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专题02 解三角形
2大高频考点概览
考点01正弦定理与余弦定理
考点02正弦定理与余弦定理的实际应用
一、单选题
1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】由正弦定理，即，解得，
又，所以，所以.
故选：B
2．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】理由正弦定理，将问题转换为三角方程根的个数求参数问题即可.
【详解】由正弦定理有，即，即有两解，
因为，所以，从而，解得.
故选：C.
3．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在原图形中，由勾股定理求出，根据斜二测画法得到，，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】根据题意，中，，，，
由勾股定理得，
在直观图中，
，，
故的面积.
故选：B
4．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.如果，，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理，即可求解.
【详解】根据余弦定理,
即.
故选：C
5．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得.
【详解】因为，则由正弦定理得，
又，
所以，
则，
又，，则
所以或，即或（舍去），
所以，解得，则，
所以
因为，
所以
因为，所以，所以，
即的取值范围是．
故选：D．
6．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别为．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理计算即可.
【详解】由余弦定理可得，
所以（负值舍去）.
故选：A
7．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理化简，可设，再根据化简求解即可.
【详解】∵，
∴由正弦定理得，
即，
令，，，显然，
∵，
∴，即，
故，由，解得，
∴.
故选：D
8．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】由正弦定理直接求解即可.
【详解】由正弦定理可得：，
所以，
因为，所以，
所以或，
故选：C
二、多选题
9．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则（ ）
A．
B．若，且有两解，则b的取值范围是
C．若，则
D．若且，则是等边三角形
【答案】ABD
【分析】A利用角的范围解三角方程即可；B利用正弦定理即可；C利用余弦函数的单调性；D利用余弦定理求出，再解方程组即可.
【详解】由得，，
由，得，解得，选项A正确；
对于B，因为，，
则在中由正弦定理可得，，即，
又有两解，则,得，
则b的取值范围是，故B正确；
对于C，因，根据余弦函数的单调性可知，，故C错误；
对于D，因，，则由余弦定理可得，，得，
故，
所以是等边三角形，故D正确.
故选：ABD
10．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，，则周长的最大值为6
D．若，，，则有两解
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理、三角函数性质以及三角形解的个数判断等知识，对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】对于A选项，根据正弦定理（为外接圆半径），
可得，.
若，则，即.在三角形中，大边对大角，所以；
反之，若，则，那么，即.
所以“”是“”的充要条件，选项正确.
对于B选项，已知，根据三角函数性质可知或.
当时，，此时为等腰三角形；
当时，，则，此时为直角三角形.
所以不一定为等腰三角形，B选项错误.
对于C选项，已知，，由余弦定理可得：
.
根据基本不等式则有：.
即，所以（当且仅当时取等号）.
那么周长，即周长的最大值为，C选项正确.
对于D选项，已知，，，由正弦定理可得：
.
因为，所以，，则可能为锐角也可能为钝角，
所以有两解，D选项正确.
故选：ACD.
11．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（ ）.
A．若，，，则的面积为.
B．若，则为钝角.
C．若为锐角三角形，则.
D．若，，且有两解，则b的取值范围是.
【答案】BCD
【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A、B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D.
【详解】A.在中，若，，，
则由正弦定理得，解得，
因为，所以或，故或，
所以的面积或，故A错误.
B.在中，若，则，
因为，所以为钝角，故B正确.
C.因为是锐角三角形，所以，故，
因为，所以，
又因为在上单调递增，所以，故C正确.
D.如图所示，
若有两解，则，解得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为______.
【答案】
【分析】由得，根据正弦定理、余弦定理化简可得的外接圆半径为，根据向量数量积几何意义可知当点与点重合时，有最小值.
【详解】因为，，且，
则，
利用正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，
且，则，
又因为，可得的外接圆半径为，
可知点在优弧上运动（不包括端点），
过外接圆圆心作，当点与点重合时，在方向上的投影最小，
此时，，.
根据数量积的几何意义可知：的最小值为.
故答案为：.
13．（24-25高一下·山东济南·期中）在锐角中，角所对的边分别为，面积为，且，若，则面积的取值范围是_______
【答案】
【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，代入面积公式结合角C的范围运算求解.
【详解】因为，则，
整理可得，且，可知，
由题意可得：，解得，
由正弦定理可得，
则面积，
因为，则，可得，
所以面积.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理、余弦定理得出面积的表达式，再结合求出面积的取值范围.
四、解答题
14．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知分别是的三个内角的对边，且满足．
(1)求；
(2)若，的面积为，求．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）利用正弦定理边化角运算求解；
（2）由（1）结合三角形面积公式得，利用余弦定理及运算得解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，，
又，解得，
因为，所以或.
（2）由（1）得：，所以.
又，所以.
由余弦定理及得：.
当时，，所以.
当时，，所以.
所以或.
15．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
(1)求B；
(2)设D为的中点，；求：（i）面积的最大值；（ii）的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角；
（2）（i）利用余弦定理和基本不等式求出三角形面积的最大值；（ii）通过向量运算和已知条件求出的最大值.
【详解】（1）由正弦定理可化为，
即，
所以，，
所以，，
因为，所以，，有如下几种情况：
，即，矛盾；
，即，矛盾；
，可得，解得.
（2）（i）由余弦定理、基本不等式可得
，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，，
故面积的最大值为；
（ii）因为为边的中点，则，即，
所以，，
所以，，
又因为，
所以，，
由（i）知，可得，解得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
16．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知分别是的内角的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，从而有，即可求解；
（2）根据条件，利用平方关系得到，由三角形面积公式得，再结合（1）中结果，由余弦定理得到，即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
整理得到，即，
即，由正弦定理得，即.
（2）由，得，
又，得，
由余弦定理，且由（1）知
所以，整理得，
即，解得或（舍），
所以，.
17．（24-25高一下·山东济宁·期中）的内角、、的对边分别为、、，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长；
(3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得，解方程求；
（2）由条件结合三角形面积公式可求，再由关系结合三角形面积公式列方程求；
（3）在中利用正弦定理结合条件求的范围，在中结合余弦定理求的范围，再求结论.
【详解】（1）设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，，，
因为，
所以，
又，
所以，
所以，又，故，
所以，因为，故，
所以，故，
所以；
（2）因为的面积为，又的面积，，
由（1），所以，
因为为角的角平分线，故，
又，
所以，即，
所以；
所以的长为；
（3）在中由正弦定理可得，
由（1），又，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，，
所以，故，
所以，
在中由余弦定理可得，
又，，，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
18．（24-25高一下·山东泰安·期中）在中，角，，所对的分别为，，.向量，，且.
(1)求的大小；
(2)若，，求，的值.
(3)若，，求的面积
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得，结合正弦定理边化角以及同角三角函数关系即可求得答案；
（2）由余弦定理、三角形边角关系，结合已知求得.
（3）由余弦定理可求得c，利用三角形面积公式即可求得答案.
【详解】（1）因为，，且，
所以，
由正弦定理，得，
又，
所以，从而，
因为，所以.
（2），
又，即，
,解得.
（3）由余弦定理，得，
而,,，得，即，
因为，所以，
故的面积.
19．（24-25高一下·山东泰安·期中）在面积为的中，内角，所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求的周长；
(3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角.
（2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长.
（3）根据三角形面积公式得到与面积的关系，再利用正弦定理和锐角三角形的条件确定角的范围，从而得出面积的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理得，所以，
所以，由余弦定理，，
因，则.
（2）由余弦定理，，即，
又，由条件知，所以，
所以，，.
所以周长为.
（3）由可得：
由正弦定理，，即得：，
则
由为锐角三角形可得，，解得：，
则，，故得，
即面积的取值范围为.
20．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，，求a、c.
【答案】(1)
(2)，或，
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式求出，即可得解；
（2）首先求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理求出，最后解得即可.
【详解】（1）因为，
即，
即，
由正弦定理可得，
，，
，，，
，.
（2）由（1）可得.
，，
，又，
即，
，由，解得或.
21．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，当的周长取最大值时，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到；
（2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，且，所以，
又因为，，
所以，即.
（2）在中，由余弦定理，
得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为，
此时面积.
22．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且.
(1)求C；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解；
（2）首先根据余弦定理求边，再根据等面积转化求内切圆半径；
（3）首先根据求得，再根据正弦定理求角的三角函数值.
【详解】（1）因为，
所以.
由正弦定理得，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，代入数据得.
因为的面积，
所以内切圆的半径.
（3）因为，是角平分线，即，
因为，
所以
由正弦定理可知，
所以，
整理可得.
又因为，即，
∴
且∵∴
解得.
一、单选题
1．（24-25高一下·山东济宁·期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（ ）米.
A．54 B．30 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可.
【详解】根据题意，，，
所以，
在中由正弦定理可知，
所以，
在中，
所以.
故选：B．
二、填空题
2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）如图，的内角的对边分别为，且满足，，设，，则四边形面积的最大值为______.

【答案】
【分析】根据条件，利用正弦定理边角转换得到，从而有，由余弦定理得到，再利用三角形面积公式，得到，即可求解.
【详解】由，得到，
整理得到，
所以，得到，
所以，又，所以，
又，，所以，
则，
所以四边形的面积为，
又，则，当，即时，四边形的面积最大，最大值为，
故答案为：.
三、解答题
3．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，是以点为圆心，为半径的上的点，点、关于直线对称，，．如果以线段所在直线为实轴，以线段所在直线为虚轴，建立复平面． 则两点在复平面内对应的复数分别为．
(1)求的值；
(2)求的正弦值；
(3)点在何位置时，五边形的面积取到最大值，并求出该最大值．
【答案】(1)60
(2)
(3)点是圆弧的中点，
【分析】（1）根据复数的几何意义得点的坐标，法1，求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求解；法2，求出及的夹角，利用数量积的定义求解；
（2）法1，由题求出向量的坐标，利用向量夹角公式求出，进而求得答案；法2，由余弦定理求得，再由正弦定理求得答案；
（3）因为的面积是定值，所以只需求的面积的最大值，即点是圆弧的中点时，由运算得解.
【详解】（1）解法一：
因为两点在复平面内对应的复数分别为，
所以,
从而，
因此.
解法二：
因为两点对应的复数分别为，
所以,
从而，
因此.
（2）解法一：
由（1）知，，从而可得：
.
所以，
可得.
解法二：由（1）知，,
由余弦定理得：
，所以.
由正弦定理得：,
所以得：.
（3）由题意可知，的面积是定值，因为点与点关于直线对称，
所以只需求的面积的最大值即可.
在中，的长度是定值，故只需求点到直线的距离的最大值，
因为曲线为圆弧，所以当点是圆弧的中点时，点到直线的距离最大，
从而的面积达到最大.
连接,因为，
可知,
又因为,
五边形的面积为，则有
.
4．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围.
【详解】（1）由函数的部分图象可知，，
所以，所以，所以函数，
又，所以，
解得，由可得，
所以；
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
方程在上有两个不等实根，
则与在上有两个不同的交点，
由，令，有，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
又，，，
结合图象可知，，则实数的取值范围为.
5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知.
(1)求，的值；
(2)若，为锐角，且，求.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先利用诱导公式化简条件求得，然后化切为弦，结合列方程求解即可；
（2）利用两角和的正切公式求得，然后利用角的范围及特殊角的正切值即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，又，
所以，则或；
（2）由，，
可得，
因为，为锐角，所以，所以．
6．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知是偶函数，且其图象关于点对称.
(1)求的解析式；
(2)若将图象上的所有点向右平移个单位，再将得到的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，证明：有且只有一个零点，且.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数是偶函数得出，再根据函数的对称中心得出，即可得出解析式；
（2）根据函数的平移伸缩得出，再结合零点存在定理及单调性值域证明零点个数，根据函数的单调性证明不等式.
【详解】（1）函数是上的偶函数，
∴又∵∴，
∴，∵图象关于点对称，
∴.
∴，∴，，
∴，所以；
（2）若将图象上的所有点向右平移个单位得出，
再将得到的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数，
所以，，
因为单调递增，，
所以，所以只有一个零点，
当，所以无零点，
当，所以无零点，
故函数有且只有一个零点，
因为，且单调递增，所以.
7．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量集（且），记向量，若存在向量，使得，则称是的“平衡向量”.
(1)已知向量，，，若是向量集的平衡向量，求实数的取值范围；
(2)若向量集，，且，则中是否存在平衡向量？若存在，求出所有的平衡向量，若不存在，请说明理由；
(3)已知向量，，均为向量集的平衡向量，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列，其中，且，，，求.
【答案】(1)
(2)存在；.
(3).
【分析】（1）根据平衡向量的定义，列不等式，求的取值范围即可得；
（2）利用三角函数的周期性可得，对两边同时平方，解方程即可得出答案；
（3）由定义，结合模长公式可得，由此求出，由条件列式，变形为，求出，即可求出．
【详解】（1）因为，，，
故，，
由于是向量集的平衡向量，所以
即，即，
解得：，
（2）因为，由于均为周期函数，
且周期为，而,
故，
若中是存在平衡向量，则存在，使得
故，
即，
故，故,
解得，，，
当时，；当时，；当时，，
即,
故存在平衡向量，平衡向量为.
（3）向量，，均为向量集的平衡向量，故，
即，，
即，同理，，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由，，，
得，所以，设,，
因为，，，
则依题意得：，
即，
得，
，……，
，
以上个式子相加化简得：，
又，
所以，
，所以，
.
8．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A、B之间的距离是，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄A、C之间的距离是6km，先要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍．
(1)判断村庄C在村庄B的什么方向上？并说明理由．
(2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和．
【答案】(1)村庄在村庄的正西方向，理由见解析
(2)千米
【分析】（1）由余弦定理求得，由正弦定理求得，知村庄在村庄的正西方向；
（2）由题意得出，再用余弦定理可求得，从而得距离之和．
【详解】（1）由题意可得，，，
在中，由余弦定理可得，
则，故，
即村庄，之间的距离为干米，
在中，由正弦定理可得，
则，从而，
故村庄在村庄的正西方向；
（2）因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以.
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
解得或（舍去），则，
故，
即农贸市场到村庄 的距离之和为千米.
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专题02 解三角形
2大高频考点概览
考点01正弦定理与余弦定理
考点02正弦定理与余弦定理的实际应用
一、单选题
1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.如果，，，那么（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别为．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（ ）
A． B． C．3 D．
8．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
二、多选题
9．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则（ ）
A．
B．若，且有两解，则b的取值范围是
C．若，则
D．若且，则是等边三角形
10．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，，则周长的最大值为6
D．若，，，则有两解
11．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（ ）.
A．若，，，则的面积为.
B．若，则为钝角.
C．若为锐角三角形，则.
D．若，，且有两解，则b的取值范围是.
三、填空题
12．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为______.
13．（24-25高一下·山东济南·期中）在锐角中，角所对的边分别为，面积为，且，若，则面积的取值范围是_______
四、解答题
14．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知分别是的三个内角的对边，且满足．
(1)求；
(2)若，的面积为，求．
15．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
(1)求B；
(2)设D为的中点，；求：（i）面积的最大值；（ii）的最大值.
16．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知分别是的内角的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求.
17．（24-25高一下·山东济宁·期中）的内角、、的对边分别为、、，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长；
(3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围.
18．（24-25高一下·山东泰安·期中）在中，角，，所对的分别为，，.向量，，且.
(1)求的大小；
(2)若，，求，的值.
(3)若，，求的面积
19．（24-25高一下·山东泰安·期中）在面积为的中，内角，所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求的周长；
(3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围.
20．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，，求a、c.
21．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，当的周长取最大值时，求的面积.
22．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且.
(1)求C；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
一、单选题
1．（24-25高一下·山东济宁·期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（ ）米.
A．54 B．30 C． D．
二、填空题
2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）如图，的内角的对边分别为，且满足，，设，，则四边形面积的最大值为______.

三、解答题
3．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，是以点为圆心，为半径的上的点，点、关于直线对称，，．如果以线段所在直线为实轴，以线段所在直线为虚轴，建立复平面． 则两点在复平面内对应的复数分别为．
(1)求的值；
(2)求的正弦值；
(3)点在何位置时，五边形的面积取到最大值，并求出该最大值．
4．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围．
5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知.
(1)求，的值；
(2)若，为锐角，且，求.
6．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知是偶函数，且其图象关于点对称.
(1)求的解析式；
(2)若将图象上的所有点向右平移个单位，再将得到的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，证明：有且只有一个零点，且.
7．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量集（且），记向量，若存在向量，使得，则称是的“平衡向量”.
(1)已知向量，，，若是向量集的平衡向量，求实数的取值范围；
(2)若向量集，，且，则中是否存在平衡向量？若存在，求出所有的平衡向量，若不存在，请说明理由；
(3)已知向量，，均为向量集的平衡向量，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列，其中，且，，，求.
8．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A、B之间的距离是，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄A、C之间的距离是6km，先要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍．
(1)判断村庄C在村庄B的什么方向上？并说明理由．
(2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和．
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