资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 平面向量
4大高频考点概览
考点01平面向量的基本概念
考点02平面向量的线性运算
考点03平面向量的数量积
考点04 平面向量基本定理及坐标运算
一、单选题
1．（24-25高一下·山东威海·期中）下列关于向量说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等
C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等
【答案】D
【分析】利用零向量、单位向量和相反向量的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于A，因为零向量的方向是任意的，所以A错误；
对于B，单位向量是长度为一个单位的向量，方向可以是任意方向，所以B错误，
对于C，因为的模长为，所以C错误，
对于D，因为相反向量是模长相等，方向相反的两个向量，所以D正确，
故选：D.
2．（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，，则
C．若，则
D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
【答案】D
【分析】根据单位向量、共线向量的定义及零向量的性质判断各项的正误即可.
【详解】A：单位向量长度相等，但方向不一定相同，错；
B：若为零向量时，不一定共线，错；
C：若，只能说明的模长相等，但方向不一定相同，错；
D：长度不相等而方向相反的两个向量是共线向量，即平行向量，对.
故选：D
3．（24-25高一下·山东淄博·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．向量能作为平面内所有向量的一组基底
B．若，则
C．若，则与垂直的单位向量坐标为或
D．若，则与的夹角是钝角
【答案】C
【分析】利用基底定义判断A；举例说明判断B；求得与垂直的单位向量坐标判断C；利用向量夹角的定义判断D.
【详解】选项A，，即，向量不能作为平面内所有向量的一组基底，A错误；
对于B，当时，不共线，也满足，B错误；
对于C，设与垂直的向量，则，取，得，
因此与垂直的单位向量为，其坐标为或，C正确；
对于D，由，得与的夹角是钝角或平角，D错误.
故选：C
二、多选题
4．（24-25高一下·山东威海·期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用平面向量的坐标表示和模长公式即可判断A,B，利用平面向量的数量积即可判断C，利用三角形的面积公式即可判断D；
【详解】对于A：因为，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：由选项A,B知，，
因为，故，故选项C正确；
对于D：由选项C知，且，，
所以，故D错误；
故选：BC
5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知非零向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与共线
D．若，则在上的投影向量为
【答案】AC
【分析】对于A，由数量积的定义即可判断，对于B，根据向量模的定义及向量相等定义判断，对于C，根据数量积的定义及向量共线定义判断，对于D，根据投影向量的计算公式可判断；
【详解】对于A，，可得，即，正确；
对于B，，但方向不定，故不一定相等，错误；
对于C，由得，可得，
即非零向量，方向相同，故与共线，正确；
对于D，因为，为非零向量，
所以在上的投影向量为，错误；
故选：AC
一、单选题
1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知点是的外心，，若，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】取边的中点，则.由题中条件分析可知点与点重合，为的中点.根据点是的外心，可得，利用向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】取边的中点，则.
∵，∴，即，∴点与点重合，为的中点.
又∵点是的外心，∴是以为斜边的直角三角形，∴.
∵，，∴，解得.
故选：D.
2．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.
【详解】由，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：C.
3．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在中，，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、的值，即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，
又，、不共线，
所以，所以.
故选：C
4．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用向量的中线公式及向量的线性运算，即可求解.
【详解】因为，所以，
又，由题知，
所以，则，
故选：D
5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在四边形中，，设.若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】作出草图，过作，又，可得四边形是平行四边形． ，根据．可得 ，又，可得，据此即可得出结果．
【详解】如图所示，过作，又．
∴四边形是平行四边形．
， 又，
，
又，则.
故选：B．

二、多选题
6．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若是的重心，则
C．若为的垂心，，则
D．若分别表示的面积，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由数量积的定义，可得夹角余弦值小于零，可得其正误；对于B，由重心的性质，根据平面向量的加法，可得其正误；由垂心的定义，根据数量积定义式以及锐角三角函数，可得其正误；对于D，由平面向量的加法与数乘，可得点的位置，根据三角形的等积变换，可得其正误.
【详解】对于A，由，则，即，
所以仅仅只可得一个角为锐角，故A错误；
对于B，由题意可作图如下：
则为的中点，且，所以，故B正确；
对于C，由题意可作图如下：
则，所以，故C正确；
对于D，由题意可作图如下：
则分别为的中点，，
可得为上靠近的三等分点，易知，即，故D正确.
故选：BCD.
7．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知外接圆圆心在上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据已知有为的中点，且，结合向量加法、数乘的几何意义判断A、B；再应用向量数量积的定义、运算律判断C、D.
【详解】由题设，如下图示，为外接圆的直径，故，即，A对；
易知为的中点，则，B对；
，C错；
若为的中点，则且，
，D错.
故选：AB
8．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用向量运算求得，，然后利用结合数量积运算律建立方程求解判断C，由向量线性运算得，然后结合数量积的运算律及模的运算求解判断D，利用平面向量基本定理和三点共线的向量推论求得判断A，利用向量的线性运算求得判断B.
【详解】因为，，
所以
，所以，故C正确；
因为，所以，故D正确；
设，则，又三点共线，
所以，
由平面向量基本定理得，解得，所以，
则，
所以，故A正确，B错误.
故选：ACD.
9．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．，则为内心
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为的外心
D．若，则点的轨迹经过的重心
【答案】BD
【分析】利用重心向量公式判断A；利用数量积运算律及定义求解判断B；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断C；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断D.
【详解】对于A，由，得为重心，A错误；
对于B，由，得，
则，整理得，又
于是，为等腰三角形，B正确；
对于C，由，得，则，
由，同理得，则为的垂心，C错误；
对于D，令的中点为，则，由正弦定理得，
令，则，
因此，点的轨迹经过的重心，D正确.
故选：BD
三、填空题
10．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，点为边长为1的正六边形的边上一点，若点与点重合，则______________，若点在边上（边除外）运动，则的取值范围为________________.

【答案】 2
【分析】转化，再转化，根据几何图形，求和的取值范围.
【详解】如图，延长交于点，则是等边三角形，
当点和点重合时，；

当点在边上（边除外）运动，则，
显然的最小值是点到的距离，为，
当点由点运动到点，变大，这段运动过程的最大值是，
中根据余弦定理可知，，
显然，所以由点运动到点的过程中，当点是的中点时，，此时最短，这段过程的最大值是，
由点到点的运算过程，显然变小，所以这段过程的最大值为，
所以点由点到点的过程中的最大值为，
所以的取值范围为.
故答案为：2；
四、解答题
11．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知是两个不共线向量，且的夹角为．
(1)若，，，当三点共线时，求实数的值；
(2)若，，那么当实数为何值时，的值最小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三点共线，利用共线向量基本定理即可求解；
（2）先求，利用得，利用二次函数即可求解.
【详解】（1）由题意可得： ，
因为三点共线，所以存在唯一实数，满足，
即有，因为不共线，
所以，解得.
（2）因为 ，
所以可求得，
所以，
因为，当时，取得最小值，
此时的最小值也为.
12．（24-25高一下·山东聊城·期中）计算：
(1)；
(2)已知，，，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用向量加减法的运算律化简即可；
（2）由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可求参数.
【详解】（1）原式.
（2），
，
即，解得，
所以实数k的值为.
13．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，平行四边形中，为上一点，，设，，为平行四边形内一点，且.

(1)证明：，，三点共线；
(2)延长交于，用，表示出并求出.
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论即可求证；
（2）设，结合平面向量的线性运算及三点共线的推论可得，进而求解即可.
【详解】（1）由题意，，
由于，则，，三点共线.
（2）设，则，
由于三点共线，则，解得，
则.
而，
，
所以，即.
一、单选题
1．（24-25高一下·山东济宁·期中）定义：为向量与的外积，且，其中θ为向量与向量的夹角，已知在中，若，，则的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】D
【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果.
【详解】设分别为的中点，连接，
则，则∽，故，
则，故，
又因为，，
即，，
设，则，，
所以，
所以，
所以，
所以，故，
当时，四边形面积最大，最大值为，
故的面积的最大值为，
且，所以的最大值为.
故选：D.
2．（24-25高一下·山东日照·期中）在平行四边形中，，E为的中点．若，则的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用平行四边形中的向量相等，结合已知数量积等式，利用向量的线性运算法则以及向量数量积的运算得到关于的方程，解之即可．
【详解】
因为平行四边形中, ，，E为的中点，
设,由得，
，
即，
解得或（舍去）；
故选：C.
3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用在上的投影向量的公式可求解
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
二、多选题
4．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知向量是两个单位向量，则（ ）
A．若不共线，则
B．若，且，则
C．若的夹角，则向量在向量上的投影向量是
D．若，向量的夹角为，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】A证明即可；B先利用求出的值，再利用向量共线的坐标运算即可求出；C先计算，再利用公式计算即可；D根据得出，再结合的范围即可.
【详解】由题意可得，且，，
则，则，故A正确；
由题意可得，，得，
因，则，则，故B错误；
因的夹角为，则，
则向量在向量上的投影向量是，故C正确；
因，则，得，
因，则，则的最小值为，故D正确.
故选：ACD
5．（24-25高一下·山东济宁·期中）下列说法错误的为（ ）
A．、为实数，若，则与共线
B．两个非零向量、，若，则与垂直
C．若且，则
D．O是内一点，若，则
【答案】ACD
【分析】举反例令可得A错误；由数量积的运算律结合模长和垂直的条件可得B正确；当可得C错误；由三角形中重心的向量表示先求出为的重心，再由面积比例关系可得D错误.
【详解】对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误；
对于B选项，易知，即，
即，所以，∴与垂直，故B正确；
对于C选项，如果，都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故C错误；
对于D选项，若，设，，可得为的重心，如下图：
设，，，
则，，，再由重心性质可得，
可所以，故D错误.
故选：ACD.
6．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．的面积为 D．是的图象的一个对称中心
【答案】AC
【分析】对于A，根据图象，即可判断；对于B，，，，根据题设可得，，，即可求解；对于C，结合图象，利用面积公式，即可求解；对于D，求出的解析式，再进行检验，即可求解.
【详解】对于选项A，由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以，故A正确；
不妨设，，，且，
易知.
则，，
所以，
.
又，所以有，
整理可得.
因为，所以，.
根据正弦函数的性质可知，
所以，有，，，
∴，，
对于选项B，因为，所以，又，所以，故B错误；
对于选项C，由图可知的面积为，故C正确，
对于选项D，因为，
又函数图象过点，所以有，
所以有，解得，，即，.
又，所以，则，
所以，
所以不是的图象的一个对称中心.故D错误，
故选：AC.
7．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．最大值为3
C．的最大值为2
D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为
【答案】BD
【分析】对于A，验证数量积是否为0即可判断；对于B，求模先求平方，再开方即可求解；对于C，举出反例即可；对于D，在向量上的投影向量为，据此求解即可.
【详解】对于A，因为，所以与不垂直，故A错误；
对于B，因为，所以，
所以
当共线时，有最大值为1，所以，故B正确；
对于C，若，，故C错误；
对于D，因为，所以，即，
所以在向量上的投影向量为，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
8．（24-25高一下·山东日照·期中）在等腰直角三角形ABC中，，点M为斜边BC的中点．以M为圆心，MA为半径作，点P在线段AB上，点Q在上，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】建立适当的平面直角坐标系，得到，先求出的范围，进一步即可求解.
【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由于所以，
由于点在，不妨设 ，，
，设，
所以，
，
由于，
所以，
当且仅当，，
，
当且仅当，或1，或0，
由于都是连续变化的，故所求范围为
故答案为：.
9．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______.
【答案】
【分析】延长AC，使得，进而得到B，G，D三点共线，再取取NC中点为H，得到得到求得最小值即可求解.
【详解】延长AC，使得，
令可知B，G，D三点共线，
时为AG最小值，
在中，，得，
又因为，所以是等边三角形，所以，
在中，，
取NC中点为H，
，,
所以
所以.
即求的最小值，
当时，有最小值，
在中，，，
所以.
故答案为：
10．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【分析】根据向量垂直的关系式求，再代入投影向量的公式，即可求解.
【详解】已知，则.
因为，根据向量垂直的性质可知，即.
将代入上式可得.
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为.
将，，代入可得：
在向量上的投影向量为.
故答案为：.
11．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，矩形中，边，分别是上的点，若， 则的取值范围是_______．

【答案】
【分析】建立适当的平面直角坐标系，用表示即可求解.
【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

边，，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
12．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.

(1)设，用和表示，并求实数t的值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合题意求得、、的坐标，然后求出，，结合平面向量基本定理求出和表示的式子，再根据B、P、D三点共线，列式算出实数t的值；
（2）根据平面向量的坐标运算法则求出，然后根据向量模的公式，结合二次函数的性质求出求的取值范围.
【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则，，，，
可得，，，
则，
根据平面向量的加法法则，可得，
设，
可得，解得，
所以；若，
则根据B、P、D三点共线，可知存在实数m，使，
所以，解得.
（2）因为，，
可得，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围为.
13．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角为，角的角平分线为在上.
(1)用表示；
(2)若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由.
【答案】(1)
(2)为的中点，理由见解析
【分析】（1）先根据角平分线定理得出，由此推出，再利用向量加法和减法法则，将用与表示出来．
（2）设，先求出关于与的表达式，再计算，得到一个含$λ$的式子．最后根据已知，建立方程求解，从而确定的位置．
【详解】（1）由角平分线定理得，所以，
所以
（2）设.因为，
所以
因为，所以，解得.故为的中点.
14．（24-25高一下·山东威海·期中）如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，，，设，.

(1)用，表示；
(2)求；
(3)若，，求实数t的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用表示出，即可得；
（2）应用向量数量积的运算律求，即可得；
（3）由，，再应用向量垂直及数量积的运算律列方程求参数值.
【详解】（1）；
（2）由，，则，所以.
（3）由，，
因为，所以，所以，
即，解得.
15．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M．
(1)若，求；
(2)在（1）的条件下，求的取值范围；
(3)设，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出.
（2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求范围.
（3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值.
【详解】（1）因为，
所以，所以，
同理可得，所以点是的外心．
因为且，
化简得，
所以．
（2）由（1）知，点是的外心．设，
．
因为，所以
所以．
（3）设，则，
因为，所以，
所以，
两边同时平方得，，所以，
令，当且仅当即时，等号成立．
所以的最小值为．
16．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，.
(1)求a；
(2)求的面积；
(3)以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)
(3).
【分析】（1）由利用二倍角公式得，再由正弦定理即可得解；
（2）由余弦定理和已知得，由等式两边的取值范围可得，，利用余弦定理得，从而可得三角形面积；
（3）以B为坐标原点建立平面直角坐标系，由数量积坐标运算得动点轨迹方程，即（为变量），代入利用辅助角公式即可解决问题.
【详解】（1）根据题意，，
因为，所以，
由正弦定理得，所以；
（2）由余弦定理，，
代入，得，
两边同除以2bc，，
由于，当且仅当时等号成立，而，
当且仅当时等号成立，即，
由余弦定理，即，
的面积；
（3）由（1）（2）可知，，，所以，
以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
，
，
故可设（为变量），
，当且仅当
所以的最小值为.
17．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在中，，，点为和的交点，设，．
(1)若，求，的值；
(2)若，，与夹角为，
①求的面积；
②若在上且，求的值
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）设，利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解；
（2）(i)由面积公式求出，根据可得答案；
（ii）由，，则，再求即可.
【详解】（1）设，
则，
所以，
所以，解得，所以，
又，所以；
（2）(i)，
由（1）知，，所以，
所以的面积
（ii）由（1）知，，
所以.
，
则
.
一、单选题
1．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，在基底下，（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形法则即可求解.
【详解】由图像可知：，
故选：C
2．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，将绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题设，根据旋转关系有，应用和角正余弦公式求其坐标即可.
【详解】由，且绕原点沿逆时针方向旋转到，
所以，
而，
，
所以.
故选：D.
3．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在中，，是线段上的一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先设，再用基底表示，最后利用平面向量基本定理即可求解.
【详解】设，
由得，
，
又，则，，
解得，.
故选：C.
4．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量共线的坐标表示，列出等式求解即可.
【详解】由题意可得：，
解得：，
故选：D
5．（24-25高一下·山东威海·期中）在中，D，E分别是边BC和AC的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题:,变形即可.
【详解】由题:,
故,
故选:B.
二、多选题
6．（24-25高一下·山东日照·期中）如图，在和中，点D，E，F分别为BE，CF，AD的中点，P为内一点（含边界），且，下列说法正确的是（ ）
A．和的面积相等
B．和的重心重合
C．延长BE交AC于点M，则
D．的最小值是
【答案】ABD
【分析】对于A，由中线的性质即可判断；对于B，由重心的性质即可判断；对于C，由面积关系可得，进一步即可判断；对于D，设，进而得出，将问题转化为求的最小值，通过建立平面直角坐标系即可求解.
【详解】对于A，因为点是的中点，所以和的底边，对应的高也相等，所以和的面积相等，故A正确；
对于B，设是的重心，则当且仅当，
因为点D，E，F分别为BE，CF，AD的中点，
所以，
三式相加可得，
，
所以，也就是说点也是的重心，故B正确；
对于C，如下图，因为分别为的中点，
连接CD，AE，BF，延长BE交AC于点M，
则，所以，
同理可得，且，
所以，这两个三角形同底边，所以点到的距离是点到的距离的两倍，
设所成角为，则，其中点到的距离，点到的距离分别为，
即，，C错误；
对于D，如图，过点分别作的平行线，交于点，
，设，
则，因为三点共线，故，要求的最小值，只需求的最小值即可，
设，则，
延长交于点，则，
现在我们按如下方式构造符号题意的三角形，来求，
设，则（理论上来说应该设），
设，则，
因为是中点，所以，
因为是中点，所以，
类比C选项可知，点是线段的靠近点的三等分点，
从而
，
故，即的最小值是，故D正确.
故选：ABD.
7．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，，在正方形网格中的位置如图，若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】建立平面直角坐标系，易得，，，进而结合平面向量的线性运算、模、共线的坐标表示求解判断各选项即可.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
易得，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，
则，故B正确；
对于C，，
显然不存在实数使得，则不平行，故C错误；
对于D，，
则，即，故D正确.
故选：ABD.

8．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量.若向量，则定义有序数对叫做向量的广义坐标.若A，B两点的广义坐标分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若O，A，B三点共线，则
C．若，则P点的广义坐标为
D．若，，则
【答案】BC
【分析】对于A由，即即可判断，对于B若O，A，B三点共线，则存在实数使得，进行坐标运算即可，对于C设点，由得计算即可，对于D即可计算.
【详解】对于A：
由得，
所以
，故A错误；
对于B：若O，A，B三点共线，则存在实数使得,
即得，
即，故B正确；
对于C：设点，则，
由得，
得，得点，故C正确；
对于D：得
，
所以，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
9．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量，则__________.
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算可求的坐标，接着可求.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
10．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量.若与共线，则实数的值为________.
【答案】
【分析】利用向量共线的坐标关系式求解即可.
【详解】因为；
所以，，
由于与共线，则，
解得.
故答案为：
11．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，若，则________.
【答案】/
【分析】由条件，根据向量平行的坐标表示列方程求即可.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
故答案为：.
四、解答题
12．（24-25高一下·山东日照·期中）已知平面向量．
(1)若，求的坐标和；
(2)若，与共线，求实数m的值；
(3)若在上的投影的数量为2，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由向量加法、模的坐标计算公式求解即可；
（2）由向量共线的充要条件列式求解即可；
（3）由投影数量的定义、数量积的运算律即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
从而．
（2）因为，所以
因为与共线，所以，即．
（3）因为在上的投影的数量为2，，所以，
所以．
13．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，.
(1)求；
(2)若与垂直，求实数的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由向量的坐标运算及模长公式即可求解；
（2）由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可.
【详解】（1）由，，
可得：，
所以
（2），，
因为与垂直，
所以，
所以
14．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知.，为单位向量，且与的夹角为.
(1)求的值；
(2)若，且，求向量的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据数量积和模的公式，计算，即可求解；
（2）首先设向量，再根据条件转化为方程组，即可求解.
【详解】（1）因为，为单位向量，且与的夹角为，
所以，∴，
则；
（2）设，，
∵，∴，
又，，
∴，
∴或
∴或.
15．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，.
(1)若向量，求实数的值；
(2)若向量满足，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，列出关于的等量关系，求解即可；
（2）根据题意，列出满足的方程组，求解即可.
【详解】（1）由，，
得，，
因为，
所以，解得.
（2）由，，，
则，
由，则，
解得，即，则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 平面向量
4大高频考点概览
考点01平面向量的基本概念
考点02平面向量的线性运算
考点03平面向量的数量积
考点04 平面向量基本定理及坐标运算
一、单选题
1．（24-25高一下·山东威海·期中）下列关于向量说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等
C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等
2．（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，，则
C．若，则
D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
3．（24-25高一下·山东淄博·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．向量能作为平面内所有向量的一组基底
B．若，则
C．若，则与垂直的单位向量坐标为或
D．若，则与的夹角是钝角
二、多选题
4．（24-25高一下·山东威海·期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知非零向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与共线
D．若，则在上的投影向量为
一、单选题
1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知点是的外心，，若，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在中，，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在四边形中，，设.若，则（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
6．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若是的重心，则
C．若为的垂心，，则
D．若分别表示的面积，则
7．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知外接圆圆心在上，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（ ）

A． B．
C． D．
9．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．，则为内心
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为的外心
D．若，则点的轨迹经过的重心
三、填空题
10．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，点为边长为1的正六边形的边上一点，若点与点重合，则______________，若点在边上（边除外）运动，则的取值范围为________________.

四、解答题
11．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知是两个不共线向量，且的夹角为．
(1)若，，，当三点共线时，求实数的值；
(2)若，，那么当实数为何值时，的值最小．
12．（24-25高一下·山东聊城·期中）计算：
(1)；
(2)已知，，，求实数的值.
13．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，平行四边形中，为上一点，，设，，为平行四边形内一点，且.

(1)证明：，，三点共线；
(2)延长交于，用，表示出并求出.
一、单选题
1．（24-25高一下·山东济宁·期中）定义：为向量与的外积，且，其中θ为向量与向量的夹角，已知在中，若，，则的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
2．（24-25高一下·山东日照·期中）在平行四边形中，，E为的中点．若，则的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知向量是两个单位向量，则（ ）
A．若不共线，则
B．若，且，则
C．若的夹角，则向量在向量上的投影向量是
D．若，向量的夹角为，则的最小值为
5．（24-25高一下·山东济宁·期中）下列说法错误的为（ ）
A．、为实数，若，则与共线
B．两个非零向量、，若，则与垂直
C．若且，则
D．O是内一点，若，则
6．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．的面积为 D．是的图象的一个对称中心
7．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．最大值为3
C．的最大值为2
D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为
三、填空题
8．（24-25高一下·山东日照·期中）在等腰直角三角形ABC中，，点M为斜边BC的中点．以M为圆心，MA为半径作，点P在线段AB上，点Q在上，则的取值范围是_______．
9．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______.
10．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______.
11．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，矩形中，边，分别是上的点，若， 则的取值范围是_______．

四、解答题
12．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.

(1)设，用和表示，并求实数t的值；
(2)求的取值范围.
13．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角为，角的角平分线为在上.
(1)用表示；
(2)若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由.
14．（24-25高一下·山东威海·期中）如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，，，设，.

(1)用，表示；
(2)求；
(3)若，，求实数t的值.
15．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M．
(1)若，求；
(2)在（1）的条件下，求的取值范围；
(3)设，求的最小值．
16．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，.
(1)求a；
(2)求的面积；
(3)以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值.
17．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在中，，，点为和的交点，设，．
(1)若，求，的值；
(2)若，，与夹角为，
①求的面积；
②若在上且，求的值
一、单选题
1．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，在基底下，（ ）

A． B． C． D．
2．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，将绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在中，，是线段上的一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·山东威海·期中）在中，D，E分别是边BC和AC的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（24-25高一下·山东日照·期中）如图，在和中，点D，E，F分别为BE，CF，AD的中点，P为内一点（含边界），且，下列说法正确的是（ ）
A．和的面积相等
B．和的重心重合
C．延长BE交AC于点M，则
D．的最小值是
7．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，，在正方形网格中的位置如图，若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）

A． B．
C． D．
8．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量.若向量，则定义有序数对叫做向量的广义坐标.若A，B两点的广义坐标分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若O，A，B三点共线，则
C．若，则P点的广义坐标为
D．若，，则
三、填空题
9．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量，则__________.
10．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量.若与共线，则实数的值为________.
11．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，若，则________.
四、解答题
12．（24-25高一下·山东日照·期中）已知平面向量．
(1)若，求的坐标和；
(2)若，与共线，求实数m的值；
(3)若在上的投影的数量为2，求．
13．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，.
(1)求；
(2)若与垂直，求实数的值.
14．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知.，为单位向量，且与的夹角为.
(1)求的值；
(2)若，且，求向量的坐标.
15．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，.
(1)若向量，求实数的值；
(2)若向量满足，求的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑