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专题01 平面向量的概念与基本运算
6大高频考点概览
考点01平面向量的概念及线性运算
考点02平面向量的数量积
考点03平面向量及其运算的坐标表示
考点04平面向量的投影向量
考点05平面向量的平行（共线）判定与求参
考点06平面向量的垂直判定与求参
一、选择题
1．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知向量，化简（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)化简：（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)四边形ABCD中，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)在正六边形中，（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)下列说法中，正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（ ）
A． B． C． D．
8．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
C．起点相同的单位向量，终点必相同
D．向量的模是一个正实数
9．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
10．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则 B．零向量的长度为零，方向是任意的
C．若与是平行向量，则 D．若或，则
11．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等
12．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设为非零向量，若，则 B．若，则或
C．设为非零向量，则 D．若点为的重心，则
13．下列说法错误的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与共线，则
C．若非零向量与是共线向量，则四点共线 D．若，则
三、填空题
14．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝________．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知，，和的夹角是，则（ ）
A． B． C．24 D．-24
2．已知等边三角形ABC的边长为，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
3．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（ ）
A．7 B．10 C．14 D．70
4．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ）
A．9 B． C． D．
7．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知中，，，O是内一点，且满足，则（ ）
A．26 B． C．13 D．
二、多选题
8．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，，则
9．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)（多选）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．与夹角为 B． C． D．与夹角为
三、填空题
10．若，，向量与向量的夹角为，则________．
11．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知平面向量，的夹角为，且，，则____．
12．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)若向量与向量的夹角为则___.
13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知向量，的夹角为120°，且，，则________．
14．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则__________.
四、解答题
15．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)已知，，与的夹角是．
(1)计算；
(2)计算；
16．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知向量，满足，，与的夹角为，
(1)求的值；
(2)求的值．
17．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知向量夹角为的向量，满足，.
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
18．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知向量与的夹角，且，.
(1)求；
(2)与的夹角的余弦值.
19．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量与的夹角为，且.
(1)；
(2)求向量与向量的夹角.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知点则与同方向的单位向量为
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·四川成都成都七中·期中)已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B．13 C．14 D．
二、多选题
5．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或
7．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)（多选）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时，
三、填空题
8．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知，点P在线段AB上，且，则P的坐标为________．
9．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____．
10．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)平面向量满足，，则的夹角为_______．
11．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知，求与向量方向相同的单位向量为_____.
12．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)如图，在中，分别是与的中点，且与相交于点.若，，则__________.
四、解答题
13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)设，向量，，，且∥，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小.
14．(24-25高一下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为.
(1)求；
(2)若点为的中点，求.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
5．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．向量与的夹角为钝角 D．向量在上的投影向量为
6．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的最小值为3
C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标是
7．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在，使得
8．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知向量，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若取得最大值，则 D．若，则在上的投影向量为
9．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)（多选）如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．在方向上的投影向量为
三、填空题
10．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________．
11．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标______.
12．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．
13．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)已知，，与夹角为60°，与同向的单位向量为，在方向上的投影向量为，则m的值为______.
四、解答题
14．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知，．
(1)若与的夹角为，求的值．
(2)求向量在向量上投影的数量．
15．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求；
(3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标.
16．已知与的夹角为．
(1)求与的夹角；
(2)用表示在方向上的投影向量．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知向量，若与共线，则（ ）
A．9 B．4 C． D．
2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)已知向量，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
3．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)已知，，，则（ ）三点共线
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
4．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
5．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A． B．6 C． D．
二、多选题
7．(24-25高一下·四川南江中学·期中)（多选）下列向量中与共线的是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
8．(24-25高一下·四川南江中学·期中)设，，.
(1)若，求.
(2)若与共线，求m的值
9．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知向量，，，，且向量与共线．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
10．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知向量，，满足，，与的夹角为．
(1)求的值；
(2)若，求实数k的值．
11．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)设，，，为平面内的四点，且，，.
(1)若，求点的坐标；
(2)设向量，若与平行，求实数的值.
12．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)设是两个不共线的向量，已知．
(1)求证：三点共线；
(2)若且，求实数的值．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．10
2．(24-25高一下·四川南江中学·期中)若向量与垂直，则的值为（ ）
A．－4 B．4 C．－9 D．9
3．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知向量，若，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
4．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．1
5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知向量，，且，则（ ）
A．1或3 B．-1或-3 C．-3 D．-1
6．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)设x，，向量，，且，则等于　　
A．0 B．1 C．2 D．8
7．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知向量，且，则（ ）
A．5 B． C． D．15
二、填空题
8．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)已知向量，向量，若与垂直，则实数的值为______.
三、解答题
9．(24-25高一下·四川成都铁路中学·期中)已知，．
(1)当为何值时，与共线？
(2)当为何值时，与垂直？
(3)当为何值时，与的夹角为锐角
10．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知向量，满足：，，.
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若，求实数的值.
11．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当为何值时，？
12．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值．
13．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知向量，．
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与夹角的余弦值．
14．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知平面向量、，，，且．
(1)求、的夹角；
(2)若与（）垂直，求的值．
15．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知向量，.
(1)求的值；
(2)若向量与垂直，求的值.
16．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)已知向量与的夹角为，，.
（1）求；
（2）若和垂直，求实数的值.
17．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．
(1)设，写出函数的相伴向量；
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值；
(3)已知，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
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专题01 平面向量的概念与基本运算
6大高频考点概览
考点01平面向量的概念及线性运算
考点02平面向量的数量积
考点03平面向量及其运算的坐标表示
考点04平面向量的投影向量
考点05平面向量的平行（共线）判定与求参
考点06平面向量的垂直判定与求参
一、选择题
1．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知向量，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.故选：C
2．已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在平面四边形ABCD中，＋，所以＋＋，故选：A
3．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.故选：D.
4．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得,故选：D
5．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)四边形ABCD中，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由三角形法则可得：.故选：A
6．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)在正六边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，故D正确.
显然，，，故A、B、C均错误.故选：D
7．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)下列说法中，正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；②零向量的模为零，故②错；
③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；④零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，即④正确.故选：B.
8．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
C．起点相同的单位向量，终点必相同
D．向量的模是一个正实数
【答案】B
【详解】大小为零的向量为零向量，方向任意，故A错误，大小相等，方向相反的向量为相反向量，故B正确；大小为1的向量为单位向量，方向任意，故C错误，零向量的模为0，故D错误.故选：B.
9．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为，所以同向共线，故，因为，所以同向共线或反向共线，所以不一定能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
二、多选题
10．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则 B．零向量的长度为零，方向是任意的
C．若与是平行向量，则 D．若或，则
【答案】BD
【详解】单位向量与的方向不一定相同，故A错；零向量的长度为零，方向任意，故B正确；
若，的模长不一定相等，故C错；若或，则的方向相同或相反，所以，故D正确.故选：BD.
11．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等
【答案】ACD
【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误；零向量的模都是0，故C正确；单位向量的长度都是1，故D正确；故选：ACD
12．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设为非零向量，若，则 B．若，则或
C．设为非零向量，则 D．若点为的重心，则
【答案】AD
【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，表示是的2倍，或表示与共线，且是的2倍，故B错；
对于C，，，所以与不一定相等，故C错误；对于D，如图，设为的中点，点为的重心，则，即，所以，故D正确；故选：AD．
13．下列说法错误的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与共线，则
C．若非零向量与是共线向量，则四点共线 D．若，则
【答案】ABC
【详解】对于A，由相等向量定义可得两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，即A错误；
对于B，若非零向量与共线，则可得存在实数满足，即B错误；对于C，若非零向量与是共线向量，可能，不一定四点共线，即C错误；对于D，若，可得的方向相同，且模长相等，即，即D正确.故选：ABC
三、填空题
14．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝________．
【答案】2
【详解】因为，因为正六边形ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以，所以.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知，，和的夹角是，则（ ）
A． B． C．24 D．-24
【答案】C
【详解】.故选：C.
2．已知等边三角形ABC的边长为，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【详解】由题意可知等边三角形的边长为2，则的夹角为，以及的夹角也为，
则，同理，故，故选：D.
3．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（ ）
A．7 B．10 C．14 D．70
【答案】D
【详解】根据向量的数量积，做的功为cos 60°＝.故选：D
4．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，即，化简得，即.故选：B.
5．已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知，移项可得，因为，所以，对两边同时平方可得，根据完全平方公式则，又因为，，所以可化为，由，移项可得，则，根据向量的数量积公式，将，，代入可得：，
则. 故选：D.
6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得质点P位移为，
所以
因为，，所以，
设的夹角为，所以，
因为所以，所以.故选：D
7．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知中，，，O是内一点，且满足，则（ ）
A．26 B． C．13 D．
【答案】A
【详解】由，可知O是的外心，如图所示，过点作，
则，分别为，的中点，则，
所以，故选：A
二、多选题
8．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，，则
【答案】AB
【详解】对于选项A：因为，故A正确；对于选项B：因为，即，则，整理可得，故B正确；对于选项C：表示与共线的向量，表示与共线的向量，可知不一定相等，故C错误；对于选项D：例如，满足，但不能确定相等，故D错误；故选：AB.
9．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)（多选）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．与夹角为 B． C． D．与夹角为
【答案】BC
【详解】由两边平方，，因，，故，B正确；对于A，由得，因，故，A错误；对于C，由，即，C正确；对于D，由，则，
，D错误.故选：BC.
三、填空题
10．若，，向量与向量的夹角为，则________．
【答案】3
【详解】由题意可得.故答案为：3.
11．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知平面向量，的夹角为，且，，则____．
【答案】
【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且，所以
12．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)若向量与向量的夹角为则___.
【答案】
【详解】因为，向量与向量的夹角为，所以.
故答案为：.
13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知向量，的夹角为120°，且，，则________．
【答案】1
【详解】由得．故答案为：1.
14．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则__________.
【答案】
【详解】因为，所以，解得，则.故答案为：.
四、解答题
15．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)已知，，与的夹角是．
(1)计算；
(2)计算；
【详解】（1）由，与的夹角是，，
即.
（2）由（1）知，，
所以．
16．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知向量，满足，，与的夹角为，
(1)求的值；
(2)求的值．
【详解】（1）由，，与的夹角为，得，
所以.
（2）由（1），得.
17．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知向量夹角为的向量，满足，.
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
【详解】（1）因为，，，
所以.
（2）
所以.
18．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知向量与的夹角，且，.
(1)求；
(2)与的夹角的余弦值.
【详解】（1）已知向量与的夹角，且，，
则，
所以；
（2）由（1）知：，所以，
所以与的夹角的余弦值为.
19．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量与的夹角为，且.
(1)；
(2)求向量与向量的夹角.
【详解】（1）由，向量与的夹角为可知；
所以，即；
（2）记向量与向量的夹角为，结合（1）可得，
又，因此可得.即向量与向量的夹角为.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以．故选：C
2．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知点则与同方向的单位向量为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】,所以与同方向的单位向量为，故选A.
3．(24-25高一下·四川成都成都七中·期中)已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，A错误；对于B， ，不平行，B错误；
对于C，，，，C正确；对于D，，D错误.
故选：C
4．已知，则（ ）
A． B．13 C．14 D．
【答案】B
【详解】因为，所以，所以.
故选：D.
二、多选题
5．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】设点坐标为，因为向量，，则，，
当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为，
当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为，
故选：AD
6．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或
【答案】AD
【详解】对于A，因，则，故A正确；对于B，因向量有方向，不能比较大小，故B错误；
对于C，当时，对任意向量满足，，但得不出，故C错误；对于D，设与垂直的单位向量的坐标为，则：，解得或，故D正确．故选：AD．
7．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)（多选）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时，
【答案】ABD
【详解】对于A，因为向量，所以，即，故A正确；对于B，等价于，即，则，
所以，所以，故B正确；对于C，与共线的单位向量为，故C错误；对于D，，
当，即时，取得最大值时，此时，故D正确．故选：ABD.
三、填空题
8．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知，点P在线段AB上，且，则P的坐标为________．
【答案】
【详解】由点P在线段AB上，，得，设点，又，则，于是，，所以P的坐标为.
故选：
9．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____．
【详解】设D（x，y）则在平行四边形ABCD中，∵，又∵
∴解得，故答案为：（1，5）
10．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)平面向量满足，，则的夹角为_______．
【答案】
【详解】因为，所以，因为，两边平方得，所以，所以，又，所以，所以的夹角为.故答案为：.
11．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知，求与向量方向相同的单位向量为_____.
【答案】
【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是.故答案为：
12．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)如图，在中，分别是与的中点，且与相交于点.若，，则__________.
【答案】3
【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，由于，，
所以，，，，所以，故，，
所以.故答案为：
四、解答题
13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)设，向量，，，且∥，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小.
【详解】（1）因为∥，，则，解得，即，，
可知，即，可得，所以.
（2）由（1）可知：，，可得，，
则，，
可得，且，则，
所以向量与夹角为.
14．(24-25高一下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为.
(1)求；
(2)若点为的中点，求.
【详解】（1）因为，所以，.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示平面直角坐标系，
可得.则.
若为的中点，则，故，
又由，则.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】为单位向量，则 ，则向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
2．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，，，
在方向上的投影向量为.故选：B.
3．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设与的夹角为，则在上的投影向量为.故选：B.
4．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】向量，，所以，在上的投影向量的模为：，解得.故选：B.
二、多选题
5．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．向量与的夹角为钝角 D．向量在上的投影向量为
【答案】ABD
【详解】对于A，，则，A正确；对于B，，则，B正确；
对于C，，又，则，而，因此为锐角，C错误；对于D，，，向量在上的投影向量，D正确.
故选：ABD
6．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的最小值为3
C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标是
【答案】BD
【详解】对于A，由，．得．由，得．解得，故A错误；对于B，．因此．
当且仅当时等号成立,故B正确；对于C．因为．所以，即，故C错误；
对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确．故选：BD．
7．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在，使得
【答案】AB
【详解】对于A，若，则有，即，A正确；对于B，，，在上的投影向量为，所以，∵，，B正确；对于C，若与共线，设，所以有，解得，因为，，∴，所以，C不正确；对于D，若成立，则与反向，所以，，，解得，即有，
则，与矛盾，故D不正确．故选：AB.
8．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知向量，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若取得最大值，则 D．若，则在上的投影向量为
【答案】AD
【详解】对于A，若，则，所以，解得，故A正确；对于B，若，则，所以，解得，故B错误；
对于C，
，当，即，解得，故C错误；对于D，当，则，则在上的投影向量为，故D正确；故选：AD.
9．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)（多选）如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．在方向上的投影向量为
【答案】BCD
【详解】由题可得：，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，所以与不垂直，故C错误；
对于D，在方向上的投影向量为，故D错误；
故选：BCD
三、填空题
10．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________．
【答案】
【详解】在方向上的投影向量为，
所以投影向量的坐标为.故答案为：
11．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标______.
【答案】
【详解】在方向上的投影向量为，故答案为：.
12．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．
【答案】
【详解】已知，则.因为，根据向量垂直的性质可知，即.将代入上式可得，即，解得. 根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为.将，，代入可得：
. 故答案为：.
13．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)已知，，与夹角为60°，与同向的单位向量为，在方向上的投影向量为，则m的值为______.
【答案】3
【详解】因为，，与的夹角为，所以在方向上的投影向量为，.故答案为：3.
四、解答题
14．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知，．
(1)若与的夹角为，求的值．
(2)求向量在向量上投影的数量．
【详解】（1）因为，，
又与的夹角为，
则，解得．
（2）因为，，所以，，
所以向量在向量上投影的数量为.
15．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求；
(3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标.
【详解】（1）.
（2）因为，所以.
（3）在方向上的投影向量为.
16．已知与的夹角为．
(1)求与的夹角；
(2)用表示在方向上的投影向量．
【详解】（1）法一：设与的夹作为，，
又，
，
又，；
法二：由题意，如图，作，设，
作，以和OB为邻边作平行四边形，即为，
易知平行四边形为菱形，故与的夹角；
（2）法一：由题意，为单位向量，又由（1）知与的夹角为，
故在方向上的投影向量为．
法二：在（1）的解答（法二）的基础上，过点作垂直的延长线于点，
则为在方向上的投影向量，
又易知，在直角三角形中，，，，，
故在方向上的投影向量为．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知向量，若与共线，则（ ）
A．9 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】若与共线，则，解得.故选：C.
2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)已知向量，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【详解】由条件可得，因为，所以，所以.故选：B
3．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)已知，，，则（ ）三点共线
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【详解】对于A，因为，所以，所以A、B、D三点共线，故A正确；对于B，因为，，所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误；对于C，因为，，所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误；对于D，因为，，
所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误.故选：A.
4．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
【答案】A
【详解】对于A选项，，故、、三点共线，A对；
对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错；对于C选项，因为，，所以、不一定共线，C错；
对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错.故选：A.
5．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，存在实数，使得，即，又，是不共线向量，
，解得.故选：B.
6．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【详解】由向量，可得，可得，解得.故选A.
二、多选题
7．(24-25高一下·四川南江中学·期中)（多选）下列向量中与共线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】向量，因，则与不共线，A不是；因，则与不共线，B不是；而，，则与都共线，即C，D是.故选：CD
三、解答题
8．(24-25高一下·四川南江中学·期中)设，，.
(1)若，求.
(2)若与共线，求m的值
【详解】（1）当时，，.
（2），又与共线，.解得：.
9．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知向量，，，，且向量与共线．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
【详解】（1）因为，，向量与共线，
所以，所以，
因为，所以，所以，即，
所以，，所以
（2）由（1）知，，所以，解得或.
10．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知向量，，满足，，与的夹角为．
(1)求的值；
(2)若，求实数k的值．
【详解】（1）由题意，
所以；
（2）由有存在实数，使得，即，解得.
11．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)设，，，为平面内的四点，且，，.
(1)若，求点的坐标；
(2)设向量，若与平行，求实数的值.
【详解】（1）设点，则,.
因为，所以，即得.
所以点的坐标为.
（2）由题意得，
所以，.
因为，所以，解得.
12．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)设是两个不共线的向量，已知．
(1)求证：三点共线；
(2)若且，求实数的值．
【详解】（1）由已知，得，
因为，
所以，又与有公共点，所以三点共线．
（2）由（1），知，若，且，
可设，所以，即．
又是两个不共线的向量，所以，解得．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【详解】由题意可得，解得.故选：B.
2．(24-25高一下·四川南江中学·期中)若向量与垂直，则的值为（ ）
A．－4 B．4 C．－9 D．9
【答案】B
【详解】因为向量与垂直，所以，解得：.故选：B
3．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知向量，若，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，，因为，所以，解得，
故选:C.
4．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】由题意可得，由，则，即，解得.故选：B.
5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知向量，，且，则（ ）
A．1或3 B．-1或-3 C．-3 D．-1
【答案】B
【详解】因为向量，，所以，且，则
则或.故选：B.
6．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)设x，，向量，，且，则等于　　
A．0 B．1 C．2 D．8
【答案】C
【详解】；；；；；；，．故选C．
7．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知向量，且，则（ ）
A．5 B． C． D．15
【答案】C
【详解】因为，所以，，所以，所以，
所以，故选：C.
二、填空题
8．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)已知向量，向量，若与垂直，则实数的值为______.
【答案】
【详解】若，，，则，解得.故答案为：.
三、解答题
9．(24-25高一下·四川成都铁路中学·期中)已知，．
(1)当为何值时，与共线？
(2)当为何值时，与垂直？
(3)当为何值时，与的夹角为锐角
【详解】（1）因为，，
所以，，
因为与共线，所以，解得
（2）因为，，所以，，
因为与垂直，所以，
即，所以
（3）因为，，所以，，
因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，解得且
10．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知向量，满足：，，.
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若，求实数的值.
【详解】（1）由题可得，
因为，，代入可得，，
所以与的夹角的余弦值.
（2）因为，所以，
化简可得，
将，，代入可得，解得或.
11．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当为何值时，？
【详解】（1），
，.
（2）由得：，
解得：.
12．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值．
【详解】（1）若，则，即，
则，.
（2），则，则，
，得.
13．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知向量，．
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与夹角的余弦值．
【详解】（1）由，设，，，
，或．
（2），，，，
，．
设与的夹角为，则．
与的夹角的余弦值为．
14．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知平面向量、，，，且．
(1)求、的夹角；
(2)若与（）垂直，求的值．
【详解】（1）由，可得，
则，所以，
又因，
则，因，故、的夹角为60°；
（2）由（1）可得：，，
因为与（）垂直，所以，
整理得到，
将，，代入上式可得：，解得．
15．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知向量，.
(1)求的值；
(2)若向量与垂直，求的值.
【详解】（1）由，，得，故；
（2）与垂直，，
，整理得：，
解得.
16．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)已知向量与的夹角为，，.
（1）求；
（2）若和垂直，求实数的值.
【详解】（1），
将，代入上式得.
（2）因为和垂直，所以，
展开可得.
将，.代入上，解得.
17．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．
(1)设，写出函数的相伴向量；
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值；
(3)已知，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【详解】（1），
所以函数的相伴向量.
（2）依题意，，由，得，
又，即，则，
又，由正弦定理，得，，
即，
由，得，则，的取值范围为，
所以有最大值.
（3）由（2）知，则，
设，由，得，
由，得，则，
即，于是．
由，得，则，
而，因此当且仅当时，和同时等于，
所以在图象上存在点，使得.
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