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专题03 复数
1大高频考点概览
考点01复数的概念及运算
一、单选题
1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（ ）
A．i B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义得，进而利用复数的乘法运算得，最后利用共轭复数的概念及虚部的概念求解即可.
【详解】因为复数在复平面内对应的点坐标为，所以，
所以，所以，所以的虚部为.
故选：D
2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先找出的一个周期，得出，即可化简，求出.
【详解】因，，，，，
则以，，，为一个周期，
因，则，故，
则.
故选：D
3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知是关于的方程的一个解，则（ ）
A．4 B．8 C．6 D．0
【答案】B
【分析】将代入方程中化简，利用复数相等的概念得出即可.
【详解】由题意可得，，化简整理得，
则，得，
则.
故选：B
4．（24-25高一下·山东济宁·期中）设是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法求解即得.
【详解】依题意，.
故选：A
二、多选题
5．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则的虚部为
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的运算 复数的概念 复数模的计算及几何意义判断各选项.
【详解】对于A，，则，故A正确；
对于B，，则的虚部为，故B不正确；
对于C，设，由得，所以，故C正确；
对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确.
故选：ACD.
6．（24-25高一下·山东泰安·期中）复数，，的共轭复数为，则（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若，则
C．若，则
D．若在复平面内对应的点位于第四象限，则
【答案】BD
【分析】对于A若为纯虚数，则即可判断，对于B若，则，即，计算即可判断，对于C若，则，即，利用复数的除法即可判断，对于D若在复平面内对应的点位于第四象限，则解出即可判断.
【详解】对于A：若为纯虚数，则，故A错误；
对于B：若，则，所以，所以，故B正确；
对于C：若，则，所以，故C错误；
对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则，故D正确；
故选：BD.
7．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若为纯虚数，则，
C．若，则在复平面内对应的点位于第三象限
D．若，则复平面内满足的点的集合构成区域的面积为
【答案】ABD
【分析】由变形求得，计算的模可判断A；根据纯虚数的定义可判断B；由得到，进而可知对应的点的所在的象限可判断C；求出满足的点的集合构成区域图形，再求面积可判断D.
【详解】由得，
所以，故A正确；
由是纯虚数，得，所以，故B正确；
由得，则，
所以在复平面内对应的点位于第二象限，故C不正确；
由，得满足的点的集合构成区域为以为圆心，半径为的圆及圆的内部，
所以面积为，故D正确.
故选：ABD.
8．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆
D．的最小值为
【答案】AB
【分析】先设出复数的表达式，根据纯虚数的性质得到满足的条件，再据纯虚数的定义、复数的运算、复数的模以及复数的几何意义等知识逐一分析选项.
【详解】化简，设，，则.
为了将分母实数化，给分子分母同时乘以，得到：
因为为纯虚数，所以其实部为，虚部不为，即，整理可得且.
对于选项A，，由可知，所以选项A正确.
对于选项B，，，则，所以，选项B正确.
对于选项C，由且可知，在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆去掉与轴的两个交点，选项C错误.
对于选项D，表示所对应的点到点的距离.
点到原点的距离为，因为的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆去掉与轴的两个交点，所以的最小值为，选项D错误.
故选：AB.
9．（24-25高一下·山东济宁·期中）在复平面内，若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，复数的虚部为 B．当时，
C．当时，复数对应的点在第一象限 D．当时，为纯虚数
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合复数的概念和几何意义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当时，复数的虚部为，所以A正确；
对于B中，当时，复数，可得，所以，所以B正确；
对于C中，当时，可得，此时复数对应的点为，
此时复数对应的点在第一象限或轴的正半轴上，所以C错误；
对于D中，当时，可得复数，此时复数为纯虚数，所以D正确.
故选：ABD.
10．（23-24高一下·山东烟台·期中）已知复数，是关于的方程的两根，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】在复数域解一元二次方程可得，，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、模长公式一一判定选项即可.
【详解】根据题意知，所以，
不妨令，，
则，，
，而，
故A、B、C正确，D错误.
故选：ABC
三、填空题
11．（24-25高一下·山东菏泽·期中）请写出一个满足的复数______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】写出符合题意的答案即可.
【详解】令，则，
故答案为：（答案不唯一）
12．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______．
【答案】
【分析】由复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意，故所求为.
故答案为：.
四、解答题
13．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知复数，，其中i是复数单位.
(1)若，求实数a的值；
(2)若是纯虚数，a是正实数，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用复数的乘法法则及复数相等的条件列式求解即可.
（2）利用除法运算化简，根据纯虚数的概念知，则然后根据的周期性求和即可.
【详解】（1）因为，，，
所以，即，
所以，解得实数a的值为2.
（2）由题意得，
因为是纯虚数，所以，解得或，
又因为a是正实数，所以，所以，
所以
14．（24-25高一下·山东济宁·期中）一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，．
(1)若，求出、，
(2)如图，若，以为边作正方形，，在下方．
①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、．
②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)①，；②存在，.
【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、，.
（2）（）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、，
（）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点M的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可.
【详解】（1）连接，因为四边形，，
所以，又，所以，即，
因为，
所以，
，
所以，.
（2）（ⅰ）设，，则，
设对应的复数为，则，
设对应的复数为，，
（ⅰi）设对应的复数为，所以，
所以，
由已知可得，
所以，又，所以，
所以.
15．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复数．
(1)求；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由复数四则运算即可求解；
（2）先求出，然后由平方差公式即可求解.
【详解】（1）
，
（2）解法一：因为复数是方程的一个根，
则复数是方程的另一个根，
由韦达定理得，解得.
则，
；
解法二：因为复数是方程的一个根，
所以有，整理得，
所以，解得.
则
.
16．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知复数为虚数.
(1)若是实数，求复数的模；
(2)若，是关于的方程的一个根，求.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）是实数得，即可求复数的模；
（2）由是方程的一个根得，利用求根公式即可求解.
【详解】（1）由复数为虚数，则，
又因为，
因为是实数，所以，即，所以；
（2）由是方程的一个根，所以，即，由，
所以.
17．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若复数是实数，求实数的值；
(2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，求出；
（2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】（1）由可得，
所以，
若复数是实数，可得，
解得；
（2）
，
易知复数在复平面内所对应的点坐标为，
又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，
解得，
即实数的取值范围为.
18．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，．
(1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围；
(2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或．
【分析】（1）依题意可得实部为，解得即可；
（2）依题意可得，解不等式即可得解.
【详解】（1）由题意得，解得或；
（2）复数在复平面内对应的点为，
依题意可得，
则或
解得或，即实数的取值范围为或．
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专题03 复数
1大高频考点概览
考点01复数的概念及运算
一、单选题
1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（ ）
A．i B． C．1 D．
2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知是关于的方程的一个解，则（ ）
A．4 B．8 C．6 D．0
4．（24-25高一下·山东济宁·期中）设是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则的虚部为
C．若，则 D．若，则
6．（24-25高一下·山东泰安·期中）复数，，的共轭复数为，则（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若，则
C．若，则
D．若在复平面内对应的点位于第四象限，则
7．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若为纯虚数，则，
C．若，则在复平面内对应的点位于第三象限
D．若，则复平面内满足的点的集合构成区域的面积为
8．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆
D．的最小值为
9．（24-25高一下·山东济宁·期中）在复平面内，若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，复数的虚部为 B．当时，
C．当时，复数对应的点在第一象限 D．当时，为纯虚数
10．（23-24高一下·山东烟台·期中）已知复数，是关于的方程的两根，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（24-25高一下·山东菏泽·期中）请写出一个满足的复数______．（写出一个即可）
12．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______．
四、解答题
13．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知复数，，其中i是复数单位.
(1)若，求实数a的值；
(2)若是纯虚数，a是正实数，求的值.
14．（24-25高一下·山东济宁·期中）一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，．
(1)若，求出、，
(2)如图，若，以为边作正方形，，在下方．
①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、．
②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由．
15．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复数．
(1)求；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积．
16．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知复数为虚数.
(1)若是实数，求复数的模；
(2)若，是关于的方程的一个根，求.
17．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若复数是实数，求实数的值；
(2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围
18．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，．
(1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围；
(2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围．
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