资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 三角函数的图像与性质
5大高频考点概览
考点01 三角函数的性质
考点02三角函数的图像
考点03三角函数的解析式
考点04 求参和范围问题
考点05 综合问题
一、选择题
1．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)函数,的最小正周期为
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)函数的周期为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)把函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)下列函数，最小正周期为的偶函数有（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
8．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的值域为
C．当取得最大值时， D．当取得最大值时，
9．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)已知函数，下面结论正确的是
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数
10．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域是
B．是奇函数
C．是的一个周期
D．是曲线的一个对称中心
三、填空题
11．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知函数，则函数的最小正周期为______．
一、选择题
1．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
3．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)要得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
5．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
二、多选题
6．(24-25高一下·江西南昌大学附属中学·期中)为了得到函数的图象，只需将函数图象上的点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（ ）
A．是奇数 B．的最大值为7
C．不存在，使得是偶函数 D．
三、填空题
8．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)将函数的图象向左至少平移________个单位可得到函数的图象.
9．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)已知，若函数的图象如图所示，则________.
一、选择题
1．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ）
B．
C． D．
2．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)将函数的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图像，则函数（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高一下·江西上进联考·期中)如图，某摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点处进舱，转动后距离地面的高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)已知函数，且都有，满足的实数有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数有且只有1个；②满足题目条件的实数有且只有1个；③在上单调递增；④的取值范围是．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题
5．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为偶函数，则的最小值为__________．
一、选择题
1．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)已知函数在区间上存在最大值和最小值，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)下列关于函数的说法，不正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．点为其图象的一个对称中心
D．定义域为
5．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知函数 在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．② D．②③④
6．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ）
A．若，则的值域为
B．
C．，都有
D．
7．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)设函数在区间恰有三个取得最值的点、两个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)已知函数，则（ ）
A．函数在区间上为增函数
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到
D．对任意，恒有
10．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)函数（A，ω，φ是常数，，，）的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图像关于点对称
D．若，则的最小值为
填空题
11．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)已知函数和的图象相邻的两个交点为，，若，则的取值范围为______.
三角函数性质
1．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知.
(1)求函数的最小正周期：
(2)求函数在上的单调区间.
2．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知函数．
(1)写出函数的最小正周期以及单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值；
根据三角函数的图像求解析式
3．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域；
(3)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围．
4．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)若，求的值；
(3)若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围.
5．(24-25高一下·江西上进联考·期中)已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式和单调递增区间；
(2)求在区间上的最值；
(3)求不等式的解集．
6．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知函数的图象如图所示.

(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围.
7．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知函数的部分图象如图所示．
(1)求，，．
(2)已知函数．
①求的分段解析式；
②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围．
8．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)求函数在上的值域；
(3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间．
9．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式，并求单调递减区间；
(2)若，，求的取值范围．
10．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的单调性；
三角函数恒成立问题
11．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知函数．
(1)求的最小正周期及对称轴、对称中心；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
12．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知函数 ，在区间 上单调递增，且关于点 中心对称，关于直线 轴对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的 ，恒成立，求实数m的取值范围.
13．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知函数，将曲线的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象．
(1)求；
(2)求的相位及最小正周期；
(3)当时，求使得不等式恒成立时的的取值范围．
三角函数零点问题
14．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知函数 在区间上的最大值为3.
(1)求A的值并解不等式；
(2)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度，得到函数的图象，若 ，且 求 的值.
15．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)已知函数的一系列对应值如表：
x
1 3 1 1 3
(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式；
(2)根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
16．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
17．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)设函数，其中，已知，且.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间；
(3)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围.
18．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)求在上的值域；
(3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围．
19．(24-25高一下·江西萍乡·期中)已知函数图象的一条对称轴和与其相邻的一个对称中心之间的距离为，且的图像过点.
(1)若是奇函数，求的最小值；
(2)令，记在区间上的零点从小到大依次为，求的值.
20．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知函数在区间上的最大值为3.
(1)求的值；
(2)当时，，对于给定的实数，若方程有解，则记该方程所有解的和为，求的所有可能取值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 三角函数的图像与性质
5大高频考点概览
考点01 三角函数的性质
考点02三角函数的图像
考点03三角函数的解析式
考点04 求参和范围问题
考点05 综合问题
一、选择题
1．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)函数,的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如的最小正周期为，而的最小正周期为，故函数的最小正周期为，
故选C.
考点：三角函数的图像与性质.
2．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)函数的周期为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据正切周期公式计算求解即可.
【详解】函数的周期为.
故选：A.
3．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的性质依次判断各项对应函数的最小正周期、区间单调性，即可得.
【详解】由的最小正周期为，的最小正周期为，A、D不符；
由在上单调递增，C不符；
以为最小正周期，且在区间上单调递减，B符合.
故选：B
4．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据周期计算，再根据正弦函数单调性求单调递增区间.
【详解】根据已知得，得，则，
由不等式，解得，
所以函数的单调递增区间是．
故选：D.
5．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)把函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据图象平移可得函数，利用正弦函数的单增区间即可求得的单增区间.
【详解】由题意得，
由，得，
所以的单调递增区间为．
故选：B.
二、多选题
6．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)下列函数，最小正周期为的偶函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和最小正周期，由此选出正确选项.
【详解】对于A选项，函数为奇函数，不符合题意.
对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合题意.
对于C选项，函数的最小正周期为，不符合题意.
对于D选项，函数，是最小正周期为的偶函数，符合题意.
故选：BD
【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题.
7．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
【答案】ACD
【分析】求出变换之后的解析式，依次代入选项判断可得结果.
【详解】依题意可得，
因为，故A正确；
，故B错误；
由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确.
故选：ACD
8．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的值域为
C．当取得最大值时， D．当取得最大值时，
【答案】ABD
【分析】现根据两角和的正弦公式和辅助角公式可得，，，进而根据正弦型函数的性质可得.
【详解】由题意得，
，
其中，，
故的最小正周期为，值域为，故A，B正确；
当取得最大值时，，
，
，故C错误，D正确，
故选：ABD
9．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)已知函数，下面结论正确的是
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数
【答案】ABC
【分析】先化简函数，对于选项A,求出函数的最小正周期判断得解；对于选项B,利用复合函数的单调性分析判断；对于选项C,利用三角函数的奇偶性分析判断；对于选项D,利用函数的奇偶性判断得解.
【详解】由题意，可得，
对于选项A,,所以选项A正确；
对于选项B,在上是减函数，所以函数在区间上是增函数
,所以选项B正确；
对于选项C,,所以函数是偶函数，所以其图像关于直线对称，所以选项C正确；
对于选项D,由于函数是偶函数 ,所以选项D错误；
故选ABC
【点睛】本题主要考查诱导公式化简，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域是
B．是奇函数
C．是的一个周期
D．是曲线的一个对称中心
【答案】BCD
【分析】由函数的解析式有意义，结合有定义，求得函数的定义域，可得判定A错误；根据函数的奇偶性的判定方法，可判定B正确；求得，可判定C正确；求得，可判定D正确．
【详解】对于A中，由有定义，可得，
又由，可得，即，
所以函数的定义域是，且，所以A错误；
对于B中，因为，所以，即，
又因为定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以B正确；
对于C中，由，即，
所以是的一个周期，所以C正确；
对于D中，函数的定义域关于点对称，
又由，可得，
即，所以曲线关于点中心对称，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题
11．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知函数，则函数的最小正周期为______．
【答案】
【分析】根据正弦函数的性质，得到的最小正周期为，的最小正周期为，进而得到是函数的一个正周期，不是函数的周期，然后利用特值法可证明函数的正周期只能是的任意正整数倍，从而得到其最小正周期为.
【详解】由正弦函数的图象与性质，可得的最小正周期为，的最小正周期为，
可得，
，
所以函数的一个正周期为.
设是函数的正周期，
则，
当时，，
当时得，无解.
所以的最小正周期只能是的任意正整数倍，
但上面已经证明不是函数的周期，是函数的周期，
所以函数的最小正周期为.
故答案为：．
一、选择题
1．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】可得函数为奇函数，判断B；赋值法可判断A，C，可得结论.
【详解】因为的定义域为，且，
所以为奇函数，所以图像关于原点对称，故B不正确；
当时，，故A错误；
当时，则，可知，故C错误；.
故选：D.
2．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式和三角函数平移原则即可得到答案.
【详解】,
则将其往左平移个单位长度即可得.
故选：A.
3．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)要得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】利用平移的左加右减的规则即可得到.
【详解】因为目标函数，所以将函数的图象向左平移个单位即可.
故选：C
4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
【分析】运用函数图象平移规律“左加右减”即可解决.
【详解】因为 ，
所以只需将函数的图象上各点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象.
故选：C
5．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
【分析】根据函数解析式确定图象平移过程即可.
【详解】由，只需将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．
故选：C
二、多选题
6．(24-25高一下·江西南昌大学附属中学·期中)为了得到函数的图象，只需将函数图象上的点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】BD
【分析】由，根据平移变换逐一验证即可.
【详解】解：因为
对于A：将函数图象上的点向右平移个单位长度，
得故A错误；
对于B：将函数图象上的点向右平移个单位长度，
得故B正确；
对于C：将函数图象上的点向左平移个单位长度，
得故C错误；
对于D：将函数图象上的点向向左平移个单位长度，
得故D正确.
故选：BD.
7．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（ ）
A．是奇数 B．的最大值为7
C．不存在，使得是偶函数 D．
【答案】ACD
【分析】根据零点和最值点列方程组求解，结合单调区间可得，然后分类讨论即可.
【详解】由题知，，即，，
解得，
因为在区间上单调．
所以，即，所以，
又，，所以，故A正确，
当时，，此时，
当时，，函数在上不单调，
即当时，函数在区间上不是单调函数，B错误；
因为，所以，当时，由，，
所以；
当时，，
所以；
当时，，
所以；
当时，，
所以.
综上可知，CD正确.
故选：ACD
三、填空题
8．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)将函数的图象向左至少平移________个单位可得到函数的图象.
【答案】
【分析】根据三角函数图象平移变换法则，即可求得的值.
【详解】因为，
所以将函数的图象向左至少平移个单位可得到函数的图象，
故答案为：
9．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)已知，若函数的图象如图所示，则________.
【答案】0
【分析】根据正弦函数周期性，在不需求出解析式的情况下，判断一个周期内所有函数值的和为0，计算目标式子中有多少个周期，求出结果.
【详解】由图形可知，得，
由正弦函数的图象和性质可得，
.
故答案为：0.
一、选择题
1．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图中函数在一个周期内的图像经过和，可分析出函数的最值、周期，求出后，代入点求，即可得到函数解析式
【详解】函数在一个周期内的图像如图，观察选项，不妨设，，，
由函数图像可得，，，，又，故，
则函数的解析式可化为，将点代入得，即，
又，取，得，此时.
故选：A．
2．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)将函数的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图像，则函数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的平移、伸缩变换法则求解即可.
【详解】将函数的图像上各点向左平移个单位可得，
将所得各点的横坐标缩短到原来的一半，
然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍可得.
故选：A.
3．(24-25高一下·江西上进联考·期中)如图，某摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点处进舱，转动后距离地面的高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，根据题中信息求出、、、的值，即可得出函数的解析式.
【详解】设，由题意可得，解得，
函数的最小正周期为，则，
因为游客从最低点处进舱，可取，
所以，
故选：A.
二、多选题
4．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)已知函数，且都有，满足的实数有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数有且只有1个；②满足题目条件的实数有且只有1个；③在上单调递增；④的取值范围是．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ACD
【分析】由可求得的取值范围，设，根据题意作出函数的图象，根据已知条件可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可判断④①②；由计算出，利用余弦函数的单调性可判断③.
【详解】∵，∴当时，.
设，作出函数的图象如下图所示：
因为都有，则，，
且满足的实数有且只有个，
即函数在上有且只有个零点，
由图象可知，解得，即的取值范围是，故④正确；
∵，
∴由图象知在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，
故满足题目条件的实数有且只有1个，满足题目条件的实数有1个或个，故①正确，②错误；
当时，，
由知，
所以在上单调递增，
故函数在上单调递增，故③正确.
综上，正确的有①③④.
故选：ACD.
三、填空题
5．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为偶函数，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，且该函数为偶函数，
则，解得，
因为，则当时，取最小值.
故答案为：.
一、选择题
1．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)已知函数在区间上存在最大值和最小值，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据x的范围，可得的范围，根据正弦函数的图象和性质，分析可得或，即可求得答案.
【详解】因为，，所以，
画出的图象，如图，
由图象得或，解得，或.
故选：C
2．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定函数的最小正周期，可求得，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出，依据，即可求得答案.
【详解】由题意知，函数的最小正周期,则,得,
所以，将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
因为该图象关于原点对称，则 ，所以
当时，，，不合题意，当时，，
又，所以当时，取，当时，，不合题意，
故最大值为，
故选：C
3．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一： 先利用平移变换分别得到函数解析式，再根据相位差为求解；法二：利用向左平移和向右平移的单位长度和为函数的周期的整数倍求解.
【详解】法一： 函数（）的图象仅向左平移个单位长度
得到函数的图象，
函数（）的图象仅向右平移个单位长度
得到的图象，
则（），即（），即（），
由于，所以当时，取得最小值，
故选：C．
法二： 函数的最小正周期为，
依题意有（），则（），
由于，所以当时取得最小值，
故选：C．
4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)下列关于函数的说法，不正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．点为其图象的一个对称中心
D．定义域为
【答案】D
【分析】分析函数的性质，对各选项的内容逐一判断即可.
【详解】对函数：
由， ，，所以函数的定义域为：；
由，所以函数的最小正周期为；
由， ，，
所以函数在，上单调递增，当时，单调增区间为；
因为，所以点为函数的一个对称中心.
综上可知：D是错误的.
故选：D
5．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知函数 在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．② D．②③④
【答案】B
【分析】由正弦型函数的性质求对称轴方程为，结合区间对称轴条数求范围判断③；根据给定区间及正弦函数性质确定零点个数判断①；求最小正周期的范围、判断区间单调性判断②④；
【详解】由函数 ，
令，则，
函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，
则，即，，故③正确；
①，，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，错误；
②，周期，由，则，
，又，所以的最小正周期可能是，正确；
④，，，又，
，又，
所以在区间上不一定单调递增，错误.
故选：B
6．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ）
A．若，则的值域为
B．
C．，都有
D．
【答案】A
【分析】先由图象确定的值，再根据周期求出，然后结合特殊点求出，得到函数表达式后逐一分析选项.
【详解】由函数图象可知，函数的最小值为，因为，所以.
观察图象可知，（为函数的周期），那么.
根据正弦函数的周期公式，可得.
此时函数为，已知函数图象过点，将其代入函数可得，即.
因为，所以，解得，故选项D正确.
综上，函数.
分析选项A，当时，，则.
令，函数，.
当，即，时，；
当，即，时，.
所以的值域为，选项A错误.
分析选项B，将代入可得：，选项B正确.
分析选项C，因为，所以，.
对于，，选项C正确.
故选：A.
7．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象变换关系求出的解析式，结合题意可得，，解不等式求得范围即可．
【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，
得到函数的图象，再将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象.
当时，，因为函数在上单调递减，
所以，，解得，，
当时，；当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意.
故实数的取值范围为.
故选：B.
8．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)设函数在区间恰有三个取得最值的点、两个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法设，分类讨论并利用正弦函数图象列不等式求解.
【详解】显然不合题意；
当时，设，则，
当时，，函数在上恰有三个最值点、两个零点,
在上恰有三个最值点、两个零点，如图1．
由图可知应有，解得；
当时，，如图2，
由图可知在上不可能有三个最值点、两个零点，不合题意；
所以实数的取值范围是，
故选:C．
二、多选题
9．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)已知函数，则（ ）
A．函数在区间上为增函数
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到
D．对任意，恒有
【答案】BD
【分析】首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得，根据正弦函数的单调递增区间可判断A；根据正弦函数的对称轴可判断B；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C；代入利用诱导公式可判断D.
【详解】 ，
当时，，函数在上不是增函数，故A错误；
令，得，
显然直线是函数图像的一条对称轴，故B正确；
函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，故C错误；
，故D正确.
故选：BD.
10．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)函数（A，ω，φ是常数，，，）的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图像关于点对称
D．若，则的最小值为
【答案】CD
【分析】根据函数的图象可求解析式，再逐项判断正误后可得正确的选项.
【详解】由函数的图象可得且，故，
故即，所以，
而，故，
故，而，故，
故.
对于A，，故A错误.
对于B，，有，
因为在不单调，故在区间上不单调，故B错误.
对于C，，故函数的图像关于点对称，故C正确.
对于D，若，则，
所以或，其中，
故或，其中.
同理或，其中.
故的最小值为，故D正确.
故选：CD.
填空题
11．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)已知函数和的图象相邻的两个交点为，，若，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可.
【详解】作出两个函数的图象如图所示，
则由对称性设，且，即为等腰三角形，，且，
取的中点，连接，则，，
由，得，
得，得，得，
则，
即点纵坐标为1，，
因为，所以，
解得，即，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
三角函数性质
1．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知.
(1)求函数的最小正周期：
(2)求函数在上的单调区间.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】（1）利用正弦函数求解函数的最小正周期，
（2）结合正弦函数的单调区间求解出此函数的单调区间.
【详解】（1）最小正周期为：
令则
由
所以的单调递增区间为，
（2）令则
由,
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
2．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知函数．
(1)写出函数的最小正周期以及单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值；
【答案】(1)；；
(2)取得最小值，．
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用余弦函数的图象和性质求解.
【详解】（1）函数的最小正周期；
所以函数的单调递减区间为：.
（2）由，函数在上单调递增，在上单调递减，
而，
所以取得最小值，此时.
根据三角函数的图像求解析式
3．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域；
(3)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由图象即可求解周期，进而得，根据即可求；
（2）根据图象的变换先求，令，最后利用单调性即可求解；
（3）令，先求函数的值域，最后利用数形结合即可求解.
【详解】（1）由题设，所以，则，故，
由，则，即，
又，当时，则，故；
（2）由题意，将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数
所以；，则，由在上单调递增，对应值域为；
在上单调递减，对应值域为；所以
所以函数在上的值域：
（3），则，
由在上单调递增，对应值域为；
在上单调递减，对应值域为；
函数在区间上有且仅有两个零点，
即在上只有两个解，有图可知.
4．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)若，求的值；
(3)若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】(1)，对称中心：
(2)或
(3).
【分析】（1）由函数的图像得到和周期，然后求得，通过点坐标，得到，即求得函数解析式，由余弦函数的对称中心得到函数的对称中心；
（2）由（1）得到方程，结合题目给到的区间求得对应的的值；
（3）整体题中方程得，由取值范围求得的范围，由题意得到最大值的不等式，解得的取值范围.
【详解】（1）由函数的图像，可得，周期，
则，∴．
将点代入函数解析式可得，
解得，∵，∴，
∴；
令，解得，
的对称中心为
（2）由（1）知：，又，
∴，，
∴或
解得：或
又∵，
∴或.
（3）由（1）知，则，
由函数在上恰有5个零点，
即在上恰有5个解，
即在上恰有5个解，
∵，∴，
即函数与在区间有5个交点，
由图像知，只需即可，解得，
故.
5．(24-25高一下·江西上进联考·期中)已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式和单调递增区间；
(2)求在区间上的最值；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)；单调递增区间为
(2)最小值为，最大值为；
(3)解集为．
【分析】（1）由图象可知，求得函数的周期，利用周期公式可求的值，又函数的图象经过点，可求得，可得函数解析式；
（2）由已知可得，结合正弦函数的性质可求最值；
（3）由已知可得，可得，利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）由图象可知，因为，即，所以，解得．
所以，
又因为函数的图象经过点，
所以．所以，所以．
又因为，所以．所以．
由，得，
所以的单调递增区间为；
（2）因为，所以，
所以，
所以在区间上的最小值为，最大值为；
（3）由，可得，
所以，解得，
由（1）可得，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
6．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知函数的图象如图所示.

(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先由图形利用五点法求函数的解析式，再利用正弦函数的递增区间求解即可；
（2）先由图象平移的性质求出，再利用正弦函数的值域结合题意可得.
【详解】（1）由图可知：，所以，所以，
，由图易得，则，
又，则，则，，
所以，，
所以.
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由题.
当，时，.
所以.
7．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知函数的部分图象如图所示．
(1)求，，．
(2)已知函数．
①求的分段解析式；
②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)①；②
【详解】（1）由题图可知，由，得，
得．由题图可知，的图象过点，
则，得，
因为，所以．
（2）①当时，，
此时，得．
当时，，
此时，得．
故．
②由，得．
由，得，
即或，
因为在上的图象与直线恰有3个公共点，
所以，
得，即的取值范围为.
8．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)求函数在上的值域；
(3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，
【分析】（1）根据题意，结合函数的图像分别求得，再由正弦型函数的对称中心公式代入计算，即可得到结果；
（2）由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果；
（3）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）根据函数的部分图像，
可得，，所以，
再根据五点法作图，可得，，
又因为，可得，所以，
令，，解得，，
故函数对称中心为，．
（2）因为，可得，
当时，即，；
当时，即，，
所以函数的值域为．
（3）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，得到的图像，
即．
令，，解得，，
可得的减区间为，．
9．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式，并求单调递减区间；
(2)若，，求的取值范围．
【答案】(1)，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）由图可求得及周期，从而可得，再利用待定系数法求出即可，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的减区间；
（2）根据正弦函数的性质结合整体想即可得出答案.
【详解】（1）由图可得：
，，解得，故，
当时，，
所以，即，
由于，所以，
故，
令，得，
故函数的单调递减区间为；
（2），
由于，所以，故，
即．
10．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的单调性；
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为．
【分析】（1）由求得，确定最小正周期求出，再结合五点法求得即可求解；
（2）由，求得，再结合正弦函数单调性即可求解.
【详解】（1）由图象可知，解得：，
又由于，所以，
由图象及五点法作图可知：，，所以，，
因为，所以，
所以
（2）由（1）知，，
因为，所以，
结合正弦函数的单调性可知：
当时，即时，单调递增，
当时，即时，单调递减，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为
三角函数恒成立问题
11．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知函数．
(1)求的最小正周期及对称轴、对称中心；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，对称轴为，，对称中心为，
(2)
【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得；
（2）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，从而得解.
【详解】（1）因为
，
即，所以的最小正周期，
令，，解得，，故对称轴为，；
令，，解得，，故对称中心为，．
（2）当时，，所以，
则在上的值域为，
因为不等式恒成立，所以，即实数m的取值范围为．
12．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知函数 ，在区间 上单调递增，且关于点 中心对称，关于直线 轴对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的 ，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性和对称性依次求出，即得函数解析式；
（2）由题设知，当时，，取，问题等价于在时，二次函数恒成立，结合二次函数的单调性等性质，建立关于的不等式组，求解即得.
【详解】（1）因为，即对称中心在增区间 的中点位置，且函数关于直线 轴对称，
则函数的最小正周期满足，解得，故，
又，可得，即，
因为，所以，故.
（2）当时，，，
设，则问题等价于在时，二次函数恒成立，
因为开口向上，则需使且，解得且，
故必有.
所以实数m的取值范围为.
13．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知函数，将曲线的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象．
(1)求；
(2)求的相位及最小正周期；
(3)当时，求使得不等式恒成立时的的取值范围．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）根据三角函数的图象变换，得到平移后的图象解析式为，根据为偶函数，且，求得的值；
（2）由（1）得，即可求得函数的相位和最小正周期；
（3）把不等式转化为 ，由，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：函数，将曲线的图象向左平移个单位长度，
可得函数的图象，
因为函数为偶函数，可得，解得，
又因为，所以.
（2）解：由（1）知：，所以，
所以函数的相位为，最小正周期为.
（3）解：由（2）知：，
则不等式，即为，
当时，可得，
要使得恒成立，则满足，
解得，即的取值范围为.
三角函数零点问题
14．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知函数 在区间上的最大值为3.
(1)求A的值并解不等式；
(2)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度，得到函数的图象，若 ，且 求 的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据最值得到，再根据正弦型函数性质解出不等式即可；
（2）根据平移原则得到，再根据其对称性得到的值.
【详解】（1）由，得，
则，解得，
所以，
若，即，即，
所以，解得，
故不等式的解集为.
（2）由图象平移过程知，
若，则，
而在上单调递减，在上单调递增，显然两侧关于对称，
若，且，则，可得，
所以.
15．(24-25高一下·江西南昌中学·期中)已知函数的一系列对应值如表：
x
1 3 1 1 3
(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式；
(2)根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2).
【分析】（1）根据表格提供数据分别求得的值，从而求得解析式.
（2）先利用周期公式求k的值，利用换元法，结合三角函数的图象求得m的取值范围.
【详解】（1）由表格知，函数的最小正周期，，
由，解得，
由，得，，
则当时，，
所以.
（2）由（1）得，则，即，
于是，
令，由，得，
依题意，，即在上恰有两个不同的解，
即函数在上的图象与直线有两个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，
观察图象，当，即时，直线函数在上的图象有两个交点，
所以实数m的取值范围是.
16．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法则求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.
【详解】（1），
∵图象的相邻两对称轴间的距离为，
∴的最小正周期为，即可得，.
又为奇函数，则，
又，∴，故，
令，，得，.
∴函数的递减区间为，.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
有两个根，，关于对称，
即，
，则，，，
在上有两个不同的根，，，
∴；
又的根为0，，，
所以方程在内所有根的和为.
17．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)设函数，其中，已知，且.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间；
(3)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由已知不等式及函数的最值，可得周期与的关系，从而建立的等量关系求解可得；
（2）结合余弦函数图象与性质，由整体角范围求解单调增区间；
（3）先由图象平移关系得的解析析，再由不等式有解，可得，求出函数在上的最值即可得解.
【详解】（1）由知，，
则，又已知，
所以，
故中恰有一个取最大值，而另一个取最小值.
所以有，
则，
故，则.
因为，且，所以，，
则.
（2）令，
解得，
故的单调递增区间为.
（3）由题意可得.
∵，∴，
此时，，
由题意，要使有解，可得，
即，解得，
故所求的取值范围是.
18．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)求在上的值域；
(3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象与性质，可得答案；
（3）由题意建立方程，求得的值，由小到大写出个零点，建立不等式，可得答案.
【详解】（1）由，得，
所以的单调递减区间为．
（2）由，得．
由正弦函数的图象可得，，
所以在上的值域为．
（3）由，得，
得或，
解得或，
则在上的3个零点为，，，
所以，
得，即的取值范围为．
19．(24-25高一下·江西萍乡·期中)已知函数图象的一条对称轴和与其相邻的一个对称中心之间的距离为，且的图像过点.
(1)若是奇函数，求的最小值；
(2)令，记在区间上的零点从小到大依次为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意依次求得，，推得，根据是奇函数，得到，即可求得的最小值；
（2）根据函数与方程的思想，将在区间上的零点个数即函数与函数在区间上的交点个数，通过作出余弦函数的图象，确定的值，利用图象对称性得到 ，将代入整理即可求得.
【详解】（1）依题意，函数的最小正周期满足，即，解得，
把点代入中，可得，因，则，
故函数解析式为.
因是奇函数，故，
则有，解得，
故当 时，取得最小值.
（2）由 ，可得，
设，由可得，
则在区间上的零点个数即函数与函数在区间上的交点个数.
作出其图象如下：

由图知，两者共有6个交点，即，这些交点的横坐标依次为，
根据图象的对称性，可知 ，
则，
因，代入可得：
，
解得，
即.
20．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知函数在区间上的最大值为3.
(1)求的值；
(2)当时，，对于给定的实数，若方程有解，则记该方程所有解的和为，求的所有可能取值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）首先化简得出，进一步得出，则.
（2）由（1）知，得出当时函数单调递减，时函数单调递增，当时函数单调递减，进行下一步分析，画图计算最终得出答案.
【详解】（1）化简可得，因为，
所以，
所以，则.
（2）由（1）知，则；
当，则，
所以当时函数单调递减，时函数单调递增，当时函数单调递减，
又，
，则可得函数的图象如下：
对于给定的实数，若方程有解，则当时，方程的根为，此时；
当时，方程的两根关于直线对称，此时；
当时，方程的根有三个，关于直线对称，此时；
当，方程有四个根，关于直线对称，关于直线对称，
此时；
当时，方程的根有三个，，此时；
综上，的所有可能取值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑