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专题02 平面向量
5大高频考点概览
考点01线性运算与平面向量基本定理
考点02平行与垂直
考点03投影向量
考点04模长与夹角
考点05数量积及其应用
(
地
城
考点01
线性运算与平面向量基本定理
)
一、单选题
1．(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，为线段的靠近点的一个三分点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)在中，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)如图，是平行四边形的边上一点，且为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)在中，，点在上，满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（ ）
A．48 B．36 C．24 D．52
二、多选题
6．(24-25高一下·湖南娄底·期中)下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
7．(24-25高一下·湖南·期中)如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
三、填空题
8．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为___．
9．(24-25高一下·湖南部分校·期中)如图，在平行四边形中，，，.
(1)用，表示，；
(2)若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论.
10．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)菱形中，，点在线段上，且，则__________.
(
地
城
考点02
平行与垂直
)
单选题
11．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)已知向量，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
多选题
12．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知向量，则（ ）
A．是的充要条件
B．是与的夹角为锐角的必要不充分条件
C．是的充要条件
D．是的充要条件
填空题
13．(23-24高一下·湖南部分学校·期中)已知向量．若，则_________；若，则_________．
解答题
14．(24-25高一下·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)设，，向量，，，且，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值．
15．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)已知与的夹角为，．
(1)已知∥，求实数k的取值范围；
(2)已知⊥，求实数k的取值范围．
(
地
城
考点0
3
投影向量
)
单选题
16．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
17．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
18．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
填空题
19．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知向量，则在上的投影向量为__________.
解答题
20．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知单位向量，，夹角为，，，且与的夹角为．
(1)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围；
(2)若向量为在上的投影向量，求．
(
地
城
考点0
4
模长与夹角
)
单选题
21．(24-25高一下·湖南邵东第七中学·期中)已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
22．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
多选题
23．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知向量满足，与的夹角为，则（ ）
A． B．
C．与共线 D．
填空题
24．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)已知，为单位向量，且，则_________..
25．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知向量满足，则__________.
解答题
26．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知向量，的夹角为，且．
(1)求；
(2)若，求的值.
27．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知.
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与的夹角的余弦值.
(
地
城
考点0
5
数量积及其应用
)
单选题
28．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
29．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知单位向量、、满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
多选题
30．(24-25高一下·湖南永州·期中)下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
B．设，，为非零向量，则
C．设，为非零向量，若，则
D．若点为的重心，则
31．(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，且，则
B．若，则的面积与的面积之比为
C．若，则动点的轨迹经过的外心
D．若为锐角三角形且外心为，且，则
填空题
32．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.
33．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是__________.
解答题
34．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)半径为1的圆内接，且．
(1)求数量积，，；
(2)求的面积．
35．(24-25高一下·湖南·期中)如图，已知A，B是半径为1的圆O上两点，且．
(1)求的余弦值；
(2)若点，，…，，依次将线段AO平均分成2026份，设，，，求的值．
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专题02 平面向量
5大高频考点概览
考点01线性运算与平面向量基本定理
考点02平行与垂直
考点03投影向量
考点04模长与夹角
考点05数量积及其应用
(
地
城
考点01
线性运算与平面向量基本定理
)
一、单选题
1．(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，为线段的靠近点的一个三分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为为线段的靠近点的一个三分点，所以，
所以.
故选：B
2．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)在中，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算用基底表示即可.
【详解】由题意可得，其中，
所以.
故选：C
3．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)如图，是平行四边形的边上一点，且为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量三角形法则,用向量分别表示，然后即可得解.
【详解】因为所以易知,，
又为的中点，所以，
所以,
，
因此
故选：A
4．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)在中，，点在上，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量基本定理，利用共线条件建立方程，求解即可.
【详解】
因为点在上，所以设，
则 .
又，则，解得.
故选：A.
5．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（ ）
A．48 B．36 C．24 D．52
【答案】A
【分析】由已知可得，再利用互补的角的余弦值相加等于0，即可求得答案.
【详解】由已知六边形的边长及到各个顶点的长度均为2，
由图可知，同理，
．又
，
又由图知，，
．
所以．
故选：A.
二、多选题
6．(24-25高一下·湖南娄底·期中)下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据平行向量的坐标表示，建立方程组，集合基底的定义，可得答案.
【详解】对于A，令，则，显然无解，则向量不共线，故A不合题意；
对于B，令，则，显然无解，则向量不共线，故B不合题意；
对于C，令，则，解得，则向量共线，故C符合题意；
对于D，令，则，解得，则向量共线，故D符合题意.
故选：CD.
7．(24-25高一下·湖南·期中)如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据向量的线性运算，判断AB，根据数量积的定义，结合几何图形判断C，根据向量的几何意义，判断D.
【详解】对于A，因为，故A正确．
对于B，因为
，故B正确．
对于C，因为，故C错误．
对于D，设与的夹角为θ，则在上的投影为，由图可知
当点在点时，此时在上的投影最大，最大值为，当点在点时，此时在上的投影最小，最小值为，
所以，即的取值范围为．故D正确．
故选：ABD
三、填空题
8．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为___．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量的推论列式计算作答.
【详解】在中，，即，
又，即，
因此，而点B，P，N共线，于是，解得.
故答案为：
9．(24-25高一下·湖南部分校·期中)如图，在平行四边形中，，，.
(1)用，表示，；
(2)若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论.
【答案】(1)，
(2)是直角三角形，证明见解析
【分析】（1）用平面向量的线性运算可得，,并结合已知条件可得；
（2）根据题意，，再通过计算得，即可得证.
【详解】（1）由题意得，，
则．
．
（2）是直角三角形．
证明如下：由题意得，，
则
所以．故是直角三角形．
10．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)菱形中，，点在线段上，且，则__________.
【答案】/
【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值从而得解．
【详解】因为，所以，
所以，
因为点在线段上，
可设
，
而，所以，解得，
所以，
则，
所以，故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设，进一步将其表示成以，为基底的向量，从而可解.
(
地
城
考点02
平行与垂直
)
单选题
11．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)已知向量，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：C.
多选题
12．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知向量，则（ ）
A．是的充要条件
B．是与的夹角为锐角的必要不充分条件
C．是的充要条件
D．是的充要条件
【答案】AC
【分析】由向量垂直、平行的坐标表示及夹角公式的坐标表示逐项判断即可.
【详解】对于A，由，故A正确；
对于B，由为锐角且不共线且，故B错误；
对于C，由或，故C正确；
对于D，时，可得：，
，此时，
仍满足，故D错误，
故选：AC.
填空题
13．(23-24高一下·湖南部分学校·期中)已知向量．若，则_________；若，则_________．
【答案】
【分析】运用向量平行垂直的坐标结论可解.
【详解】由于，则时，，解得；
则时，，解得.
故答案为： ；.
解答题
14．(24-25高一下·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)设，，向量，，，且，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可；
（2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值．
【详解】（1）向量，，，且，，
可得且，解得，，
即，，则，
则；
（2）因为，，
所以，，
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
15．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)已知与的夹角为，．
(1)已知∥，求实数k的取值范围；
(2)已知⊥，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量共线的基本定理计算可得；
（2）先由定义求出向量的数量积，再利用数量积的运算律和垂直的条件计算可得.
【详解】（1）∵∥，∴，
则．
，且.
（2）由题意得．
∵⊥，，
则，
，即，
．
(
地
城
考点0
3
投影向量
)
单选题
16．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合数量积和模的坐标运算，根据投影向量定义计算可得答案.
【详解】在上的投影向量为．
故选：D
17．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由已知平方得，再根据投影向量的定义求解.
【详解】因为，
所以，解得，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
18．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将两边平方，由向量数量积的定义可得，再由投影向量的计算公式计算即可.
【详解】由题意知，，设，夹角为，
，
又，，，
所以，
向量在向量上的投影向量为．
故选：B.
填空题
19．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知向量，则在上的投影向量为__________.
【答案】
【分析】根据投影向量的计算，结合数量积以及模长的计算，可得答案.
【详解】在上的投影向量为.
故答案为：.
解答题
20．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知单位向量，，夹角为，，，且与的夹角为．
(1)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围；
(2)若向量为在上的投影向量，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，先求出m，根据向量夹角是锐角列不等式，由此求得实数m的取值范围；
（2）求出，则可求出，即可求得．
【详解】（1）因为单位向量，，夹角为，，，
则，
又，，
所以，解得，
所以，，
则由题可知，解得．
所以实数的取值范围为．
（2）由（1）知，，
向量为在上的投影向量，
则，且，
则，
所以．
(
地
城
考点0
4
模长与夹角
)
单选题
21．(24-25高一下·湖南邵东第七中学·期中)已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据夹角可得两个向量共线反向，故，可求.
【详解】因为与的夹角为，故，故.
故选：.
22．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式求解即得.
【详解】依题意，，而，
所以与的夹角.
故选：C
多选题
23．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知向量满足，与的夹角为，则（ ）
A． B．
C．与共线 D．
【答案】ACD
【分析】由已知可得和，根据向量模的坐标运算即可判断；根据向量数量积的坐标运算即可判断；由向量共线定理可判断；由向量夹角的坐标运算即可判断.
【详解】因为，所以，，
所以，故正确；
因为，所以与不垂直，故不正确；
因为，所以，所以与共线，故正确；
因为，因，故，故正确.
故选：.
填空题
24．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)已知，为单位向量，且，则_________..
【答案】
【分析】根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，为单位向量，则，
所以，
所以.
故答案为：
25．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知向量满足，则__________.
【答案】
【分析】利用向量数量积的运算律与求解.
【详解】由，
则，即，
则，即，
故，即.
故答案为：.
解答题
26．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知向量，的夹角为，且．
(1)求；
(2)若，求的值.
【答案】(1)-4
(2)或3.
【分析】（1）代入向量数量积的定义，即可求解；
（2）根据模长，转化为向量数量积的运算，即可求解.
【详解】（1）由向量，的夹角为，且，
得.
（2）由（1）知，，由，得，即，
整理得，解得或，
所以的值是或3.
27．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知.
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与的夹角的余弦值.
【答案】(1)的坐标为或
(2)
【分析】（1）由平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案；
（2）根据数量积的运算律，求得数量积的值，结合数量积的定义式，可得答案.
【详解】（1）设，由题意有，解得或.
故的坐标为或；
（2）由化简整理得，
则，解得，
=.
(
地
城
考点0
5
数量积及其应用
)
单选题
28．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】变形得到，求出，得到为等腰三角形.
【详解】，
即，，，
所以，为等腰三角形.
故选：D
29．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知单位向量、、满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知等式变形得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，同理可得出、的值，再由结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为单位向量、、满足，
则，所以，
所以，，解得，同理可得，
因为
.
故选：D.
多选题
30．(24-25高一下·湖南永州·期中)下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
B．设，，为非零向量，则
C．设，为非零向量，若，则
D．若点为的重心，则
【答案】CD
【分析】由，可得，可判断A；根据数量积的意义判断B；根据向量垂直，数量积等于0计算，判断 C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D.
【详解】对于A选项，若，则，，
与平行或与夹角为锐角，所以A错误；
对于B选项，，，为非零向量，则是与共线的向量，是与共线的向量，
而与不一定共线，故不一定成立，所以B错误；
对于C选项，因为，所以，
，所以C正确；
对于D选项，为的重心，

则点，，分别为，，的中点，
且，，，
则，所以D正确．
故选：CD．
31．(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，且，则
B．若，则的面积与的面积之比为
C．若，则动点的轨迹经过的外心
D．若为锐角三角形且外心为，且，则
【答案】ABC
【分析】A选项，将转化为，然后求数量积；B选项，将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C选项，由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；取AB中点F，利用共线向量定理的推论推理判断D；
【详解】A选项，因为为的垂心，所以，
则，故A正确；
B选项，设中点为，中点为，
，即，
所以点为中位线靠近点的三等分点，
所以，故B正确；
C选项，设中点为，则，
结合题设，
所以，所以，
又的中点为，所以在的中垂线上，
所以动点的轨迹经过的外心，故C正确；
对于D，为锐角的外心，取AB中点F，则，如图，
由，，得，而，
于是，即，即，则点共线，
因此垂直平分边，有，没有条件确保有成立，D错误；
故选：ABC.
填空题
32．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.
【答案】
【分析】根据三点共线的结论可得，进而可得，即可根据数量积的运算律求解.
【详解】因为，，三点共线，且，所以，所以，所以，
所以，
又，，，所以.
故答案为：
33．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解.
【详解】取的中点，连接、，
则
，
又，
所以，，
即，
所以，．
故的取值范围为．
故答案为：
解答题
34．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)半径为1的圆内接，且．
(1)求数量积，，；
(2)求的面积．
【答案】(1)，，．
(2)
【分析】（1）将变形为，两边平方即可求得的值，同理可求，的值；
（2）利用向量的数量积或夹角公式求出的夹角或余弦值进而可得正弦值，结合三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1），，
则，即得，
所以，同理，．
（2）由，，
由，，得，
则，
同理，，
则，
所以．
35．(24-25高一下·湖南·期中)如图，已知A，B是半径为1的圆O上两点，且．
(1)求的余弦值；
(2)若点，，…，，依次将线段AO平均分成2026份，设，，，求的值．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）利用得，平方即可求解；
（2）由题知AO的中点为，也为线段，线段，…，线段的中点，根据向量的加法运算即得，进而得解.
【详解】（1）设，由可得，
即，
平方得，解得，
故的余弦值为．
（2）由题知AO的中点为，也为线段，线段，…，线段的中点，
因为，
所以，
而，
平方得，
即，
故．
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