值为
2．(23-24高一下·广东广州第六十五中学·期中) （多选）在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线一定经过三角形的重心
B．当时，直线一定经过三角形的外心
C．当时，直线一定经过三角形的垂心
D．当时，直线一定经过三角形的内心
3．(23-24高一下·广东深圳福田中学·期中) （多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
4．(22-23高一下·广东东莞东莞七校联考·期中) （多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．若，则点三点共线
C．若点是的重心，则
D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心
5．(23-24高一下·广东珠海六校·期中) （多选）已知点是的重心，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
1．(24-25高一下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)设点是所在平面内一点，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．在中，，若，则为钝角三角形
C．已知点是平面上的一个定点，并且A，B，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
D．已知与的夹角为锐角，实数的取值范围是
2．(23-24高一下·广东广州增城中学·期中)（多选）下列命题错误的是（ ）
A．
B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C．在中，是为锐角三角形的充要条件
D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心
3．(23-24高一下·广东广州广雅中学·期中) （多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（ ）
A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有
B．若为内一点，且，则是的内心
C．若为内一点，且，则
D．若的垂心在内，是的三条高，则
4．(24-25高一下·广东广州三校·期中)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心 内心 外心 垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为__________.
5．(22-23高一下·广东惠州惠州中学·期中)已知，点是平面上任意一点，且（），给出以下命题：
①若，，则为的内心；
②若，则直线经过的重心；
③若，且，则点在线段上；
④若，则点在外；
⑤若，则点在内．
其中真命题为______
1．(24-25高一下·广东广州第八十九中学·期中)已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东东莞常平中学等三校·期中)点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（ ）
A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心
C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心
3．(23-24高一下·广东深圳实验中学光明部·期中)设为的外心，若，则点是的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
4．(23-24高一下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
5．(23-24高一下·广东广州天天向上联盟·期中)已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
2．(23-24高一下·广东惠州博罗县·期中)（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．若都是非零向量，则“”是“与共线”的充要条件
B．若都是非零向量，且，则
C．若单位向量满足，则
D．若为三角形外心，且，则为三角形的垂心
3．(22-23高一下·广东广州铁一中学等三校·期中) （多选）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
4．(24-25高一下·广东珠海斗门区珠海华中师范大学（珠海）附属中学·期中) （多选）对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
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重难点02奔驰定理及三角形的四心
3大高频考点概览
考点01 奔驰定理求面积比
考点02 三角形的重心
考点03 三角形的内心
考点04 三角形的外心
考点05 三角形的垂心
1．(24-25高一下·广东深圳·期中)（多选）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则
C．若为的内心，，则
D．若是的外心，，则
【答案】ACD
【分析】对于A：利用重心的性质 ，代入即可；对于B：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.对于C：利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断；对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.
【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，
所以，，
同理可得、，
所以 ，
又因为，
所以.正确；
对于B：因为，
所以，所以，
所以，
所以，
化简得：，
又因为不共线，
所以，所以，
所以，错误；
对于C，若为的内心，，则.，
又（为内切圆半径），
所以，，故，正确；
对于D：因为是的外心，，所以，，
所以，
因为，则，
化简得：，由题意知不同时为正，
记，，则，
因为，所以，
所以，
所以，正确.
故选：ACD.
2．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中) （多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，且、、、四点一定构成平行四边形
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．对任意向量，，，都有
D．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
【答案】BD
【分析】根据四点共线即可判断A，根据投影向量的公式即可求解B，根据共线即可求解C，根据相似比，即可求解D.
【详解】对于A, 若，则,则、、、四点可能在一条直线上，故A错误，
对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确，
对于C , 表示与共线的向量，表示与共线的向量，由于，不一定共线，所以与不一定相等，故C错误，
对于D,取,故,因此,故，D正确，
故选：BD
3．(24-25高一下·广东清远四校联盟·期中) （多选）已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为的垂心
C．若且（，），则
D．若，，，且，则的值为
【答案】BCD
【分析】根据平面向量数量积的几何意义可判断；易知点是的中点，从而得，再根据垂心的含义即可判断；由平面向量基本定理知，，三点共线，再利用三角形的面积公式；将两边分别同时乘以和，可得关于和的方程组，解之即可判断．
【详解】解：因为，所以点是外接圆的圆心，
A．，即选项错误，不符合题意；
B．若，则点是的中点，所以是圆的直径，即，
所以点是的垂心，即选项正确，符合题意；
C．由知，，，三点共线，设的以为底边的高为，则，即，故选项正确，符合题意；
D．由知，，
所以，
即，
整理得，
由知，，
同理可得，
联立解得，，
所以，即选项正确，符合题意．
故选：BCD．
4．(23-24高一下·广东广州育才中学·期中) （多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是的重心
B．若，则点在边的延长线上
C．若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则
D．若，且，则的面积是面积的
【答案】ACD
【分析】对于A，只需证明即可；对于B，我们只需证明，进而说明点并不在射线上；对于C，我们先设的内心为，然后证明和重合；对于D，我们只需求出两个三角形面积对比即可.
【详解】对于A，，即，
则，
所以点是的重心；
对于B，若，则，
所以点在边的反向延长线上，故B错误；
如图对于C，延长到，使，同理，
因为，所以，
以为邻边作平行四边形，所以，则，即，
因为，
同理，
，
所以，故C正确；
如图对于D，设为中点，
，所以，即，
由，所以，所以三点共线，
所以.故D正确.
故选：A C D.
【点睛】关键点点睛：向量之间的加减法运算和内积运算，以及内积关于加法的分配律及数形结合是解决本题的关键.
5．(23-24高一下·广东广州真光中学·期中) （多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，，，则
D．若为的垂心，则
【答案】ABD
【分析】对于A，假设为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得，再利用三角形面积公式可求得，即可计算出，可得C错误；选项D，由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】对于A：如下图所示，
假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：由，可知，
又，所以，
由可得；
所以，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知，，
则，
同理，
因为O为的垂心，则，
所以，
同理得，，
则，
令，
由，
则，
同理：，
，
综上，，
根据奔驰定理得，即D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.
1．(23-24高一下·广东广州第八十九中学·期中)（多选）是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上的投影向量等于.
C．
D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A，根据投影向量的定义，判断B；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.
【详解】A.以为邻边作平行四边形，交于点，是的中点，
因为是的重心，所以三点共线，且，
所以，，所以，故A正确；

B.在上的投影向量等于，故B错误；
C.如图，因为，所以,
即，即,
因为点是的重心，，故C正确；
D. 取的中点，连结，取中点，则，，
,
则，
,
显然当重合时，，取最小值，故D正确.

故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.
2．(23-24高一下·广东广州第六十五中学·期中) （多选）在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线一定经过三角形的重心
B．当时，直线一定经过三角形的外心
C．当时，直线一定经过三角形的垂心
D．当时，直线一定经过三角形的内心
【答案】AC
【分析】对于A，点为的中点，根据重心的性质和已知条件分析判断，对于B，由向量的加法法则分析判断，对于C，化简即可得结论，对于D，结合正弦定理得，进一步由A选项分析可知.
【详解】对于A，因为，，设点为的中点，
所以，所以直线一定经过三角形的重心，故A正确；
对于B，当时，，
因为为与方向相同的单位向量，为与方向相同的单位向量，
所以平分，即直线一定经过三角形的内心，故B错误；
对于C，当时，，
所以 ，
所以，所以直线一定经过三角形的垂心，故C正确；
对于D，当时，，
而由正弦定理有，即有，
结合A选项分析可知直线一定经过三角形的重心，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：判断的C关键是得到等于0，由此即可顺利得解.
3．(23-24高一下·广东深圳福田中学·期中) （多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
【答案】ABD
【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；

对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误；

对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
4．(22-23高一下·广东东莞东莞七校联考·期中) （多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．若，则点三点共线
C．若点是的重心，则
D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心
【答案】ACD
【分析】根据向量的线性运算以及模长的含义即可判断A，根据共线定理的推论即可判断B，根据重心的性质即可判断C，根据向量加法的平行四边形法则即可判断D.
【详解】对于A， ，为等边三角形，故A正确；
对于B， ，，、、三点不共线，故B错误；
对于C，设，，分别为，，的中点，则，
，，
，即，故C正确；
对于D， ，，， ，在的角平分线上，的轨迹一定通过的内心，故D正确．
故选：ACD．
5．(23-24高一下·广东珠海六校·期中) （多选）已知点是的重心，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用重心的性质，结合图形可解.
【详解】记D为BC中点，则O为AD靠近点D的三等分点
因为，所以，A正确；
又，所以，B正确，C错误；
又，所以，故D错误.
故选：AB
1．(24-25高一下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)设点是所在平面内一点，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．在中，，若，则为钝角三角形
C．已知点是平面上的一个定点，并且A，B，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
D．已知与的夹角为锐角，实数的取值范围是
【答案】D
【分析】利用向量减法法则判断A；求出向量夹角判断B；利用向量加法的平行四边形法则推理判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，，则为等边三角形，A正确；
对于B，由，即，得，则为钝角，B正确；
对于C，由分别表示向量方向上的单位向量，
得的方向与的角平分线方向一致，由，
得，又，则向量的方向与的角平分线方向一致，
因此点的轨迹一定通过的内心，C正确；
对于D，当时，，此时与同向，夹角不是锐角，D错误.
故选：D
2．(23-24高一下·广东广州增城中学·期中)（多选）下列命题错误的是（ ）
A．
B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C．在中，是为锐角三角形的充要条件
D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心
【答案】ABC
【分析】根据向量减法法则判断A，根据向量的定义判断B，根据数量积的定义判断C，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断D.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量，
故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误；
对于C：由，即，即，
又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立，故C错误；
对于D：由，可得
又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形，
点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角，
故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确.
故选：ABC
3．(23-24高一下·广东广州广雅中学·期中) （多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（ ）
A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有
B．若为内一点，且，则是的内心
C．若为内一点，且，则
D．若的垂心在内，是的三条高，则
【答案】ACD
【分析】若是等边三角形，设其高为，用和表示出，代入奔驰定理，化简即可判断A；由及奔驰定理，根据平面向量基本定理即可得出，即可判断B；由得出，结合奔驰定理，根据平面向量基本定理得出，即可判断C；点是的垂心，得出， ，，代入奔驰定理即可判断D．
【详解】因为为内任意一点，所以两两不共线；
对A：是等边三角形，设其高为，
则，，，
代入奔驰定理得，，
即，故A正确；
对B：由且，根据平面向量基本定理得，则是的重心，故B不正确；
对C：，即，
又，
由平面向量基本定理得，故C正确；
对D：由点是的垂心，则，
所以，同理可得，，，
代入，
得，
即，故D正确；
故选：ACD．
4．(24-25高一下·广东广州三校·期中)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心 内心 外心 垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得.
【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，
由可得，所以，
又，
则，所以，
两式相加可得，化简可得，
又，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值.
5．(22-23高一下·广东惠州惠州中学·期中)已知，点是平面上任意一点，且（），给出以下命题：
①若，，则为的内心；
②若，则直线经过的重心；
③若，且，则点在线段上；
④若，则点在外；
⑤若，则点在内．
其中真命题为______
【答案】②④
【解析】①可得在的角平分线上，但不一定是内心；②可得在BC边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断.
【详解】①若，，则，因为是和同向的单位向量，则在的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；
②若，则，则根据平行四边形法则可得，在BC边中线的延长线上，故直线经过的重心，故②正确；
③若，且，则，即，即，则点在线段上或的延长线上，故③错误；
④若，，整理可得，，根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外，故④正确；
⑤若，则令，则，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外，故⑤错误.
故答案为：②④.
【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.
1．(24-25高一下·广东广州第八十九中学·期中)已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值.
【详解】已知，将其变形可得，即.
根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线.
因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线，
所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形.

根据投影向量的定义求的值，，
可得，即，
又因为，所以，因为，所以.
的值为.
故选：D.
2．(24-25高一下·广东东莞常平中学等三校·期中)点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（ ）
A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心
C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心
【答案】D
【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心.
【详解】由可知，点到三点的距离相等，
可知为的外接圆圆心，即为的外心，
取的中点为，如下图所示：

易知，又，可知；
即在中线上靠近的三等分点，
同理可得为三条中线的交点，即为重心；
由可得，即，
可得，同理可得，
所以点为三条高的交点，因此点为垂心；
易知为沿方向上的单位向量，即；
令，所以，且为等腰三角形，，如下图：

由可得，即,
此时为角的平分线，
同理由可得为角的平分线，
因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心.
故选：D
3．(23-24高一下·广东深圳实验中学光明部·期中)设为的外心，若，则点是的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【答案】C
【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可.
【详解】解：取BC的中点D，如图所示，
连接OD，AM，BM，CM．
因为，
所以，
又，则，
所以，
又由于为的外心，
所以，
因此有．同理可得，，
所以点是的垂心．
故选：C．
4．(23-24高一下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中)在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】C
【分析】根据向量的运算化简，可证明，则点轨迹为三角形边的中垂线，可得解.
【详解】因为，
所以，
设的中点为，则，则，
即，所以，所以点在线段的中垂线上，
故点的轨迹过的外心.
故选：C．
5．(23-24高一下·广东广州天天向上联盟·期中)已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解.
【详解】
因为，
则，所以，即B，O，C三点共线．
因为为的外心，即有，
所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角．
如图，过点作，垂足为．
因为在上的投影向量为 ，所以，
所以在上的投影向量为．
又因为，所以．
因为，所以，
故的取值范围为．
故选：A．
1．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【分析】计算的值，可得出结论.
【详解】因为，
，
，因此，点的轨迹经过的垂心，
故选：D.
2．(23-24高一下·广东惠州博罗县·期中)（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．若都是非零向量，则“”是“与共线”的充要条件
B．若都是非零向量，且，则
C．若单位向量满足，则
D．若为三角形外心，且，则为三角形的垂心
【答案】AC
【分析】对于A，只需通过举反例说明由“与共线”推不出“”即可；对于B，将等式两边平方，化简即得；对于C，通过题设移项后平方分别求出和即得；对于D，由题设分解向量推得，即得点为边的中点，推出即得.
【详解】于A项，由与共线，可取，则，
因，故，故A项错误；
对于B项，由两边平方，展开得，
化简得：，即，故B项正确；
对于C项，由可得：，
两边平方，，
因是单位向量，则，解得，
又由可得：，
两边平方，，
因是单位向量，则，解得，
则，故C项错误；

对于D项，如图，因，
故由可得：，
故得点为边的中点，即三角形的外心为的中点，
即，故得，即为三角形的垂心，故D项正确.
故选：AC.
3．(22-23高一下·广东广州铁一中学等三校·期中) （多选）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
【答案】ACD
【分析】A利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B构建直角坐标系，由向量数量积的坐标表示列式求最值；C由已知得，进而可知与中点共线，结合外心的性质有垂直平分即可判断；D将等式两侧同时点乘并化简得，即可判断.
【详解】A：如下图，，则为垂心，易知：，

所以，则，
根据向量数量积的几何意义知：，同理，
所以，正确；
B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，
所以，，
由，则，
当时的最小值为，错误；

C：由题设，则，
所以，若为中点，则，
故，故共线，又，即垂直平分，
所以，正确；

D：由题设，，
则，
所以，若为中点，则，
故，所以的轨迹经过的外心，正确.

故选：ACD
【点睛】关键点点睛：A根据垂心性质，三角形相似关系、数量积的几何意义得到 ；B构建直角坐标系，应用数量积的坐标表示列式判断；C、D根据外心的性质，应用数形结合化简题设向量的线性关系式判断.
4．(24-25高一下·广东珠海斗门区珠海华中师范大学（珠海）附属中学·期中) （多选）对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
【答案】BCD
【分析】A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据的几何意义即可判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简，再根据判断正误；D：根据平面向量基本定理可得，再由三点共线即可证.
【详解】A：为外心，则，仅当时才有，错误；
B：由，又，故，正确；
C： ，即与垂直，又，所以与共线，正确；
D：，又三点共线，则，故，正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：综合应用外心、垂心、重心的性质，结合平面向量数量积的运算律、几何含义以及平面向量基本定理判断各选项正误.
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