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专题03 复数
4大高频考点概览
考点01复数的概念与分类
考点02复数的运算
考点03复数的几何意义及最值问题
一、选择题
1．(24-25高一下·四川南江中学·期中)复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B．6 C．3 D．
【答案】A
【详解】因为复数，所以其虚部为-6，故选：A
2．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知复数，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】复数的共轭复数为.故选：A.
3．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)设复数，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C． D．-
【答案】B
【详解】因为，所以，所以虚部是.故选：B
3．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，，，则.故选：C.
4．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．2
【答案】B
【详解】由题可得.故选：B
5．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)若复数z=为纯虚数，则实数的值为
A．=2 B．= C．= 或 =2 D．=2且3
【答案】A
【详解】由题意，复数为纯虚数，
所以，解得，即实数的值为2，故选A.
二、多选题
6．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)（多选）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部是 B．的共轭复数是 C． D．
【答案】BD
【详解】复数的虚部为，故A错误；的共轭复数是，故B正确；，故C错误；因为，，所以，故D正确；故选：BD
7．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知复数，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，则 D．是的充分不必要条件
【答案】ABD
【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误；对于B，令，满足，显然不成立，错误；对于C，设，，由，，可得，则，由可得，所以，又，所以，正确；对于D，令，满足，此时不成立，充分性不成立，错误；故选：ABD
8．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)（多选）已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A． B．，则 C． D．
【答案】AC
【详解】对于A，因为的取值是以4为周期，所以，故A正确；对于B，当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，如，，故B错误；对于C，设，则，所以，故C正确；对于D，举反例，如，则，而，故D错误.故选：AC.
三、填空题
9．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知复数是纯虚数，则_____.
【答案】4
【详解】复数是纯虚数，则，解得.故答案为：4.
四、解答题
10．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)计算下列各式
(1)
(2)
【详解】（1）依题意，，，即呈周期性，周期为4，
且，
所以.
（2）
.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以.故选：D.
2．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】由题意，，所以，故选：C．
3．若，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
【答案】A
【详解】因为，所以，所以，
故选：A.
4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】由题意有，所以.故选：D.
5．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】，故的虚部为.故选：C.
6．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】D
【详解】.故复数的虚部为.故选：D.
7．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C．-1 D．-i
【答案】A
【详解】由，故，所以的虚部为1．故选：A．
8．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以．故选：C
9．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知，复数，则
A．-2 B．1 C．0 D．2
【答案】D
【详解】因为，所以，即.故选D．
二、多选题
10．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，，则 B．若复数，则复数z的虚部等于
C．若复数为纯虚数，则 D．
【答案】CD
【详解】虚数无法比大小，但模可以比大小，故A错误；，则复数z的虚部等于，故B错误；复数z为纯虚数，则且，得，故C正确；，故D正确.故选：CD
三、填空题
11．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)复数，，则_________．
【答案】/
【详解】因为，所以，所以.故答案为：.
12．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)__________.
【答案】
【详解】,故答案为：
13．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知，则______．
【答案】
【详解】因为，所以，所以，故答案为：．
14．复数，则______．
【答案】
【详解】因为复数，则.故答案为：
15．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)______．
【答案】0
【详解】.故答案为：.
16．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则______.
【答案】
【详解】由题意设，则是纯虚数，当且仅当，解得，所以.故答案为：.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】∵，∴该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C.
2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】因为，所以对应的点的位于在第四象限，故D正确.故选：D
3．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】由，所以，则在复平面上对应的点为位于第四象限，故选：D.
4．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A
5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】由复数在复平面内对应的点为，因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.
6．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由复数对应的向量，则，所以.
故选：A
7．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知复数：满足，则（ ）
A．的实部为 B．
C．的共轭复数为 D．在复平面中对应的点位于第一象限
【答案】B
【详解】， 的实部为，故A不正确；∴，故B正确； ，故C错误；复数在复平面内对应的点为在第四象限，故D不正确．故选：B．
二、多选题
8．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)关于复数，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则的最小值为
C． D．若是关于的方程：的根，则
【答案】BD
【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误；设，B选项：由，则，且，则，，又，所以当时取最小值为，B选项正确；C选项：，，，所以，C选项错误；D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足，且与互为共轭复数，由可知，则，即，D选项正确；
故选：BD.
9．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)（多选）已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，为纯虚数，则 B．若，则
C．已知，则 D．若，，则的最小值为1
【答案】ABD
【详解】对于A，若复数，为纯虚数，则且不是0，所以，A选项正确；对于B，若，则，，B选项正确；对于C，复数不能比较大小，C选项错误；对于D，若，，则，当时取最小值为1，D选项正确；故选：ABD.
9．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（ ）
A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，因为，所以，，故A错误；对于B，，而，则、，故位于第二象限，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，所以，又因为，所以，故D正确．故选：BCD．
三、填空题
10．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)复数满足，则的最大值为________.
【答案】/
【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义为所对应的点到点的距离，因为，所以的最大值为.故答案为：
四、解答题
11．已知复数，其中．
(1)设，若是纯虚数，求实数的值；
(2)设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角的余弦值以及在上的投影向量的坐标．
【详解】（1）由题意，复数，则，
因为为纯虚数，所以，，故.
（2）因为，所以，所以,
故,
设向量夹角为，所以,
在上的投影向量为.
12．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.
(1)若为纯虚数，求；
(2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.
【详解】（1）因为复数，所以，
而为纯虚数，因此，即.
又因为，且，所以， 由，解得或，
所以或.
（2）①存在，理由如下：
法一：由题意知：，得，解得或 ，
因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以；
法二：设是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则，
所以即，所以，所以 ，
且时，满足.所以.
②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线，
所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为
则且，
因此的面积
，
设，则，当且仅当且，
即或时等号成立，
所以，其最大值为2.
13．一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，．
(1)若复数，求复数z的实部和虚部；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；
(3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数．
【详解】（1），
则，
所以复数z的实部为，虚部为0.
（2）设模为1的复数为，
则
，
由复数乘方公式得，所以，.
（3）正二十四边形每边所对的中心角为，设（为常数），
则，
所以
，
由周期性知，共有8个不同的值，
所以复数所对应不同点的个数为8．
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专题03 复数
4大高频考点概览
考点01复数的概念与分类
考点02复数的运算
考点03复数的几何意义及最值问题
一、选择题
1．(24-25高一下·四川南江中学·期中)复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B．6 C．3 D．
2．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知复数，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)设复数，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C． D．-
3．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．2
5．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)若复数z=为纯虚数，则实数的值为
A．=2 B．= C．= 或 =2 D．=2且3
二、多选题
6．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)（多选）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部是 B．的共轭复数是 C． D．
7．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知复数，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，则 D．是的充分不必要条件
8．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)（多选）已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A． B．，则 C． D．
三、填空题
9．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知复数是纯虚数，则_____.
四、解答题
10．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)计算下列各式
(1)
(2)
一、选择题
1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．若，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
6．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
7．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C．-1 D．-i
8．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知，复数，则
A．-2 B．1 C．0 D．2
二、多选题
10．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，，则 B．若复数，则复数z的虚部等于
C．若复数为纯虚数，则 D．
三、填空题
11．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)复数，，则_________．
12．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)__________.
13．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知，则______．
14．复数，则______．
15．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)______．
16．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则______.
一、选择题
1．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知复数：满足，则（ ）
A．的实部为 B．
C．的共轭复数为 D．在复平面中对应的点位于第一象限
二、多选题
8．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)关于复数，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则的最小值为
C． D．若是关于的方程：的根，则
9．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)（多选）已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，为纯虚数，则 B．若，则
C．已知，则 D．若，，则的最小值为1
9．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（ ）
A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D．
三、填空题
10．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)复数满足，则的最大值为________.
四、解答题
11．已知复数，其中．
(1)设，若是纯虚数，求实数的值；
(2)设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角的余弦值以及在上的投影向量的坐标．
12．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.
(1)若为纯虚数，求；
(2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.
13．一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，．
(1)若复数，求复数z的实部和虚部；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；
(3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数．
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