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专题01 三角函数与三角恒等变换
4大高频考点概览
考点01任意角的三角函数及诱导公式
考点02三角函数的图象与性质
考点03三角函数的伸缩偏移变换
考点04三角恒等变换
(
考点01
任意角的三角函数及诱导公式
)
单选题
1．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)的值（ ）
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
2．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)已知，那么（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·湖南娄底·期中)若，则（ ）
A． B．2 C．2023 D．2025
4．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·广东揭阳第一中学·)已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
填空题
6．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知函数，则_____
解答题
7．(24-25高一上·湖南娄底·期中)已知．
(1)化简求值：；
(2)若是第一象限角，，且，求的值．
8．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知角终边上的一点.
(1)求的值；
(2)求的值.
(
考点02
三角函数的图象与性质
)
单选题
9．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)已知定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
多选题
11．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合
12．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于点中心对称
C．若，则
D．函数在区间内单调递增
13．(24-25高一下·湖南·期中)已知函数的两个相邻对称中心的距离为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上是增函数
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称
14．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的单调递增区间为
B．在区间上的值域为
C．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
D．若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是
填空题
15．(24-25高一下·湖南永州·期中)的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为_____．
解答题
16．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知函数的最大值为1.
(1)求的值及的最小正周期；
(2)求使成立的的取值集合.
17．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称.
(1)求；
(2)求的相位及其最小正周期；
(3)当时，求使得不等式恒成立的对应的取值范围.
18．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；
(2)若方程在上的解为，，求．
19．(24-25高一下·湖南部分校·期中)设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界．
(1)直接写出集合的上确界．
(2)在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为．
①求；
②求集合的上确界，并证明你的结论．
(
考点03
三角函数的伸缩偏移变换
)
20．(24-25高一下·湖南部分校·期中)（多选）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A．的值域为
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递减
21．(24-25高一下·湖南株洲渌口区第五中学·期中)（多选）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上恰有两个零点，则（ ）
A．在上也恰有两个零点 B．的取值范围是
C．的图象在上恰有一条对称轴 D．的图象在上最多有三条对称轴
22．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知向量，，函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域．
(
考点04
三角恒等变换
)
单选题
1．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·湖南·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
填空题
3．(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，则______．
4．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)已知，则_________．
解答题
5．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)用向量方法证明：
(1)两角差的余弦公式：
(2)柯西不等式：
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专题01 三角函数与三角恒等变换
4大高频考点概览
考点01任意角的三角函数及诱导公式
考点02三角函数的图象与性质
考点03三角函数的伸缩偏移变换
考点04三角恒等变换
(
地
城
考点01
任意角的三角函数及诱导公式
)
单选题
1．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)的值（ ）
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
【答案】A
【分析】判断弧度2，3表示的角的范围，判断的正负，即可得答案.
【详解】，，．
故选：A
2．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由诱导公式求解即可.
【详解】若，
则，即，
故选：A．
3．(24-25高一下·湖南娄底·期中)若，则（ ）
A． B．2 C．2023 D．2025
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的商式关系，可得答案.
【详解】.
故选：A.
4．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据齐次式可得，进而根据正切差角公式求解.
【详解】由得，故，
因此，
故选：D
5．(24-25高一下·广东揭阳第一中学·)已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式化简为，代入求值即可.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以.
故选：B．
填空题
6．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知函数，则_____
【答案】/
【分析】根据分段函数函数值的计算求解即可.
【详解】，所以．
故答案为：.
解答题
7．(24-25高一上·湖南娄底·期中)已知．
(1)化简求值：；
(2)若是第一象限角，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式，齐次化变形，代入求值即可；
（2）利用同角三角函数关系得到，，，利用余弦差角公式进行求解.
【详解】（1）原式
（2）由为第一象限角，且，
即，解得，；
又，且，故．
8．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知角终边上的一点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再由诱导公式化简即可；
（2）构造齐次分式，同除，转化为含有的式子求解.
【详解】（1）因为角终边上的一点，
所以，
所以
；
（2）因为，
所以
.
(
地
城
考点02
三角函数的图象与性质
)
单选题
9．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用余弦型函数的图象及性质即可求解.
【详解】对，，结合的图象可知．
故选：C.
10．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)已知定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数，确定函数的奇偶性及在上的单调性，再逐项分析判断.
【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，
则函数在区间上单调递减，
又，即是偶函数，
，又在上递增，则，
而在区间上单调递增，则，
因此，则，
所以.
故选：B
多选题
11．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合
【答案】ABD
【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，因为，故函数的图象关于直线对称，B对；
对于C选项，当时，，
所以，函数在区间上不单调，C错；
对于D选项，将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到函数的图象，D对.
故选：ABD.
12．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于点中心对称
C．若，则
D．函数在区间内单调递增
【答案】BCD
【分析】对于A，求出平移后图象对应的解析式，利用特值法可判断其正误；对于B，由代入检验法可判断其正误；对于C，由诱导公式计算后可判断其正误；对于D，结合正弦函数的性质可判断其正误.
【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为：
，当时，该函数的函数值为，而，
故与不是同一函数，故A错误；
对于B，，故函数的图象关于点中心对称，
故B正确；
对于C，因为，故即，
故，故C正确；
对于D，当时，，
而在上为增函数，
故在区间内单调递增，故D正确；
故选：BCD.
13．(24-25高一下·湖南·期中)已知函数的两个相邻对称中心的距离为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上是增函数
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称
【答案】ACD
【分析】根据两个相邻对称中心距离为得出周期可得出判断A，根据代入法求解函数的单调性判断B，根据代入检验判断对称轴可判断C，应用函数图象的平移可判断奇函数判断D.
【详解】易知，则，所以，即，
又因为，，解得，所以．
对于A，因为，所以，故A正确.
对于B，由知，则在该区间有增有减，故B错误.
对于C，因为，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确.
对于D，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，该图象关于原点对称，故D正确．
故选：ACD.
14．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的单调递增区间为
B．在区间上的值域为
C．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
D．若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】由正弦型函数的性质，图象的平移变换及函数的零点问题逐项判断求解即可.
【详解】对于A，由，解得，选项A正确；
对于B，令，由得在上单调递增，在上单调递减，
的值域为，选项B错误；
对于C，的图象向左平移个单位长度后得到的图象，又，
即
，
，即，选项C正确；
对于D，令在区间上恰有两个零点，
在区间上恰有两个零点，
，解得，选项D正确．
故选：ACD
填空题
15．(24-25高一下·湖南永州·期中)的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为_____．
【答案】
【分析】先根据已知点求出的值，再根据余弦函数的单调性列出关于的不等式求解即可.
【详解】因为的图象经过点，所以，
又因为，所以，
当时，，
因为在区间上单调递增，
则，，知，
又因为，且，，
所以，即．
故答案为：.
解答题
16．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知函数的最大值为1.
(1)求的值及的最小正周期；
(2)求使成立的的取值集合.
【答案】(1)，最小正周期为
(2)
【分析】（1）先化简函数利用最值求，利用周期公式求周期；
（2）根据三角函数的性质求解不等式即可.
【详解】（1），
因为最大值为1，所以；周期.
（2）由可得，
所以，解得，
故使成立的的取值集合为.
17．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称.
(1)求；
(2)求的相位及其最小正周期；
(3)当时，求使得不等式恒成立的对应的取值范围.
【答案】(1)
(2)相位为，最小正周期为
(3)
【分析】（1）根据图象变换得，再根据对称性得，计算即可得到；
（2）由（1）得后可得出相位，根据最小正周期计算公式计算可得周期；
（3）令，，由题意得原不等式为，再根据正弦函数、余弦函数性质计算即可求解.
【详解】（1）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
由题意该函数为偶函数，所以，
解得，
又因为，解得.
（2）由（1）可得，
故的相位为，
最小正周期为.
（3）令，因为，所以，
则原题等价于求使得不等式恒成立时，对应的取值范围，
注意到当或时，，
当时，单调递增，单调递减，又因为，
所以时，，不符合题意；
当时，，符合题意；时，单调递减，单调递增，
所以时，，符合题意.
综上，满足题意，此时.
18．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；
(2)若方程在上的解为，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求函数的解析式，再根据代入法，转化为，有两个不等的实根，结合三角函数的图象，即可求解；
（2）利用对称性求得，代入，根据函数解析式，即可求解.
【详解】（1）由平移规律可知，，
当时，，
当时，单调递增，值域是，
当时，单调递减，值域是，
方程有两个不等的实根，则，有两个不等的实根，
则，得；
（2）由条件可知，，即，，
，，
当，单调递增，当，单调递减，
，在有两个实数根，则，
即，即，则，
.
19．(24-25高一下·湖南部分校·期中)设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界．
(1)直接写出集合的上确界．
(2)在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为．
①求；
②求集合的上确界，并证明你的结论．
【答案】(1)3
(2)①,②的上确界是.,证明见解析
【分析】（1）根据正切函数的单调性求解值域，即可根据确界的定义求解，
（2）根据可得，进而根据可得求解①，化简，即可利用正弦函数的性质求解，利用上确界的定义求证即可.
【详解】（1）由于，
进而，故的上确界为3.
（2）由可得，故，则,
设距离最短的两个交点为，
则，
因此，即，
,
得，
则，
解得，
②由题意可得，
由得，
所以故，
接下来证明是的上确界，
，
对任意给定的，若，可取使得，
若,可取，使得，
综上可得的上确界是.
(
地
城
考点0
3
三角函数的伸缩偏移变换
)
20．(24-25高一下·湖南部分校·期中)（多选）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A．的值域为
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递减
【答案】AC
【分析】求出变换之后得到的的解析式，依次代入选项判断可得结果.
【详解】依题意可得，
对于A，因正弦函数的值域为，则，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，由，可得，则在上先增后减，故D错误．
故选：AC.
21．(24-25高一下·湖南株洲渌口区第五中学·期中)（多选）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上恰有两个零点，则（ ）
A．在上也恰有两个零点 B．的取值范围是
C．的图象在上恰有一条对称轴 D．的图象在上最多有三条对称轴
【答案】ACD
【分析】根据三角函数图象变换的知识将问题等价转化为在上恰有两个零点，可判断A；再由零点个数列不等式，从而求得 的取值范围，可判断B；由正弦型函数的图象的对称轴判断C、D．
【详解】的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，在上恰有两个零点，故函数在 上恰有两个零点，故A正确；
由题意知 且 ，则 ，，．
由“五点法”知 或 ，
得 或，故B错误；
若，则，
而或，
因为，故的图象恰有一条对称轴，故C正确；
，若，则，
若 ，则，，
若 ，则，，
所以的图象在上最多有三条对称轴，故D正确．
故选：ACD.
22．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知向量，，函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式可得，则利用正弦函数的单调递减区间即可求得答案；
（2）由图象变换得到解析式，再利用整体法求值域.
【详解】（1）因为向量，，函数，
所以
，
令，，
解得，，
所以的单调递减区间为，．
（2）由（1）知，
函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，
则，
当时，，，
则．
所以在的值域为.
(
地
城
考点
04
三角恒等变换
)
单选题
1．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据齐次式可得，进而根据正切差角公式求解.
【详解】由得，故，
因此，
故选：D
2．(24-25高一下·湖南·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用和角的余弦公式化简求出，再利用二倍角公式及齐次式法求解.
【详解】依题意，，整理得，即，
所以.
故选：C
填空题
3．(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，则______．
【答案】
【分析】将变形结合两角和与差的正弦公式得到的关系，进而可求.
【详解】由得，
①，②，
即，，
∴
∵，
∴.
故答案为：.
4．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)已知，则_________．
【答案】
【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解.
【详解】原式．
故答案为：
解答题
5．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)用向量方法证明：
(1)两角差的余弦公式：
(2)柯西不等式：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）在单位圆中利用向量的数量积公式证明即可；
（2）用坐标表示向量，再利用平面向量数量积的定义以及三角函数的有界性证明即可.
【详解】（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．
则
由向量数量积的坐标表示，有：
设的夹角为θ，则
另一方面，由图（1）可知，；
由图（2）可知，，于是.
所以，也有，
所以，对于任意角有：.
（2）设，
，则，
又
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