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重难点04立体几何外接球和内切球
8大高频考点概览
考点01 墙角模型
考点02 汉堡模型
考点03 切瓜模型求
考点04 正棱锥模型
考点05 折叠模型
考点06 台体模型
考点07 锥体模型
考点08 内切球模型
1. (24-25高一下·广东湛江第二十一中学·期中)三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______.
2. (24-25高一下·广东东莞七校·期中) （多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成的角为
D．三棱锥外接球表面积为
3. (23-24高一下·广东东莞三校（大岭山中学、莞美中学、众美中学）·期中)如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
4. (22-23高一下·广东深圳人大附中深圳学校·期中) （多选）如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（ ）
A．
B．若，则该正方体外接球表面积为
C．直线和直线异面
D．如果平面平面，那么直线直线.
5. (23-24高一下·广东广州天实验学校·期中) （多选）如图，在边长为2的正方形中，E、F分别是、的中点.若沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使、、三点重合，重合后的点记为G，则（ ）
A．
B．点G到平面SEF的距离为
C．三棱锥的外接球表面积为
D．二面角等于
1. (23-24高一下·广东广州七中·期中) （多选）如图，在直三棱柱中，，侧面的对角线交点O，点E是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．直三棱柱的内置球的最大表面积为
D．的最小值为
2. (22-23高一下·广东茂名第一中学·期中) （多选）如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（　　）
A．直三棱柱的体积是1
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．的最小值为
3. (24-25高一下·广东深圳盐田高级中学·期中)已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（ ）
A． B． C． D．
4. (24-25高一下·广东深圳福田某校·期中)已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5. (24-25高一下·广东广州广州中学·期中)已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为____________．
1. (23-24高一下·广东惠州惠阳区第一中学高中部·期中)已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2. (24-25高一下·广东深圳福田区红岭中学·期中)已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为
A． B． C． D．
3. (24-25高一下·广东广州第八十九中学·期中)已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______．
4. (24-25高一下·广东揭阳揭东区第二中学·期中)已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
1. (21-22高一下·广东广州协和中学·期中) （多选）在三棱锥中，，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面 D．三棱锥的外接球表面积为
2. (20-21高一下·广东深圳南头中学·期中) （多选）已知正四棱锥的底面边长为1，且侧棱长为，点，分别为侧棱，上的动点，则下列结论中，正确的为（ ）
A．为等边三角形
B．正四棱锥的侧面积为
C．若，则平面
D．正四棱锥的外接球表面积为
3. (24-25高一下·广东惠州惠城区惠州中学·期中)如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________.
4. (23-24高一下·广东广州清华附中湾区学校·期中)长方体中，，分别为，的中点，为与的交点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5. (24-25高一下·广东广州第七中学·期中)已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1. (24-25高一下·广东佛山顺德区第一中学·期中) （多选）已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体的外接球的表面积为
B．四面体体积的最大值为
C．点D的运动轨迹的长度为
D．边AD旋转所形成的曲面的面积为
2. (24-25高一下·广东深圳深圳科学高中·期中)将一边长为2的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3. (22-23高一下·广东深圳龙岗区四校·期中) （多选）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点A至点（在平面外）的位置，则（ ）
A．在折叠过程中，总有BD⊥PC
B．存在点，使得
C．当时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当三棱锥的体积最大时，
4. (22-23高一下·广东东莞东莞七校联考·期中)已知矩形的边长分别为1，，沿对角线折起，使四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为___________．
5. (23-24高一下·广东中山中山纪念中学等五校·) （多选）如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处(平面)，若为线段的中点，平面与平面所成二面角，直线与平面所成角为，则在折起的过程中，下列说法正确的是（）
A．存在某个位置，使得
B．面积的最大值为
C．
D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
1. (24-25高一下·广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部·期中)如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2. (24-25高一下·广东广州奥林匹克中学·期中)已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3. (24-25高一下·广东汕头南澳中学·期中)正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积是____________，体积是__________
4. (24-25高一下·广东佛山南海区·) （多选）如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为，，半径分别为2和4，高为，四边形为圆台的轴截面，则（ ）
A．圆台的母线长为6 B．圆台的体积为
C．圆台的侧面积为24π D．圆台外接球的半径为4
1. (24-25高一下·广东深圳深圳大学附属中学、东莞东莞中学松山湖学校·)（多选）在圆锥SO中，底面直径MN为，母线长为2.P为底面圆周上任意一点，则（ ）
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的外接球表面积为
C．的面积最大值为 D．若，则点到平面SMP的距离为
2. (22-23高一下·广东广州白云中学·期中) （多选）在圆锥中，C是母线上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
B．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
3. (23-24高一下·广东广州南海中学·期中)已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为___________.
4. (24-25高一下·广东广州二中教育集团·期中)某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5. (24-25高一下·广东部分学校·期中)如图1，正四棱台的上底面面积为1，下底面面积为4，侧棱长为2.将正四棱台的四条侧棱延长交于点P，得到正四棱锥P-ABCD如图2所示.
(1)求正四棱台的体积；
(2)若正四棱锥的五个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积.
1. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2. (24-25高一下·广东深圳盐田高级中学·期中)已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球的表面积；
(3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
3. (24-25高一下·广东广州奥林匹克中学·期中)已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆.
(1)求其母线长；
(2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积；
(3)求此圆锥外接球的表面积.
4. (24-25高一下·广东汕头南澳中学·期中)正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
5. (24-25高一下·广东东莞翰林实验学校·期中) （多选）如图，正方体的棱长为6，P是AB的中点，是正方体的表面及其内部一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体内切球的表面积为
B．若，则动点的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为
C．若点是的外心，则
D．若动点满足，则的最小值为
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重难点04立体几何外接球和内切球
8大高频考点概览
考点01 墙角模型
考点02 汉堡模型
考点03 切瓜模型求
考点04 正棱锥模型
考点05 折叠模型
考点06 台体模型
考点07 锥体模型
考点08 内切球模型
1. (24-25高一下·广东湛江第二十一中学·期中)三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______.
【答案】
【分析】先用补形法求出外接球的半径R，再利用表面积公式即可得答案.
【详解】如图：

将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.
设长方体外接球半径为，则：，
所以，所以外接球的表面积为，
故答案为：.
2. (24-25高一下·广东东莞七校·期中) （多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成的角为
D．三棱锥外接球表面积为
【答案】AD
【分析】由线面垂直的判定及性质即可判断A；由线面关系即可判断B；由线面角的定义即可判断C；由球的表面积公式即可判断D．
【详解】对于A，连接，则，因为，所以，
因为平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，故A正确；
对于B，连接，由正方体得，，
又，所以，
因为平面，即与平面不平行，
所以与平面不平行，故B错误；
对于C，由题意知，是直线与平面所成的角，且，
所以直线与平面所成的角不是，故C错误；
对于D，由正方体得，平面，且，，
所以三棱锥外接球的直径，
所以，外接球表面积为，故D正确；
故选：AD．
3. (23-24高一下·广东东莞三校（大岭山中学、莞美中学、众美中学）·期中)如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积.
【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为、、，
四面体的外接球即为长方体的外接球，
而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为，
故，所以外接球表面积为.
故选：B.
4. (22-23高一下·广东深圳人大附中深圳学校·期中) （多选）如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（ ）
A．
B．若，则该正方体外接球表面积为
C．直线和直线异面
D．如果平面平面，那么直线直线.
【答案】BD
【分析】如图，把正方体的平面展开图还原成正方体可判断C；由异面直线所成角可判断A；求出正方体外接球的半径结合球的表面积公式可判断B；由面面垂直的性质定理可判断D.
【详解】如图，把正方体的平面展开图还原成正方体.

在正方体中，由正方体的性质知，，
所以四边形是平行四边形，则，
故异面直线与所成的角即为与所成的角为，故A项错误；
由正方体的性质知，，所以四边形是平行四边形，
所以，故C项错误；
正方体外接球的半径，所以表面积，故B项正确；
在正方体中，平面，平面，
所以平面，，平面，平面，
可得平面，，平面，
则平面平面，
平面平面于直线，
平面平面，故直线直线，故D项正确.
故选：BD.
5. (23-24高一下·广东广州天实验学校·期中) （多选）如图，在边长为2的正方形中，E、F分别是、的中点.若沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使、、三点重合，重合后的点记为G，则（ ）
A．
B．点G到平面SEF的距离为
C．三棱锥的外接球表面积为
D．二面角等于
【答案】AC
【分析】对于A：根据线面垂直的判断定理和性质定理分析判断；对于B：利用等体积法求点到面的距离；对于C：将三棱锥转化为长方体，结合长方体求外接球的半径，即可得结果；对于D：根据二面角的定义分析判断.
【详解】由题意可得：.
对于选项A：因为平面，
可得平面，且平面，
所以，故A正确；
对于选项B：在中，可得，
则边上的高为，
设点G到平面SEF的距离为，
利用等体积可得：，解得，
所以点G到平面SEF的距离为，故B错误；
对于选项C：三棱锥转化为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
所以外接球的半径，
可得外接球表面积为，故C正确；
对于选项D：因为，
所以二面角的平面角为，故D错误；
故选：AC.
1. (23-24高一下·广东广州七中·期中) （多选）如图，在直三棱柱中，，侧面的对角线交点O，点E是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．直三棱柱的内置球的最大表面积为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用余弦定理求得，即可求得侧面积，可判断A；利用正弦定理求的外接圆半径，由直棱柱性质可得外接球球心到底面的距离为1，进而可得球的半径，可判断B；当内置球与侧面相切时，利用三角形面积公式求的内切圆半径，然后比较与上下底面相切时的内切球半径即可得最大内置球的半径，可判断C；将侧面展开，根据三点共线时路径最短可判断D.
【详解】对于A，由余弦定理得，
所以，所以直三棱柱的侧面积为，A正确；
对于B，由正弦定理可得底面的外接圆半径，
易知直三棱柱的外接球球心到底面的距离为1，
所以，外接球半径，所以外接球表面积为，B正确；
对于C，若内置球与上下底面相切，则半径为1；
若内置球与三个侧面相切，由截面图可知，该球半径等于的内切圆半径，
由三角形面积公式可得，解得，
因为，所以直三棱柱的内置球的最大半径为，
所以直三棱柱的内置球的最大表面积为，C错误；

对于D，将侧面绕着旋转到与侧面共面的位置，如图，
则当共线时，取得最小值，D正确.

故选：ABD
2. (22-23高一下·广东茂名第一中学·期中) （多选）如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（　　）
A．直三棱柱的体积是1
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．的最小值为
【答案】AD
【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的体积即可判断A；直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断D．
【详解】在直三棱柱中，，，，
所以其体积，
故A正确；
对于B，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得，
其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，
所以其外接球半径为，
所以其外接球的表面积为，
故B错误；
由平面，且点E是侧棱上的一个动点，
，
三棱锥的高为定值，，
，
故三棱锥的体积为定值，故C错误；
将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，
此时，连接与相交于点E，此时最小，
即，
故D正确．
故选：AD.
3. (24-25高一下·广东深圳盐田高级中学·期中)已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据球的体积公式，三棱柱的体积公式，即可求解.
【详解】解：设正三棱柱的所有棱长均为2，
由正弦定理可知底面三角形外接圆半径为：，
则正三棱柱的外接球的半径为，
∴球的体积为，
又正三棱柱的体积为，
∴.
故选：A.
4. (24-25高一下·广东深圳福田某校·期中)已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果.
【详解】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24，
所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，
所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即，
所以球的半径为，球的表面积.
故选:B.
5. (24-25高一下·广东广州广州中学·期中)已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为____________．
【答案】/
【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成长方体，利用它们有相同的外接球，求出长方体的体对角线长即可得解.
【详解】依题意，不妨令，于是得直三棱柱共点于A的三条棱AB，AC，AA1两两垂直，，
则以AB，AC，AA1为相邻三条棱可作长方体，该长方体与直三棱柱有相同的外接球，
外接球的直径2R即为长方体体对角线长，即，
此球的体积为，
故答案为：.
1. (23-24高一下·广东惠州惠阳区第一中学高中部·期中)已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别取三角形，四边形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根据球的表面积公式求表面积即可.
【详解】
设四棱锥的外接球球心为，取中点，连接，取三角形，四边形的外心，，连接，，，，，
因为正方体的棱长为1，点为中点，所以，，，，，，所以，外接球的表面积.
故选：C.
2. (24-25高一下·广东深圳福田区红岭中学·期中)已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形是直角三角形，根据棱锥的体积求出到平面的距离，利用勾股定理计算球的半径，得出球的面积．
【详解】由余弦定理得，解得，
，即．
为平面所在球截面的直径．
作平面，则为的中点，
，
．
．
．
故选：．
【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断的形状是关键．
3. (24-25高一下·广东广州第八十九中学·期中)已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______．
【答案】
【分析】依题意可知四点共圆，可得，由余弦定理可得，且，再根据外接球直径利用勾股定理计算出外接球半径，可得球的表面积.
【详解】根据题意可知四边形的顶点在同一个圆上，连接，如下图所示：
易知，又，
在中，由余弦定理可得；
在中，由余弦定理可得;
又易知，所以可得，
解得，又，所以，
可得，即，
设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得，
解得，
又平面，且，
设四棱锥的外接球半径为，
可得，即；
因此外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用四点共圆性质得出对角线，再由正弦定理求出外接圆半径，再根据线面垂直关系可得外接球半径可得结果.
4. (24-25高一下·广东揭阳揭东区第二中学·期中)已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.
【详解】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
1. (21-22高一下·广东广州协和中学·期中) （多选）在三棱锥中，，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面 D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】BCD
【分析】对于A，利用逆推方式要证明面面垂直，就去证明线面垂直，再去证线线垂直，根据题意不存在即可判断；
对于B，根据面面垂直的判定定理及等腰三角形的三线合一即可判断；
对于C，根据线面平行的判定定理结合三角形的中位线定理即可判断；
对于D，要求三棱锥外接球的表面积，首先找出外接球的球心，在利用球的半径、截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离三者关系求出球的半径，再利用球的表面积公式即可判断；
【详解】对于A，设与的交点为，则，若平面平面，那么根据面面垂直的性质定理，必有⊥平面，此时须有成立，又因为是的中点，此时须有成立，上式显然不成立，故A不正确；
对于B，由于，为的中点，所以，， ，故平面，而平面，所以平面⊥平面，故B正确；
对于C，由, 分别为，的中点，得,平面，平面，所以因此平面，故C正确；
对于D，作平面垂足为，则为正三角形的重心，所以设三棱锥的外接球球心为，则在上，连接，设三棱锥的外接球半径为，则在中，，解得，因此其外接球表面积为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】解决此类型题的关系记住线面，面面平行与垂直的判定定理及性质定理，求外接球的问题关键核心就是找出球心，找球心的方法就是找截面圆的圆心，再做过截面圆的圆心的垂线，球心就在过截面圆的圆心的垂线上,然后球的半径、截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离三者关系求出球的半径进而可以求解关于球的任何问题.
2. (20-21高一下·广东深圳南头中学·期中) （多选）已知正四棱锥的底面边长为1，且侧棱长为，点，分别为侧棱，上的动点，则下列结论中，正确的为（ ）
A．为等边三角形
B．正四棱锥的侧面积为
C．若，则平面
D．正四棱锥的外接球表面积为
【答案】AD
【分析】选项A中由三角形三边相等可得为等边三角形；选项B中正四棱锥的侧面积等于侧面一个三角形面积乘以4；选项C中当点不是中点时，由点的位置关于线段的中点对称来说明结果；选项D中先找球心，再利用勾股定理求半径.
【详解】依题意作图：

由题知，，因为为正方形，且边长为1，所以.
所以，为等边三角形.故选项A正确；
在中，，，取的中点，连接，
则有，，.
的面积.
所以正四棱锥的侧面积为.故选项B错误；

因为为等边三角形，
当为的中点时，若，则点也是的中点，此时满足题意.
因为，分别为，的中点，所以.
因为为正方形，所以.
又为正四棱锥，所以平面，
又平面，所以.
又，在平面内，且相交于点，所以平面.
又因为，所以平面
当点不是的中点时，若，则点的位置关于的中点对称，
如图，点可能在点位置(点满足)，
也可能在点(点，关于的中点对称)位置.
因为经过一定点作平面的垂线有且只有一条，所以，不可能同时垂直平面.
故选项C错误.

因为为正四棱锥，所以其外接球球心在上，设球心为，半径为.连接，
则有.在中，，
由得，，整理得，.
所以外接球表面积.故选项D正确.

故选：AD.
3. (24-25高一下·广东惠州惠城区惠州中学·期中)如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________.
【答案】
【分析】由已知求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，证得平面，再利用相似可知，即可求得半径.
【详解】如图，记该八面体为，O为正方形的中心，则平面
设，则，解得.
在正方形中，，则
在直角中，知，即正八面体外接球的半径为
故该正八面体外接球的体积为.
若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离.
取的中点E，连接，，则，
又，，平面
过O作于H，又，，所以平面，
又，，则，
则该球半径的最大值为.
故答案为：，
4. (23-24高一下·广东广州清华附中湾区学校·期中)长方体中，，分别为，的中点，为与的交点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，确定四面体外接球球心的位置即可求得答案.
【详解】记外接圆圆心为，四面体外接球球心为O，
则球心O在过且垂直于平面MNC的直线上，记该直线与平面的交点为H，可知H点为PD的中点；
如图所示：
设四面体外接球半径为R，，
则，又因为，
所以，解得，
所以四面体外接球表面积，
故选：B.
5. (24-25高一下·广东广州第七中学·期中)已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得， 为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A

【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
1. (24-25高一下·广东佛山顺德区第一中学·期中) （多选）已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体的外接球的表面积为
B．四面体体积的最大值为
C．点D的运动轨迹的长度为
D．边AD旋转所形成的曲面的面积为
【答案】ACD
【分析】对ABCD各选项逐一分析即可求解.
【详解】解：对A：，
AC中点即为四面体的外接球的球心，AC为球的直径，
，
，故选项A正确；
对B：当平面 平面时，四面体体积的最大，此时高为，
，故选项B错误；
对C：设方形对角线AC与BD交于O，
由题意，翻折后当的最小值为时，为边长为的等边三角形，
此时，所以点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧，
所以点D的运动轨迹的长度为，故选项C正确；
对D：结合C的分析知，边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，
底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的，
即所求曲面的面积为，故选项D正确.
故选: ACD.
【点睛】关键点点睛：C选项解题的关键是点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧；D选项解题的关键是边AD旋转所形成的曲面为以A为顶点，底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面的.
2. (24-25高一下·广东深圳深圳科学高中·期中)将一边长为2的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令正方形对角线与的交点为，如图所示：
由正方形中，,
则，那么,
将正方形沿对角线折起，如图所示：

则点为三棱锥的外接球的球心，且半径为，
故外接球的表面积为.
故选：D
【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于基础题.
3. (22-23高一下·广东深圳龙岗区四校·期中) （多选）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点A至点（在平面外）的位置，则（ ）
A．在折叠过程中，总有BD⊥PC
B．存在点，使得
C．当时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当三棱锥的体积最大时，
【答案】AC
【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A，由题可得PC的取值范围可判断B，利用正方体的性质可判断C，利用三棱锥的体积的公式结合条件可求判断D.
【详解】如图所示，取PC的中点E，连接BE，DE，则BE⊥PC，DE⊥PC，
因为，BD，平面BDE，
所以PC⊥平面BDE，又平面BDE，
所以，A项正确；
在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=120°，所以，
当△ABD沿对角线BD折起时，，所以不存在点P，使得PC=2，B项错误；
当PC=1时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，
三棱锥P-BCD的外接球就是该正方体的外接球,
因为正方体的各面的对角线长为1．
所以正方体的棱长为，
设外接球的半径为R，则，
所以三棱锥的外接球的表面积，C项正确；
当三棱锥P-BCD的体积最大时，平面平面BCD，
取BD的中点O，连接PO，OC，
易知平面BCD，则，
又，
所以，D项错误．
故选：AC．
4. (22-23高一下·广东东莞东莞七校联考·期中)已知矩形的边长分别为1，，沿对角线折起，使四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为___________．
【答案】
【分析】取中点，则，从而可得球的半径为，由此能求出该球的表面积．
【详解】将长方形沿对角线折起，使顶点，，，落在同一个球面上，
取中点，则，
该球的半径为，
该球的表面积为．
故答案为：．

5. (23-24高一下·广东中山中山纪念中学等五校·) （多选）如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处(平面)，若为线段的中点，平面与平面所成二面角，直线与平面所成角为，则在折起的过程中，下列说法正确的是（）
A．存在某个位置，使得
B．面积的最大值为
C．
D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
【答案】BCD
【分析】根据线线垂直、三角形的面积公式、面面角和线面角、几何体外接球等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，设是的中点，连接，
由于是的中点，所以，
由于，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以是直线与直线所成角（或其补角）.
在三角形中，，所以，所以A选项错误.
B选项，由于，所以，
设分别是的中点，连接，则是三角形的中位线，
所以，则，
而，所以是平面与平面所成二面角，即.
当时，平面平面，
此时，由于平面平面，
所以平面，由于平面，
所以，由于平面，，
所以平面，由于平面，所以，
所以面积的最大值为，B选项正确.
C选项，过作，垂足为，连接，
由上述分析可知：，而平面，
，所以平面，由于平面，
所以，由于平面，，
所以平面，所以，
由于，而，
所以，所以C选项正确.
D选项，三棱锥体积最大时，平面平面，
由于平面平面，平面，，
所以平面，由于是的外心，是的外心，
所以是三棱锥的外接球的球心，
所以外接球的半径，表面积为.
故选：BCD
【点睛】求解异面直线所成角问题，可将两条异面直线平移到同一个平面来进行求解.求解线面角、面面角等问题，关键是作出线面角和面面角.求解几何体外接球有关问题，关键是判断出球心的位置以及求得外接球的半径.
1. (24-25高一下·广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部·期中)如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为.
根据题意列出方程，求解即可.
【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为.
因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，.
设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得，
则，所以正四棱台的外接球表面积为.
故选：D.
2. (24-25高一下·广东广州奥林匹克中学·期中)已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.
【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，

则圆台侧面积为，
上、下底面面积分别为和.
由圆台表面积为，得，
所以圆台高，
设球半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.
作于点，
设，由，则球心在圆台外部.
则有，解得，
所以球的体积为.
故选：C.
3. (24-25高一下·广东汕头南澳中学·期中)正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积是____________，体积是__________
【答案】
【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可.
【详解】

如图在正六棱台中，
因为，
所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：，
所以梯形的面积为：，
所以该正六棱台的上底面积为：，
同理下底面积为：，
所以正六棱台的表面积为：，
正六棱台的高为，
所以正六棱台的体积为：，
故答案为：；.
4. (24-25高一下·广东佛山南海区·) （多选）如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为，，半径分别为2和4，高为，四边形为圆台的轴截面，则（ ）
A．圆台的母线长为6 B．圆台的体积为
C．圆台的侧面积为24π D．圆台外接球的半径为4
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用圆台的几何结构特征，求得圆台的母线长，可得判定A错误；利用圆台的体积公式，求得圆台的体积，可判定B正确；利用圆台的侧面积公式，求得圆台的侧面积，可判定C正确；设圆台的外接球的球心到上底面的距离为，利用球的截面圆的性质，求得，进而的球的半径，可判定D正确.
【详解】由题意知，圆台的上、下底面圆的半径分别为和，高，
则圆台的母线长为，所以A错误；
圆台的体积为，所以B正确；
圆台的侧面积为，所以C正确；
设圆台的外接球的球心到上底面的距离为，
由球的截面圆的性质，可得，解得，
所以球的半径为，所以D正确.
故选：BCD.
1. (24-25高一下·广东深圳深圳大学附属中学、东莞东莞中学松山湖学校·)（多选）在圆锥SO中，底面直径MN为，母线长为2.P为底面圆周上任意一点，则（ ）
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的外接球表面积为
C．的面积最大值为 D．若，则点到平面SMP的距离为
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出圆锥的高及轴截面等腰三角形顶角，再利用锥体的体积、球的表面积、三角形面积公式求解判断.
【详解】对于A，圆锥底面圆半径，母线，则圆锥的高，体积，A正确；
对于B，圆锥轴截面等腰底角，则，外接圆直径即为圆锥外接球直径，
因此圆锥外接球半径，该球表面积，B正确；
对于C，由选项B知，则的顶角为，等腰顶角，
的面积为，当且仅当时取等号，C错误；
对于D，由，，得，，则，
，设点到平面SMP的距离为，由，
得，因此，D正确.
故选：ABD
2. (22-23高一下·广东广州白云中学·期中) （多选）在圆锥中，C是母线上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
B．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
【答案】BCD
【分析】依题意可得，对于A，利用余弦定理求出，即可判断为钝角，从而求出截面面积最大值，对于B、C、D，首先求出圆锥的高，将圆锥的侧面展开，化曲为直，利用余弦定理计算最小值，即可判断B，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积，从而判断C，再求出圆锥的内切球的半径与正四面体的外接球的半径，即可判断D；
【详解】解：依题意可知，所以．
对于A选项，，所以，
所以为钝角，
所以过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，A选项错误．
对于BCD选项，当时，，圆锥的高为．
以下分析BCD选项：
侧面展开图的弧长为，所以圆心角．
所以，B选项正确．
设圆锥的外接球的球心为，半径为，
所以，解得，
所以外接球的表面积为，C选项正确．
棱长为的正四面体如下图所示，
正方体的边长为，体对角线长为，
所以棱长为的正四面体的外接球半径为．
设内切圆的半径为，则，解得，
所以，所以棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动，D选项正确．
故选：BCD
3. (23-24高一下·广东广州南海中学·期中)已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为___________.
【答案】
【分析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，根据已知条件求出、，利用圆锥的侧面积公式可求得圆锥的侧面积.
【详解】设，球的半径为，则，球的表面积为，得，
,
在中，，即，解得，
故圆锥的侧面积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
4. (24-25高一下·广东广州二中教育集团·期中)某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知求得圆锥的高和母线长，进而判断轴截面三角形为等边三角形，得出圆锥外接球球心位置，计算得出半径，得出结果.
【详解】作出如图所示轴截面，设圆锥底面半径为，则圆锥的高，设圆锥母线长为，

由勾股定理可得 ，
因为圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，
所以，轴截面三角形面积为，
解得 ，则圆锥的高 ， 所以母线，
三角形为等边三角形，设圆锥外接球的球心与内切球的球心重合均为，
设外接球半径为，则，
根据球的表面积公式，可得.
所以该圆锥外接球的表面积为.
故选：B
5. (24-25高一下·广东部分学校·期中)如图1，正四棱台的上底面面积为1，下底面面积为4，侧棱长为2.将正四棱台的四条侧棱延长交于点P，得到正四棱锥P-ABCD如图2所示.
(1)求正四棱台的体积；
(2)若正四棱锥的五个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意易得上下底面的边长分别为1，2，连接上下底面的中心即为高，利用勾股定理即可求得高，再由棱台的体积公式即可求得结果；
（2）由比例关系可知正四棱台上底面中心为得到的正四棱锥的高的中点，则球心O在正四棱锥的顶点向下作的高线上，连接，根据题意可列出关于球的半径的方程，解之得半径，由此可算得球O的表面积.
【详解】（1）依题意，正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，，
连接，交于点，连接交于点，连接，则即为正四棱台的高，
易得，，且有，解得，
所以正四棱台的体积.
（2）因为正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，即，
所以在得到的正四棱锥中，为的中点，所以，
设正四棱锥的外接球的半径为R，
则O在上，连接，则.
在中，，得，
所以正四棱锥的外接球表面积为.
1. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用内切圆的性质，求得圆锥的底面半径和高，结合体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，设内切球与PA相切于点，
因为，所以 ，
由内切球的表面积为，可得球的半径，
则圆锥的高为，圆锥的底面半径为，
所以该圆锥的体积.
故选：A.
2. (24-25高一下·广东深圳盐田高级中学·期中)已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球的表面积；
(3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积；
（2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积；
（3）令正四棱柱的底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得.
【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得（负值舍去），
又，所以，
圆锥的侧面积.
（2）作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
（3）由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，
，
所以正四棱柱的侧面积
，当且仅当，即时等号成立，
所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
3. (24-25高一下·广东广州奥林匹克中学·期中)已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆.
(1)求其母线长；
(2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积；
(3)求此圆锥外接球的表面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由圆锥的侧面展开图扇形的弧长即底面圆的周长，得，从而高为，由轴截面面积建立的方程求解即可.
（2）由轴截面图形中的对应比例关系求解正四棱柱的高，由此可求其体积，再由间接法可得所求几何体体积.
（3）画出图形，根据即可求得半径.
【详解】（1）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为，高为，
由题意知，侧面展开图的弧长，则，
则圆锥高，
由其轴截面的面积为，解得，则，
则其母线长为.
（2）设正四棱柱的高为，棱长为，
则，则正四棱柱的底面对角线的长为，底面对角线的一半长为，
由图可得，所以，
故正四棱柱的体积为，
因圆锥体积为.
所以该几何体的体积为.
（3）设底面圆周上一点为，底面圆心为，球心为，球的半径为，
则在中有，，
即，得，
则圆锥外接球的表面积为
4. (24-25高一下·广东汕头南澳中学·期中)正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，
设正方体的棱长为，内切球的半径为，外接球的半径为，
则，所以，所以，故选D.
5. (24-25高一下·广东东莞翰林实验学校·期中) （多选）如图，正方体的棱长为6，P是AB的中点，是正方体的表面及其内部一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体内切球的表面积为
B．若，则动点的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为
C．若点是的外心，则
D．若动点满足，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】由球的体积以及表面积公式即可判断AB，由，结合数量积的运算律代入计算，即可判断C，由题意可得三点共线，然后将正方体展开，结合勾股定理代入计算，即可判断D
【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则其内切球的半径，
内切球的表面积为，故A正确；
对于B，由条件可知，点的轨迹是以为球心，为半径的球的，
则的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为，故B错误；
对于C，因为是以为边长的等边三角形，
若点是的外心，即是的重心，
由重心定理可得，
则
，故C正确；
对于D，若动点满足，
由三点共线定理可知，三点共线，即点在线段上，
将平展在一个平面中，如图所示：
则，
故，
故的最小值为，故D 正确.
故选：ACD
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