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专题02复数
9大高频考点概览
考点01 复数的四则运算
考点02 共轭复数
考点03 复数的模长
考点04 复数的相等求参数
考点05 已知复数类型求参数
考点06 复数与点坐标
考点07 复数的实部虚部问题
考点08 复数方程问题
考点09 复数与轨迹方程
1．(23-24高一下·北京第二十二中学·期中)已知复数，那么__________.
2．(22-23高一下·北京海淀区·期末)在复平面内，复数对应的点的坐标是，则__________．
3．(22-23高一下·北京顺义区·期中)若实数b满足，则______.
4．(22-23高一下·北京大兴区·期中)复数（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·北京广渠门中学·期中)复数（ ）
A．0 B．1 C． D．
1．(24-25高一下·北京广渠门中学·期中)复数的虚部是________，共轭复数是________．
2．(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)已知是虚数单位，复数的共轭复数为，则复数的模长__________.
3．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·北京大兴区·期中)已知复数，则______.
5．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)设复数，则z的共轭复数________；z的模________．
1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)若复数，其中为虚数单位，则__________.
2．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)已知复数，则______．
3．(24-25高一下·北京第二中学朝阳学校·期中)若复数满足：，其中为虚数单位，则___________．
4．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)复数，则（ ）
A． B． C．5 D．
5．(24-25高一下·北京大兴区·期中)已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A．3 B． C． D．5
1．(23-24高一下·北京第八十中学·期中)定义运算，则符合条件的复数_______．
2．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”，若复数满足，则的虚部是__________，实部是__________.
3．(24-25高一下·北京通州区·期中)设复数．
(1)若，求、的值．
(2)若与复数是互为共轭复数，求；
(3)当时，若，求．
4．(23-24高一下·北京通州区·期中)若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为.
(1)求复数和；
(2)若，（，），求实数，的值.
5．(23-24高一下·北京丰台区·期中)已知复数为虚数单位．
(1)若，求的值；
(2)若为实数，求的值．
(3)若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．
1．(24-25高一下·北京通州区·期中)已知复数，，若为纯虚数，则实数________．
2．(24-25高一下·北京丰台区·期中)已知复数为纯虚数，则___．
3．(23-24高一下·北京通州区·期中)若复数为纯虚数，则实数_____________.
4．(24-25高一下·北京大兴区·期中)已知复数．
(1)当时，求的值；
(2)若复数为纯虚数，求的值．
5．(23-24高一下·北京大兴区·期中)已知复数（为虚数单位）．
(1)若是纯虚数，求；
(2)若，求的值；
(3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围．
1．(24-25高一下·北京通州区·期中)若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．(23-24高一下·北京中央民族族大学附属中学·期中)若复数，，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．(23-24高一下·北京丰台区·期中)复数.
(1)若复数是实数，求实数的值;
(2)若复数是纯虚数，求实数的值;
(3)在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.
1．(22-23高一下·北京通州区·期中)已知复数，则的虚部为（ ）
A．3 B． C．2 D．
2．(23-24高一下·北京广渠门中学·期中)已知复数满足，则的虚部为______.
3．(23-24高一下·北京一六六中学·期中)若复数，则的虚部为______.
4．(23-24高一下·北京陈经纶中学·期中)已知复数的实部和虚部相等，且，则__________.
1．(23-24高一下·北京大兴区·期中)方程在复数范围内的解为_____________．
2．(21-22高一下·北京大兴区·期中)是关于x的方程的一个根，则实数______．
3．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
(1)求实数的值；
(2)若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值．
4．(22-23高一下·北京大兴区·期中)已知复数，为虚数单位．
(1)若，求的值；
(2)若为实数，求的值；
(3)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值．
5．(22-23高一下·北京顺义区·期中)已知复数（i为虚数单位）.
(1)求复数的模；
(2)求复数的共轭复数；
(3)若是关于的方程一个虚根，求实数的值.
1．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高一下·北京第八十中学·期中)复数满足，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(21-22高一下·北京第五中学·期中)已知复数满足，则的最大值为______.
4．(21-22高一下·北京大兴区·期中)已知复数（a，），且．
(1)若z的实部和虚部相等，求z对应的点的坐标；
(2)在复平面内z对应的点的集合是什么图形？并画出此图；
(3)若，求a，b的值．
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专题02复数
9大高频考点概览
考点01 复数的四则运算
考点02 共轭复数
考点03 复数的模长
考点04 复数的相等求参数
考点05 已知复数类型求参数
考点06 复数与点坐标
考点07 复数的实部虚部问题
考点08 复数方程问题
考点09 复数与轨迹方程
1．(23-24高一下·北京第二十二中学·期中)已知复数，那么__________.
【答案】
【分析】根据题意结合复数的乘法运算求解即可.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
2．(22-23高一下·北京海淀区·期末)在复平面内，复数对应的点的坐标是，则__________．
【答案】
【分析】先求出，再根据复数的除法运算求解即可.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，
所以，
则，
故答案为：
3．(22-23高一下·北京顺义区·期中)若实数b满足，则______.
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算化简，根据复数相等即可求解.
【详解】,
所以，即.
故答案为:.
4．(22-23高一下·北京大兴区·期中)复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法法，准确计算，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得.
故选：D.
5．(24-25高一下·北京广渠门中学·期中)复数（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】利用复数乘方运算求解即得.
【详解】复数.
故选：D
1．(24-25高一下·北京广渠门中学·期中)复数的虚部是________，共轭复数是________．
【答案】 /
【分析】利用复数除法求出复数，再求其虚部及共轭复数.
【详解】复数，其虚部为，共轭复数为.
故答案为：；
2．(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)已知是虚数单位，复数的共轭复数为，则复数的模长__________.
【答案】
【分析】利用复数除法求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解.
【详解】依题意，，则，
所以.
故答案为：
3．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义可得，即可得共轭复数.
【详解】因为复数z对应的点为，则，
所以z的共轭复数.
故选：A.
4．(24-25高一下·北京大兴区·期中)已知复数，则______.
【答案】3
【分析】由复数的除法结合共轭复数的定义计算可得.
【详解】，所以，
所以.
故答案为：3
5．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)设复数，则z的共轭复数________；z的模________．
【答案】 2
【分析】根据共轭复数的概念及复数模的定义求解.
【详解】由可知，，
，
故答案为：；2
1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)若复数，其中为虚数单位，则__________.
【答案】
【分析】由复数除法的几何意义及模长的求法求.
【详解】由.
故答案为：
2．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)已知复数，则______．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算可得，即可得模长.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
3．(24-25高一下·北京第二中学朝阳学校·期中)若复数满足：，其中为虚数单位，则___________．
【答案】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：
4．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)复数，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】由复数的模长计算可得.
【详解】由题意可得.
故选：B.
5．(24-25高一下·北京大兴区·期中)已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】D
【分析】由复平面内几何表示及其模长的计算可得.
【详解】由题意可得实部为，虚部为1，所以.
故选：D
1．(23-24高一下·北京第八十中学·期中)定义运算，则符合条件的复数_______．
【答案】
【分析】由定义建立等量关系，设，代入由复数相等计算求解即可.
【详解】由题意得．设，
则，
所以，解得，
所以．
故答案为：.
2．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”，若复数满足，则的虚部是__________，实部是__________.
【答案】 / /
【分析】利用复数的三角形式结合复数的除法可化简得出复数，利用复数的概念可得出复数的实部和虚部.
【详解】由题意可得，所以，
所以.
因此，复数的虚部为，实部为.
故答案为：；.
3．(24-25高一下·北京通州区·期中)设复数．
(1)若，求、的值．
(2)若与复数是互为共轭复数，求；
(3)当时，若，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用复数的乘法结合复数相等可得出、的值；
（2）利用共轭复数的定义和复数的乘法可得出的值；
（3）利用复数的运算结合复数的概念可求出，结合复数的模长公式可求出的值.
【详解】（1）因为，故，.
（2）因为与复数是互为共轭复数，则，故.
（3）因为，，
则，
故，
因为，故，所以.
4．(23-24高一下·北京通州区·期中)若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为.
(1)求复数和；
(2)若，（，），求实数，的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用复数除法运算求出，再求出复数的模.
（2）由（1）及复数乘法求出，再利用复数相等求解即得.
【详解】（1）由，得；.
（2）由（1）知，，则，
由，得，
所以.
5．(23-24高一下·北京丰台区·期中)已知复数为虚数单位．
(1)若，求的值；
(2)若为实数，求的值．
(3)若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数模长公式得到方程，求出；
（2）利用复数除法法则化简，得到方程，求出；
（3）利用复数乘法法则得到，得到不等式组，求出答案.
【详解】（1）因为，所以．
（2）因为为实数，
所以，解得．
（3）因为且，
所以，
因为在复平面上对应的点在第一象限，
所以，解得，故
1．(24-25高一下·北京通州区·期中)已知复数，，若为纯虚数，则实数________．
【答案】
【分析】计算出，根据纯虚数定义得到方程，求出答案.
【详解】，
由题意得，解得，此时，满足要求.
故答案为：
2．(24-25高一下·北京丰台区·期中)已知复数为纯虚数，则___．
【答案】1
【分析】利用复数的除法求出，再利用纯虚数的定义求得答案.
【详解】依题意，复数，
由是纯虚数，得且，所以.
故答案为：1
3．(23-24高一下·北京通州区·期中)若复数为纯虚数，则实数_____________.
【答案】1
【分析】利用纯虚数的定义直接求出值.
【详解】依题意，，所以.
故答案为：1
4．(24-25高一下·北京大兴区·期中)已知复数．
(1)当时，求的值；
(2)若复数为纯虚数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入，求得，根据复数的运算法则及复数的模求解即可.
（2）根据复数为纯虚数的条件求得的值，再根据复数的乘法法则求解即可.
【详解】（1）当时，
所以
.
（2）
由为纯虚数知，
得，解得.
所以．
.
5．(23-24高一下·北京大兴区·期中)已知复数（为虚数单位）．
(1)若是纯虚数，求；
(2)若，求的值；
(3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由复数的乘法运算得到，再由纯虚数解出的值，从而得到；
（2）由得到和，从而，解出的值；
（3）由得到，对应的点为，由点在第二象限解不等式得到的取值范围.
【详解】（1），
因为是纯虚数，所以，解得，
所以.
（2）因为，所以，，解得.
（3）因为，所以，则在复平面上对应的点为，
因为位于第二象限，所以，解得，
所以的取值范围为.
1．(24-25高一下·北京通州区·期中)若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则求出，进而判断即可.
【详解】由，则，
则复数对应的点为，在第三象限.
故选：C.
2．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由题意有，虚部相等即可求解.
【详解】由题意有，
所以，
故.
故选：C.
3．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以在复平面内对应的点在，位于第二象限.
故选：B
4．(23-24高一下·北京中央民族族大学附属中学·期中)若复数，，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出答案．
【详解】，，
，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
5．(23-24高一下·北京丰台区·期中)复数.
(1)若复数是实数，求实数的值;
(2)若复数是纯虚数，求实数的值;
(3)在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)；
(3)
【分析】（1）令虚部为零，解一元二次方程即可；
（2）令实部为零，虚部不为零，解方程组即可；
（3）令实部和虚部同时小于零，解不等式组求交集即可；
【详解】（1）因为复数是实数，
所以，
解得或；
（2）因为复数是纯虚数
所以，
所以，
解得；
（3）因为复数对应的点位于第三象限，
所以
所以，
解得的取值范围是
1．(22-23高一下·北京通州区·期中)已知复数，则的虚部为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据复数虚部的概念直接求解即可.
【详解】因为复数，所以的虚部为.
故选：B
2．(23-24高一下·北京广渠门中学·期中)已知复数满足，则的虚部为______.
【答案】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
故答案为：
3．(23-24高一下·北京一六六中学·期中)若复数，则的虚部为______.
【答案】
【分析】根据复数的乘方化简复数，即可判断其虚部.
【详解】因为，，
所以，
所以的虚部为.
故答案为：
4．(23-24高一下·北京陈经纶中学·期中)已知复数的实部和虚部相等，且，则__________.
【答案】或.
【分析】设，由题意可得，解方程求出，即可得出答案.
【详解】因为复数的实部和虚部相等，
所以，而，
所以，解得：.
所以或.
故答案为：或.
1．(23-24高一下·北京大兴区·期中)方程在复数范围内的解为_____________．
【答案】
【分析】由即可解方程.
【详解】由得，所以，
故答案为：
2．(21-22高一下·北京大兴区·期中)是关于x的方程的一个根，则实数______．
【答案】
【分析】根据复数根的特点可知两复数根是互为共轭复数，再利用韦达定理即可求解.
【详解】是关于x的方程的一个根，另一个根为
由韦达定理得：，解得：
故答案为：.
3．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
(1)求实数的值；
(2)若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解.
（2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可.
【详解】（1）由，，得，即，
因为在复平面上对应的点在第四象限，则，
所以,
（2）由（1）知，，
由复数是关于x的方程的根，
得,
整理得，
因为，所以, 解得.
4．(22-23高一下·北京大兴区·期中)已知复数，为虚数单位．
(1)若，求的值；
(2)若为实数，求的值；
(3)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值．
【答案】(1)0
(2)1
(3)或
【分析】（1）直接列方程求解即可；
（2）把代入化简，然后由虚部为零，可求出的值；
（3）把代入方程化简，然后列方程组可求出的值．
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为为实数，
所以，解得.
（3）因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以，
整理得，
所以，解得或.
5．(22-23高一下·北京顺义区·期中)已知复数（i为虚数单位）.
(1)求复数的模；
(2)求复数的共轭复数；
(3)若是关于的方程一个虚根，求实数的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据复数的模长公式计算；
（2）根据共轭复数的定义即可得答案；
（3）根据题意，将复数代入方程可得，化简计算即可得的值.
【详解】（1）根据复数的模长公式可得，
（2）根据共轭复数的定义，复数的共轭复数为
（3）由题意，，
则，得，
所以实数的值为
1．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数的几何意义可知在复平面表示的是以为圆心，半径为3的圆，由圆的周长公式即可得出答案.
【详解】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3，
也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为.
故选：C.
2．(23-24高一下·北京第八十中学·期中)复数满足，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，先由复数的运算结合相关概念可得，再根据复数的模运算求解.
【详解】设，则，
由题意可得：，解得，
则.
故选：D.
3．(21-22高一下·北京第五中学·期中)已知复数满足，则的最大值为______.
【答案】
【分析】利用复数的几何意义求解.
【详解】解：因为复数满足，
所以复数所对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，
而表示圆上的点到点（-2，2）的距离，
圆心到点（-2，2）的距离为，
所以的最大值为，
故答案为：
4．(21-22高一下·北京大兴区·期中)已知复数（a，），且．
(1)若z的实部和虚部相等，求z对应的点的坐标；
(2)在复平面内z对应的点的集合是什么图形？并画出此图；
(3)若，求a，b的值．
【答案】(1)；
(2)圆，图形见解析；
(3)，或
【分析】（1）根据复数实部和虚部的定义，结合复数模的计算公式进行求解即可；
（2）根据复数模的计算公式，结合圆的定义进行求解即可；
（3）根据复数模的计算公式，解方程组进行求解即可.
【详解】（1）因为z的实部和虚部相等，
所以，因为，所以，
当时，；当时，，
因此z对应的点的坐标为；
（2）因为，
所以有，它表示在复平面内z对应的点到原点的距离为，
即在复平面内z对应的点是以为圆心，为半径的圆，图形如下图：
（3）因为，
所以，
又因为，
所以，
于是有，或.
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