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专题02 平面向量基本定理及最值问题
6大高频考点概览
考点01平面向量基本定理的应用
考点02平面向量基本定理的最值问题
考点03平面向量的数量积的最值问题
考点04平面向量的模的最值问题
考点05平面向量夹角的最值问题
一、选择题
1．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于A，因为不共线， 且都是非零向量，所以A符合题意；对于B，因为，所以与共线，故B不符合题意；对于C，因为为零向量，所以C不符合题意；对于D，因为，所以与共线，所以D不符合题意；故选：A
2．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)如图，在中，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可得，.故选：A.
3．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)如图，中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在中，D为BC边的中点，E为AD的中点，.故选：A
4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出.
【详解】取，作为基底，因为是中点，则.
因为，所以，所以.
故选：D.
5．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解.
【详解】由已知为线段上一点，设，，
则，又，
则，所以，则，解得，故选：D.
6．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知中，，，，O为的外心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，为的外心，设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为,因为 ，两边乘以，即，
的夹角为，而，则 ，得①，
同理两边乘 ，即，，则 得②，①②联立解得，，所以，
7．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（ ）
A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心
C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心
【答案】D
【详解】由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；
由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心.
由，得，则，而点在内，则，即，因此平分角，同理分别平分，从而点是的内心，故选：D
8．(24-25高一下·四川成都成都七中·期中)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对A：由是的重心可得，所以，故A项错误；对B：过的外心分别作，
的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则
，故B项正确；对C：因为是的重心，所以有，故，
由欧拉线定理可得，故C项正确：对D：如图(2)，由于，可得，
所以，故D正确．故选:BCD.
二、多选题
9．(24-25高一下·四川南江中学·期中)（多选）有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．是 是锐角的必要不充分条件
【答案】CD
【详解】A选项：当时，不一定平行，A错误；B选项：当时，不存在实数使得，B错误；C选项：由向量三角不等式取等号条件可知，C正确；D选项：由可知，；
当 是锐角时，有.所以是 是锐角的必要不充分条件，D正确.故选：CD
三、填空题
10．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________.
【答案】
【详解】因为，又，所以，故答案为：
四、解答题
11．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，.
(1)若，试用向量，表示，；
(2)若，求的面积.
【详解】（1）由题意，是的中点，则，
因为，所以，
则.
所以，.
（2）因为，所以.
因为，，
所以，
又因为，
所以，，解得.
所以，，则，
所以.
12．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.
(1)用，表示，.
(2)如果，EF，EG有什么位置关系 用向量方法证明你的结论.
【详解】（1）；
.
（2）.证明如下：由（1）知，，，
.
，.
13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知平行四边形中，，点是线段的中点．
（I）求的值；
（II）若，且，求的值．
【详解】法1：（I）以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
，，；
（II）
，．
法2：（I）；
（II），∴，
∵，，∴与重合，∴．
14．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)如图，在平行四边形中，，令．
(1)用表示；
(2)若，且，求．
【详解】（1）因为，，且是平行四边形，
所以，所以，
所以，
（2）由（1）知，，
又，所以，，，
即，，解得，，所以.
15．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)如图，已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记，.
(1)用表示向量；
(2)若，且，求.
【详解】（1），，
.
（2）三点共线，由得，
，即，
，.
16．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
(1)试用向量表示；
(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.
【详解】（1）因为三点共线，所以存在实数使得，
又因为三点共线，所以存在实数使得，
根据向量相等可得，解得，所以.
（2）设，由（1）可得①，②，
又三点共线，所以③，
由①②可得，，代入③式可得，
即不论点在线段上如何移动，为定值.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，因为，所以，因为点是线段的中点，所以，所以，
又因为三点共线，所以，所以，当且仅当，即时，取到最小值，故选：D.
2．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【详解】如图，延长交于点，因点是的重心，则，①
因三点共线，则，使，
因，，代入得，，②
由①，②联立，可得，，消去即得，，
则，当且仅当时等号成立，
即时，取得最小值，为.故选：C.
3．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】由，，共线，可设，
由,,三点共线，故可设，则有，解得：，
故，由题意，，，三点共线，故可设，
则，整理得，故，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为；故选：C
4．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A．2 B．8 C．9 D．18
【答案】C
【详解】由题意，，又共线，则，且，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C
5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【详解】依题意，，则，又，
于是，，则，
因此，
当且仅当，即时取等号，所以时，取得最小值.故选：C
6．如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 当点在四边形的点处时，有，对应，可知，此时有，故AC错误；当点在四边形的点处时，有，对应，可知，此时有，故D错误；故选：B.
二、填空题
7．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为______．
【答案】
【详解】由已知可得：，又因为在线段上，所以有，且，根据平面向量基本定理可知：，所以有，且，即，则，当且仅当，即时取等号，故答案为：.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】由为弧上的一点，得，，则，
因此，当且仅当，即点与点重合时取等号，所以的最小值为.故选：D
2．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
【答案】A
【详解】取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，，
，且，时，取最小值时，取最大值，∴的取值范围是.故选：A.
二、填空题
3．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是__________.
【答案】/
【详解】因为，可知O为的中点，又因为O为的外接圆圆心，则，
且，，则，则，可知为等边三角形，即，
如图，建立平面直角坐标系，则，设，可得，则，可知当时，取到最小值.故答案为：
4．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为______．
【答案】
【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得，设，所以，当与半圆相切时，取得最大值，此时最大，过作交于点，连接，当取得最大值时，且，因为，正方形边长为4，则，，所以，所以，则，所以，得，所以的最大值为.所以最大值为.故答案为：24.
5．在平面四边形中，，
，则的取值范围为_____________．
【答案】
【详解】根据条件可知该四边形为直角梯形，如下图所示，建立平面直角坐标系，
则，因为，
所以，且，易知，
利用三角换元，可设，则，
其中，显然，则，所以.故答案为：
三、解答题
6．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)设△ABC是边长为3的正三角形，点、三等分线段（如图所示）.
(1)求的值；
(2)在线段的何处时，取得最小值，并求出此最小值.
【详解】（1）如图所示，设，可得且
因为点、三等分线段，可得，
，
则.
（2）以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，因为是边长为3的等边三角形，可得，，
又因为在线段上，设，其中，则，
所以，
当且仅当时，取得最小值，最小值为.
7．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)如图，在等腰梯形中，，，，.
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)设点为线段上的一动点，求的取值范围.
【详解】（1），且，；
（2）过点作交的延长线于点，
因为，且，是正三角形，，
在中，，.
（3）设，，则，
，
， 令，
在上递减，在上递增，且，
所以的取值范围是.
8．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的长；
(3)求的取值范围．
【详解】（1）由分别为的中点，则，，
由图可得，则，
所以.
（2）由（1）可知，，
由，则，
，
可得，解得.
（3）由图可得，
，
，
由，则.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，可得．故选：C
2．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知平面向量满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【详解】设，如图，
由题意，即在平行四边形中，，，求的最大值.
延长至，使，则，由正弦定理，三点所在外接圆的直径，
所以，设圆心为，如图， 所以可知，又，
所以由余弦定理可得，则由图象可知，故选：C
3．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则
，
所以，解得，所以，，
所以，
，
当且仅当时，等号成立.所以，的最小值为.故选：B.
4．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】A
【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，设，其中，则，因为，所以，又，所以，当且仅当时等号成立.故选：A.
5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知平面向量，的夹角为，，且对任意的，恒成立，则，的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】设，可得，且，则向量在上的投影为，
因为对任意的，恒成立，即恒成立，所以为的最小值，即向量在方向上的投影向量为，所以，可得，即，所以，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为，且，可得，取为的中点，则，可得点关于轴的对称点为，又由，可看成在轴取一点使得，则,当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.
6．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】C
【详解】记，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，
当且仅当时等号成立，即的最大值为19.故选：C
二、多选题
7．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)（多选）已知同一平面内的单位向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，夹角为，则
B．的最小值是0
C．若，则的最大值为
D．若与不共线，，x，y，，，，则
【答案】AC
【详解】对于A选项，，，夹角为，，，故A正确；对于B选项，设，的夹角为， ，的夹角为，，，，当，时，，故B错误；对于C选项，，，，根据平面向量模长不等式可得，，当且仅当与反向时取等号，
的最大值为，故C正确；对于D选项，，，，
，即，与不共线，，，不共线，
，，，，故D错误.故选：AC.
8．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)（多选）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P在BD上时，则
B．的取值范围为
C．若点P在BD上时，
D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1
【答案】ACD
【详解】当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；因为P在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，所以，则，故B错误；当点P在BD上时，，所以，故C正确；若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，设，则，，
，∴当时，有最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知向量的模长分别为，且，则的最大值为__________.
【答案】/
【详解】由，则，不妨设，，，则，则
，其中，当时，取得最大值.
故答案为：.
一、多选题
1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)（多选）下列说法中错误的有（ ）
A．若，，则
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，，则
D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
【答案】ACD
【详解】对于A，注意到，则不与平行，则，故A错误；对于B，注意到，则，即不能作为一组基底，故B正确；对于C，由题，因，，则，则，故C错误；对于D，由题，，因与的夹角为锐角，则且不与共线，则，故D错误.故选：ACD
二、填空题
2．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)在中，已知，则的最大值为______．
【答案】/
【详解】由得，即，又由余弦定理得：，化简得：，
，当且仅当时，等号成立，
将代入中，可得，满足任意两边之和大于第三边，故有最小值，且为锐角，此时，，由于在上单调递减，在上单调递增，故有最大值，最大值为．故答案为：
三、解答题
3．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
【详解】（1）因为向量，且，
所以，解得，所以.
（2）因为，且，
所以，解得.
（3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线，
即且，所以且.
4．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)已知平面向量，，，.
(1)若与平行，求的值.
(2)若与的夹角是钝角，求的取值范围.
【详解】（1）由，得，解得或，
当时，，，因此；
当时，，，.
（2）若与的夹角为钝角，则且与不共线，
则，解得且，
所以的取值范围为.
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专题02 平面向量基本定理及最值问题
6大高频考点概览
考点01平面向量基本定理的应用
考点02平面向量基本定理的最值问题
考点03平面向量的数量积的最值问题
考点04平面向量的模的最值问题
考点05平面向量夹角的最值问题
一、选择题
1．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)如图，在中，设，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)如图，中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知中，，，，O为的外心，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（ ）
A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心
C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心
8．(24-25高一下·四川成都成都七中·期中)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．(24-25高一下·四川南江中学·期中)（多选）有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．是 是锐角的必要不充分条件
三、填空题
10．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________.
四、解答题
11．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，.
(1)若，试用向量，表示，；
(2)若，求的面积.
12．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.
(1)用，表示，.
(2)如果，EF，EG有什么位置关系 用向量方法证明你的结论.
13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知平行四边形中，，点是线段的中点．
（I）求的值；
（II）若，且，求的值．
14．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)如图，在平行四边形中，，令．
(1)用表示；
(2)若，且，求．
15．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)如图，已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记，.
(1)用表示向量；
(2)若，且，求.
16．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
(1)试用向量表示；
(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
3．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A．2 B．8 C．9 D．18
5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
6．如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
7．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为______．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
二、填空题
3．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是__________.
4．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为______．
5．在平面四边形中，，
，则的取值范围为_____________．
三、解答题
6．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)设△ABC是边长为3的正三角形，点、三等分线段（如图所示）.
(1)求的值；
(2)在线段的何处时，取得最小值，并求出此最小值.
7．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)如图，在等腰梯形中，，，，.
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)设点为线段上的一动点，求的取值范围.
8．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的长；
(3)求的取值范围．
一、选择题
1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知平面向量满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
3．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知平面向量，的夹角为，，且对任意的，恒成立，则，的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
6．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．21
二、多选题
7．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)（多选）已知同一平面内的单位向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，夹角为，则
B．的最小值是0
C．若，则的最大值为
D．若与不共线，，x，y，，，，则
8．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)（多选）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P在BD上时，则
B．的取值范围为
C．若点P在BD上时，
D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1
三、填空题
9．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知向量的模长分别为，且，则的最大值为__________.
一、多选题
1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)（多选）下列说法中错误的有（ ）
A．若，，则
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，，则
D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
二、填空题
2．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)在中，已知，则的最大值为______．
三、解答题
3．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
4．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)已知平面向量，，，.
(1)若与平行，求的值.
(2)若与的夹角是钝角，求的取值范围.
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