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重难点01平面向量最值取值范围
5大高频考点概览
考点01 坐标法求数量积最值取值范围
考点02 基底法求数量积最值取值范围
考点03 公式法求数量积最值取值范围
考点04 模长的最值取值范围
考点05 系数的最值取值范围
1．(24-25高一下·北京第五十五中学·期中)已知正方形的边长为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·北京交通大学附属中学·期中)如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（ ）
①；
②；
③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则；
④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④
4．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)如图，中，，为的三等分点，为边上的动点．
①当时，则________；
②的最小值为________．
4．(24-25高一下·北京广渠门中学·期中)如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC的中点．
(1)求证：（用向量法证明）；
(2)设，求的值．
(3)若点P（不与点E重合）为正方形ABCD边上的动点，直接写出的取值范围．
5．(24-25高一下·北京通州区·期中)如图，已知正方形的边长为2，圆内切于正方形，点，为切点，点为劣弧上的一点，过作，垂足为，过作，交于，交圆于，设为．
(1)若，求的值；
(2)设，．
①求的最小值；
②求的最大值．
1．(24-25高一下·北京清华大学附属中学·期中)已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
2．(23-24高一下·北京顺义区第一中学·期中)已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（ ）
A． B．3 C．1 D．2
3．(23-24高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中)如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为________.
4．(22-23高一下·北京第九中学·期末)如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．(22-23高一下·北京大兴区·期中)已知是边长为的等边三角形，是边上的动点，是边的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．(22-23高一下·北京顺义区·期中)已知P是所在平面内一点，，，，则的最大值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．(22-23高一下·北京丰台区·期中)在△中，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
4．(22-23高一下·北京第十四中学·期中)正的边长为，中心为点，过的动直线与边、分别相交于点、，，，，，给出下列四个结论：
①；
②若，则；
③不是定值，与直线的位置有关；
④的最小值为.
其中所有正确结论的序号是______.
5．(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为是线段的中点，为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为__________.
1．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，96朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类的“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中“大雪花”各顶点可近似得到正六边形.已知正六边形的边长为1，点满足，则_____；若点是正六边形内部一点（包含边界），则的取值范围是_____.
2．(23-24高一下·北京通州区·期中)已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为_________________.
3．(21-22高一下·北京大兴区·期中)已知单位向量的夹角为，且（其中).当时，__________；当时，的最小值是__________.
4．(23-24高一下·北京八一学校·期中)与是两个单位向量，，则当______时，取得最小值．
5．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．(23-24高一下·北京景山学校·期中)在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为；
②的最小值为；
③的最大值为；
④的最大值为8.
则正确命题的序号是_________．（写出所有正确命题的序号）
2．(23-24高一下·北京八一学校·期中)如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是______．（把正确结论的序号都填上）
①满足的点有且只有1个；
②满足的点有且只有2个；
③能使取最大值的点有且只有2个；
④能使取最大值的点有无数个．
3．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知三点共线，其中，点关于轴的对称点为点，给出下面四个结论：
①不可能为等边三角形；
②设，则当最大时，；
③；
④当AB不与轴垂直时，直线过定点．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(23-24高一下·北京第二十五中学·期中)扇形的半径为，，点在弧上运动，，下列说法错误的是（ ）
A．的最小值是1
B．的最大值是
C．的取值范围为
D．的取值范围为
5．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为．
(1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值；
(2)写出函数的“伴随向量”为，并求；
(3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，最大值为；
①若，，求的值；
②求证：向量的充要条件是．
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重难点01平面向量最值取值范围
5大高频考点概览
考点01 坐标法求数量积最值取值范围
考点02 基底法求数量积最值取值范围
考点03 公式法求数量积最值取值范围
考点04 模长的最值取值范围
考点05 系数的最值取值范围
1．(24-25高一下·北京第五十五中学·期中)已知正方形的边长为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为已知条件建系结合平面向量数量积公式计算，再应用正弦函数值域求解即可.
【详解】
如图建系，因为，设，正方形的边长为，，
所以，
所以
所以的取值范围是.
故选：A.
3．(24-25高一下·北京交通大学附属中学·期中)如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（ ）
①；
②；
③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则；
④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算可判定①，由线性运算及数量积运算可判定②，根据平面相机本定理可判定③，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可判定④.
【详解】对于①，由题意，，，，
故，正确；
对于②，，错误；
对于③，，
，
，
因为E，O，F三点共线，所以，
即，解得，，错误；
对于④，以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
，，，
设，，
因为，
，
所以 ，，
所以当时，有最小值为；当时，有最大值为，
即的取值范围是，正确；
故选：A
4．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)如图，中，，为的三等分点，为边上的动点．
①当时，则________；
②的最小值为________．
【答案】 4
【分析】设，根据可得计算可求得①中的结果，将的表达式写成关于的函数，利用二次函数性质计算可得其最小值.
【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
设，易知，
①由可得，即，
因此；
②因为为边上的动点，可得，且，
则
，
当时，的最小值为.
故答案为：4；.
4．(24-25高一下·北京广渠门中学·期中)如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC的中点．
(1)求证：（用向量法证明）；
(2)设，求的值．
(3)若点P（不与点E重合）为正方形ABCD边上的动点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的坐标表示推理得证.
（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合相等向量列式求解.
（3）按点的不同位置设出其坐标，利用数量积的坐标表示列式求出范围.
【详解】（1）以直线分别为轴建立平面直角坐标系，
则，
，，
所以.
（2）由（1）知，，
由，得，解得，
所以.
（3）由（1）知，
当在线段上时，设，，；
当在线段上时，设，，
；
当在线段上时，设，，；
当在线段上时，设，，
，
所以的取值范围是.
5．(24-25高一下·北京通州区·期中)如图，已知正方形的边长为2，圆内切于正方形，点，为切点，点为劣弧上的一点，过作，垂足为，过作，交于，交圆于，设为．
(1)若，求的值；
(2)设，．
①求的最小值；
②求的最大值．
【答案】(1)
(2)① ，②2
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用三角函数表示点的坐标，写出向量的坐标，根据向量数量积运算的坐标表示，求出结果.
（2）用的三角函数表示出各点坐标，根据向量的数量积运算坐标表示方法求出关于三角函数的表达式，带入求出最值.
【详解】（1）
因为正方形边长为2，则内切圆的半径为1，如图所示，以圆心为原点，以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系.
当时，则，
可得，则.
（2）
如（1）建立坐标系，则此时，
可得，
可知，．
①,
由辅助角公式可得，
因为点为劣弧上的一点，所以，即，则，所以的最小值为-1.
②，
令，变形得，当时，，可得，
可得，，解得，换元可得，
对于二次函数是开口向上，对称轴为的图像，在上的最大值为时的函数值，此时，此时的最大值为2.
1．(24-25高一下·北京清华大学附属中学·期中)已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】应用向量数量积的运算律得到 ，若且，数形结合求得，即可得.
【详解】由 ，
若且，则，且，，
又，且，
所以
，
当时，，
所以.
故选：C
2．(23-24高一下·北京顺义区第一中学·期中)已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（ ）
A． B．3 C．1 D．2
【答案】A
【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果.
【详解】设的中点为，因为，，
所以，，
则
，
因为，所以，
即的最大值是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：设的中点为，将化为，是解决本题的关键.
3．(23-24高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中)如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为________.
【答案】/-0.75
【分析】根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值.
【详解】由题菱形边长为2，
则，，所以，
又因为，
所以，
所以，
令，
则，
所以，
则当时，取最小值为.
故答案为：
4．(22-23高一下·北京第九中学·期末)如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的运算可得，由数量积的定义可得，，当取最大值时，取得最大值当与同向时，取得最大值为，代入求解即可．
【详解】因为，
，
，
所以
即当取最大值时，取得最大值．
当与同向时，取得最大值为，
此时，取得最大值．
故选：C．
5．(22-23高一下·北京大兴区·期中)已知是边长为的等边三角形，是边上的动点，是边的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基底的思路结合共线向量表示出，然后根据的取值范围计算即可.
【详解】

设，则，
，
所以的取值范围为.
故选：C.
1．(22-23高一下·北京顺义区·期中)已知P是所在平面内一点，，，，则的最大值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由所以 ，再利用数量积的几何意义求解.
【详解】解：因为，，，
所以，
，
所以的最大值是-3，
故选：D
2．(22-23高一下·北京丰台区·期中)在△中，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，利用余弦定理求，结合数量积定义求，结合的范围求数量积的范围.
【详解】设，则，，
所以，
由余弦定理可得，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故选：D.
3．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理判断出，求得斜边上的高，由此求得的取值范围，根据的夹角的取值范围，以及向量数量积运算公式，求得的最大值.
【详解】由于，，，
.
如图，作，垂足为D.
由，得.
由题意知,
且.
又.
∴当点均与点A重合时，最大
故.
故选：A
4．(22-23高一下·北京第十四中学·期中)正的边长为，中心为点，过的动直线与边、分别相交于点、，，，，，给出下列四个结论：
①；
②若，则；
③不是定值，与直线的位置有关；
④的最小值为.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①④
【分析】对于①：根据等边三角形得性质结合平面向量得线性运算可得，，运算判断；对于②：根据题意可得，代入结合数量积的定义和运算律处理运算；对于③：根据三点共线结论可判断③；利用③中的结论以及平面向量数量积的运算性质、基本不等式求出的最小值，可判断④.
【详解】因为为的中点，则，
因为为正的中心，则，①正确；
若，则，，
所以，，②错误；
因为、、三点共线，设，即，
所以，，
因为，
因为、不共线，则，所以，，所以，，③错误；
因为过的动直线与边、分别相交于点、，，，
所以，，，由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，等号成立，
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，④正确.
故答案为：①④.
5．(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为是线段的中点，为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量数量积的几何意义，数形结合求得答案.
【详解】过点作直线，交于点，，如图，
，
其中是在直线上投影的数量，
要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大，
观察图形知，当点在线段上时在直线上投影的数量最大，
而，由对称性知，，
在中，，由，解得，
则，所以的最大值为.
故答案为：
1．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，96朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类的“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中“大雪花”各顶点可近似得到正六边形.已知正六边形的边长为1，点满足，则_____；若点是正六边形内部一点（包含边界），则的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据正六边形的几何性质，由数量积的运算律，可得空一的答案；利用平面向量基本定理，分解向量，根据垂直向量数量积为零，结合六边形的几何性质，可得空二的答案.
【详解】由题意易知，则，
；
易知，，
当时，取最大值为，
当时，取最小值为，
所以.
故答案为：；.
2．(23-24高一下·北京通州区·期中)已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为_________________.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合二次函数最值求解即得.
【详解】由，得，而，与的夹角为，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
3．(21-22高一下·北京大兴区·期中)已知单位向量的夹角为，且（其中).当时，__________；当时，的最小值是__________.
【答案】
【分析】借助单位向量定义与平面向量的数量积公式计算可得空一，借助平面向量共线定理及模长与数量积的关系计算可得空二.
【详解】当时，；
当时，则有，即，
则
，
则当时，有最小值，即.
故答案为：；.
4．(23-24高一下·北京八一学校·期中)与是两个单位向量，，则当______时，取得最小值．
【答案】/0.5
【分析】先由向量加法法则及其几何意义得出与夹角为，再建立平面直角坐标系，用坐标进行运算即可求解，或也可通过作图探究最小值.
【详解】法一：因为与是两个单位向量，，
所以由向量加法法则及其几何意义可知与夹角为，
将、放置共起点位置，如图所示，建立平面直角坐标系，
则，，
所以，
所以当 ，取得最小值为.
故答案为：.
法二：因为与是两个单位向量，，
所以由向量加法法则及其几何意义可知与夹角为，
将、与放置共起点位置，如图所示：
则终点始终在过终点且平行于所在直线上，
且当与垂直时取得最小值为，
此时，即.
故答案为：.
5．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设的反向延长线与单位圆交于点，得出，求出到圆心的距离的最值后根据圆的性质可得．
【详解】如图，的反向延长线与单位圆交于点，则，
，
所以，
又由题意的最大值是，最小值是2，而在单位圆上，
因此的最大值是，最小值是，即所求值域是．
故选：B．

1．(23-24高一下·北京景山学校·期中)在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为；
②的最小值为；
③的最大值为；
④的最大值为8.
则正确命题的序号是_________．（写出所有正确命题的序号）
【答案】②
【分析】建立以为原点，所在的直线分别为轴，平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，得出，再逐个分析即可.
【详解】
如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
因为，设，
则
可得，
则，即
则，其中，
所以，故①③错误；
因为
则，
其中，
又因为，所以，故②正确，④错误；
故答案为：②.
2．(23-24高一下·北京八一学校·期中)如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是______．（把正确结论的序号都填上）
①满足的点有且只有1个；
②满足的点有且只有2个；
③能使取最大值的点有且只有2个；
④能使取最大值的点有无数个．
【答案】②④
【分析】分类讨论，求出当在边上，在边上，在边上时，的取值范围以及的范围，然后根据所求判断正误.
【详解】当在边上时，如图，取中点，连接，则
设，，
，
又，
，，
，，
当在边上时，，，，
当在边上时，设，，
，
，，
，，；
①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误；
②当时，有或，这样的点有两个，故正确；
③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故错误；
④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确.
故答案为：②④.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对点所在位置分类讨论，结合共线定理将双变量问题转化为单变量问题.
3．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知三点共线，其中，点关于轴的对称点为点，给出下面四个结论：
①不可能为等边三角形；
②设，则当最大时，；
③；
④当AB不与轴垂直时，直线过定点．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】结合抛物线的对称性可判断①；根据三点共线的结论结合基本不等式可判断②；利用三点共线结合直线的斜率公式判断③；利用直线的点斜式方程可判断④.
【详解】由题意知在抛物线上，
由于三点共线，，如图所示：
对于①，假设为等边三角形，则关于y轴对称，
则，此时，与假设矛盾，
故不可能为等边三角形，①正确；
对于②，三点共线，且C在之间，设，
则，结合，
可得，且，故，
当且仅当时，取最大值，
由可得，②正确；
对于③，由于三点共线，
故，故，即，
由于，故，③正确；
对于④，当AB不与轴垂直时，，
则，则的方程为，
即，
而，故，即直线过定点，④正确，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题综合考查了抛物线的对称性以及向量中的三点共线问题以及直线过定点问题，解答的关键是要结合直线的点斜式以及截距式确定定点.
4．(23-24高一下·北京第二十五中学·期中)扇形的半径为，，点在弧上运动，，下列说法错误的是（ ）
A．的最小值是1
B．的最大值是
C．的取值范围为
D．的取值范围为
【答案】D
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解.
【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，

设，则，其中，，．
因为，
所以，即，
所以．
所以当时，取得最大值，此时点为的中点，
当或时，取得最小值，此时点为或点，故AB正确，
而，，
所以，
．
因为，所以，故，
因此，
所以的取值范围为，故C正确，
，，，
因为，所以,故，
， ，所以D错误．
故选：D
5．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为．
(1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值；
(2)写出函数的“伴随向量”为，并求；
(3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，最大值为；
①若，，求的值；
②求证：向量的充要条件是．
【答案】(1)，最大值；
(2)，；
(3)①；②证明过程见解析。
【分析】（1）根据伴随函数的定义写出函数结合辅助角公式化简整理，即可求出最值；
（2）结合两角和的正弦公式可化简得，进而表示出向量，即可求出模长；
（3）①结合平面向量的线性坐标运算和辅助角公式即可求出结果；
②由两角和的正弦公式，可推出，充分性：找出时，满足的条件即可得证；必要性：当时，，代入的解析式中，即可知.
【详解】（1）由题意得，，其中，
所以最大值为.
（2），
所以，所以 .
（3）因，故设，，
则
则，
①由，得
，其中 ，
则，
由，得，，
故.
②充分性：
，
等号成立当且仅当存在使得，其中，
所以，即，则，
故若则有；
必要性：当时，，
则
，
因，，
故当且仅当时，取得最大值.
综上，向量的充要条件是.
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