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专题02 解三角形
5大高频考点概览
考点01 正余弦定理
考点02 三角形面积公式
考点03 实际应用问题
考点04 最值问题
考点05 中线、角平分线问题
(
地
城
考点01
正余弦定理
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，已知，则C＝（ ）
A．60° B．30° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出，再求出对应角.
【详解】由正弦定理可得，即，解得，
则或.
故选：D
2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，已知，则（ ）
A．5 B．3 C． D．1
【答案】B
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】，
故，解得（负值舍），
故选：B
3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得.
【详解】在中，，，，
由正弦定理得，
由，得，则，
所以或.
故选：D
4．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知分别为三个内角的对边，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理计算即可求解.
【详解】因为，所以,
所以，所以.
故选：B.
5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由正弦定理得到，求得，再由余弦定理，求得，结合余弦定理，即可求得的值，得到答案.
【详解】解：因为，
由正弦定理，可得，即，可得，
又由余弦定理，可得，所以，
则.
故选：A.
6．（24-25高一下·浙江余姚·期中）在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】用射影定理即可化简求值.
【详解】如图所示，过点A作于点D，

则，
同理可证，
因为，所以，
整理得，因为为锐角三角形，所以，
所以，即，
故选：D
7．（23-24高一下·浙江·期中）在中，“”是“为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，结合小范围可以推出大范围，而大范围推不出小范围，即可求解.
【详解】为等腰三角形，即充分性成立
为等腰三角形或或，
不一定得到，即必要性不成立，
“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件，
故选：A
8．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理角化边，进行化简，再根据余弦定理求角.
【详解】由正弦定理角化边可知，，
整理为，
，，
所以.
故选：C
9．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边为，，，已知，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】结合已知利用正弦定理化简得，进而求得，由余弦定理建立方程求解即可.
【详解】因为，所以由正弦定理得，
又，所以，所以，
又，所以，由余弦定理得，，
即，解得或（舍去）.
故选：C
10．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角的对边分别为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用正余弦边角关系可得、，再应用余弦定理求.
【详解】由题设，则，
所以，则，
又，则，故，
所以.
故选：A
11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若，则是等腰三角形
D．若，，满足有解，则
【答案】D
【分析】根据向量的数量积运算可判断；利用余弦定理解三角形可判断；利用边化角及三角函数的性质可判断；利用正弦定理及三角函数的性质可判断
【详解】对于：，则角，所以与的夹角为，
所以，故错误；
对于：由余弦定理得，
即，解得，故错误；
对于：由，得，
所以，所以或，
即或，即是等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于：，
所以，所以，
又因为，则，所以为锐角，所以，故正确.
故选：.
二、多选题
12．（24-25高一下·浙江·期中）根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】BC
【分析】利用正弦定理，结合正弦值求角有两解时，则需要判断角与边的对应关系，即大边对大角是否满足，若两角都满足就两解，若只有一个角满足就一解.
【详解】对于A，由正弦定理得：，解得，
根据，可得：，显然不满足内角和为，故A错误；
对于B，由正弦定理得：，解得，
根据，且，仅存在一个锐角满足，故B正确；
对于C，由正弦定理得：，解得，
根据，可得：，显然满足唯一解，故C正确；
对于D，由正弦定理得：，解得，
根据，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，故D错误；
故选：BC.
13．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】对于A，根据三角形内角的性质，结合正弦函数的单调性，利用分类讨论思想，可得答案；对于B，根据余弦函数的性质，结合钝角三角形的性质，可得答案；对于C，根据余弦函数的单调性，可得答案；对于D，利用特殊反例，可得答案.
【详解】对于A，由题意可知，且，则，
当为锐角时，由在上单调递增，则，
当为钝角时，即，则，所以，故A正确；
对于B，当为钝角时，则，此时，故B错误；
对于C，由题意可知，且函数在上单调递减，则，故C正确；
对于D，当，，时，符合题意，
则，，即，故D错误.
故选：AC.
14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为等腰或直角三角形.
B．若，则为直角三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据诱导公式化简，即可判断，；根据向量的数量积的定义即可判断；根据正弦定理即可判断.
【详解】对于，因为，所以或，
所以或，所以为等腰或直角三角形，故正确；
对于，因为，所以，
所以或，所以或，
所以不一定是直角三角形，故错误；
对于，因为，所以，
所以，因为，所以为钝角，
所以是钝角三角形，故错误；
对于，因为，所以，由正弦定理可得，
所以，故正确.
故选：.
15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若，且，则为等边三角形
D．若，则可以是钝角三角形
【答案】AC
【分析】由三角形大边对大角及正弦定理判断AB选项，由向量加法的几何意义、数量积的运算判断C选项；由两角和的正切公式判断D选项.
【详解】A选项，在中，由得，即，所以，A正确；
B选项，由正弦定理得即，解得，
又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误；
C选项，和分别表示与和同方向的单位向量，
以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
又由结合菱形性质知的角平分线与垂直，
所以是等腰三角形且，
又因为，且，所以，
所以是等边三角形，C正确；
D选项，因为，
所以，
所以，即，
因为，所以，
又因为，
所以，所以是锐角三角形，D错误；
故选：AC.
三、填空题
16．（24-25高一下·浙江台州·期中）的三个内角满足，则最小角的余弦值为__________．
【答案】
【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案.
【详解】因为的三个内角满足，
所以由正弦定理得，设，
则是最小角，由余弦定理得.
故答案为：.
17．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______.
【答案】/
【分析】应用余弦定理及已知列方程求边长.
【详解】由题设，则，
所以，可得，负值舍去.
故答案为：
18．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为_________.
【答案】
【分析】根据正弦定理和图形关系得到，然后解不等式即可.
【详解】在中，，，若有两解，必须满足的条件为：，即，
故答案为：
19．（24-25高一下·浙江金华·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为_______．
【答案】
【分析】在中，由正弦定理求出；再在中，利用余弦定理，即可求出结果.
【详解】在中，，
由正弦定理可得，，即，所以，
在中，，，，
由余弦定理可得，，
所以.
故答案为：
20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设为的外心，若，则等于______．
【答案】/
【分析】根据向量共线以及余弦定理、诱导公式求得正确答案.
【详解】设圆为三角形的外接圆，半径为，
由于，
所以，.
设，则，
在三角形中，由余弦定理得.
由及，
可知：，
又，所以，
由三角形内角和可知：，
所以，可得：，又，
可得：，又，
所以
故答案为：.
四、解答题
21．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对边分别是，且．
(1)求；
(2)若，求的值及边上的高．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）应用正弦定理化简求出余弦值即可求角；
（2）根据两角和差公式结合正弦定理计算求正弦值及高即得.
【详解】（1）法一：,
,
,
因为，所以.
法二：,
,
,
,
在中，所以,
因为，所以.
（2）因为，则,
由于，则,
则,
所以
,
．
则,因为,
,
.
22．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知在中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)若，，求b；
(2)求证：．
【答案】(1)2；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据正弦定理整理等式中的角化为边，结合余弦定理可得方程，可得答案；
（2）根据正弦定理整理（1）中等式的边化为角，利用三角函数恒等式，可得答案.
【详解】（1）由，得：，
∴，结合余弦定理得：．
∵，，∴．
（2）由（1）得，∴，
∴，，
∴，，由可知，，即，
∴，即．
23．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，在中，角所对边长分别为，满足.

(1)求；
(2)点在上，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将条件变形，然后代入余弦定理计算即可；
（2）先求出，然后在中，利用正弦定理求.
【详解】（1）由已知可得：，即，
则，又，所以；
（2）由（1）知，又，所以，
又因为，可得，
又，
在中，由正弦定理得：，
所以．
24．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角所对的边分别为，且______．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，利用两角和的正弦公式以及正弦定理化简得，进而得到；若选②，化简得，根据余弦定理，得到；若选③，利用正弦定理化简得，进而根据余弦定理得到.
（2）解法一：结合（1），利用正弦定理得到，结合平方关系得到；解法二：根据，得到，根据正弦定理得到.
【详解】（1）若选①：由及正弦定理得，
即．
又，
所以．
因为，所以，
即．
因为，所以，
所以，．
若选②：在中，由，
得，
由余弦定理的推论得．
因为，所以．
若选③：由及正弦定理得，
即，
即．
由余弦定理的推论得．
因为，所以．
（2）解法一：由（1）知，，
由正弦定理得．
又，所以，
，
解得．
又，且，
所以．
解法二：由（1）知．
又，即，
所以，
所以，故由正弦定理得，
所以．
25．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，在中，是边上的一点，，.
(1)若，，求的长；
(2)若，设，，求的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，可求，可得是等边三角形，在中，可求出，进而可求；
（2）在中，余弦定理，在中，余弦定理，可得，即可求解.
【详解】（1）在中，，由正弦定理可得，
∴，
∴或，
∵，∴只能是.
∴，∴是等边三角形，
∴.
方法一：又在中，，，
∴，∴，∴.
方法二：，∴，
∴或，
当时，，符合“大边对大角”；
当时，，不符合“大边对大角”，舍.
∴，.
（2）∵，∴，
记，在中，余弦定理
在中，余弦定理，
两式联合，得，∴，
整理得，
∵，∴，即.
26．（23-24高一下·浙江·期中）在中，，，分别为角的对边，．
(1)求角C；
(2)若是的中点，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用降幂公式可得，再根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）设相应量，在中，由正弦定理可得，进而可知，进而结合直角三角形的相关知识运算求解即可.
【详解】（1）因为，则，整理得到，
由正弦定理可得，
则，可得，且，则，可得，
且，所以．
（2）如图设，，，，
在中，由正弦定理可得，
解得，
所以，
在中，，
即，整理可得，可得，
又因为，即，
在中，所以.
27．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，.
(1)求的值；
(2)若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）
【答案】(1)
(2)，其中为锐角且，最大值为平方米
【分析】（1）由余弦定理可求，由正弦定理可求，故可求，
（2）由面积公式可求，，再利用辅助角公式可得及其最大值.
【详解】（1）在上，由余弦定理米，
在上，由正弦定理，
所以，而，故，
故.
（2）因为，所以，，
，
，
所以四边形CEIF区域面积
（平方米），
其中为锐角且，因为，故，
故当时，有最大值且最大值为平方米.
(
地
城
考点02
三角形面积公式
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江温州·期中）在中，，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】由三角形面积公式可得答案.
【详解】由题可得，，因，则，
则.
故选：A
2．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式可得答案.
【详解】，
由余弦定理得，
解得，舍去，
则的面积为.
故选：A.
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角的对边分别为，面积为．若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据面积公式以及余弦定理可得，即可利用正弦定理边角互化求解.
【详解】由得，
又,故，
所以,故，
由于，则，不可能是钝角，
由于,所以，
故选：A
4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解.
【详解】因为，，
所以
即，
，解得，
，
，
，
.
故选：.
5．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的最短边与最长边的长度和为6，则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理得出，再根据最短边与最长边的长度和为6求出各边长，计算面积即可．
【详解】因为，所以由正弦定理得，
所以最长边为，最短边为，设，
则，解得，所以，
由余弦定理，故为锐角，
所以，
所以，
故选：D．
6．（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为，面积为，若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】分别从两个条件计算出的正切值，再计算出各个角的角度，即可判断三角形的形状.
【详解】由及正弦定理知，故.
由，知.
从而，，这说明是等腰三角形，不是直角三角形，不是正三角形，故选项A正确，选项B，C，D错误.
故选：A.
7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】A
【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得.
【详解】在中，，又，
则，而，
则，即，又，则，
而，
由，得，即，
由正弦定理得，由余弦定理
因此，即，则，
由余弦定理，又，
所以.
故选：A
二、填空题
8．（24-25高一下·浙江·期中）在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式，则■处应该填写______.（用三角形已知边角表示）
【答案】
【分析】由，结合正弦定理可得，可得结论.
【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，所以，
故答案为：.
9．（24-25高一下·浙江衢州·期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九 都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，记，则三角形面积为.已知中，，则的内切圆半径为__________.
【答案】
【分析】利用海伦公式结合等面积法，即可求三角形内切圆半径.
【详解】根据海伦公式，可知：，
再设内切圆半径为，则有，
故答案为：.
10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，若，其面积为，则__________．
【答案】
【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值.
【详解】已知，，代入面积公式可得：
则，可得：.
根据余弦定理为，可得
则.即，
把代入可得：，即.
由于为边长，可得.
故答案为：.
11．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则__________.
【答案】
【分析】由求出，求出，根据求出，再由可得答案.
【详解】
因为中为锐角三角形，所以分别在之间，
因为，，
，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用三角形面积公式，结合向量数量积运算，同角三角函数的基本关系式求解，考查整体与部分的思想.
三、解答题
12．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B的值；
(2)若外接圆的面积为，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，即可得解；
（2）由题意先求得外接圆的半径，再利用正弦定理求得，由结合可得，即可求得的面积.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
，
，
．
（2）设外接圆的半径为，由，得，
由正弦定理得，所以，
由（1）知，
，
，
，
．
13．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，的面积为．求的周长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用和差角正弦公式得，由三角形内角的性质即可求角的大小；
（2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理可得，即可得周长.
【详解】（1）在，
由已知，得，而，则，
又，所以．
（2）由，得，即，
又，则，整理得，
因此，解得，所以的周长为．
14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，为钝角，且边上的高为，求的面积.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得，再根据余弦定理可知，根据正弦定理将边转化为角的正弦即可求解；
（2）根据面积公式可得，然后结合已知条件可得，，再根据余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
由余弦定理得，，所以，即，
由正弦定理得，，所以，
因为为三角形内角，所以，故，
所以或；
（2）由题意得，，所以，
由，得，所以，，
因为为钝角，所以，
由余弦定理得，，
解得，所以.
15．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简，再结合二倍角公式纠结即可；
（2）由正弦定理得到，，再用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得，，.
，，，
，，即.
（2）由（1）知，所以，，
，
所以的面积为.
16．（24-25高一下·浙江·期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
(1)求角C；
(2)设，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和正弦计算得出，计算得出角；
（2）应用两角和正弦公式计算得出，再应用正弦定理结合面积公式计算求解.
【详解】（1）由题知，，即，
整理，得，即，
又，，
即．
（2），
根据正弦定理知，代入得，
所以．
(
地
城
考点0
3
实际应用问题
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意利用余弦定理可解.
【详解】题意如图，

当甲船沿航行时，航行的里数最少.
由题意，，在中，根据余弦定理可得：
，
所以.
即甲船至少需要航行的海里数为.
故选：B.
2．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（ ）
A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向
【答案】D
【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求.
【详解】如图，
由题意，在中，，，，
则为正三角形，则，
在中，因为，，
由余弦定理得，
所以，故，
此时灯塔C位于渔船的北偏东方向.
故选：D.
3．（24-25高一下·浙江台州·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题设得,，再应用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度.
【详解】因为中，，，，
所以，
因为中，，，
所以，即,
由题意，，，
则，
在中，由正弦定理得，即，
故，
故.
故选：B
4．（24-25高一下·浙江·期中）壕股塔是嘉兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ的高，他在山下处测得塔尖P的仰角为，再沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为，那么壕股塔的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，根据给定条件，求得和，利用正弦定理即可求解.
【详解】
如图，，
所以，得.
在中，，
在中，由正弦定理得，
即，解得，
所以壕股塔的高为米.
故选：A
5．（24-25高一下·浙江台州·期中）为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向，，则这幢建筑物的总高度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意建立几何图形，再根据正弦定理，即可求解.
【详解】由题意可知，，，，且，
所以，，，
设，则，
中，，，
解得：.
故选：A
6．（24-25高一下·浙江·期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据锐角三角函数及圆的切线的性质可得，利用求解即可.
【详解】如图，
设球的半径为，，，
，
，
，即该球体建筑物的体积为.
故选：D
7．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在山脚处测得山顶的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走，在处测得山顶的仰角为75°，则山高为（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据图中边角关系，求出和的长，然后求和即可.
【详解】因为,,所以，
因为,，所以，
又，所以，所以，
再中，，
所以山高.
故选：A
二、多选题
8．（24-25高一下·浙江·期中）图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．从点观测峰顶的仰角为，则
D．从点观测点的仰角为，则
【答案】ABD
【分析】首先求出，即可求出，从而判断A，过点作交于点，求出，即可判断B，利用锐角三角函数判断C，利用余弦定理求出，即可判断D.
【详解】对于A：依题意，，且，
所以，则，
因为峰顶在所在地平面垂直投影点为，即平面，平面，所以，
所以，故A正确；
对于B：因为在地平面投影点落在上，即平面，且平面，
所以，过点作交于点，则，，
又，，所以，
因为山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，即，
所以，
则，故B正确；
对于C：因为从点观测峰顶的仰角为，则，
所以，则，故C错误；
对于D：因为，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以，
，
所以，所以，
所以从点观测点的仰角为，则，故D正确.
故选：ABD
9．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ）

A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
【答案】ACD
【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．
【详解】A选项中，,，
因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确.
B选项中，在中，，，则,又因为，
所以km,故B错误.
C选项中，在中，，，则.
由正弦定理，得AB=km，故C正确.
D选项中，在中，由余弦定理，得
，即km，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题
10．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为__________.
【答案】
【分析】根据正弦定理求得，利用直角三角形求得树高.
【详解】在中，由正弦定理得：，
即，即
又，
则，
则树高m，
故答案为：
11．（23-24高一下·浙江宁波·期中）“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________．
【答案】
【分析】根据正弦定理计算可得，结合计算即可求解.
【详解】因为，，所以，
在中，由正弦定理可得，
则，
在直角三角形中，，
所以．
故答案为：．
12．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米．
【答案】
【分析】在中，利用正弦定理求得长，在中利用三角函数的定义即可求得长.
【详解】如图，在中，，
由正弦定理，，
则，
在中，.
故答案为：.
13．（24-25高一下·浙江·期中）甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为_______千米．
【答案】
【分析】画出简图，由余弦定理即可求解.
【详解】
设两小时后，甲、乙两船的位置分别为处，
由题意可知，
所以，
由余弦定理可得：，
即，
所以，
故答案为：
14．（24-25高一下·浙江·期中）衢州是孔子后裔的世居地和第二故乡，素有“东南阙里，南孔圣地”的美誉，孔子雕像坐落于孔子文化公园内．如图，选取与孔子雕像底部在同一平面内的三个测量基点，且在处测得雕像顶点的仰角分别为，米，则孔子雕像高为______米．
【答案】
【分析】设米，得到，结合及余弦定理求解.
【详解】设米，由题设有，又，
由，
所以，则，可得米.
故答案为：
15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行3千米后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为______千米．

【答案】
【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求.
【详解】

因为在点测得，的俯角分别为，，
所以，，
因为在点测得，的俯角分别为，，
所以，，
在中，已知，
由正弦定理得，
所以；
因为，则，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
因为，，故，
在中，由余弦定理得：，
故，
所以
故答案为：.
(
地
城
考点0
4
最值问题
)
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形两边之和大于第三边和余弦定理，求解的范围，判断选项.
【详解】由，则，
所以，故，
由为钝角三角形，则，
即，得，故，
故的取值范围为，
故选：A
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，若，则边的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用正弦定理可得，再利用余弦定理结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，则，
由正弦定理可得，
又因为，则，可得，
即，所以，
由余弦定理可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以边的最小值为.
故选：D.
3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解．
【详解】已知满足，
设、、对应的边分别为，，，
则，
即，
则，
当且仅当时取等号，
即的最小值为．
故选：D．
4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简，利用三角恒等变换求出，再由余弦定理及均值不等式求的范围即可.
【详解】由三角形面积公式及余弦定理可得：
，
即，可得，由，
可知，所以，
所以，即，
由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，
即，解得，又，所以，
故选：D
5．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B，A，D三点共线，设点P是内的任意一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】将绕点顺时针旋转到，根据两点之间线段最短结合余弦定理可求的最小值，或者建立平面直角坐标系，根据费马点的性质结合圆的方程可求费马点的坐标，从而可求的最小值，也可以费马点的几何特征结合正弦定理可求的值，从而可求的最小值.
【详解】由题设有，而，
由余弦定理可得，
所以，故是直角三角形，
且，.
法一：几何法
将绕点顺时针旋转到，则，
则，
当且仅当四点共线时等号成立，此时，
，
即为费马点时，取最小值，
因为，，
所以.，
故当且仅当为费马点时，取最小值且最小值为.
法二：解析法
以点为原点建立平面直角坐标系，且，，
由费马点的定义知点满足，
故在以为弦且半径为的劣弧上，
设圆心为，而，故，故，
故圆，
同理也在以为弦且半径为的劣弧上，
其方程为，
由可得，
再代入其中一式解得，（舍）
所以取最小值时，，，
故取最小值且最小值为.
法三：代数法
设，则，
由费马点的性质可得，（），
由正弦定理可得且，
故，整理得到，
解得，即，
此时，
而，同理
故的最小值为.
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于给定条件的几何问题，我们可以根据几何对象的性质结合正弦定理或余弦定理求解几何量，或者利用旋转构造最值线段.
二、多选题
6．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（ ）
A． B．边的取值范围是
C．面积取值范围是 D．周长取值范围是
【答案】ABC
【分析】A选项，由余弦定理得到，得到；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，从而得到；C选项，在B选项基础上得到；D选项，由正弦定理得到，结合B选项，得到周长的取值范围.
【详解】A选项，由题意得，即，
因为，所以，A正确；
B选项，由正弦定理得，
故，
因为锐角中，，所以，
解得，故，
，B正确；
C选项，由B可知，，故，
面积取值范围是，C正确；
D选项，由正弦定理得，故，
因为，所以，
故，
所以周长取值范围是，D错误.
故选：ABC
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
7．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．的取值范围是
C．当时的外接圆半径为
D．若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为
【答案】ACD
【分析】由对进行化简得，在利用正弦定理可以推出；再由为锐角三角形化简出的取值范围，且根据正弦定理化简出可判断出的取值范围；同样根据，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圆半径；由的取值范围，且对进行化简得，且，当取到最大值时转化成求出的取值范围.
【详解】对于A：，且，即，
由正弦定理得：，
即，
或（舍去），
，故A正确；
对于B：由正弦定理，
则，
为锐角三角形，则，即，
，所以，故B不正确；
对于C：且，
，所以，
由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确；
对于D：
，且，
，即；
要使得有最大值，即有最大值，
此时，当有最大值时，即时，
有最大值为，此时，
，又，
，，
∴的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是利用正弦定理得到，再求出角的范围即可判断；D选项的关键是充分利用辅助角公式得到其范围.
8．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若且有两解，则的取值范围为
C．若且为锐角三角形，则的取值范围为
D．若且，为的内心，则的面积为
【答案】BCD
【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，由正弦定理得到，再结合正弦函数的值域求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.
【详解】因为，所以由正弦定理，得，
即 ，
因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ，
所以，
所以的外接圆的面积为，故选项A错误；
选项B：由正弦定理可得，
故，因为有两解，且，所以，
故，即b的取值范围为，故选项B正确；
选项C：由正弦定理，得 ，即，
因为，所以，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，由正弦定理得，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，
又因为，所以，故，，解得 ，
因为，所以，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，故选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角三角形中，内角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为__________．
【答案】
【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求出角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】因为，即，
由正弦定理可得，所以，
因为，则，
因为，所以，所以，则，故，所以，
由余弦定理可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，故面积的最大值为.
故答案为：.
10．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据题意，化简得到，求得，且，结合三角形的性质，得到，再由正弦定理得到，进而求得，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，
可得，
因为为的内角，所以，则，
又因为，可得，所以，
因为，由正弦定理得，
又因为，
所以，
则，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：.
11．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）锐角中，角,,所对的边分别为,,，，且，则周长的取值范围为______
【答案】
【分析】先利用正余弦定理及两角和正弦公式化简题干得出，再利用锐角三角形即可求解角范围，再利用正弦定理求出，得出关于角的函数，最后求该函数的值域即可.
【详解】，由余弦定理得，即，
由正弦定理得，
所以， 又，
所以，又为锐角三角形，所以，
又，所以，，
所以，
又，解得，所以，所以，
则，
故周长的取值范围是.
故答案为：
12．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为__________.
【答案】
【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可.
【详解】且，,
根据正弦定理得，,
即，
整理得，
，，，解得，，
，
，,
的面积
为锐角三角形，，，
，，
，
.
故答案为：.
13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知是锐角三角形，内角所对的边分别为．若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据余弦定理化简题给条件得到角的关系，得到角范围.再利用正弦定理边化角化简，再换元根据二次函数性质即可得解.
【详解】因为，，由余弦定理，
所以，化简得.
由正弦定理得，
又，，
，即.
因为是锐角三角形，所以，.
又因为在上单调递增，
所以，即，所以.
由可得且，得.
由正弦定理
，
令，则，在上递增，
因时，；时，.
所以.
故答案为：.
四、解答题
14．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，求边长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式对原式进行化简，得到，再利用三角形内角的性质求解角度即可.
（2）先利用正弦定理求出，再利用锐角三角形的性质求出，最后结合正弦函数的性质求解取值范围即可.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
则，
得到，
因为，所以，
化简得，而，则解得.
（2）由正弦定理得，则，
因为为锐角，所以，，
解得，结合可得，
得到，则，故.
15．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知是的三个内角的对边，且__________.
(1)求；
(2)若，求锐角的周长的取值范围.
【答案】(1)选①②③，答案均为
(2)
【分析】（1）选①，由正弦定理得到，利用余弦定理得到；选②，利用恒等变换得到，结合，求出；选③，由正弦定理和三角恒等变换得到，求出答案；
（2）由正弦定理得到，变形得到的周长，利用是锐角三角形，所以，结合正弦曲线求出取值范围.
【详解】（1）选①，由，
可得，
因为及正弦定理，可得，
所以，整理得，
则，因为，所以；
选②，由，可得，
即，
因为，可得，所以，即；
选③，由，由正弦定理得，
即，
即，
整理得，
因为，可得，
即，因为，所以.
（2）由，可得，
故，
所以周长，
又由，可得，
，
又因为是锐角三角形，所以，
即，解得，
可得，所以，
所以，
所以的周长的取值范围为.
16．（24-25高一下·浙江台州·期中）设的三个内角,,所对的边分别为,,，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值；
(3)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）由正弦函数的差角公式，根据同角三角函数的商式，可得答案；
（2）由余弦定理建立方程，根据完全平方公式以及基本不等式，可得答案；
（3）由锐角三角形的性质，可得角的取值，利用正弦定理，整理三角函数的解析式，并由三角函数的恒等式，可得答案.
【详解】（1），，，；
（2）由余弦定理可得，，
，
的最大值为4，当且仅当时取到；
（3），，，.
，
，
，，.
17．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
(1)求角A的大小；
(2)若_____，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）将边化为角，结合两角和的正弦公式化简即可；
（2）若选①，则由正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换及三角函数图象可求范围；若选②，则由正弦定理将边化成角，结合正切函数的图象即可求解范围.
【详解】（1）∵
，
∵，∴，∴，
∵，∴
（2）若选①；
由正弦定理可知：，
，
又因为锐角三角形，所以，
所以，，
故；
若选②，由正弦定理可知，
，
又因为锐角三角形，所以，，
.
18．（24-25高一下·浙江·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围；
(3)若的面积，E为线段BC上一点，且存在，使得，求AE长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理及辅助角公式化简即可得解；
（2）由正弦定理转化为三角函数，利用正弦型函数的值域求解；
（3）根据正弦定理及余弦定理，利用面积公式化简，由二次函数性质求解.
【详解】（1）由正弦定理知，，即，
整理，得，，
．
（2），
，
，，．
，．
（3）设d为线段AE长，由题可知，AE为内角平分线，则，
由得，，所以，
由余弦定理得，即，所以，
，，
因为，所以．
即线段AE长度的取值范围为．
19．（24-25高一下·浙江·期中）已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足.
(1)求角A的值；
(2)记边上的高为h，
（i）若，求的值；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）或； （ii）
【分析】（1）由正弦定理边化角可得：.在中，根据代入上式化简，再利用辅助角公式和角的范围即可求解；
（2）（i）由（1）知.根据三角形面积公式及余弦定理可求得的值，再利用正弦定理边化角即可求解；
（ⅱ）由三角形面积公式及可得，代入，利用正弦定理边化角化简可得，结合角的范围和正弦函数性质即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理可得：.
在中，∵，∴，
代入上式化简可得：.
∵，∴，即，∴ .
又∵，∴，∴或，即或.
又为斜三角形知，∴.
（2）（i）由（1）知.
∵面积，边上的高，
∴.
由余弦定理可知：，即，即，∴或.
所以或.
（ⅱ）由，得，
∴
.
∵，∴，∴.
20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点且.
(1)若，
（i）求；
（ii）求的面积；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）已知，，可计算出，在中，利用正弦定理，结合已知的、和，建立等式求解；（ii）先由余弦定理，结合已知的、和，求解，最后依据三角形面积公式，计算的面积.
（2）在中，用角表示；在中，结合角、的关系，用角表示，然后将转化为关于角的三角函数，根据角度范围，结合三角函数的性质求取值范围.
【详解】（1）（i），，又，.
在中，已知，，，根据正弦定理可得，
即.
（ii）在中，已知，，，根据余弦定理可得
，将数值代入可得，
即，解得或.
由图可知，在中，，则，，.
根据三角形面积公式可得， 的面积.
（2）由（1）可知，，，又，
则在中， ，即；
在中，由正弦定理可得，即.
在中，因为，所以，即.
因此，.
，，，即.
故的取值范围为.
(
地
城
考点0
5
中线、角平分线问题
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的4倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用面积之比可得，作边上高，垂足为，即可求.
【详解】
因为，
即，在中，作边上高，垂足为，
则，
故选：A
2．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假．
【详解】A：设为的中线，由可得,可得，
即，所以A正确；
B中，设，设为的角平分线，所以，
由三角形等面积法可得，
可得，
所以，即，所以B正确；
设为边上的高，由等面积法可得，
所以，因为，由余弦定理可得，
所以，
所以，
即，所以C正确；
D中，由C可得，所以D不正确．
故选：D．
3．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围．
【详解】因为是边上的中线，所以，
则，
由正弦定理得，
可得，，
所以，
而，
，
所以
，
因为为锐角三角形，，则，即，
所以，所以，
所以当时，取得最大值，的最小值大于，
所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为．
故选：B．
二、多选题
4．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，设，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为12 B．外接圆的周长是
C．若为的中点，则中线长度为 D．内切圆的面积是
【答案】ABC
【分析】应用数量积公式结合余弦定理及面积公式判断A，应用余弦定理求出得，结合正弦定理判断B，根据中线向量公式结合B中结果计算的长后可判断C，利用等积法求内切圆半径判断D.
【详解】对于A，，解得，
故，故边上的高为，
故的面积为，故A正确，
对于B，由余弦定理得，而为三角形内角，
所以，外接圆的周长是，故B正确；
对于C，因为，
故
，
故，故C正确；
对于D，内切圆的面积是，故，
故，故D不正确.
故选：ABC.
5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ）
A．的周长为
B．的三个内角，，满足关系
C．的外接圆半径为
D．的中线的长为
【答案】ABC
【分析】根据已知结合正、余弦定理和面积公式可以求得，，进而可以得到选项ABC是否正确，选项D，弦利用正弦定理和三角变换求出，再借助余弦定理解三角形，可得解.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
设，利用余弦定理得，，
而，则，由，得，
解得，因此，
对于A， 的周长为，A正确；
对于B，由，得，B正确；
对于C，由正弦定理得外接圆半径为，C正确；
对于D，在中，利用正弦定理，解得，又，则，
在中，由余弦定理，D错误．
故选：ABC
三、填空题
6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为，，的角平分线交于点D，且，则的最小值为_____．
【答案】36
【分析】由余弦定理得，利用三角形面积关系建立方程关系得，结合基本不等式“1”的代换进行求解即可.
【详解】由题意，如图所示，在中，由余弦定理得
，
因为，
所以.
因为为的角平分线，
所以的面积为，
即，故，且，
所以，
当且仅当，即取等号.
故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
7．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且．
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得建立方程，整理化简，可得答案；
（2）由三角形面积计算，根据余弦定理结合基本不等式，可得答案.
【详解】（1）因为，且平分，
所以，
因为，所以，
整理得，
因为，所以，
故，即，
因为，所以，得．
（2）由余弦定理可得：，
则，当且仅当时，等号成立，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为.
8．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若的面积为，为边上的一点，
（i）若，求长．
（ii）若，求长的最小值；
【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）应用余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小；
（2）（i）由已知得，若且，则，利用面积公式得，进而有，最后应用余弦定理求边长；
（ii）由已知可得，应用向量数量积的运算律得，根据三角形面积公式得，最后应用基本不等式求最小值.
【详解】（1）由，则，
所以，则，
（2）（i）由题设，则，
若且，如下图示，
由，，则，则，
所以，则，
故；
（ii）由，如下图示，，
所以，则
，
又，则，故，
当且仅当时取等号，故长的最小值为.
9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，内角的对边分别是，，．
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得
，
即，而，，
解得，又，所以.
（2）由及，余弦定理得，
又，解得，
由得，
即，则，所以.
（3）因为是的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
即，
为锐角三角形， ，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，即边上的中线的取值范围为．
10．（23-24高一下·浙江9+1联盟·期中）在中，，为边上的中线，点在边上，设．
(1)当时，求的值；
(2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？
【答案】(1)
(2)
(3)当为何值时，最短
【分析】（1）由题意可知：，结合数量积的运算律分析求解；
（2）利用正弦定理可得，结合长度关系分析求解；
（3）设，利用面积关系和余弦定理可得，结合三角恒等变换以及基本不等式分析求解.
【详解】（1）由题意可知：，则，
即，
且，整理可得，即或（舍去），
所以的值为.
（2）在中，由正弦定理可得，即，
在中，由正弦定理可得，即，
若为的角平分线，则，即，
且，则，
即，可知，
则，可知，
又因为，则，所以.
（3）由（2）可知：，则，
且最短，即为最短，
设，则，，，
可知，可得，
由余弦定理可得，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
由（1）可知：，即，
可得，即（负值舍去）
所以当为何值时，最短.
11．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解；
（2）①由面积公式求出，再由，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解；②由等面积法得到，再由基本不等式求出的最大值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理，因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由为的中点，所以，
所以
，当且仅当时，等号取得到，
所以，则，故的最小值为；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
所以，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，故的最大值为
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专题02 解三角形
5大高频考点概览
考点01 正余弦定理
考点02 三角形面积公式
考点03 实际应用问题
考点04 最值问题
考点05 中线、角平分线问题
(
地
城
考点01
正余弦定理
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，已知，则C＝（ ）
A．60° B．30° C．30°或150° D．60°或120°
2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，已知，则（ ）
A．5 B．3 C． D．1
3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知分别为三个内角的对边，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·浙江余姚·期中）在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（23-24高一下·浙江·期中）在中，“”是“为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边为，，，已知，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角的对边分别为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若，则是等腰三角形
D．若，，满足有解，则
二、多选题
12．（24-25高一下·浙江·期中）根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
13．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为等腰或直角三角形.
B．若，则为直角三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则
15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若，且，则为等边三角形
D．若，则可以是钝角三角形
三、填空题
16．（24-25高一下·浙江台州·期中）的三个内角满足，则最小角的余弦值为__________．
17．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______.
18．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为_________.
19．（24-25高一下·浙江金华·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为_______．
20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设为的外心，若，则等于______．
四、解答题
21．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对边分别是，且．
(1)求；
(2)若，求的值及边上的高．
22．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知在中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)若，，求b；
(2)求证：．
23．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，在中，角所对边长分别为，满足.

(1)求；
(2)点在上，，求.
24．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角所对的边分别为，且______．
(1)求；
(2)若，求．
25．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，在中，是边上的一点，，.
(1)若，，求的长；
(2)若，设，，求的值.
26．（23-24高一下·浙江·期中）在中，，，分别为角的对边，．
(1)求角C；
(2)若是的中点，，求．
27．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，.
(1)求的值；
(2)若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）
(
地
城
考点02
三角形面积公式
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江温州·期中）在中，，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
2．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角的对边分别为，面积为．若且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的最短边与最长边的长度和为6，则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为，面积为，若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
二、填空题
8．（24-25高一下·浙江·期中）在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式，则■处应该填写______.（用三角形已知边角表示）
9．（24-25高一下·浙江衢州·期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九 都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，记，则三角形面积为.已知中，，则的内切圆半径为__________.
10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，若，其面积为，则__________．
11．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则__________.
三、解答题
12．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B的值；
(2)若外接圆的面积为，且，求的面积．
13．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，的面积为．求的周长．
14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，为钝角，且边上的高为，求的面积.
15．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
16．（24-25高一下·浙江·期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
(1)求角C；
(2)设，求的面积．
(
地
城
考点0
3
实际应用问题
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（ ）
A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向
3．（24-25高一下·浙江台州·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ）

A． B． C． D．
4．（24-25高一下·浙江·期中）壕股塔是嘉兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ的高，他在山下处测得塔尖P的仰角为，再沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为，那么壕股塔的高为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·浙江台州·期中）为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向，，则这幢建筑物的总高度为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高一下·浙江·期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在山脚处测得山顶的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走，在处测得山顶的仰角为75°，则山高为（ ）

A． B．2 C． D．
二、多选题
8．（24-25高一下·浙江·期中）图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．从点观测峰顶的仰角为，则
D．从点观测点的仰角为，则
9．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ）

A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
三、填空题
10．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为__________.
11．（23-24高一下·浙江宁波·期中）“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________．
12．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米．
13．（24-25高一下·浙江·期中）甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为_______千米．
14．（24-25高一下·浙江·期中）衢州是孔子后裔的世居地和第二故乡，素有“东南阙里，南孔圣地”的美誉，孔子雕像坐落于孔子文化公园内．如图，选取与孔子雕像底部在同一平面内的三个测量基点，且在处测得雕像顶点的仰角分别为，米，则孔子雕像高为______米．
15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行3千米后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为______千米．

(
地
城
考点0
4
最值问题
)
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，若，则边的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B，A，D三点共线，设点P是内的任意一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
二、多选题
6．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（ ）
A． B．边的取值范围是
C．面积取值范围是 D．周长取值范围是
7．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．的取值范围是
C．当时的外接圆半径为
D．若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为
8．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若且有两解，则的取值范围为
C．若且为锐角三角形，则的取值范围为
D．若且，为的内心，则的面积为
三、填空题
9．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角三角形中，内角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为__________．
10．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为______.
11．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）锐角中，角,,所对的边分别为,,，，且，则周长的取值范围为______
12．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为__________.
13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知是锐角三角形，内角所对的边分别为．若，则的取值范围是______．
四、解答题
14．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，求边长的取值范围.
15．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知是的三个内角的对边，且__________.
(1)求；
(2)若，求锐角的周长的取值范围.
16．（24-25高一下·浙江台州·期中）设的三个内角,,所对的边分别为,,，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值；
(3)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
17．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
(1)求角A的大小；
(2)若_____，求面积的取值范围.
18．（24-25高一下·浙江·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围；
(3)若的面积，E为线段BC上一点，且存在，使得，求AE长度的取值范围．
19．（24-25高一下·浙江·期中）已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足.
(1)求角A的值；
(2)记边上的高为h，
（i）若，求的值；
（ii）求的取值范围.
20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点且.
(1)若，
（i）求；
（ii）求的面积；
(2)求的取值范围.
(
地
城
考点0
5
中线、角平分线问题
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的4倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，设，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为12 B．外接圆的周长是
C．若为的中点，则中线长度为 D．内切圆的面积是
5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ）
A．的周长为
B．的三个内角，，满足关系
C．的外接圆半径为
D．的中线的长为
三、填空题
6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为，，的角平分线交于点D，且，则的最小值为_____．
四、解答题
7．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且．
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值．
8．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若的面积为，为边上的一点，
（i）若，求长．
（ii）若，求长的最小值；
9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，内角的对边分别是，，．
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
10．（23-24高一下·浙江9+1联盟·期中）在中，，为边上的中线，点在边上，设．
(1)当时，求的值；
(2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？
11．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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