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专题01 平面向量及其运算
14大高频考点概览
考点01·平面向量的线性运算
考点02·平面向量中的共线问题
考点03·平面向量的基本定理求参数
考点04·平面向量的共线定理及其推论
考点05·平面向量的数量积计算（基底法）
考点06·平面向量数量积求夹角模长
考点07·平面向量的坐标线性运算
考点08·平面向量的数量积坐标运算
考点09·平面向量坐标运算求夹角模长
考点10·投影与投影向量
考点11·平面向量的综合应用题型
考点12·平面向量与三角形的“四心”
考点13·平面向量与三角函数的综合题型
考点14·平面向量的取值范围问题
1．(24-25高一下·福建福州九校联盟·期中)在中，为边上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为为边上的中点，
所以.
故选：A
2．(24-25高一下·福建龙岩龙岩一级校·期中)如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解即可.
【详解】因为在矩形ABCD中，E为CD的中点，
则，
所以
.
故选：C.
3．(24-25高一下·福建三明沙县区三明北附高级中学·月考)化简______
【答案】
【分析】利用向量的加、减法运算即可.
【详解】
故答案为：.
4．【多选题】(23-24高一下·福建三明五地五校联考·期中)在中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则为等腰三角形
C．若，则点M是边的中点
D．若，则点M在边的延长线上
【答案】BC
【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律逐一分析判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，因为，
所以，所以，
所以为等腰三角形，故B正确；
对于C，由，得，
所以，
所以点M是边的中点，故C正确；
对于D，由，得，
即，
所以点M在边的延长线上，故D错误.
故选：BC.
5．【多选题】(23-24高一下·福建晋江养正中学·期中)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用正五角星的结构特征，结合向量的线性运算，逐项计算判断即可.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
6．(23-24高一下·福建福州闽江学院附属中学·期中)已知不共线的向量、，若向量与共线，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合向量的共线定理，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意知，向量为不共线的向量，
若向量与共线，则存在实数使得，
则满足，解得.
故选：B.
7．(23-24高一下·福建福州八县（、区）协作校·期中)已知向量不共线，则向量与共线时，实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，列式计算即得.
【详解】由向量不共线，得向量，
由向量与共线，得，
于是，所以.
故选：B
8．(22-23高一下·福建龙岩一级校联盟·期中)设向量，不平行，，，，若三点共线，则______．
【答案】
【分析】根据三点共线列方程，从而求得的值.
【详解】，，
由于三点共线，所以存在使，
即，
所以，解得.
故答案为：
9．【多选题】(24-25高一下·福建泉州科技中学·)设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】BC
【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，假设，则使得，
因为不共线得且，则无解，
故，不共线可作为一组基底；
对于B，因为，所以，不能作为基底；
对于C，因为，所以，不能作为基底；
对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底.
故选:BC.
10．设是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】利用向量共线定理逐一判断即可.
【详解】对于A：，和共线，A错误；
对于B：，和共线，B错误；
对于C：，和共线，C错误；
对于D：不存在实数使，和不共线，D正确.
故选：D.
11．(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________．
【答案】
【分析】根据，可得，根据，以及E、B、D三点共线，可求出．
【详解】因为，所以，
则，
因为E、B、D三点共线，所以，所以．
故答案为：．
12．(23-24高一下·福建宁德福宁古五校联合体·期中)在中，为边上的中线，为的中点，若，则（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由图形利用向量的加法法则进行线性运算即可.
【详解】由题意可得
，
所以，
故选：A.
13．(22-23高一下·福建三明·期中)如图，已知A，B，C共线，且向量，，则________．

【答案】
【分析】
利用平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得解．
【详解】
因为，
所以，则，
因为，不共线，故,
所以.
故答案为：
14．(22-23高一下·福建福宁古五校联合体·期中)中，点M为边AC上的点，且，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.
【详解】由题意易得：，
故，
故选：D
15．(22-23高一下·福建福州第十五中学、格致中学鼓山分校、铜盘中学·期中)已知点是所在平面上一点，且满足，设，则______.
【答案】/1.5
【分析】根据向量减法的定义将已知化为，由此即可求解．
【详解】因为，
所以，
化简可得，所以.
故答案为：．
16．(24-25高一下·福建厦门第一中学·期中)如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，.
(1)求证：为定值，并求这个值；
(2)若，，且，，求，的值.
【答案】(1)证明见解析，定值为6；
(2)，.
【分析】（1）结合图形，由平面向量的线性运算及共线向量定理的推论推理得证.
（2）利用向量数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示列式求解.
【详解】（1）由，得，
由是线段的中点，得，显然，
由，，得，，
因此，而M，E，N三点共线，则，即
所以为定值，此定值为6.
（2）由，，得，
由（1）知，，，
因此，
又，则，，由（1）知，解得，，
所以，.
17．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点．
(1)用，表示．
(2)求．
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量基本定理得到；
（2），利用向量数量积运算法则得到，并得到，，利用向量余弦夹角公式得到；
（3）由向量基本定理得到，由向量共线定理的推论得到，得到答案.
【详解】（1）
（2），
，
其中
，
，
；
（3），
三点共线，∴设，即，
故，
∴，，
，
.
18．【多选题】(24-25高一下·福建福宁古五校教学联合体·期中)如图，在边长为1的等边三角形中，为中心，过点的直线交边于点，交边于点.，则（ ）
A．
B．
C．若为内部一点（包括边界），则最大值为
D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】结合向量的加法运算，利用正三角形中心性质求得判断A，根据三点共线的结论求得判断B，根据数量积的运算律及几何关系判断C，结合数量积的运算律及二次函数的性质求解最值判断D.
【详解】延长交于，因为为等边三角形的中心，所以为的中点，
则有，由，得，
又，所以，
因为，，三点共线，所以，所以，A正确，B错误.
，
因为为内部一点（包括边界），
所以，即最大值为，C正确.
.又，
因为，所以，
当或即或时，，所以，D正确.
故选：ACD
19．【多选题】在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．的最小值为
【答案】BC
【分析】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“1”的妙用即可得解.
【详解】如图所示，因为，则，即，
所以，故A错误；
又因为，
所以，故C正确；
因为三点共线，则，
所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故D错误；
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故C正确.
故选：BC.
20．(23-24高一下·福建福州八县（、区）协作校·期中)已知点G为三条中线的交点．
(1)求证:
(2)若点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，求证:
(3)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理的推论推理即得.
（2）利用（1）的结论，结合向量的减法法则推理即得.
（3）由（1）的信息，结合共线向量定理的推论求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】（1）令分别为的边上的中线，则，
由点在上，得，显然，则，即，
又点共线，于是，解得，则，
因此，
所以.

（2）由（1）知，，而点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，
因此，即，
所以.
（3）由（1）知，，而，，
因此，又点共线，则，即，
于是，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
21．(24-25高一下·福建泉州·期中)在平行四边形ABCD中，，E为线段CD上靠近D的三等分点，线段AC与BE相交于点P，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理求出，由向量的线性运算表示求出，，由两种方式求出，则，即可得出答案.
【详解】因为
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，，
由余弦定理可得：，
所以，
又因为，
，，
所以
，
又因为，
所以，解得：.
故选：B.

22．(24-25高一下·福建厦门、泉州五校·期中)如图，在梯形中，，，，为线段上的点，满足，记，．
(1)用，表示向量；
(2)求的值；
(3)设交于，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可.
（2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可.
（3）由向量的数量积和向量的夹角公式求出，即可得解.
【详解】（1）如图，连接，
因为，，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以.
（2）由于，可得，又，
所以 ，
所以；
（3）因为，
所以，故，
又，
又，故，
所以；
23．(22-23高一下·福建厦门外国语学校石狮分校·期中)如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则______________.
【答案】/
【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可.
【详解】设，，则，
，又，，
所以
．
故答案为：.
24．(22-23高一下·福建泉州第五中学·期中)如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（ ）
A． B． C． D．9
【答案】D
【分析】用分别表示出，结合已知，可得，然后进行数量积的运算即可得出．
【详解】因为，
所以，
即，解得，
又因为，可知点E为AB的中点，
则，
所以 .
故选：D．
25．(23-24高一下·福建福清·期中)如图，在菱形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算，将用基底来表示，即可求出的值；
（2）将分别用基底来表示，然后在进行数量积运算即可求解.
【详解】（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
……①
因为菱形，且，故.
所以.
故①式.
故.
26．(24-25高一下·福建同安第一中学·期中)已知，则_____________.
【答案】/
【分析】由题意可得，利用两向量的夹角公式即可求解.
【详解】已知，则，
即，所以，
又，则，
因为，所以，
故答案为：.
27．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)已知，，则向量与的夹角为______.
【答案】/
【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及定义得出夹角的余弦值，再结合向量夹角的取值范围，可得出与的夹角.
【详解】因为，所以，即，
又，所以，则，
因为，所以.
故答案为：
28．(24-25高一下·福建莆田第十五中学·期中)已知向量与的夹角为，则__________.
【答案】2
【分析】根据给定条件。利用数量积的定义及运算律求解.
【详解】向量与的夹角为，则，
于是，解得.
故答案为：2
29．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)已知是两个不共线的向量，若对任意的，的最小值为，的最小值为，若，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据的最小值求出的值，再根据的最小值求出的值，最后结合向量数量积公式求出夹角.
【详解】设的夹角为，.
取得最小值（可通过几何意义理解，的最小值就是在垂直于方向上的投影长度），
已知的最小值为，所以.
同理，取得最小值，已知的最小值为，所以.
由向量数量积公式.
将与相乘可得：.
将与相除可得：
，即.
设，则，整理得，即.
因式分解得，解得或（舍去）.
因为，且，所以.
故选：A．
30．(24-25高一下·福建长乐第五中学·期中)已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)若向量与相互垂直，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，再由及数量积的运算律计算可得.
（2）依题意，根据数量积的运算律计算可得.
【详解】（1）因为，，与的夹角为，
所以，
所以
.
（2）因为向量与相互垂直，
所以，所以，
即，即，解得.
31．(24-25高一下·福建莆田第二十五中学·期中)若向量，，，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，，
所以，即，解得.
故选：A
32．(24-25高一下·福建永春第一中学·期中)已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的__________.
【答案】充分不必要条件
【分析】利用向量的夹角公式，及共线向量的坐标表示求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】向量，，由与的夹角为钝角，得且不共线，
则，解得且，
所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
33．(24-25高一下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知向量，若三点共线，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据三点共线得出向量共线，再根据平行的坐标运算计算求参.
【详解】向量，所以，
因为三点共线，所以，所以，
则.
故选：B.
34．(23-24高一下·福建三明五地五校联考·期中)在平面直角坐标系中，已知点，，．则的中点坐标为____________；当实数____________时，．
【答案】 /
【分析】直接由中点坐标公式求出的中点坐标，再由向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，，所以的中点坐标为，即；
又，，，
则，
因为，则，解得.
故答案为：；
35．(22-23高一下·福建漳州平和正兴学校等·期中)已知向量，.
(1)若与共线，求的值；
(2)若，，且三点共线，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共线向量的坐标表示可构造方程求得结果；
（2）由三点共线可知共线，由此可构造方程求得结果.
【详解】（1），，又与共线，
，解得：.
（2），，又三点共线，
，解得：.
36．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．
(1)已知，，，且，求t的值．
(2)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，，结合数量积的运算律即可列方程求解的值；
（2）原题条件等价于对任意的，恒成立，对分类讨论即可得解.
【详解】（1）由题意，，因为，
所以，
解得；
（2）因为，两边平方得，
即，
当时，对任意的，恒成立，故满足题意；
当时，对任意的恒成立，
此时当且仅当，解得，所以满足题意；
当时，对任意的恒成立，
此时当且仅当，解得，所以满足题意；
综上所述，所求为.
37．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)设Ox，Oy是平面内夹角成 的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，．
(1)若．
（ⅰ）求．
（ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
(2)若对恒成立，求的最大值．
【答案】(1)（i）；（ii）不存在，理由见解析
(2)
【分析】（1）（i）根据坐标转化为基底表示，再利用数量积公式，即可求解；（ii）首先设，得到，再结合坐标和基底，利用垂直关系的向量运算，得到方程，方程无解，即可得到结论；
（2）首先利用数量积公式，将不等式转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，根据求的范围，再代入向量夹角公式，即可求解.
【详解】（1）（i）
，
（ii）轴上不存在一点，理由如下：
假设轴上存在一点，使得是以为斜边的直角三角形.
依题意得：，
，
，
，，
即，
即，
化简得：，
，∴方程无解，
即轴上不存在一点，使得是以为斜边的直角三角形；
（2）
，
恒成立，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在上单调递增，理由如下：
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，
故，即，
故在上单调递增，
当时，取得最大值，最大值为.
38．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，，点在线段与线段上运动．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，计算的坐标，根据向量的线性运算可得关于的方程组；
（2）分点在线段和线段上两种情况，分别设点的坐标，求出的坐标，利用数量积的坐标运算即可.
【详解】（1）如图，以为原点建立平面直角坐标系，
则，
则，
因，则，
故，得，则.
（2）①当在线段上运动，设，其中，
因，所以， 则，
因为，所以，
②当在线段上运动，设，
因，则，
又，则，故，
则，则，
因为，所以，
综上，的取值范围为.
39．(24-25高一下·福建福州九校联盟·期中)窗花是贴在窗户上的煎纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为 是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）

A．的最大值为
B．在方向上的投影向量为
C．
D．若函数，则函数的最小值为
【答案】A
【分析】根据题意，建系，写出相关点的坐标，设，利用余弦定理求得，对于A，取中点为，推得，，继而得到，结合图形，判断当点与点或点重合时，取最大值，利用两点间距离公式计算即得；对于B，根据投影向量的定义计算即可判断；对于C，代入点的坐标计算即可判断；对于D，将相关向量的坐标代入所求函数，整理后，根据二次函数的性质即可求得的最小值.
【详解】

如图，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
设，在中，由余弦定理，，解得.
则
.
对于A，取中点为，则 ，
则，
两式相减，可得，从而，
由正八边形的对称性，可知当点与点或点重合时，取最大值.
此时不妨取，
则，
故的最大值为，故A正确；
对于B，因 ，
则在方向上的投影向量为：，故B错误；
对于C，，而，
故，即C错误；
对于D，因，，
则
，
则当时，，
故函数的最小值为，故D错误.
故选：A.
40．(24-25高一下·福建宁德部分学校·期中)如图，在直角梯形中，，，，，，.
(1)试用，表示；
(2)求；
(3)若为边上一点，且，求.
【答案】(1)
(2)
(3)或.
【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解；
（2）建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量的数量积；
（3）设，根据，利用向量数量积求解.
【详解】（1）.
（2）如图，
以为原点，，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
则，，，，.
因为，，
所以.
（3）如图，设，则，
，
因为，所以，
得或6.
故或.
41．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)已知向量，，若向量，则实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】先利用向量坐标的加减运算求出和，然后利用向量模的坐标运算列式求解即可.
【详解】因为向量，，所以，
由得，即，
解得.
故选：B
42．(24-25高一下·福建三明第一中学·期中)已知向量，.
(1)求；
(2)若，且，求向量与向量的夹角；
(3)若，且，求向量的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.
（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.
（3）运用向量平行的坐标结论计算即可.
【详解】（1）因为，，所以.
所以.
（2）因为，所以.即.
所以.即，
所以.
因为，所以.
（3）因为，，所以.
因为，设，
则，.
解得，
故或.
43．【多选题】(24-25高一下·福建莆田莆田第五中学·期中)已知，，则下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为5
D．若向量与向量的夹角为钝角，则且
【答案】BCD
【分析】由向量平行和垂直的坐标表示可得AB正误；利用向量模长运算可知，由二次函数性质可求得，知C错误；利用向量夹角为钝角，则数量积必定小于0，可判断D.
【详解】对于A，若，则，解得：，A正确；
对于B，若，则，解得：，B错误；
对于C，因为，所以，则当时，，，C错误；
对于D，若向量与向量的夹角为钝角，则，解得，由上可知，此时两向量不共线，D错误.
故选：BCD
44．【多选题】(24-25高一下·福建福州台江区九校·期中)下列结论中，正确的是（　　）
A．若向量，，且，则
B．若，，与的夹角为，则
C．已知向量，，则 与的夹角为
D．若向量，，且//，则
【答案】AB
【分析】直接利用向量的共线的充要条件的应用，向量垂直的充要条件的应用，向量的模的应用，向量夹角公式的应用求出结果．
【详解】A.因为，所以，解得，故A正确；
B.因为，所以，故B正确；
C.因为，所以与夹角的大小为，故C不正确，
D.因为//，根据公式，解得或，所以D不正确，
故选：AB．
45．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)已知向量．
(1)若单位向量与共线，求向量的坐标；
(2)若，求实数m的值；
(3)求与夹角的余弦值．
【答案】(1)或；
(2)
(3)
【分析】（1）利用共线及单位向量的意义直接求解.
（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示列式求出.
（3）求出的坐标，再利用夹角公式求解.
【详解】（1）由，得，
则与共线的单位向量为，
所以或.
（2）依题意，，，
由，得，即，
所以.
（3）依题意，，
所以.
46．(24-25高一下·福建莆田莆田第四中学·期中)已知，，则在方向上的投影向量坐标为______．
【答案】
【分析】求出向量的坐标，利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】因为，，则，
所以，在方向上的投影向量为
.
故答案为：.
47．(24-25高一下·福建泉州第五中学·期中)已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量公式计算得出，再根据夹角余弦公式计算求解.
【详解】因为向量，，且向量在向量上的投影向量为，
则，所以，
所以.
故选：C.
48．(24-25高一下·福建长乐第五中学·期中)已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是______________.
【答案】
【分析】应用向量的数量积和模长的坐标运算求得，，根据投影向量的定义求向量在向量上的投影向量.
【详解】向量，则，.
所以向量在向量上的投影向量是 .
故答案为：
49．【多选题】(24-25高一下·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
【答案】ABD
【分析】利用平面向量模的运算公式计算即可判断A，利用向量垂直坐标表示判断B，利用向量夹角的坐标表示求解即可判断C，利用投影向量公式求解即可判断D.
【详解】因为，所以，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
因为，所以，
所以，所以，
又，则，故C错误；
又，所以，所以，
所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD
50．(24-25高一下·福建龙岩龙岩一级校·期中)已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用条件计算，再利用投影向量的公式计算即可.
【详解】因，则，
则，故，
则在上的投影向量为.
故选：B
51．【多选题】(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)下列命题中为真命题的是（ ）
A．若与是共线向量，则点、、、共线
B．若为非零向量，则与同向
C．若，则
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】根据共线向量的概念判断A，根据向量的线性运算判断B，由特殊向量判断C，根据向量相等判断D.
【详解】与是共线向量，则所在直线不一定重合，故点、、、不一定共线，故A错误；
为非零向量，则与方向相同，故B正确；
若，则成立，故C正确；
若，，根据向量相等的定义知成立，故D正确.
故选：BCD
52．【多选题】(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（ ）．
A．，
B．在上投影向量的模为
C．若，，则
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据正弦值与余弦值的关系，结合题意，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算公式，可得其正误，对于CD，数量积的坐标运算，求得夹角，可得其正误.
【详解】对于A，当时，，则，故A正确；
对于B，在上投影向量的模为，，故B错误；
对于C，由，，则，所以，故C正确；
对于D，由，，，
则，所以，故D正确.
故选：ACD.
53．【多选题】(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记．设，则（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影向量的坐标为
【答案】BD
【分析】根据模长公式即可求解A,根据向量的加法运算即可求解B，根据数量积的运算律即可求解C，根据投影向量的计算公式即可求解D.
【详解】对于A，由于则，故A正确，
对于B，，故B正确，
对于C,，故C错误，
对于D, 在方向上的投影向量为，故D正确，
故选：BD
54．【多选题】(24-25高一下·福建莆田莆田第三中学·月考)如图所示，线段是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（ ）

A．
B．的最大值是78
C．当时，
D．
【答案】AD
【分析】根据图形特征判断A，再应用数量积公式计算判断B，D，再根据向量垂直得出角的正弦值判断C.
【详解】点D为上一动点，可知当点A，C，D三点共线的时候，的值最大是，故选A；
，故选D；
当时，即，此时，点D在上有两个位置，如图所示，故不止一个答案，所以，排除C选项．

对于B选项，如图1所示，建立平面直角坐标系，则点D坐标设为，A点坐标是，B点坐标是，

则，，，
所以，当，即时，取得最大值72，因此B不正确；
故选：AD.
55．【多选题】(22-23高一下·福建泉州第五中学·期中)折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨， 纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图为图2的扇形，其中，动点P在上（含端点），连接交扇形的弧于点Q，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．的最小值是
【答案】BC
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量坐标求解即可.
【详解】如图，作，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，
设，则，
由，
得，
所以①，②，且.
A项，由①②可得，.
则，
由，得，则，
故，当或时，，故A错误；
B项，，
将代入可得，
，故B正确；
C项，若，则，，所以，故C正确；
D项，则，
，，
，
由，
得，当时，最小值为，故D错误.
故选：BC.
56．(24-25高一下·福建福州福建师范大学附属中学·期中)点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心）
【答案】内心
【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论.
【详解】分别表示同方向的单位向量，
故平分，即平分，
所以直线一定经过的内心.
故答案为:内心.
57．【多选题】(24-25高一下·福建漳州乙丙级联盟校·期中)已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A．若是中点，
B．若，则
C．与不共线
D．若，则.
【答案】ACD
【分析】对于A，由重心性质可判断；对于B，设AB中点为，连接，计算可判断；对于C，计算可得，可判断；对D，根据垂心的性质推导可得，再设，根据已知可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可.
【详解】对于A：因为是中点，所以是边上的中线，
又是的重心，所以，故A正确；
对于B：因为O为的外心，设AB中点为，连接，则

所以
对于C：因为
所以与垂直，
又因为，所以与共线，故C错误；
对于D：因为H为的垂心，则，即，

即，则，
同理，，所以，
设，
因为，所以，
即，则，，
即，则，
， ，，故D正确.
故选：ACD.
58．(23-24高一下·福建厦门杏南中学·期中)下列关于向量的各个说法不正确的是（ ）
A．
B．已知非零向量，，满足，则
C．中，为边中点，则有
D．已知点为内一点，满足，则G为的重心
【答案】B
【分析】对于A，由向量加减法的运算法则即可判断；对于B，变形成，即可根据向量数量积的性质判断；对于C，由向量加减法结合数量积公式即可判断；对于D，以，为邻边作平行四边形，由，得到顶点与对边中点比为，即可利用三角形重心的性质判断.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，；由，可得，根据向量数量积的性质可得或，则B不正确；
对于C，因为在中，为边中点，
则，，所以，故C正确；
对于D，以，为邻边作平行四边形，即四边形为平行四边形，其对角线交于，
因为，所以，所以得到顶点与对边中点比为，由三角形重心的性质可得G为的重心，故D正确；
故选：B
59．(23-24高一下·福建泉州第七中学·期中)在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】C
【分析】根据向量的运算化简，可证明，则点轨迹为三角形边的中垂线，可得解.
【详解】因为，
所以，
设的中点为，则，则，
即，所以，所以点在线段的中垂线上，
故点的轨迹过的外心.
故选：C
60．【多选题】(23-24高一下·福建莆田第二十五中学·)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABC
【分析】对A，根据面积关系可得，再结合重心的概念即可得解；对B，内心为内切圆圆心，是角平分线的交点，利用面积公式即可得解；对C，外心为外接圆圆心，是三角形各边垂直平分线的交点，利用垂直关系即可得解；对D，根据奔驰定理结合面积关系即可得解.
【详解】对于A，取的中点，连接，如图所示
由，则，所以，所以三点共线，且，设分别为得中点，同理可得，所以为的重心，故A正确；
对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示
则，
所以，即，故B正确；
对于C ，如图所示，
因为为的外心，所以，
所以，即，即，
所以，同理可得，
所以，故C正确；
对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示，
由为的垂心，，则，
又，则，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D错误.
故选：ABC.
61．(22-23高一下·福建泉州第五中学·期中)在平面直角坐标系中，设向量.
(1)当时，求的值；
(2)设，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两边平方即可求解；
（2）由，得，由三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解．
【详解】（1）依题意得，，
由，得，
得，
得，
得，
得．
（2）因为，所以，则，
由，得，
得，
得，
由，得，所以，
得．
62．(23-24高一下·福建宁德福宁古五校联合体·期中)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为
(1)若在该坐标系下，，计算的大小
(2)若在该坐标系下，已知，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将，用，表示，根据向量模的运算求解即可；
（2）求出，然后利用换元法将转化为关于的函数，利用二次函数求最值即可.
【详解】（1）依题意，，，
由，，得，
所以，
即；
（2）由题意可知，
所以，
，
所以，
令，
，
又因为，
且，所以，所以，
即，
又因为函数在单调递增，
即时，函数取到最大值3，
即，则有，
所以当时，的最大值为.
63．(22-23高一下·福建泉州·)已知，，．
(1)求关于x的表达式；
(2)若时，的最小值是3，求m的值；
(3)若对于都有，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数恒等变换，化简可得的表达式；
（2）根据，确定，结合正弦函数性质，即可求得答案；
（3）根据（2）的结论，求出的最大值的表达式，结合题意可得相应不等式，求得答案.
【详解】（1）由，，，
则
，
即；
（2）∵，∴，
则当，即时，取最小值，
又∵的最小值是3，∴，∴，
即m的值为2；
（3）由（2）可得：当时，当时，即，
的最大值是，
又当时，恒成立，
∴，∴，
即m的取值范围为．
64．(23-24高一下·福建宁德福宁古五校联合体·期中)在直角中，，，，平面内动点满足，则的最小值为________．
【答案】0
【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标为，求出为正弦型函数，求出最小值即可.
【详解】如图：
由于动点满足，所以点在以为圆心，半径为的圆上，
建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
设点坐标为，，
则，，
所以
所以当，有最小值为.
故答案为：
65．(23-24高一下·福建三明六校·期中)如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，结合二次函数性质可得.
【详解】连接AC，因为，，，，
所以，又，所以，所以.
过点B作AD的垂线BF，垂足为F，易知，在中，，，所以，，
以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，则，，
，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，
当时，有最小值；当时，有最大值，
所以的取值范围为.
故答案为：.
66．(23-24高一下·福建福州第一中学·)已知、为单位向量，且，若向量满足，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律及定义求出与的夹角，设，，，由得到点在以为圆心，为半径的圆上，而，表示点与圆上的点的距离，结合平面几何的性质计算可得.
【详解】因为、为单位向量，且，设与的夹角为，
则，则，即，
解得，又，所以，
设，，，
则，由，
所以，则点在以为圆心，为半径的圆上，
又，
所以，表示点与圆上的点的距离，
又点在轴上，因为，当且仅当在线段之间时取等号，
又，，则，当时，
所以当时，，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是首先求出与的夹角，从而设，，，再根据模求出轨迹，最后结合平面几何的知识求最小值.
67．(24-25高一下·福建泉州第五中学·期中)如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知，即BC⊥CD，因为图形对称，所以只考虑E在边BC，CD上的运动情况即可，在两种情况下，利用向量共线表示出，利用数量积即可得到最值.
【详解】由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可，
又，
所以，即，则，
①当点E在边BC上运动时，设，则，
所以；
②当点E在边CD上运动时，设，则，
所以.
综上，的取值范围为，
综上所述，其最小值为.
故选：C.
68．(24-25高一下·福建厦门松柏中学·月考)如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【分析】由向量的线性运算得，取数量积运算得到，且，方向相反，设，将所求式子化为，用二次函数求最值即可.
【详解】由平行四边形法则得，故，，且，方向相反，
设，则．
因为，所以当时，取得最小值，最小值为．
故选：B．
69．(23-24高一下·福建永春第三中学等校·期中)在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将转化成，再结合平方差公式和已知条件即可求解.
【详解】由题，
所以由点P在斜边BC的中线AD上得，
故
，
故选：A.
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专题01 平面向量及其运算
14大高频考点概览
考点01·平面向量的线性运算
考点02·平面向量中的共线问题
考点03·平面向量的基本定理求参数
考点04·平面向量的共线定理及其推论
考点05·平面向量的数量积计算（基底法）
考点06·平面向量数量积求夹角模长
考点07·平面向量的坐标线性运算
考点08·平面向量的数量积坐标运算
考点09·平面向量坐标运算求夹角模长
考点10·投影与投影向量
考点11·平面向量的综合应用题型
考点12·平面向量与三角形的“四心”
考点13·平面向量与三角函数的综合题型
考点14·平面向量的取值范围问题
1．(24-25高一下·福建福州九校联盟·期中)在中，为边上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·福建龙岩龙岩一级校·期中)如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·福建三明沙县区三明北附高级中学·月考)化简______
4．【多选题】(23-24高一下·福建三明五地五校联考·期中)在中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则为等腰三角形
C．若，则点M是边的中点
D．若，则点M在边的延长线上
5．【多选题】(23-24高一下·福建晋江养正中学·期中)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（ ）
A． B．
C． D．
6．(23-24高一下·福建福州闽江学院附属中学·期中)已知不共线的向量、，若向量与共线，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．(23-24高一下·福建福州八县（、区）协作校·期中)已知向量不共线，则向量与共线时，实数（ ）
A． B． C． D．
8．(22-23高一下·福建龙岩一级校联盟·期中)设向量，不平行，，，，若三点共线，则______．
9．【多选题】(24-25高一下·福建泉州科技中学·)设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
10．设是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
11．(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________．
12．(23-24高一下·福建宁德福宁古五校联合体·期中)在中，为边上的中线，为的中点，若，则（ ）

A． B． C． D．1
13．(22-23高一下·福建三明·期中)如图，已知A，B，C共线，且向量，，则________．

14．(22-23高一下·福建福宁古五校联合体·期中)中，点M为边AC上的点，且，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
15．(22-23高一下·福建福州第十五中学、格致中学鼓山分校、铜盘中学·期中)已知点是所在平面上一点，且满足，设，则______.
16．(24-25高一下·福建厦门第一中学·期中)如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，.
(1)求证：为定值，并求这个值；
(2)若，，且，，求，的值.
17．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点．
(1)用，表示．
(2)求．
(3)若，求的值．
18．【多选题】(24-25高一下·福建福宁古五校教学联合体·期中)如图，在边长为1的等边三角形中，为中心，过点的直线交边于点，交边于点.，则（ ）
A．
B．
C．若为内部一点（包括边界），则最大值为
D．的最大值为
19．【多选题】在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．的最小值为
20．(23-24高一下·福建福州八县（、区）协作校·期中)已知点G为三条中线的交点．
(1)求证:
(2)若点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，求证:
(3)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，，求的最小值．
21．(24-25高一下·福建泉州·期中)在平行四边形ABCD中，，E为线段CD上靠近D的三等分点，线段AC与BE相交于点P，则（ ）
A． B． C． D．
22．(24-25高一下·福建厦门、泉州五校·期中)如图，在梯形中，，，，为线段上的点，满足，记，．
(1)用，表示向量；
(2)求的值；
(3)设交于，求．
23．(22-23高一下·福建厦门外国语学校石狮分校·期中)如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则______________.
24．(22-23高一下·福建泉州第五中学·期中)如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（ ）
A． B． C． D．9
25．(23-24高一下·福建福清·期中)如图，在菱形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，求.
26．(24-25高一下·福建同安第一中学·期中)已知，则_____________.
27．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)已知，，则向量与的夹角为______.
28．(24-25高一下·福建莆田第十五中学·期中)已知向量与的夹角为，则__________.
29．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)已知是两个不共线的向量，若对任意的，的最小值为，的最小值为，若，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
30．(24-25高一下·福建长乐第五中学·期中)已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)若向量与相互垂直，求实数的值．
31．(24-25高一下·福建莆田第二十五中学·期中)若向量，，，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
32．(24-25高一下·福建永春第一中学·期中)已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的__________.
33．(24-25高一下·福建三明永安九中、宁化六中、金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知向量，若三点共线，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
34．(23-24高一下·福建三明五地五校联考·期中)在平面直角坐标系中，已知点，，．则的中点坐标为____________；当实数____________时，．
35．(22-23高一下·福建漳州平和正兴学校等·期中)已知向量，.
(1)若与共线，求的值；
(2)若，，且三点共线，求的值.
36．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．
(1)已知，，，且，求t的值．
(2)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
37．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)设Ox，Oy是平面内夹角成 的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，．
(1)若．
（ⅰ）求．
（ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
(2)若对恒成立，求的最大值．
38．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，，点在线段与线段上运动．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
39．(24-25高一下·福建福州九校联盟·期中)窗花是贴在窗户上的煎纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为 是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）

A．的最大值为
B．在方向上的投影向量为
C．
D．若函数，则函数的最小值为
40．(24-25高一下·福建宁德部分学校·期中)如图，在直角梯形中，，，，，，.
(1)试用，表示；
(2)求；
(3)若为边上一点，且，求.
41．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)已知向量，，若向量，则实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．
42．(24-25高一下·福建三明第一中学·期中)已知向量，.
(1)求；
(2)若，且，求向量与向量的夹角；
(3)若，且，求向量的坐标.
43．【多选题】(24-25高一下·福建莆田莆田第五中学·期中)已知，，则下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为5
D．若向量与向量的夹角为钝角，则且
44．【多选题】(24-25高一下·福建福州台江区九校·期中)下列结论中，正确的是（　　）
A．若向量，，且，则
B．若，，与的夹角为，则
C．已知向量，，则 与的夹角为
D．若向量，，且//，则
45．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)已知向量．
(1)若单位向量与共线，求向量的坐标；
(2)若，求实数m的值；
(3)求与夹角的余弦值．
46．(24-25高一下·福建莆田莆田第四中学·期中)已知，，则在方向上的投影向量坐标为______．
47．(24-25高一下·福建泉州第五中学·期中)已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
48．(24-25高一下·福建长乐第五中学·期中)已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是______________.
49．【多选题】(24-25高一下·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
50．(24-25高一下·福建龙岩龙岩一级校·期中)已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
51．【多选题】(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)下列命题中为真命题的是（ ）
A．若与是共线向量，则点、、、共线
B．若为非零向量，则与同向
C．若，则
D．若，，则
52．【多选题】(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（ ）．
A．，
B．在上投影向量的模为
C．若，，则
D．
53．【多选题】(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记．设，则（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影向量的坐标为
54．【多选题】(24-25高一下·福建莆田莆田第三中学·月考)如图所示，线段是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（ ）

A．
B．的最大值是78
C．当时，
D．
55．【多选题】(22-23高一下·福建泉州第五中学·期中)折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨， 纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图为图2的扇形，其中，动点P在上（含端点），连接交扇形的弧于点Q，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．的最小值是
56．(24-25高一下·福建福州福建师范大学附属中学·期中)点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心）
57．【多选题】(24-25高一下·福建漳州乙丙级联盟校·期中)已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A．若是中点，
B．若，则
C．与不共线
D．若，则.
58．(23-24高一下·福建厦门杏南中学·期中)下列关于向量的各个说法不正确的是（ ）
A．
B．已知非零向量，，满足，则
C．中，为边中点，则有
D．已知点为内一点，满足，则G为的重心
59．(23-24高一下·福建泉州第七中学·期中)在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
60．【多选题】(23-24高一下·福建莆田第二十五中学·)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
61．(22-23高一下·福建泉州第五中学·期中)在平面直角坐标系中，设向量.
(1)当时，求的值；
(2)设，且，求的值.
62．(23-24高一下·福建宁德福宁古五校联合体·期中)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为
(1)若在该坐标系下，，计算的大小
(2)若在该坐标系下，已知，，求的最大值．
63．(22-23高一下·福建泉州·)已知，，．
(1)求关于x的表达式；
(2)若时，的最小值是3，求m的值；
(3)若对于都有，求m的取值范围．
64．(23-24高一下·福建宁德福宁古五校联合体·期中)在直角中，，，，平面内动点满足，则的最小值为________．
65．(23-24高一下·福建三明六校·期中)如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的取值范围为______．
66．(23-24高一下·福建福州第一中学·)已知、为单位向量，且，若向量满足，则的最小值为______．
67．(24-25高一下·福建泉州第五中学·期中)如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
68．(24-25高一下·福建厦门松柏中学·月考)如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．2
69．(23-24高一下·福建永春第三中学等校·期中)在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
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