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重难点08三角函数的最值
5大高频考点概览
考点01 整体法求函数的值域最值
考点02 换元法求值域最值
考点03 值域最值求参数
考点04 恒成立与存在问题
考点05 零点问题
1．(24-25高一下·广东广州华侨、协和、增城中学等三校·期中)将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象，
再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象，
将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象，
由于曲线恰好是函数的图象，故，
由得，
故，
故选：B
2．(24-25高一下·广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部·期中)已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)求函数在上的值域；
(3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，
【分析】（1）根据题意，结合函数的图像分别求得，再由正弦型函数的对称中心公式代入计算，即可得到结果；
（2）由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果；
（3）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）根据函数的部分图像，
可得，，所以，
再根据五点法作图，可得，，
又因为，可得，所以，
令，，解得，，
故函数对称中心为，．
（2）因为，可得，
当时，即，；
当时，即，，
所以函数的值域为．
（3）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，得到的图像，
即．
令，，解得，，
可得的减区间为，．
3．(24-25高一下·广东深圳第七高级中学·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期
(2)若，求函数的值域；
(3)若且，求的值．
【答案】(1)最小正周期为
(2)
(3)
【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期；
(2)根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域；
(3)根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，结合，代入求解.
【详解】（1）由题意可得：
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为.
（3）因为，则，
且，即，
可得，
所以
，
所以.
4．(23-24高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求的解析式：
(2)求的单调递增区间；
(3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域．
【答案】(1)
(2)单调递增区间是，
(3)
【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式；
（2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调区间即可；
（3）求出，通过的范围，求解相位的范围，结合正弦函数的值域求解即可．
【详解】（1）由图象可知：，解得：，，
又由于，可得：，所以，
由图象知，，又因为，
所以，．所以．
（2）由，，得，．
函数的单调递增区间是，．
（3）依题可得，因为，
则，所以，
即的值域为．
5．(23-24高一下·广东广州广东华侨中学·期中)已知函数.
(1)求函数的周期及在上的值域；
(2)若为锐角且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简得出，即可得出函数周期；进而，根据已知角的范围，得出，结合正弦函数的图象及性质，得出最值，即可得出答案；
（2）根据已知推得，进而根据角的范围得出为第三象限角以及.然后根据两角和的余弦公式，代入数值计算，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，
则函数的最小正周期为.
又由，可得.
根据正弦函数的图象及性质可知，
当时，即时，取得最大值；
当时，即时，取得最小值，
所以函数的值域为.
（2）由（1）知，.
因为，所以，即.
又因为，可得.
又由，所以，
可得.
则
.
1．(22-23高一下·广东湛江第二中学·期中)函数的最大值为__________.
【答案】/1.25
【分析】由同角三角函数的平方关系得,令，根据二次函数的最值，可得答案.
【详解】由已知得,
令，则，
当时，函数有最大值为.
故答案为：
2．(22-23高一下·广东梅州兴宁·期中)(多选)已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．既是周期函数又是奇函数
D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】利用对称性的定义判断AB，由奇偶性的定义判断C，把函数式化简变形，利用换元法、函数性质、不等式性质判断D．
【详解】因为，所以的图象关于直线对称，A正确；
因为，所以的图象关于点对称，B正确；
，所以C错误；
令 ，
，
则当时，，当时，，时，，时，由勾形函数性质知 ，时取等号，再由不等式的性质知，当1时，取得最大值，D正确.
故选：ABD．
3．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)阅读下面材料： ，解答下列问题：
(1)用表示；
(2)利用（1）的结论，求的值；
(3)若函数，，求的值域．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用和角余弦公式及二倍角正余弦公式得到即可；
（2）令，由等式，即，根据（1）结论化简整理有，即可求值；
（3）令，应用诱导公式化简得求其值域即可.
【详解】（1）
；
即；
（2）令，由等式知，，
即，显然，
所以，即，解得，
又，所以，即；
（3）令，则，且
，
而，则，即的值域为.
4．(23-24高一下·广东佛山顺德区·期中)设，函数，.
(1)当时，求的值域；
(2)讨论的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；
（2）令，可得，令，求出函数的单调性与值域，结合余弦函数的单调性，将问题转化为与的交点个数.
【详解】（1）当时，，
因为，所以，
令，则，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，又，
故的值域为，即的值域为.
（2）令，即，得.
因为，所以，
令，则，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
即，，
因为在上单调递减，
所以的零点个数等价于的零点个数，
即与的交点个数，
当或时，无解；
当时，仅有一解；
当时，有两解.
综上，当或时，无零点；
当时，有一个零点；
当时，有两个零点.
5．(24-25高一下·广东江门培英高级中学·期中)已知函数部分图象如图所示．
(1)求和的值；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)最小值为，最大值为
【分析】（1）由图象观察周期，计算，由最大值求出；
（2）利用整体代换求出单增区间；
（3）先求出，转化为，在上有解,令，求出的值域，即可求出a的最小值和最大值.
【详解】（1）由图象可知：，所以，则，
又，，得，
又，所以.
（2）由（1）知，
令，，
解得：，.
令，得，因，则，
令，得，因，则，
所以在上的单调递增区间为，.
（3）由题意，，
则，
由函数在上存在零点，
则在上有解，
令，由，则，即，
则，
所以，即，
故a最小值为，最大值为.
1．(23-24高一下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中) (多选)已知函数的最大值为，则（ ）
A．为的一个零点
B．在区间上单调递增
C．将的图象向右平移个单位长度，得到的函数为奇函数
D．当时，的值域为，则的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据的最大值为求出，再由两角和的正弦展开式化简可判断A；根据的单调性可判断B；求出可判断C；求出的范围结合的值域可判断D．
【详解】对于A，由题意可得，，
因为的最大值为，所以，又，
解得，
所以，，
故A选项错误；
对于B，时，，是的一个单调递增区间，
故B选项正确；
对于C，，，
所以是奇函数，故C选项正确；
对于D，当时，，又因为，
的值域为，所以，
即，故D选项正确．故选：BCD．
2．(23-24高一下·广东梅州曾宪梓中学·期中)已知为第一象限角，若函数的最大值是2，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换整理得，结合最大值，解得，代入运算求得结果.
【详解】由题意可得，
，
则，解得，又为第一象限角，，
所以
.
故选：A.
3．(23-24高一下·广东佛山顺德区第一中学·期中)设函数，.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若函数在区间上有最小值，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦函数的单调性，整体代入求解可得；
（2）利用三角恒等变换化简，然后求出最小值点，根据题意即可得解.
【详解】（1）由得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）
.
令得，
即，解得，
因为函数在区间上有最小值，所以，
即实数m的取值范围为.
4．(23-24高一下·广东梅州梅县东山中学·期中) (多选)函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象可由函数向左平移个长度单位得到
B．是函数图象的一条对称轴
C．若，则的最小值为
D．方程在区间上只有一个根时，实数a的取值范围为
【答案】BC
【分析】先根据函数图象求出函数解析式，然后逐个选项分析判断即可得.
【详解】由题可得，故，又，故，
，故，
解得，由，故，
即，
对A：函数向左平移个长度单位后，可得，故A错误；
对B：当时，，故B正确；
对C：由，故、中一个为最小值点，一个为最大值点，
故，故C正确；
对D：当时，，由，
故方程在区间上只有一个根时，
实数的取值范围为，故D错误.
故选：BC.
5．(24-25高一下·广东江门新会区东方红中学·期中)已知函数的最大值为1，
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和与差的公式化简成为的形式，根据三角函数的性质可得的值．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
【详解】（1）由题意：函数，
化简得：
，
的最大值为1，
，解得：．
（2）由（1）可知．
根据三角函数的性质可得：．
即，
解得：，，
的单调递减区间为.
1．(24-25高一下·广东佛山华南师范大学附属中学南海实验高级中学·期中)对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)设函数，试求函数的相伴特征向量；
(2)记向量的相伴函数为；
①当时，求相伴函数的值域；
②当时，不等式恒成立，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)①；②.
【分析】（1）直接根据两角差的正弦公式以及诱导公式化简即可得结果；
（2）根据定义求出相伴函数，①直接根据正弦函数的性质即可得结果；②分为和以及三种情形结合正切函数的性质即可得结果.
【详解】（1），
∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标.
（2）向量的相伴函数.
①因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
故相伴函数的值域为.
②当时，不等式
即可化为恒成立.
，.
，即时，，
恒成立，所以，
，，
则，，
当，即时，，
恒成立，即，
，
则，，
当时，，
对任意实数，不等式都成立，
综上可知的取值范围是.
2．(24-25高一下·广东中山迪茵公学·期中)已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为．
(1)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域．
(2)设，若恒成立，求实数c的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的性质得到，然后根据图象的平移变换得到，最后求值域即可；
（2）利用换元法得到的最大值，即可得到的范围.
【详解】（1）,
因为为奇函数，所以，解得，
又，所以，
因为图象的相邻两对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，解得，
所以，
由题意得，
当时，，则，
所以的值域为.
（2），
令，
则，
所以当时，取得最大值，最大值为，
因为恒成立，所以，
所以的最小值为.
3．(24-25高一下·广东珠海斗门区珠海华中师范大学（珠海）附属中学·期中)已知函数．
(1)，，求的值；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合已知可得，再由同角关系求，结合利用两角和正弦公式求结论；
（2）先结合正弦函数性质求的范围，条件可转化为，解对数不等式可得结论.
【详解】（1） ．
，得，
由，，，得，
所以 ．
（2），
由，，所以，
即，
由，得在恒成立，
所以，
所以，所以．
4．(23-24高一下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)已知函数过点．
(1)求的对称轴方程、对称中心以及单调递减区间；
(2)若关于的方程在区间上有解，求的取值范围．
【答案】(1)，对称中心为，递减区间为
(2)
【分析】（1）结合余弦函数的对称性及单调区间计算；
（2）先应用换元法，转化有解式子应用函数单调性结合.
【详解】（1）由题意可得，
即，又因为，
故，故，
令，
得，
故函数的对称轴方程为；
令，
得，
故对称中心为．
令，
得，
故函数的递减区间为．
（2）令，
因为，
所以，
所以，
则有，则关于的方程在上有解，
由可得，
令，则，
因为函数、在上均为减函数，
所以，函数在上为减函数，则，
所以，，解得，故实数的取值范围是．
5．(23-24高一下·广东深圳实验中学光明部·期中)已知函数，
(1)求的单调递减区间；
(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得.
（2）首先得到，的解析式，依题意可得关于的不等式在上恒成立，参变分离结合函数的单调性求出，即可得解.
【详解】（1）
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）因为，
所以，
，
因为当，关于的不等式恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，
因为，所以，所以在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，所以，
即实数的取值范围为.
1．(24-25高一下·广东深圳外国语学校·期中) (多选)已知函数，则（ ）
A．当时，函数在区间上恰有3040个零点
B．当时，函数在区间上恰有2026个零点
C．当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168
D．当时，函数在区间上恰有4054个零点
【答案】ABD
【分析】将函数变形为，利用换元法可得，，根据二次函数零点可得原题等价与在题中所给区间的零点问题，结合正弦函数图象分析即可逐一判断.
【详解】，
令，所以，
因为，函数有两个零点，
记的两个零点分别为， ，
则，设，，
，，，
对于，当时，，令，得或，
所以或.
当时，或或，
所以在上有个零点，
而，
所以函数在区间上有个零点，故正确；
对于，当时，，
，，
所以，，
所以函数在上没有零点，在上有两个零点，
而，
所以函数在区间上有个零点，故正确；
对于，当时，，
，，
所以，，
所以函数在上有两个零点，在上没有零点，
因为函数在区间上恰有2168个零点，
而，所以或，故错误；
对于，当时，，
，，
所以，，
所以函数在上有两个零点，在上有两个零点，
而，
所以函数在区间上有个零点，故正确；
故选：.
2．(24-25高一下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中) (多选)已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】首先根据题意得到，
对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确.
【详解】由图可知：的最小正周期，
当时，，所以；
对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，将向右平移，得到，正确；
对于D，的大致图像如下：
欲使得在内方程有2个不相等的实数根，
则，正确；
故选：ACD.
3．(22-23高一下·广东惠州博罗县·期中)已知函数的图象如图所示.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，再把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到的曲线对应的函数记作，若函数 在内恰有2015个零点，求，的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象提供的信息依次确定的值，求得，再把看成整体角，结合正弦函数的图象即可求出其递增区间；
（2）令，取，得易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号，再分情况讨论求出的值.
【详解】（1）由函数解析式和图象易得，
最小正周期，则，
由，则有，，解得，，
又，则得，故，
由，，可得，，
故函数的单调递增区间为：，.
（2）由题意得，
令，可得，令，
得，易知，方程必有两个不同的实数根、，
由，则、异号，
①当且或者且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；
②当且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；
③当且，且时，，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有2013个根，
由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上两个根，因此，不合题意，舍去；
④当时，则，当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有2013个根，
由于方程在区间上有两个根，方程在区间上有一个根，此时，满足题意；
因此，，，得
综上，，.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是结合韦达定理，再对进行合理分类讨论即可.
4．(23-24高一下·广东广州外国语学校等三校·期中)已知函数的最大值为1，其图象相邻对称轴之间的距离为. 若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称.
(1)求函数的解析式；
(2)已知常数，且函数在内恰有2024个零点，请求出所有满足条件的与.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先由题意得，进而求出和，再由对称性求出即可得解.
（2）首先确定，这样零点问题转化成，令，作出的函数图象，然后分类讨论关于的不同取值关于的方程的解的个数，进而借助在内和在内零点个数即可求出相应的.
【详解】（1）由题，故，，
所以，
故将图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象解析式为：
，
由题图象关于原点中心对称，故，
又，故，
所以.
（2）由（1）以及得
，
故时，，故时可得，
令，则，
且在和上单调递减，，其图象如下图所示，

①当时，由或，
则在内恰有2个零点，在内有且仅有3个零点，
所以要满足在内恰有个零点，则.
②当时，由或，
则在内恰有1个零点，在内有且仅有3个零点，
所以要满足在内恰有个零点，
则或，故不符合题意.
③若，则由函数图像可知关于的方程有两解，
且满足一解，另一解，
所以在内恰有2个零点，在内恰有4个零点，
所以要满足在内恰有个零点，则.
④若，则由函数图像可知关于的方程只有1解为，
所以在内没有零点，在内有且仅有2个零点，
所以要满足在内恰有个零点，则或.
⑤若，则由函数图像可知关于的方程有1解为，
所以在内恰有2个零点，且在内有且仅有2个零点，
所以要满足在内恰有个零点，则或.
综上：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，或.
【点睛】易错点睛：在和时，容易统一归为在内恰有2个零点，进而统一得解，从而导致当时，漏解；当时，漏解.
5．(24-25高一下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质.
(1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和；
(2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，， ，求的值.
【答案】(1)函数不具有性质；函数具有性质
(2)存在，，
(3)
【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断；
（2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求；
（3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解.
【详解】（1），，
故，
则函数不具有性质；
，，
故，
则函数具有性质；
（2）若具有性质，则，
则，因为，所以，
则，
由得：，
若，则存在，使得，
而，上式不成立，
故，即，因为，
所以，则，
即，则，
验证：当，时，，
则对任意，，
，
等式成立，
故存在，，使函数具有性质；
（3）由（2）知，，，
令，由题知，在区间上恰有三个实数根，， ，
由函数的图象知：，，
则，
故，
化简得，
则.
【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题.
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重难点08三角函数的最值
5大高频考点概览
考点01 整体法求函数的值域最值
考点02 换元法求值域最值
考点03 值域最值求参数
考点04 恒成立与存在问题
考点05 零点问题
1．(24-25高一下·广东广州华侨、协和、增城中学等三校·期中)将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部·期中)已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)求函数在上的值域；
(3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间．
3．(24-25高一下·广东深圳第七高级中学·期中)已知函数．
(1)求函数的最小正周期
(2)若，求函数的值域；
(3)若且，求的值．
4．(23-24高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求的解析式：
(2)求的单调递增区间；
(3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域．
5．(23-24高一下·广东广州广东华侨中学·期中)已知函数.
(1)求函数的周期及在上的值域；
(2)若为锐角且，求的值.
1．(22-23高一下·广东湛江第二中学·期中)函数的最大值为__________.
2．(22-23高一下·广东梅州兴宁·期中)(多选)已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．既是周期函数又是奇函数
D．的最大值为
3．(24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)阅读下面材料： ，解答下列问题：
(1)用表示；
(2)利用（1）的结论，求的值；
(3)若函数，，求的值域．
4．(23-24高一下·广东佛山顺德区·期中)设，函数，.
(1)当时，求的值域；
(2)讨论的零点个数.
5．(24-25高一下·广东江门培英高级中学·期中)已知函数部分图象如图所示．
(1)求和的值；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值．
1．(23-24高一下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中) (多选)已知函数的最大值为，则（ ）
A．为的一个零点
B．在区间上单调递增
C．将的图象向右平移个单位长度，得到的函数为奇函数
D．当时，的值域为，则的取值范围为
2．(23-24高一下·广东梅州曾宪梓中学·期中)已知为第一象限角，若函数的最大值是2，则（ ）
A． B．
C． D．
3．(23-24高一下·广东佛山顺德区第一中学·期中)设函数，.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若函数在区间上有最小值，求实数m的取值范围.
4．(23-24高一下·广东梅州梅县东山中学·期中) (多选)函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象可由函数向左平移个长度单位得到
B．是函数图象的一条对称轴
C．若，则的最小值为
D．方程在区间上只有一个根时，实数a的取值范围为
5．(24-25高一下·广东江门新会区东方红中学·期中)已知函数的最大值为1，
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间；
1．(24-25高一下·广东佛山华南师范大学附属中学南海实验高级中学·期中)对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)设函数，试求函数的相伴特征向量；
(2)记向量的相伴函数为；
①当时，求相伴函数的值域；
②当时，不等式恒成立，求实数的取值范围
2．(24-25高一下·广东中山迪茵公学·期中)已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为．
(1)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域．
(2)设，若恒成立，求实数c的最小值．
3．(24-25高一下·广东珠海斗门区珠海华中师范大学（珠海）附属中学·期中)已知函数．
(1)，，求的值；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围．
4．(23-24高一下·广东佛山S6高质量发展联盟·期中)已知函数过点．
(1)求的对称轴方程、对称中心以及单调递减区间；
(2)若关于的方程在区间上有解，求的取值范围．
5．(23-24高一下·广东深圳实验中学光明部·期中)已知函数，
(1)求的单调递减区间；
(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
1．(24-25高一下·广东深圳外国语学校·期中) (多选)已知函数，则（ ）
A．当时，函数在区间上恰有3040个零点
B．当时，函数在区间上恰有2026个零点
C．当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168
D．当时，函数在区间上恰有4054个零点
2．(24-25高一下·广东深圳新安中学（集团）高中部·期中) (多选)已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
3．(22-23高一下·广东惠州博罗县·期中)已知函数的图象如图所示.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，再把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到的曲线对应的函数记作，若函数 在内恰有2015个零点，求，的值.
4．(23-24高一下·广东广州外国语学校等三校·期中)已知函数的最大值为1，其图象相邻对称轴之间的距离为. 若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称.
(1)求函数的解析式；
(2)已知常数，且函数在内恰有2024个零点，请求出所有满足条件的与.
5．(24-25高一下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质.
(1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和；
(2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，， ，求的值.
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