资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01平面向量及其应用
22大高频考点概览
考点01向量的加减法与数乘向量
考点02向量共线定理的应用
考点03平面向量的线性表示
考点04 平面向量基本定理求参数
考点05 平面向量的坐标运算
考点06 向量共线的坐标运算
考点07向量的数量积
考点08 向量的夹角
考点09 向量的模长
考点10 向量的投影
考点11向量垂直的应用
考点12 向量夹角为锐角钝角问题
考点13 向量与最值取值范围问题
考点14 平面向量与四心与面积比问题
考点15 向量的新定义
考点16 正余弦定理解三角形
考点17 正余弦定理的边角互化
考点18 三角形周长面积问题
考点19 三角形形状问题
考点20 三角形个数问题
考点21 多三角形问题
考点22 最值与取值范围问题
1. (24-25高一下·广东佛山南海区·)（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量加法和减法运算公式化简求值.
【详解】.
故选：D.
2. (24-25高一下·广东省东莞市嘉荣外国语学校·期中)（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算求解.
【详解】由向量的线性运算可得．
故选：B．
3. (24-25高一下·广东省东莞市嘉荣外国语学校·期中)在中，，，，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．
【答案】ACD
【分析】设三角形的重心为，根据三角形重心公式可判断A选项；由，，可判断B选项；设的中点为，根据是三角形的重心，结合A选项可判断C选项；设的中点为，利用三角形的中点向量可判断D选项.
【详解】设三角形的重心为，由，，根据三角形重心公式，可得，，
又，即，可得，则，故A正确；
因为，，故B错误；
设的中点为，因为是三角形的重心，故，，故C正确；
设的中点为，有，而，故，故D正确.
故选：ACD.
4. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)设P是所在平面内的一点，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】移项得.故选B
5. (24-25高一下·广东东莞五校·)《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形．其中为正八边形的中心，若，点为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正八边形的结构特征，结合向量数量积的几何意义及线性运算逐项分析判断.
【详解】在正八边形中，线段被点平分，，
，在中，，
对于A，当点在线段上时，在上的投影向量的模最大，而，
因此的最大值为，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，在中，，
，C错误；
对于D，，因此，D错误.
故选：A
1. (23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)（多选）已知向量，，且向量满足，则（ ）
A．
B．向量与的夹角为
C．
D．向量在方向上的投影向量的长度为
【答案】AB
【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解．
【详解】向量，，则，
∵向量满足，∴，解得或，
又因为，所以，所以，
对于A，，故A正确；
对于B，，
，，
向量与的夹角为，则，
因为，所以，故B正确；
对于C，，由于，所以不平行，故C错误；
对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误．
故选：AB．
2. (24-25高一下·广东东莞嘉荣外国语学校·期中)已知是平面内不同的四点，设甲：；乙：四边形为平行四边形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断.
【详解】一方面，时，可能四点共线，此时不构成四边形，故充分性不成立；
另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，故必要性成立．
所以甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故选：B.
3. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)已知，且与的夹角为，求：
(1)求；
(2)求；
(3)若向量与平行，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用数量积的定义计算；
（2）利用向量求模公式即可；
（3）利用向量共线定理计算.
【详解】（1）由题意可得.
（2）.
（3）因与不共线，则，
由向量与平行可知，存在实数使得，
即，
则，得.
4. (24-25高一下·广东汕头潮南区某校·期中)设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为______．
【答案】
【分析】根据三点共线，得到，由此列方程组，解方程组求得的值.
【详解】由于三点共线，所以，即，
所以，解得.
故答案为：
5. (24-25高一下·广东江门新会区陈经纶中学·期中)已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.
(1)用、表示向量、；
(2)若向量与共线，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）分析可知为的中点，利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式；
（2）分析可知，存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.
【详解】（1）解：因为，结合图形可知为的中点，
所以，，
因为，则，
所以，.
（2）解：因为，
因为向量与共线，则存在，使得，
即，所以，，解得.
1. (23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)在中，，，若点D满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以有，
.
故选：A
2. (24-25高一下·广东惠州五校·)在中，点在AB边上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例关系可得，再以为基底表示出向量即可.
【详解】由可得，
所以.
故选：C.
3. (24-25高一下·广东湛江·期中)如图，在中，，，且，，是和的交点．
(1)用，表示，．
(2)证明：．
(3)证明：是线段的中点．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由，可得，再由，求出；
（2）利用数量积运算求解；
（3）由三点共线与三点共线，进行求解判断.
【详解】（1）因为，所以，则．
因为，所以，
则．
（2）证明：由（1）可得
．
因为，，所以，则．
（3）证明：因为三点共线，
所以．
因为三点共线，所以，
则，解得，即，
故是线段的中点．
4. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．
(1)若，请用向量来表示向量；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1);
(2)
【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式；
（2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由图和题设条件可得：
；
.
（2）由图和可得：，即（*），
因，
当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则，
由（*）可得：，即，
因三点共线，故，
又因，
当且仅当时，即时，等号成立，
即时，的最小值为.
5. (24-25高一下·广东东莞第十一中学·)在中，点在线段上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算公式化简可得答案.
【详解】因为，所以，
.

故选：D.
1. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)若是的重心，且（为实数），则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得.
【详解】
如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点，
则，代入整理得，
因点在上，故得，则.
故选：B
2. (24-25高一下·广东深圳·期中)在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的加法法则和数乘向量的运算法则即可求出.
【详解】由点是线段的中点，得，
由，且四边形为平行四边形，得，
则
，
故.

故选：A
3. (24-25高一下·广东肇庆第六中学·期中)如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】A
【分析】由题意可得，从而可得，再由三点共线，即可得答案.
【详解】因为点是线段的中点，则，
则，
因为三点共线，
所以.
故选：A.
4. (23-24高一下·广东惠州惠州中学·期中)如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可.
【详解】因为，，
所以.
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
5. (24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理，结合正弦定理可得解.
【详解】
如图，过点作，交于点，作，交于点，
则.
因为，
所以，，，，.
因为，且，
所以由正弦定理得，
得，
故选：D.
1. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知向量，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得.
【详解】由，可得，
则.
故选：D.
2. (24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】由题意或，结合向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】由线段的一个三等分点为，得或，
若，则，所以；
若，则，所以．
故选：B.
3. (24-25高一下·广东东莞第十一中学·) (多选)已知向量，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若且，则 D．与夹角的余弦值为
【答案】BCD
【分析】由平面向量的坐标运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，则，故B正确；
对于C，由可得，解得，故C正确；
对于D，，，
，
所以，故D正确；
故选：BCD
4. (24-25高一下·广东清远四校联盟·期中) (多选)已知平面向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】ACD
【分析】根据向量的坐标运算即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, ，A正确，
对于B，，故B错误，
对于C, ，故，C正确，
对于D，，故与的夹角为，故D正确，
故选：ACD
5. (24-25高一下·广东深圳第七高级中学·期中)已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______．
【答案】
【分析】由题，设，代入坐标运算解方程求出点的坐标.
【详解】由题，设，
所以，即，
所以，解得，
所以点的坐标为.
故答案为：
1. (24-25高一下·广东深圳宝安中学·期中)已知向量，，，若A，C，D三点共线，则_____.
【答案】
【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值.
【详解】由，又A，C，D三点共线，
所以且，则，可得.
故答案为：
2. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题可先求出的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解的值.
【详解】已知，，
可得.
已知，且，所以，
即，解得.
故选：C.
3. (23-24高一下·广东惠州三校·期中)已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示计算得解.
【详解】由，得，而，与平行，
因此，解得，
所以实数λ的值为.
故选：D
4. (24-25高一下·广东茂名高州·期中)已知向量，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可.
【详解】因为，所以，则，解出.
故选：D.
5. (24-25高一下·广东东莞嘉荣外国语学校·期中)已知为方程的一个解，设，在复平面内对应的点分别为，坐标原点为，为第一象限内一点．
(1)求；
(2)设与交于点，求的值；
(3)中，为延长线上的一点，记，，所对应的复数分别为，，，且，求的值．
【答案】(1)0
(2)
(3)．
【分析】（1）求出点坐标，根据复数的几何意义得到点的坐标，由向量的数量积运算求得答案；
（2）设，求出点坐标，利用与共线，求出得解；
（3）由题可得，所以是的外角平分线，过作交的延长线于，可得，计算得解.
【详解】（1）由方程，解得，
又因为在第一象限，故，则点坐标为，
由复数几何意义可得，，
故，，
故.
（2）设，其中，设点，则，
故，即，，
又，，
因为与共线，所以 ，
即，所以，
解得，所以.
（3）由，可得，
又点对应的复数为，，所对应的复数分别为，，可得是的外角平分线，
过作交的延长线于，可得平分，又，故，
故，，，
，，
故，故.
1. (24-25高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)若，，与的夹角为，则（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【分析】应用平面向量数量积公式计算求解.
【详解】因为，，与的夹角为，
则.
故选：D.
2. (24-25高一下·广东佛山南海区·)已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】根据题意，求得为等腰直角三角形，且，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】因为，可得，所以为的中点，
所以为的直径，可得，
又因为，所以为等腰直角三角形，且，
所以.
故选：A.
3. (24-25高一下·广东深圳中学·期中))(多选)四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（ ）
A．
B．当时，为中点
C．的最小值为
D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可.
【详解】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,

因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、）
则，，，，设 ，
对于A，，，所以，故A选项正确；
对于B，，，，由于，
所以，解得，则为中点，故B选项正确；
对于C，，，则，
所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确；
对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确；
故选：ABD
4. (24-25高一下·广东湛江·期中)已知向量，，若，则（ ）
A． B．0 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由向量线性运算的坐标表示及垂直的坐标表示，列出等式求解即可.
【详解】由题意可得，
因为，
所以，
解得．
故选：A
5. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，，
(1)求的值；
(2)若F为线段BE上的动点，G为AF中点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立直角坐标系得出再代入计算求解系数即可；
（2）设，结合中点坐标得出 ，再应用数量积坐标公式结合二次函数值域计算求解.
【详解】（1）以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
可得，，，
因为，
则，所以；
（2）因为点F在线段BE：，上，
设，，且G为AF中点，则，
可得，，
则，
且，函数单调递增，
所以当时，取到最小值为；
1.(24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由数量积的运算律结合夹角的计算代入即可.
【详解】设与的夹角为，，
由题意可知，，，
则，即，故，结合，解得.
故选：A
2. (24-25高一下·广东普宁国贤学校等校·期中)如图，平行四边形中，点是的中点，，，设，．
(1)用，表示，；
(2)若，，求的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算即可求解；
（2）先根据平面向量模的求法及向量数量积的运算法则求出 ，；再根据向量夹角的求法即可求解.
【详解】（1）由平行四边形性质可得：.
因为点是的中点，
所以.
又因为，，
所以，
.
（2）因为，，
所以， .
又因为，
，
所以
.
3. (24-25高一下·广东深圳·期中)若是夹角为的两个单位向量，则．
(1)求和；
(2)求与的夹角．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由向量数量积的运算性质即可求解；
（2）由向量数量积的运算性质及夹角公式即可求解；
【详解】（1）因为是夹角为的两个单位向量，所以，
所以，
所以，．
（2）因为，
所以，
因为，所以与的夹角为．
4. (24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·月考)已知向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)；
(3)求向量与向量的夹角.
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）由数量积公式直接得答案；
（2）由，再结合（1）的结论可求得答案；
（3）由向量夹角公式结合数量积公式即可求得答案.
【详解】（1）因为向量与的夹角为，且，，
则.
（2）.
（3）设向量与向量的夹角，
可得，
且，则，所以向量与向量的夹角为.
5. (24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)已知向量，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
(3)求向量与向量的夹角余弦值．
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）首先求出，的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；
（3）首先求出的坐标，再根据夹角公式计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，
，
∵，∴，
解得.
（2）由题意得，，
∵，∴，
解得.
（3）因为，
所以，，
又，
设向量与向量的夹角为，
所以.
1. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)若向量，满足，，，则______．
【答案】
【分析】根据题设，由平面向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】由，有，即，得，
又，得．
故答案为：.
2. (24-25高一下·广东东莞第十一中学·)已知，，.
(1)求与的夹角；
(2)若，且，求t及.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由及，求解即可；
（2）由及向量的线性运算，即可求出的值，再由向量的模的公式求解即可.
【详解】（1）解：
，
所以，
又，
所以.
（2）解：由题意知
，
即，解得，
所以，
，
所以.
3. (24-25高一下·广东湛江·期中)若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是__________.
【答案】2
【分析】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为中的最小值问题，再借助三角函数求解即可.
【详解】如图：
设，，则，依题意.
过作 ，垂足为，则，
即的最小值是2.
故答案为：2.
4. (24-25高一下·广东深圳盐田高级中学·期中)已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，，求与的夹角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，即可求解；
（2）根据向量平行的坐标运算求出，再根据向量夹角的坐标运算可得结果.
【详解】（1）由，可得，即．
又，，所以，，
所以，解得．
（2）因为，，所以，
又，所以，解得，所以.
又，
所以，
所以与的夹角的余弦值为．
5. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知向量满足.
(1)若向量的夹角为，求的值；
(2)若 ，求向量的坐标.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据题意，由向量的模长公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设，然后列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，且向量的夹角为，
则，
则.
（2）设，因为 ，且，
则，解得或，
所以或.
1. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________．
【答案】
【分析】利用投影向量的定义计算即得.
【详解】在方向上的投影向量为.
故答案为：
2. (24-25高一下·广东东莞第十一中学·)已知，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量公式结合数量积坐标公式及模长公式计算求解.
【详解】因为，，
则在方向上的投影向量为.
故选：B.
3. (24-25高一下·江苏南京六校联合体·调研)已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由投影向量计算公式，可得答案.
【详解】在上的投影向量.
故选：C.
4. (24-25高一下·广东佛山南海区·)已知向量，，，且，.
(1)求向量，的坐标；
(2)若，.
（i）求与的夹角；
（ii）求向量在向量上的投影向量的坐标.
【答案】(1)，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列式求解；
（2）（ⅰ）首先求向量和的坐标，再代入向量夹角的坐标公式，即可求解；（ⅱ）代入投影向量的坐标公式，即可求解.
【详解】（1）因为，所以.解得.
因为，所以.解得.
所以，.
（2）（i）.
.
所以.
因为，所以.
（ii）设向量在向量上的投影向量为，则.
5. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求在方向上投影向量的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直和向量线性运算的坐标表示求解即可；
（2）根据向量平行的坐标表示求出，结合投影向量的公式计算即可.
【详解】（1）由可得：，
即，
解得.
（2）由，可得，即，
解得，则，
因在方向上投影向量为，
故其坐标为：.
1. (24-25高一下·广东深圳·期中)已知，若，则_____．
【答案】
【分析】根据向量数量积坐标公式计算求参.
【详解】已知，
又因为，所以，所以
则．
故答案为：.
2. (24-25高一下·广东衡水大联考·月考)已知向量，，满足，则______．
【答案】82
【分析】根据向量的坐标运算及垂直的坐标表示可得答案.
【详解】由题意可得，
且，
解得．
故答案为：82
3. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中) (多选)已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最大值为 D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示与同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用平面向量模的三角不等式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对A：若，则，解得，A正确；
对B：若，则，所以，
所以，B错误；
对C：因为，，而，
当且仅当、反向时等号成立，此时，解得，
即当时，取最大值，C对；
对D：若，即，故，
所以，D正确．
故选：ACD.
4. (24-25高一下·广东惠州五校·)已知是边长为的正三角形，EF为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律由表示，再求出最大值.
【详解】如图，EF为外接圆的直径，为EF的中点，则外接圆半径为，
则，
当为正边的中点时，，所以的最大值为3.
故选：C
5. (24-25高一下·广东湛江廉江实验学校·期中)已知向量，
(1)若，求实数x的值．
(2)若，求实数x的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据向量平行列方程，由此求得.
（2）根据向量垂直列方程，由此求得.
【详解】（1），
若，则.
（2）若，则，
，解得或
1. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________．
【答案】
【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.
【详解】向量，，且与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）.
当时，则，解得.
当当反向共线时，，解得.
综上所得，求实数的取值范围为.
故答案为：.
2. (23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)已知向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)当为何值时？
(3)当为何值时 ，此时它们是同向还是反向？
【答案】(1)
(2)
(3)，反向
【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果；
（2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果；
（3）利用向量共线的充要条件得，根据平面向量基本定理，可得解.
【详解】（1）由已知得，
因为 .
所以
（2）若，即，
所以，即，解得，
即当时，.
（3）若 ，即，
根据平面向量基本定理可得，解得，
此时与反向.
3. (24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)已知，，其中，是夹角为的单位向量．
(1)当，求与夹角的余弦值；
(2)若与夹角为钝角，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积中向量夹角余弦公式，已经向量的模长计算方法，求出向量夹角余弦值.
（2）根据向量夹角为钝角时，向量数量积小于零，但不反向共线的性质，列出不等式，求出参数范围.
【详解】（1）根据题意，当时，是夹角为的单位向量，
所以，
又因为，
所以，
又，
所以，
即向量与夹角的余弦值为．
（2）根据题意，因为与的夹角为钝角，
所以且不共线，
所以，且，
即，且，
所以且，
故的取值范围为．
4. (24-25高一下·广东普宁兴文中学·期中)已知向量，.
(1)若，求实数的值；
(2)若为钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）利用向量数量积的运算法则得到，从而利用向量数量积的坐标表示即可得解；
（2）由题意到得，且与不平行，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）由，则，
即，
即，得.
（2）若为钝角，即且不共线，
即，得，且，
得且，综上解得且.
5. (24-25高一下·广东广州第六中学·期中)已知平面向量，，，．
(1)若，求x的值；
(2)若，求的值．
(3)若与的夹角是锐角，求x的取值范围．
【答案】(1)或3；
(2)或5；
(3)
【分析】（1）根据两向量垂直数量积为列方程求解.
（2）根据两平行向量坐标之间的关系列方程求解出x，代入得到的坐标，再代入向量模的公式进行求解.
（3）与的夹角是锐角，则且两向量不共线.
【详解】（1）若，则，
整理得，解得或．
所以的值为或3．
（2）若，则有，即，解得或，
当时，，，则，得；
当时，，，则，得．
所以，的值为或5．
（3）因与的夹角是锐角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为．
1. (24-25高一下·广东深圳·期中)如图，在扇形中，，为弧上的动点，若，则的取值范围为_____．
【答案】
【分析】以为坐标原点，建立直角坐标系，设，得到，从而得到，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质即可求解.
【详解】不妨设以为原点，以所在的直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，设，则，其中且，
可得，
又，所以，
则，则，
所以
，其中，
由于，
所以可取到最大值1，
当时，取得最小值，
所以
所以.
故答案为：
2. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知向量，，满足，且，，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】求出的夹角，建立平面直角坐标系，求出终点的轨迹，再利用圆的性质求出最小值.
【详解】由，得，而，则，
在平面直角坐标系中，令，设，
由，得，即，
则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
由，得，则点的轨迹为直线，
所以的最小值为.
故选：D
3. (24-25高一下·广东茂名高州·期中)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴 轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
(1)求；
(2)求的坐标；
(3)若点在线段上运动，设，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）先由题意求出，再由题意结合以及模长公式和数量积运算律即可计算求解；
（2）分别设求得和，利用向量共线的推论求出即可求解；
（3）先求出，接着设得，将其代入结合一元二次函数性质即可求解.
【详解】（1）由题，
.
（2）设·，
因为三点共线，所以，
所以；
设，
因为三点共线，所以，
所以.
（3）由题，
所以，
所以，
所以当时，取得最大值13.
4. (24-25高一下·广东湛江·期中) (多选)六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上的动点，且线段MN经过点O．已知，，P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P与点A重合，则的最大值是7 B．若P是线段AB的中点，则
C．若P是线段AB的中点，则 D．的最大值是7
【答案】ACD
【分析】运用数量积的运算律，结合线性运算转化，进行计算，逐个判断即可.
【详解】对于A，若点P与点A重合，连接PO并延长，与圆O的另一个交点为H．
当点M与点H重合时，取得最大值7，则A正确．
对于B，当P是线段AB的中点时，，则B错误．
对于C，因为，，所以，则C正确．
对于D，因为，且，所以，则D正确.
故选：ACD.
5. (24-25高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中) (多选)在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若，，，则
C．
D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为
【答案】AC
【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确.
【详解】对于A，，则为的中点，故，
设，因为，
则，
，
由共线，得，解得，所以，故A正确；
对于B，，
所以
所以，故B不正确；
对于C，为的中点，故，，
又，所以，
所以，，故C正确；
对于D，设的三边分别为，依题意得，
由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，
由，得或，
当时，，故D不正确.
故选：AC.
1. (24-25高一下·广东深圳·期中) (多选)如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则
C．若为的内心，，则
D．若是的外心，，则
【答案】ACD
【分析】对于A：利用重心的性质 ，代入即可；对于B：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.对于C：利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断；对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.
【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，
所以，，
同理可得、，
所以 ，
又因为，
所以.正确；
对于B：因为，
所以，所以，
所以，
所以，
化简得：，
又因为不共线，
所以，所以，
所以，错误；
对于C，若为的内心，，则.，
又（为内切圆半径），
所以，，故，正确；
对于D：因为是的外心，，所以，，
所以，
因为，则，
化简得：，由题意知不同时为正，
记，，则，
因为，所以，
所以，
所以，正确.
故选：ACD.
2. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则
C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则
【答案】C
【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，，
对于A：若为的重心，则，
所以
若，则，解得，所以，A不正确；

对于B：若为的外心，其必在直线上，
所以，B错误；
对于C：若为的垂心，其必在上，设，
则，解得，
此时，
若，则，解得，所以，C正确；
对于D：若为的内心，设内切圆半径为，
则，得，则，
此时，
若，则，解得，所以，D不正确；
故选：C.
3. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)在中，，，，I为的内心，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，由余弦定理验算即可；对于B，过点向三角形的三边引垂线，设垂足分别为，内切圆半径，，可求得，故只需求出即可，对于C，设，求出的模即可求出，对于D，得到，，故只需比较的大小即可.
【详解】对于A，设，由余弦定理有，解得或（舍去），故A正确；
对于B，如图所示，设过点向三角形的三边引垂线，
设垂足分别为，内切圆半径，，
则，
因为，
所以，，
由等面积法可知，，解得，
所以，故B正确；

对于C，由于平分，所以可设，
由B选项可知，，
解得，故，故C错误；
对于D， 因为，所以，，
所以，即，
而，
同理可得，
从而，
，
所以，故D正确.
故选：ABD.
4. (24-25高一下·广东深圳深圳科学高中·期中)瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________．
【答案】 3 或
【分析】根据重心的性质得出，进而都化为以点为起点的向量，即可得出空一；根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案.
【详解】如图1，设中点为，，垂足为，
则，.
根据重心的性质可知，
所以有，
整理可得，
所以，，；
由已知在中，，，且，
根据正弦定理可得，
.
又，所以有或.
当时，，则.
且由余弦定理可知，
，
代入可得，，
整理可得，
解得（舍去），
所以.
如图1，，，，.
建立直角坐标系，
则，，，.
不妨设，
则，.
因为，
所以，，
即有，
解得，所以.
又，，，
所以.
所以，，
所以，.
又由欧拉定理可知，，
所以，；
当时，，则.
且由余弦定理可知，
，
代入可得，，
整理可得，
解得（舍去），
所以.
如图1，，，，.
建立直角坐标系，
则，，，.
不妨设，
则，.
因为，
所以，，
即有，
解得，所以.
又，，，
所以.
所以，，
所以，.
又由欧拉定理可知，，
所以，.
故答案为：3；或.
【点睛】思路点睛：根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案.
5. (24-25高一下·广东深圳红山中学·)已知、是单位圆上相异的两个定点（为此单位圆圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点.
(1)若，求的值；
(2)设，
①用表示；
②求的取值范围.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）通过对的表达式进行平方运算，结合单位圆上点对应的向量模长为，再利用三角函数的性质来求解的值.
（2）根据已知条件求出相关向量的坐标，再利用向量共线得到关于的表达式，然后根据三角形面积公式求出关于的表达式，最后通过换元法将其转化为关于的函数，利用函数单调性求出取值范围.
【详解】（1）因为，且，，都是单位圆上的点，
所以
，
又，，所以.
（2）①由（1）有，则以为原点，分别以，的正方向为，轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，，因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，.
②依题意在第二象限，在线段上，
如图有，
所以，
令，则，
所以，，所以，
所以，在上单调递增，
所以，即的取值范围为.
1. (24-25高一下·广东佛山南海区·)定义平面非零向量之间的一种运算“*”，记（其中是非零向量，的夹角），若，均为单位向量，且，则______.
【答案】
【分析】设向量，的夹角为，先根据向量数量积的计算公式求出及，进而求出的解析式，再根据向量模的求法求出即可.
【详解】设向量，的夹角为，
因为，均为单位向量，且，
所以，因为，所以.
所以，
所以.
故答案为：
2. (24-25高一下·广东东莞第十三高级中学等三校·期中)定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，，，则__________.
【答案】
【分析】利用题干中的定义即可求得结果.
【详解】设是的夹角，因为，
又因为，故，所以，
故答案为：
3. (24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)若向量与向量的夹角为θ，我们定义“”为向量与向量的“外积”.两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为.在中，，，则的最大值为______.
【答案】
【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果.
【详解】设分别为的中点，连接，
则，所以，
所以，故，即，
又因为，，
所以，.
当时，四边形面积最大，最大值为，
故的面积的最大值为，
又，所以的最大值为.
故答案为：.
4. (24-25高一下·广东深圳高级中学·)在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.
(1)已知向量，求；
(2)（i）设向量的夹角为，证明：；
（ii）在中，为的中点，且，若，求.
【答案】(1)
(2)(i)证明见解析，（ii)
【分析】（1）由新定义代入即可求解；
（2）（i）根据向量的坐标运算可得，进而可证，（ii）根据中线结合数量积可得，且可知点为的中点，进而求，再由（i）即可得结果.
【详解】（1）由，，
可得：
（2）（i）因为
，
且，，则，
所以.
（ii）因为D为中点，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的中点，则，
可得，
即
则，
，
，
可得，
所以.
5. (24-25高一下·广东深圳第七高级中学·期中)定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
(1)若向量的“伴随函数”为，求与向量方向相同的单位向量；
(2)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知；
（ⅰ）求周长的最大值；
（ⅱ）求的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ），（ⅱ）16
【分析】（1）将化为形式，由“源向量”与“伴随函数”概念求解即可.
（2）（ⅰ）由余弦定理得，利用基本不等式求解的最大值即可
（ⅱ）利用模长公式，结合基本不等式求解即可
【详解】（1）因为
所以
所以与向量方向相同的单位向量为
（2）（ⅰ）由于函数的“源向量”为，所以，
又因为，所以，又因为，所以
在中，，由余弦定理得：
即
又由基本不等式得：
所以，即
所以，当且仅当时取等号.
所以，
所以周长的最大值为
（ⅱ），
又，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
即的最大值为16
1．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)在中，若，则的最大角与最小角之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由三边大小关系判断最大角与最小角，利用余弦定理求出第三角，由内角和即得.
【详解】因，即角与角分别为的最大角与最小角，
由余弦定理，，
因，则，故.
故选：B.
2．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角.
【详解】由正弦定理，，可得，
因，则，故.
故选：A.
3．(24-25高一下·广东深圳·期中)在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先应用余弦定理得出，再应用同角三角函数关系计算求解.
【详解】由余弦定理得，
，
故选：B.
4．(24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ）
A．外接圆的面积为 B．若，则
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
【答案】ABC
【分析】由正弦定理可判断A和B，由余弦定理和均值不等式可判断C和D.
【详解】对于A，由题意知，故设外接圆的半径为，
则，即得，则外接圆的面积为，故A正确；
对于B，若，则由正弦定理可得，可得，
又，可得，故B正确；
对于C，由题意可得，当且仅当时等号成立，
则，故面积的最大值为，故C正确；
对于D，由余弦定理可得，
则，当且仅当时等号成立，
即得，故周长的最大值为，故D错误.
故选：ABC．
5．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中)已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，．
(1)求A；
(2)求；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据余弦定理进行求解即可；
（2）利用第（1）问所求的角，结合正弦定理进行求解即可；
（3）直接根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）由余弦定理，可得，
因为，所以；
（2）由（1）可知，.
在中，由正弦定理，可得，解得；
（3）由（1）可知，.
由的面积公式，可得．
1．(24-25高一下·广东佛山南海区·)已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______.
【答案】
【分析】由正弦定理角化边，可得，进而利用余弦定理可求.
【详解】由，结合正弦定理可得，又，
所以，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以.
故答案为：.
2．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的值为__________．
【答案】2
【分析】由余弦定理得关系后，与已知比较即可得.
【详解】，则，
又，所以，
故答案为：2.
3．(24-25高一下·广东东莞嘉荣外国语学校·期中)记直角三角形内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】由余弦定理结合不等式可得为锐角，根据为直角三角形，分或为直角讨论，结合勾股定理求出，得解.
【详解】由余弦定理得，
又，
故，，即为锐角，
故或，得或，
解得或，由正弦定理可得或.
故选：C．
4．(24-25高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，，求a；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用余弦定理角化边求解.
（2）利用三角形面积公式及余弦定理求解.
（3）由（1）令，再利用锐角三角形条件及和差角的正弦求出范围.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
而，解得，而，所以.
（2）由及，得，解得，而，则，
由余弦定理得，所以.
（3）由（1）知，令，
由为锐角三角形，得，则，
因此，
所以的取值范围是.
5．(24-25高一下·广东深圳·期中)锐角的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由正弦定理边角互化可得，解得 .
（2）由余弦定理和三角形面积公式，得，，可解得，，得，进而得到周长.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以．
（2）由余弦定理得，，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，
所以的周长．
1. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得.
【详解】由题意，，可得；
由余弦定理，，
代入条件，可得，解得.
故选：B.
2．(24-25高一下·广东佛山南海区·)已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的周长.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）应用二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最小正周期和增区间；
（2）由已知求得，然后利用余弦定理求得，进而可求周长.
【详解】（1）
.
令，解得.
所以的单调递增区间为.；
（2），即.
因为，所以，所以，即.
由余弦定理，可得，即，所以.
于是，所以.
所以的周长为.
3．(23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为，若
(1)若，求角；
(2)若，，判断的形状；
(3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围.
【答案】(1)或
(2)直角三角形
(3)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，化简可求的值，进而求出角；
（2）由题意求得或，结合勾股定理即可得解；
（3）根据余弦定理可求出的取值范围，进而求面积的取值范围.
【详解】（1）
，
即
又，即得
又或；
（2）由题意，
因为，
所以，解得，
又因为，
所以或，因为，，
所以是以为直角的直角三角形；
（3）角为钝角，，
由余弦定理得：，
角为钝角，，即，
.
4．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)记锐角三角形中内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)求的值；
(3)若，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可得，得解；
（2）由（1），根据正切的和差角求解；
（3）由（1），结合内角和定理求得，根据正弦定理，结合面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
由，所以，
整理得，又，则，
所以，故.
（2）因为，则，
.
（3）由（1），，则，且，
解得，，
由正弦定理，，
又，
，
所以.
5．(24-25高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)在中，内角所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化简，即可求角大小；
（2）利用配方，结合已知条件即可求，从而可求面积大小.
【详解】（1）由余弦定理得：，
，
又由，因为，所以；
（2）由，，
可得，所以的面积为.
1．(24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】利用余弦定理变形，再结合余弦函数的性质判断即可.
【详解】在中，由余弦定理得，整理得，
而，函数在上单调递减，因此，
所以是等腰三角形.
故选：C
2．(24-25高一下·广东广州第七十五中学·)在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
【答案】D
【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
3．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)在△中，内角的对边分别为，已知向量 共线，则△的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果.
【详解】因为向量，共线，
则，由正弦定理可得：，
则，
因为，则，可知，，，均不为，
可得，则，即；
同理由向量，共线可得：；
综上所述：.
所以的形状为等边三角形.
故选：A
4．(24-25高一下·广东广州执信中学·期中) （多选）已知中，，.则（ ）
A．若，则有两解
B．若是钝角三角形，则
C．若是锐角三角形，则
D．的最大值是
【答案】CD
【分析】先由正弦定理解三角形判断A，根据钝角三角形边长关系计算判断B，应用正弦定理结合角的范围计算值域即可判断C，D.
【详解】因为中，，，，
由正弦定理得，，即，
故，所以，故有一解，故选项A错误；
因为，又因为为钝角三角形，
当为钝角时，，即，故B错误；
C选项，因为为锐角三角形，所以，
所以，，
又因为即，，故C正确；
因为，当时，的最大值是，故D正确.
故选：CD.
5．(24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·) （多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，则
C．若，且，则为直角三角形
D．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
【答案】AD
【分析】对于A，由正弦定理、余弦定理得即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，由三线合一结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可判断；对于D，由重心和外心重合即可判断.
【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得，
所以，因为，所以，则为钝角三角形，故A正确；
对于B，若，当，时，则，故B不正确；
对于C，因为，分别为单位向量，所以的角平分线与垂直，所以，．
又因为，即，因为，所以，
故，所以为等边三角形，故C错误；
对于D，因为，所以为的重心，
由知为的外心，故为等边三角形，故D正确.
故选：AD.
1．(24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
【详解】由有两解，得即解得，
故选：A．
2．(23-24高一下·广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学·期中)在中，分别是三内角的对边，若满足条件的三角形的解有两个，则的长度范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的解有两个，可得，然后求出的范围．
【详解】因为满足条件，的三角形的解有两个，
所以，所以，
所以的取值范围为．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，考查运算能力，属基础题．
3．(24-25高一下·广东东莞七校·期中)在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数．
【详解】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，
∴，∴，故三角形有唯一解．
若B成立，，，，有，∴，又，
故，故三角形无解．
若C成立，，，，有 ，∴，又，
故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解．
若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解．
故选：C．
4．(24-25高一下·广东惠州光正实验学校·期中)已知，内角的对边分别是，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】直接根据正弦定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
由正弦定理得： ，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，要注意大边对大角等隐含条件，注意多解情况的处理，属于基础题．
5．(24-25高一下·广东深圳高级中学·期中) （多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若是锐角三角形，则
C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个
D．若，则
【答案】BD
【分析】由正弦定理化角为边可得，结合余弦定理可得为锐角，举反例判断A，根据条件可得，，，结合正弦函数性质及诱导公式判断B，根据正弦定理解三角形求，根据结果判断C，由条件结合余弦定理可得，根据正弦定理化边为角，化简可得，判断D.
【详解】设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，，，
对于A，因为，所以，
由余弦定理可得，又，
所以为锐角，由于无法确定，的大小，故无法判断是否为锐角三角形，
例如：当，，时，，此时为钝角三角形，A错误，
对于B，因为是锐角三角形，
所以，，，
所以，，，
因为函数在上单调递增，
所以，B正确；
对于C， 由正弦定理可得，
又，，，
所以，化简可得，
所以满足条件的角不存在，
所以满足这组条件的三角形不存在，C错误，
对于D，由余弦定理可得，又，
所以，故，
所以，又，
所以，
所以，
所以，故，
所以或，，
即或，，
又，，故，
所以，所以，D正确；
故选：BD.
1．(24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中) （多选）如下图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．若点D在外，，，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．四边形ABCD面积的最大值为 D．四边形ABCD面积无最大值
【答案】ABC
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可求出，从而判断A、B，再由面积公式及余弦定理判断C、D.
【详解】因为，
由正弦定理得，
所以，整理得，又，所以，所以．
因为，所以，故，
所以，因此A和B正确，
四边形面积等于
，
所以当，即时四边形面积的取得最大值，最大值为，因此C正确，D错误．
故选：ABC
2．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)如图，已知的面积为．
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围；
(3)记的面积为，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用余弦定理以及三角形的面积公式，结合已知条件即可求出；
（2）利用正弦定理可得，由代入化简可得：，结合为锐角三角形求出的范围，从而求出的范围，由三角形面积公式求出的取值范围即可；
（3）设，在和中利用正弦定理化简可得：，结合三角恒等变换可得或，根据三角形面积公式以及正弦定理可得，将或代入化简即可.
【详解】（1）在中，由余弦定理可知：，
所以，
因为，所以，
化简得：，即，
因为，所以
（2）因为，，
由正弦定理可得：，解得：，
因为，，所以，
则，
又因为为锐角三角形，所以，则，
则，，故，
又，所以，
即的面积的取值范围为
（3）设，则，，，
在中，由正弦定理可得：，①
在中，由正弦定理可得：，②，
由于， ，
所以①②化简可得：，
即，
即，
即，即，因为
所以或，解得：，或，
设，则，
在中，，
在中，，
所以，
由正弦定理可得：
当时，，，所以
当时，，，所以
3．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知中，分别为内角的对边，且，
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案
（2）利用三角形的面积关系解出即可
【详解】（1）在中，由正弦定理及得：，
化简可得：，
由余弦定理得，
又，所以
（2） 是的角平分线，则，
由可得
因为，，即有，
故.
4．(24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
(1)求角B；
(2)若D为线段AC上一点，且，求BD的长度.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解.
（2）由（1）的结论，利用数量积的运算律求解即得.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由，得，
则，
所以BD的长.
5．(24-25高一下·广东惠州五校·)如图，在中，为BC边上一点，且.
(1)求AB的长；
(2)求的值；
(3)若的面积为，求中AD边上的高.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用同角三角函数关系得，然后在中利用正弦定理即可求出；
（2）结合三角形的性质，由两角和的正弦公式求解即可；
（3）方法一：先根据三角形的面积公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可求高；
方法二：先根据三角形的面积公式求出，再在中，利用正弦定理求得，进而求得，即可求高．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以.
（2）.
（3）方法一：，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
解得（CD舍去），
所以中AD边上的高为.
方法二：，所以，
在中，，
，
所以中AD边上的高为.
1．(24-25高一下·广东广州禺山高级中学·期中) （多选）在中，角的对边分别是，若，，则（ ）
A．面积的最大值为 B．周长的最大值为6
C．的取值范围为 D．的最大值为
【答案】ABC
【分析】由余弦定理得出，结合求出可判断A；结合可判断B；利用以及可判断C；令，消元得出关于的一元二次方程，利用即可判断D.
【详解】由余弦定理可得，，
因，则，等号成立时，
则，故A正确；
因，则，
结合可得，，等号成立时，
又，即，则，故B正确；
因，，则，故C正确；
令，则，代入中得，
此关于的一元二次方程有解，则，解得，
等号成立时，，故D错误.
故选：ABC
2．(24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)在锐角中，角，，的对边长分别为，，，的面积为，已知．
(1)求角；
(2)设为的垂心，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可；
（2）设边上得高为，边上得高为，为的垂心，分别在和中利用正弦定理求出，再利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质求解即可.
【详解】（1），
，，
由余弦定理得，即，即，
又；
（2）如图，设边上得高为，边上得高为，为的垂心，
在中，，在中，，
不妨设，则，
在中，由正弦定理得，，整理得：，
同理在中由正弦定理得，
所以，
又，所以，
所以的取值范围为．
3．(24-25高一下·广东深圳·期中)的内角所对的边分别为所在平面内有一点满足，且．
(1)若，求面积的最大值；
(2)若，当取得最小值时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：设，根据平面向量的线性运算可得，进而结合平面向量的数量积运算律及基本不等式可得，进而根据三角形的面积公式求解即可；
方法二：根据余弦定理，结合可得，进而根据基本不等式可得，进而根据三角形的面积公式求解即可；
（2）利用余弦定理可得，，进而可得，进而根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）方法一：设，因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
则，
所以面积的最大值为．
方法二：因为，
所以，
因为，所以，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，
所以
所以，
因为，
所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，
因为，
所以面积的最大值为．
（2）因为，所以，
在中，利用余弦定理得，，
即，
同理，在中利用余弦定理得，
，
所以
，
因为，
所以当且仅当，即时等号成立，
此时取最小值，即取最小值，即取得最小值，
此时，．
4．(24-25高一下·广东深圳深圳科学高中·期中)如图，在凸四边形ABCD中，，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，则，根据正弦定理得，结合余弦定理，再边化角得，结合三角函数和差角公式可证；
（2）根据（1）结合条件得，，，则，在中，根据余弦定理，结合基本不等式得，从而可得解.
【详解】（1）因为，所以，
由，则，
根据正弦定理得，则，
又根据余弦定理，
所以，
即，
再由正弦定理得，
即，
则，
所以，
因为，则，
所以或，
得或（舍），
故；
（2）根据（1），又，
所以，所以，，
所以，且，
在中，，
根据余弦定理，
即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以四边形ABCD面积的最大值为.
5．(24-25高一下·广东广东五校联考·)已知在面积为S的中．
(1)证明：；
(2)若，求S的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据已知，利用数量积的定义及余弦定理推理得证.
（2）由（1）中信息，结合基本不等式可得，再利用三角形面积公式及同角公式求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理，得，
由，得,
所以.
（2）由（1）知，，当且仅当时取等号，
显然为锐角，则
，当且仅当，即时取等号，
所以S的最大值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01平面向量及其应用
22大高频考点概览
考点01向量的加减法与数乘向量
考点02向量共线定理的应用
考点03平面向量的线性表示
考点04 平面向量基本定理求参数
考点05 平面向量的坐标运算
考点06 向量共线的坐标运算
考点07向量的数量积
考点08 向量的夹角
考点09 向量的模长
考点10 向量的投影
考点11向量垂直的应用
考点12 向量夹角为锐角钝角问题
考点13 向量与最值取值范围问题
考点14 平面向量与四心与面积比问题
考点15 向量的新定义
考点16 正余弦定理解三角形
考点17 正余弦定理的边角互化
考点18 三角形周长面积问题
考点19 三角形形状问题
考点20 三角形个数问题
考点21 多三角形问题
考点22 最值与取值范围问题
1. (24-25高一下·广东佛山南海区·)（ ）
A． B． C． D．
2. (24-25高一下·广东省东莞市嘉荣外国语学校·期中)（ ）
A． B． C． D．
3. (24-25高一下·广东省东莞市嘉荣外国语学校·期中)在中，，，，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．
4. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)设P是所在平面内的一点，，则
A． B． C． D．
5. (24-25高一下·广东东莞五校·)《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形．其中为正八边形的中心，若，点为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．
C． D．
1. (23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)（多选）已知向量，，且向量满足，则（ ）
A．
B．向量与的夹角为
C．
D．向量在方向上的投影向量的长度为
2. (24-25高一下·广东东莞嘉荣外国语学校·期中)已知是平面内不同的四点，设甲：；乙：四边形为平行四边形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)已知，且与的夹角为，求：
(1)求；
(2)求；
(3)若向量与平行，求实数的值.
4. (24-25高一下·广东汕头潮南区某校·期中)设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为______．
5. (24-25高一下·广东江门新会区陈经纶中学·期中)已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.
(1)用、表示向量、；
(2)若向量与共线，求的值.
1. (23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)在中，，，若点D满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2. (24-25高一下·广东惠州五校·)在中，点在AB边上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
3. (24-25高一下·广东湛江·期中)如图，在中，，，且，，是和的交点．
(1)用，表示，．
(2)证明：．
(3)证明：是线段的中点．
4. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．
(1)若，请用向量来表示向量；
(2)若，求的最小值．
5. (24-25高一下·广东东莞第十一中学·)在中，点在线段上，且，则（ ）
A． B． C． D．
1. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)若是的重心，且（为实数），则（ ）
A． B． C．1 D．
2. (24-25高一下·广东深圳·期中)在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
3. (24-25高一下·广东肇庆第六中学·期中)如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
4. (23-24高一下·广东惠州惠州中学·期中)如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5. (24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
1. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知向量，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2. (24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
3. (24-25高一下·广东东莞第十一中学·) (多选)已知向量，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若且，则 D．与夹角的余弦值为
4. (24-25高一下·广东清远四校联盟·期中) (多选)已知平面向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
5. (24-25高一下·广东深圳第七高级中学·期中)已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______．
1. (24-25高一下·广东深圳宝安中学·期中)已知向量，，，若A，C，D三点共线，则_____.
2. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C．4 D．2
3. (23-24高一下·广东惠州三校·期中)已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4. (24-25高一下·广东茂名高州·期中)已知向量，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
5. (24-25高一下·广东东莞嘉荣外国语学校·期中)已知为方程的一个解，设，在复平面内对应的点分别为，坐标原点为，为第一象限内一点．
(1)求；
(2)设与交于点，求的值；
(3)中，为延长线上的一点，记，，所对应的复数分别为，，，且，求的值．
1. (24-25高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)若，，与的夹角为，则（ ）
A．12 B． C． D．
2. (24-25高一下·广东佛山南海区·)已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
3. (24-25高一下·广东深圳中学·期中))(多选)四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（ ）
A．
B．当时，为中点
C．的最小值为
D．的最大值为
4. (24-25高一下·广东湛江·期中)已知向量，，若，则（ ）
A． B．0 C．4 D．5
5. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，，
(1)求的值；
(2)若F为线段BE上的动点，G为AF中点，求的最小值．
1.(24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2. (24-25高一下·广东普宁国贤学校等校·期中)如图，平行四边形中，点是的中点，，，设，．
(1)用，表示，；
(2)若，，求的余弦值．
3. (24-25高一下·广东深圳·期中)若是夹角为的两个单位向量，则．
(1)求和；
(2)求与的夹角．
4. (24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·月考)已知向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)；
(3)求向量与向量的夹角.
5. (24-25高一下·广东中山东升高级中学·期中)已知向量，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
(3)求向量与向量的夹角余弦值．
1. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)若向量，满足，，，则______．
2. (24-25高一下·广东东莞第十一中学·)已知，，.
(1)求与的夹角；
(2)若，且，求t及.
3. (24-25高一下·广东湛江·期中)若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是__________.
4. (24-25高一下·广东深圳盐田高级中学·期中)已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，，求与的夹角的余弦值．
5. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知向量满足.
(1)若向量的夹角为，求的值；
(2)若 ，求向量的坐标.
1. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________．
2. (24-25高一下·广东东莞第十一中学·)已知，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3. (24-25高一下·江苏南京六校联合体·调研)已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4. (24-25高一下·广东佛山南海区·)已知向量，，，且，.
(1)求向量，的坐标；
(2)若，.
（i）求与的夹角；
（ii）求向量在向量上的投影向量的坐标.
5. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求在方向上投影向量的坐标．
1. (24-25高一下·广东深圳·期中)已知，若，则_____．
2. (24-25高一下·广东衡水大联考·月考)已知向量，，满足，则______．
3. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中) (多选)已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最大值为 D．若，则
4. (24-25高一下·广东惠州五校·)已知是边长为的正三角形，EF为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5. (24-25高一下·广东湛江廉江实验学校·期中)已知向量，
(1)若，求实数x的值．
(2)若，求实数x的值．
1. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________．
2. (23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)已知向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)当为何值时？
(3)当为何值时 ，此时它们是同向还是反向？
3. (24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)已知，，其中，是夹角为的单位向量．
(1)当，求与夹角的余弦值；
(2)若与夹角为钝角，求的取值范围．
4. (24-25高一下·广东普宁兴文中学·期中)已知向量，.
(1)若，求实数的值；
(2)若为钝角，求实数的取值范围.
5. (24-25高一下·广东广州第六中学·期中)已知平面向量，，，．
(1)若，求x的值；
(2)若，求的值．
(3)若与的夹角是锐角，求x的取值范围．
1. (24-25高一下·广东深圳·期中)如图，在扇形中，，为弧上的动点，若，则的取值范围为_____．
2. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知向量，，满足，且，，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3. (24-25高一下·广东茂名高州·期中)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴 轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
(1)求；
(2)求的坐标；
(3)若点在线段上运动，设，求的最大值.
4. (24-25高一下·广东湛江·期中) (多选)六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上的动点，且线段MN经过点O．已知，，P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P与点A重合，则的最大值是7 B．若P是线段AB的中点，则
C．若P是线段AB的中点，则 D．的最大值是7
5. (24-25高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中) (多选)在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若，，，则
C．
D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为
1. (24-25高一下·广东深圳·期中) (多选)如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则
C．若为的内心，，则
D．若是的外心，，则
2. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则
C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则
3. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)在中，，，，I为的内心，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4. (24-25高一下·广东深圳深圳科学高中·期中)瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________．
5. (24-25高一下·广东深圳红山中学·)已知、是单位圆上相异的两个定点（为此单位圆圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点.
(1)若，求的值；
(2)设，
①用表示；
②求的取值范围.
1. (24-25高一下·广东佛山南海区·)定义平面非零向量之间的一种运算“*”，记（其中是非零向量，的夹角），若，均为单位向量，且，则______.
2. (24-25高一下·广东东莞第十三高级中学等三校·期中)定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，，，则__________.
3. (24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)若向量与向量的夹角为θ，我们定义“”为向量与向量的“外积”.两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为.在中，，，则的最大值为______.
4. (24-25高一下·广东深圳高级中学·)在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.
(1)已知向量，求；
(2)（i）设向量的夹角为，证明：；
（ii）在中，为的中点，且，若，求.
5. (24-25高一下·广东深圳第七高级中学·期中)定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
(1)若向量的“伴随函数”为，求与向量方向相同的单位向量；
(2)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知；
（ⅰ）求周长的最大值；
（ⅱ）求的最大值．
1．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)在中，若，则的最大角与最小角之和是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ）
A． B． C．或 D．
3．(24-25高一下·广东深圳·期中)在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ）
A．外接圆的面积为 B．若，则
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
5．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中)已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，．
(1)求A；
(2)求；
(3)求的面积．
1．(24-25高一下·广东佛山南海区·)已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______.
2．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的值为__________．
3．(24-25高一下·广东东莞嘉荣外国语学校·期中)记直角三角形内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．(24-25高一下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，，求a；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
5．(24-25高一下·广东深圳·期中)锐角的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
1. (24-25高一下·广东深圳中学·期中)在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(24-25高一下·广东佛山南海区·)已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的周长.
3．(23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为，若
(1)若，求角；
(2)若，，判断的形状；
(3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围.
4．(24-25高一下·广东茂名高州·期中)记锐角三角形中内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)求的值；
(3)若，且，求的面积.
5．(24-25高二下·广东华南师范大学附属中学·期中)在中，内角所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
1．(24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
2．(24-25高一下·广东广州第七十五中学·)在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
3．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)在△中，内角的对边分别为，已知向量 共线，则△的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
4．(24-25高一下·广东广州执信中学·期中) （多选）已知中，，.则（ ）
A．若，则有两解
B．若是钝角三角形，则
C．若是锐角三角形，则
D．的最大值是
5．(24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·) （多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，则
C．若，且，则为直角三角形
D．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
1．(24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高一下·广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学·期中)在中，分别是三内角的对边，若满足条件的三角形的解有两个，则的长度范围是（　　）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·广东东莞七校·期中)在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．(24-25高一下·广东惠州光正实验学校·期中)已知，内角的对边分别是，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．(24-25高一下·广东深圳高级中学·期中) （多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若是锐角三角形，则
C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个
D．若，则
1．(24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中) （多选）如下图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．若点D在外，，，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．四边形ABCD面积的最大值为 D．四边形ABCD面积无最大值
2．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)如图，已知的面积为．
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围；
(3)记的面积为，若，求的值．
3．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知中，分别为内角的对边，且，
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
4．(24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
(1)求角B；
(2)若D为线段AC上一点，且，求BD的长度.
5．(24-25高一下·广东惠州五校·)如图，在中，为BC边上一点，且.
(1)求AB的长；
(2)求的值；
(3)若的面积为，求中AD边上的高.
1．(24-25高一下·广东广州禺山高级中学·期中) （多选）在中，角的对边分别是，若，，则（ ）
A．面积的最大值为 B．周长的最大值为6
C．的取值范围为 D．的最大值为
2．(24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)在锐角中，角，，的对边长分别为，，，的面积为，已知．
(1)求角；
(2)设为的垂心，且，求的取值范围．
3．(24-25高一下·广东深圳·期中)的内角所对的边分别为所在平面内有一点满足，且．
(1)若，求面积的最大值；
(2)若，当取得最小值时，求的值．
4．(24-25高一下·广东深圳深圳科学高中·期中)如图，在凸四边形ABCD中，，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形ABCD面积的最大值．
5．(24-25高一下·广东广东五校联考·)已知在面积为S的中．
(1)证明：；
(2)若，求S的最大值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑