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专题01 平面向量
5大高频考点概览
考点01 平面向量的概念
考点02 平面向量的运算
考点03 平面向量基本定理及坐标表示
考点04 平面向量在几何、物理中的应用
(
地
城
考点01
平面向量的概念
)
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江金华·期中）下列关于向量的描述正确的是（ ）
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
【答案】B
【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C，利用共线向量的定义，即可判断出选项C的正误.
【详解】对于选项A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，
故向量和不一定相同，故选项A错误；
对于选项B，单位向量的长度相同均为，所以，故选项B正确；
对于选项C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；
对于选项D，因为所有单位向量的模为，且共起点，
所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D错误；
故选：B.
2．（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（ ）
A．的充要条件是且
B．若，则它们的起点和终点均相同
C．若存在实数，使得，则
D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形
【答案】C
【分析】由，可得且向量与同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据可能在同一条直线上，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得且向量与同向，
所以的必要不充分条件是且，所以A错误；
对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误；
对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确；
对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误.
故选：C.
3．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据讨论同向、反向共线两种情况，结合充分、必要性定义确定条件间的关系.
【详解】若与共线且，同向共线时，反向共线时，充分性不成立；
若，而，则与反向共线，必要性成立；
所以“与共线”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线则判断即可.
【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；
对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；
对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；
对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.
故选：C
二、多选题
5．（23-24高一下·浙江宁波·期中）下面的命题正确的有（ ）
A．若，，则
B．方向相反的两个非零向量一定共线
C．若满足且与同向，则
D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
【答案】BD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，若，不一定平行，故A错；
对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，
故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可得，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确
故选：BD
6．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数的值可以是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
【答案】CD
【分析】由，，三点共线，可得存在唯一实数，使，从而可得到的关系，进而可得答案
【详解】因为向量不共线，，，且，，三点共线，
所以存在唯一实数，使，
所以，所以，
所以，
故选：CD
(
地
城
考点02
平面向量的运算
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用平面向量减法法则即可得到.
【详解】.
故选：B.
2．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，且向量与向量的夹角为，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积的定义计算即可.
【详解】.
故选：D.
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积可求的值.
【详解】,
故选：A.
4．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知中，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数量积为0可知进而求出三角形边长，再由投影向量定义计算可得结果.
【详解】根据题意可得，由勾股定理可知；
则在上的投影向量为.
故选：C
5．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】利用结合数量积的定义可求的值.
【详解】因为，所以，
所以，故，
故选：A.
6．（24-25高一下·浙江·期中）设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】先根据题意确定两两之间的夹角，然后根据模长公式求解即可.
【详解】因为平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，所以，所以
所以.
故选：B
7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）等边的边长为2，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影的数量和投影向量的公式，即可求解.
【详解】因为是边长为的等边三角形，且，
可得向量在向量上的投影的数量为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
8．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用向量夹角公式及数量积的运算律求夹角即可.
【详解】由题设，
由，
所以，而，则.
故选：A
9．（24-25高一下·浙江·期中）已知在平行四边形中，，，且，，则的值为（ ）
A．-3 B．-6 C．-9 D．-12
【答案】C
【分析】结合图形，由向量的加法法则和数量积的运算律计算可得.
【详解】

在平行四边形中,，,
因为，，
所以，
两式相减可得，
所以.
故选：C
10．（24-25高一下·浙江·期中）已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．2
【答案】B
【分析】由题意可得，可求得，当过时，可取得最小值，利用基本不等式可求得，可求的最小值.
【详解】由平面向量的平行四边形法则可得，
所以，
所以，
所以，
所以，当过时，可取得最小值，
又，又，
可得，取等号，此时，
此时与共线反向，此时最小，最小值为.
故选：B.

二、多选题
11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】ABD
【分析】先利用求模公式以及数量积的运算律得出，再利用求模公式、数量积的运算律、向量的夹角公式逐一判断ABD；设，利用平面向量基本定理判断的存在性判断C.
【详解】由题意可知，，且，
则，
，
，
故，B正确；
，故A正确；
因，，
若，则，使得，
因不共线，则，此方程组无解，
故与不共线，故C错误；
因，
则，
因，则，故D正确.
故选：ABD
12．（24-25高一下·浙江·期中）对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．在方向上的投影向量的模为
D．向量与向量垂直
【答案】ACD
【分析】由平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用特例法可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量垂直的向量表示可判断D选项.
【详解】对于A选项，由平面向量数量积的性质可得，A对；
对于B选项，不妨设、为相互垂直的两个单位向量，则，
，同理可得，
此时，B错；
对于C选项，在方向上的投影向量为，
故在方向上的投影向量的模为，C对；
对于D选项，因为，
所以向量与向量垂直，D对.
故选：ACD.
13．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知平面向量，，都是单位向量，且，则以下命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在上的投影向量是
【答案】ABD
【分析】选项A：利用数量积的定义求解即可，选项B：当时，结合向量平行时向量数量积的特点求解即可，选项C：当时，利用向量数量积的定义求解即可，选项D：当时，利用投影向量的求法求解即可.
【详解】选项A：和都是单位向量，当时，说明和同向，即.
此时，故，由于是单位向量，故.选项A正确.
选项B：若,，两边取模长平方得：,
展开左边：
解得:，说明
和反向平行，即平行.选项B正确.
选项C：若，则.，两边取模长平方得：
展开左边：
解得:，选项C错误.
选项D：若，则在上的投影向量是.，代入
并取模长平方：
展开得：
解得:，投影向量为.选项D正确.
故选：ABD.
14．（24-25高一下·浙江台州·期中）已知向量，的夹角为，，，，则（ ）
A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为
C．的最小值为 D．取得最小值时，
【答案】ABD
【分析】A先计算，再利用公式计算；B先计算，再利用公式计算；C 先利用向量求模公式计算 ，再求一元二次函数的最小值即可；D求证即可.
【详解】由条件可得，，
则在方向上的投影向量的模为，故A正确；
因，
则在方向上的投影向量的模为，故B正确；
由，其为开口朝上的一元二次函数，
故当时其有最小值，则的最小值为，故C错误；
由C选项可知，取得最小值时，
则，则，故D正确.
故选：ABD
15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若O为的外心，， 则
B．若O为的垂心，，则
C．若，则与的面积之比为
D．若，的面积为8，则的面积为14
【答案】BD
【分析】对A，利用向量线性运算可得，根据向量数量积运算律求解判断；对B，由，结合得解；对C，由奔驰定理得解；对D，将条件式利用向量运算转化为，再由奔驰定理得解.
【详解】对于A，由，，则，
，故A错误；
对于B，由，又，
所以，故B正确；
对于C，因为，由奔驰定理可得，故C错误；
对于D，由，则,
即，由奔驰定理可得，
又，则，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
16．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量在斜坐标系中的坐标分别为，则__________.
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值，由题意得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】由平面向量数量积的定义可得，
由题意可得，，
所以.
故答案为：.
17．（24-25高一下·浙江·期中）已知，为平面中的单位向量，满足，若，，且，则实数________．
【答案】
【分析】利用向量垂直的性质即可求解.
【详解】因为，且，，
所以，
即，
所以，
解得.
故答案为：.
18．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】由圆的性质得到，然后根据数量积的性质得到，最后根据的范围计算即可.
【详解】因为点为的中点，，所以，
，
因为点为线段上的一动点，，
所以，所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
19．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，F是线段上靠近点A的三等分点，，设，.
(1)若，求的大小；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的数量积公式及运算律计算求解；
（2）应用向量的数量积公式及夹角余弦公式计算求解；
【详解】（1），
，
，
故.
（2），，
，
故，
故.
20．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量与的夹角为，且，，若，．
(1)当时，求实数的值；
(2)当取最小值时，求向量与夹角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，结合数量积的运算律即可求解；
（2）由可确定时，得到，再由向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）
∴
∴
（2）
当时，，此时
所以向量与夹角的大小为30°．
21．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，，，．
(1)求的模；
(2)求向量与夹角的余弦值；
(3)若点在边上，求的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可得，两边平方可求；
（2）求得，利用向量的夹角公式可求向量与夹角的余弦值；
（3）设边的中点为，连接，，利用余弦定可得，进而可得结论.
【详解】（1）由，可得，所以，
可得，
所以；
（2），
又，
所以；
（3）设边的中点为，连接，
，
由余弦定理可得，
到的距离为，所以，
所以.
(
地
城
考点0
3
平面向量基本定理及坐标表示
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.
【详解】因为平面向量，，且，则，所以.
故选：B.
2．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得结果.
【详解】由可得，
即可得，解得.
故选：D
3．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在平行四边形中，点为线段的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断.
【详解】在平行四边形中，点为线段的中点，
记，，.
故选：B.
4．（24-25高一下·浙江·期中）中，点是上靠近点的五等分点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用给定的基底，结合向量线性求解.
【详解】由点是上靠近点的五等分点，得，则，
所以.
故选：C
5．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知向量，满足，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】首先计算出，然后根据坐标求模公式计算即可.
【详解】因为，，
两式相加得，即，，
所以，
故选：A
6．（24-25高一下·浙江衢州·期中）若，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用投影向量的概念列式即可求数量积，从而可求夹角大小.
【详解】根据在方向上的投影向量为，可得：
，
根据，又因为，
所以，
又因为，所以，
故选：B.
7．（24-25高一下·浙江·期中）若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据向量的夹角为锐角求出的范围，再判断条件即可.
【详解】因为向量的夹角为锐角，所以，且向量不共线，
当向量共线时，，
故“”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：A.
8．（24-25高一下·浙江·期中）设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用向量夹角余弦公式得到，由同角三角函数关系得到正弦值，进而代入公式求出答案.
【详解】，
故，
所以，
故.
故选：D
9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（ ）
A． B． C． D．－1
【答案】C
【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可.
【详解】因为三点共线，且，所以，
又因为三点共线，且，所以，
可得，解得，所以.
故选：C
10．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】如图，以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则有
，，，设，则
，
当，时，上式最小值为.
故选：A.
11．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得.
【详解】设且，则，
又，则，
由共线，则，可得，
所以.
故选：B
12．（24-25高一下·浙江五湖联盟·期中）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.
【详解】，
由三点共线可得，且，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故选：D.
二、多选题
13．（24-25高一下·浙江·期中）若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据基底的概念逐项分析即可判断.
【详解】对于A，由已知是一组基底，则与不共线，
设，则，无解，
所以不存在实数使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，故A正确；
对于B，设，则，无解，
所以不存在实数使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，故B正确；
对于C，，即与共线，
所以不可以作为基底，故C错误；
对于D，设，则，无解，
所以不存在实数使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，故D正确；
故选：ABD.
14．（24-25高一下·浙江台州·期中）设向量，，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，
B．与垂直的单位向量只能为，
C．若，则与的夹角为
D．若，向量在向量上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】结合向量平行的坐标表示，验证A的真假；结合单位向量的概念判断B的真假；利用向量数量积的坐标运算求向量夹角，判断C的真假；求投影向量判断D的真假.
【详解】对A：当时，，，，所以，故A正确；
对B：与垂直的单位向量可以是，也可以是，故B错误；
对C：若，则，所以与的夹角的余弦为：，又，所以，故C正确；
对D：若，向量在向量上的投影向量为：，故D正确.
故选：ACD
15．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，，，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直
D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【分析】由向量模公式，可得判定A正确；根据在方向上的投影向量计算公式，可判定B正确；由，可判定C正确；根据与的夹角为锐角，且与不同向共线，得到不等式，可判定D错误.
【详解】由向量，，，
对于A，由，所以A正确；
对于B，由，
所以在方向上的投影向量为，所以B正确；
对于C，由，
可得，所以，所以C正确；
对于D，由，
因为与的夹角为锐角，可且与不同向共线，
由，解得，
又由，解得，
所以与的夹角为锐角时，实数的取值范围为，所以D错误.
故选：ABC.
16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，是中点，，且交于，则（ ）
A．为的中点
B．
C．若，且，则
D．若，则的最大值为．
【答案】ACD
【分析】根据向量的线性运算、数量积运算及三点共线的性质逐一分析可判断；根据向量的数量积运算、向量夹角的余弦值公式结合基本不等式可判断.
【详解】对于：由题意得，
设，因为三点共线，
所以，且，解得.
所以，所以为的中点，故正确；
对于：由知为的中点，
所以，故错误；
对于：由知，
，故正确；
对于：设，
所以，，
因为，
所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以的最大值为，故正确.
故选：.
17．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，，为所在平面上一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】对A，B，对变形可得，结合已知条件即可求解；对C，D，结合已知条件，首先利用数量积公式求出和的值，再利用得到关于和的两个关系式，进而即可求解；
【详解】对于A，B，因为，则，
所以，
若，则，
由题易知点不在上，即不共线，
，解得，故A错误，B正确；
对于C，D，若，则是的外心，
故，
同理，可得，
由，知，
，即，
又，可得，
联立，解得，，
所以，，故C正确，D错误.
故选：BC.
18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ）
A．点在线段上时，为定值 B．点在线段上时，为定值
C．的最大值为2 D．使的点轨迹长度为
【答案】BC
【分析】A选项，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，故，不是定值；B选项，设，计算出；C选项，设，，表达出，故当时，取得最大值，最大值为2，C正确；D选项，由C得到，点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段，由勾股定理求出轨迹长度.
【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，，
当在线段上时，设，，
则，不是定值，A错误；
B选项，点在线段上时，设，，
，为定值，B正确；
C选项，，设，，，
由得，，
所以，即，
，故当时，取得最大值，最大值为2，C正确；
D选项，由C知，，故，即，
所以点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段，
其中中，令得，令得，
故，故使的点轨迹长度为，D错误.
故选：BC
三、填空题
19．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知向量，向量，则在上的投影向量是__________（注：本题答案用坐标表示）
【答案】
【分析】根据题意，求得且，结合投影向量的计算公式，即可求解.
【详解】由向量，可得且，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
20．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知在中，是斜边的中点，则__________.
【答案】10
【分析】由题意以为坐标原点，CA边为x轴，CB边为y轴建立直角坐标系，求出各点坐标，利用向量坐标和向量数量积的坐标计算方法即可求解.
【详解】由题意以为坐标原点，建立直角坐标系，
可得，，，
故可得，，，
∴，
故.
故答案为：10.
21．（24-25高一下·浙江·期中）已知菱形的边长为2，设，若恒成立，则菱形面积的取值范围是______．
【答案】
【分析】先根据向量相加得出，再应用菱形面积公式，得出菱形面积范围.
【详解】菱形的边长为2，
设，若恒成立，
由，所以，
在中， ，
则菱形面积为，
因为，，
当时，菱形面积最大值为，
故答案为：.
四、解答题
22．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量和满足以下条件：
(1)求和；
(2)若且，求实数的值；
(3)若且，，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示直接解方程即可；
（2）根据向量线性运算及向量共线的坐标表示列方程，解方程即可；
（3）根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可.
【详解】（1）由，
则，即，
所以；
（2）由（1）得，，
则，
又且，
则，解得；
（3）由，，
所以，
又，
所以，即，
由，则，
解得或，
即或.
23．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.

(1)用表示；
(2)求证：三点共线.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平面向量的线性运算解题即可；
（2）先根据平面向量共线定理证明共线，再根据向量有公共点，即可证明三点共线.
【详解】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形，
则，
.

（2）由（1）知，，
，
，所以，
所以共线，又因为有公共点，所以三点共线.
24．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在等腰梯形中，，是的中点，在线段上（含边界），和相交于点，令、，

(1)若是的中点，用和表示；
(2)若，求并求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据向量线性运算法则直接计算；
（2）由，根据向量线性运算法则直接计算，再利用转化法表示向量模长，结合函数性质可得取值范围.
【详解】（1）因为是的中点，所以，
在等腰梯形中，因为，
所以，
所以，
因为是的中点，所以，
所以；
（2）因为，
所以
又，，
设，
由，，共线，则，
即，所以，
所以，
所以
易得，，
所以
因为，所以令，
所以.
25．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足.
(1)求向量在坐标系中的坐标；
(2)若，，求向量在坐标系中的坐标；
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）将表示成以，为基底的向量，即可得出其坐标；
（2）根据向量线性运算的坐标表示并利用得到方程，解方程可求得向量的坐标；
（3）得出关于坐标的表达式，再利用二次函数性质即可求得其最小值.
【详解】（1）由可得.
即.
即向量在坐标系中的坐标为；
（2）若，则.
所以.
因为，.
即.
解得，
所以向量在坐标系中的坐标为；
（3）因为，；
所以；
当，即时，取得最小值，最小值为.
26．（24-25高一下·浙江丽水·期中）如图，在梯形中，，，，E是边上一点（含端点），与交于点F，设，.

(1)若E与点C重合，求x，y的值；
(2)若，求的值；
(3)若存在点E，使得，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的加法运算即可求解；
（2）利用三点共线的向量性质来求解含参系数即可；
（3）利用向量的数量积运算，结合函数求值域即可.
【详解】（1）由，根据平面向量基本定理，可知，.
（2）由，
三点共线，，解得，
所以
设
三点共线，，解得，
即的值为.
（3）记，设，
则，
由，因为，所以，
即，
则，
所以，构造，求导得：，
所以在上单调递增，即
，.
27．（24-25高一下·浙江宁波·期中）对于一组向量，，，……，，（且），令，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“长向量”.
(1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；
(2)若，且，向量组，，，……，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
(3)若对于一组向量，，，……，（且），记已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证：.
【答案】(1)
(2)存在“长向量”，且“长向量”为，，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据向量模长的不等关系，解得的范围即可；
（2）根据“长向量”的定义，结合三角函数的性质解不等式即可；
（3）由平方得到，
同理得到：，个式子相加即可求证.
【详解】（1）由题意可得：，，，
，
则，解得：.
所以实数x的取值范围；
（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：
由题意可得，若存在“长向量”，只需使，
因为，，，，，，
所以，故只需使
，
即，即，
当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.
（3）由题意，得，
即，
即，
即，
同理，
个式相加并化简，得：，
即，
，
所以，
(
地
城
考点0
4
平面向量在几何、物理中的应用
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围.
【详解】
以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
因为在矩形中，，
则，
又点在边上运动（包含端点），
设，则，
，
则，
因为，所以，
故选：D.
2．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（ ）
A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值
C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值
【答案】C
【分析】等腰三角形，可以以底边的中点建立直角坐标系，然后写出各个点的坐标表示进行坐标运算.
【详解】以BC中点O建立直角坐标系，则A、B、C点坐标分别为，，，
点P在底边（包括端点）上运动，所以，
，
因为，所以的最小值为，最大值为，都为定值.
故选：C.
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案.
【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以，因为D为BC的中点，所以，
，设，所以，
所以，可得，，
所以，
因为，所以.
故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积.
4．（22-23高一下·浙江·期中）已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，即可求解.
【详解】因为正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径，
又由
，
因为，即，可得，
所以的取值范围是.
故选：D
5．（24-25高一下·浙江·期中）已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（ ）.
A．. B．. C．. D．.
【答案】B
【分析】用的方向向量坐标表示出的最小值，从而求出.
【详解】设点在原点 .
向量 ，因为且沿 轴，
向量 ，且 ，
角平分线的方向向量是 和 的单位向量的和：
，，所以角平分线方向向量为 ，
，
所以方向的单位向量为：，
设，则，
.，， ，
，
这是一个关于的二次函数.当，最小.
此时.
故选：B.
二、多选题
6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ）
参考数据：

A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时，
B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min
C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min
D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短
【答案】AB
【分析】讨论的大小，分别求出过河的时间，从而判断ABC；由平行四边形法则结合勾股定理判断D.
【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为，
，

当为钝角时，
当为锐角时，
当为直角时，
则当为钝角时，，
当为锐角时，，
所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确；
对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误；
对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直，
那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短，
由下图可知，设，则，
此时，船的航行时间，故D错误；

故选：AB
7．（22-23高一下·浙江杭州·期中）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则O是的外心
C．若，则为钝角三角形
D．若，，则
【答案】AD
【分析】由数量积的运算判断A，根据向量线性运算判断B，根据数量积的定义判断C，由垂直的向量表示及三角形内心性质判断D.
【详解】由，得，即，故A对；
由，取中点，连接，则，
所以共线，且在线段上，，即为的重心，故B错；
由，得，所以为钝角，为锐角，角与角不一定为钝角,不一定为钝角三角形，故C错；
由，，得，知为的垂心，所以，故D对.
故选：AD.
8．（23-24高一下·浙江杭州·期中）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
【答案】ACD
【分析】A由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心；B由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心；C由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形；D令，，则为的重心，由此求出面积比即可.
【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，
又∵，∴，∴，
∴为的重心，故选项A正确；
对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，
则，，
∵，∴，
∴，∴，，∴，，
∴，分别是，边上的垂直平分线，
∴，为的外心，故选项B错误；
对于C，作角的内角平分线与边交于点，
∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，
∴（），∴（），
∴，∴，∴，为等腰三角形，
又∵，且，∴，
∴为等边三角形，故选项C正确；
对于D，设，，由得，
则由选项A可知，为的重心，设的面积，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
∴，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．（24-25高一下·浙江·期中）已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据已知条件建系，再应用三角换元计算化简，应用辅助角公式及正弦函数值域求解即可.
【详解】
因为为等边三角形，且，以A为坐标原点以为x轴，过A且垂直AB的直线为轴建系，
则，因为，设，
所以，
所以
，
所以，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
10．（23-24高一下·浙江·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形边长为2，点P为圆弧上的一点，且满足：，则的值为__________．
【答案】1
【分析】建立平面直角坐标系，设,，利用的面积和点到直线的距离公式，求得，再根据平面向量数量积的坐标运算进行计算即可得出结论．
【详解】如图，以为原点建立平面直角坐标系，
因为弧在圆上，设,，则，
设点到直线的距离为，
由，可得，
由，，，
可得直线的方程为：，即，
故点到直线的距离，
因为在直线上方，所以，
所以，故，
由，，，
可得
，
则的值为1．
故答案为：1．
11．（22-23高一下·浙江·期中）已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是______．
【答案】
【分析】根据，可得四点共圆，即可共线得，结合图形即可求解最值.
【详解】令，，，
为单位向量．，则，
由于与的夹角为，所以，
，故不妨取，，四点共圆情况，,
外接圆的直径为，在优弧上，
，表示起点为，终点在直线上的向量，
由于
，
到的距离为，
设到的最大距离为
由于为的最小值，则当时最小，
故的最大值为，此时过圆心且
故答案为：．
四、解答题
12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）（1）若，求；
（2）若，为单位向量，，的夹角为，求和函数，的最小值；
（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．
①直径所对的圆周角是直角；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．
【答案】（1）（2），最小值为（3）证明见详解
【分析】（1）由，，利用向量数量积的坐标运算求解即可；
（2）由，为单位向量，所以，，求解即可，由，结合二次函数的最值即可求解；
（3）选①，设为圆的直径，点在圆上，由，，计算即可；选②，作平行四边形，根据，，两式分别完全平方求解即可；选③，设，相交于一点，可证得，设，相交于一点，同理可得，即可得证.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以；
（2）因为，为单位向量，所以，，
，
，
所以当时，函数的最小值为；
选①：
设为圆的直径，点在圆上，证明：.
要证，即证，
由，，
所以
，
故，所以，
所以直径所对的圆周角是直角；
选②：
在平行四边形中，，为对角线，
证明：.
根据条件作出图形，
因为四边形为平行四边形，
所以，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；
选③：
在中，，，分别为，，的中点，证明：，，相交于一点.
由题意作出图形，
设，，
则，，
，
设，相交于一点，，，
则，
，
又，
所以，解得，，
所以，
再设，相交于一点，同理可证得，
即，重合，即，，相交于一点，
所以三角形的三条中线交于一点.
13．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.

(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若向量，求实数x，y的值；
(3)若向量与的夹角为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)，
(3)0
【分析】（1）点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系，由向量的夹角的坐标运算求解即可；
（2）由平面向量基本定理可得，由，，三点共线求出，由此可求出实数x，y的值；
（3）法一：点为中点，因为，所以以为直径的圆与圆外切.由圆周角大于圆外角即可得出答案；法二：设，，则，求出，，由向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）易得，且为正三角形，
所以，.
以点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系，
，
得，，
所以.

（2），
又因为，，三点共线，所以，解得.
，
，解得，
（3）法一：点为中点，因为，
所以以为直径的圆与圆外切.
因为圆周角大于圆外角，
所以的最大值为，即的最小值为0.
法二：设，
且如（1）所建平面直角坐标系，则，
，.
当时，取到最小值0，
所以的最小值为0.
14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果；
（2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.
【详解】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以，
所以，
所以
.
（2）因为，所以，
因为，
所以
，
所以当时，取得最小值.
15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，.
(1)设，，计算和；
(2)设，，求证：；
(3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出的余弦值，进而可得出的正弦值，结合题中定义可求得和的值；
（2）不妨设射线、分别为角、的终边，则，设，，则，，利用题中定义结合两角差的正弦公式化简可证得结论成立；
（3）建立合适的平面直角坐标系，利用向量叉乘将三角形的面积转化为，最后利用基本不等式即可求出其最大值.
【详解】（1）如下图所示：
由平面向量数量积的坐标运算可得，
则为锐角，且，
结合图形可知，，
.
（2）不妨设射线、分别为角、的终边，则，
设，，则，，
则
，
故.
（3）以点为坐标原点，直线、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设，由题意知，
.
由垂径定理知，
，
，
当且仅当时等号成立，
则，
当且仅当时等号成立，
综上所述三角形的面积的最大为.
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专题01 平面向量
5大高频考点概览
考点01 平面向量的概念
考点02 平面向量的运算
考点03 平面向量基本定理及坐标表示
考点04 平面向量在几何、物理中的应用
(
地
城
考点01
平面向量的概念
)
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江金华·期中）下列关于向量的描述正确的是（ ）
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
2．（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（ ）
A．的充要条件是且
B．若，则它们的起点和终点均相同
C．若存在实数，使得，则
D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形
3．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
二、多选题
5．（23-24高一下·浙江宁波·期中）下面的命题正确的有（ ）
A．若，，则
B．方向相反的两个非零向量一定共线
C．若满足且与同向，则
D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
6．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数的值可以是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
(
地
城
考点02
平面向量的运算
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，且向量与向量的夹角为，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知中，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（24-25高一下·浙江·期中）设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（ ）
A．1 B． C．5 D．
7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）等边的边长为2，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一下·浙江·期中）已知在平行四边形中，，，且，，则的值为（ ）
A．-3 B．-6 C．-9 D．-12
10．（24-25高一下·浙江·期中）已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．2
二、多选题
11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
12．（24-25高一下·浙江·期中）对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．在方向上的投影向量的模为
D．向量与向量垂直
13．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知平面向量，，都是单位向量，且，则以下命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在上的投影向量是
14．（24-25高一下·浙江台州·期中）已知向量，的夹角为，，，，则（ ）
A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为
C．的最小值为 D．取得最小值时，
15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若O为的外心，， 则
B．若O为的垂心，，则
C．若，则与的面积之比为
D．若，的面积为8，则的面积为14
三、填空题
16．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量在斜坐标系中的坐标分别为，则__________.
17．（24-25高一下·浙江·期中）已知，为平面中的单位向量，满足，若，，且，则实数________．
18．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是______.
四、解答题
19．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，F是线段上靠近点A的三等分点，，设，.
(1)若，求的大小；
(2)若，，求.
20．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量与的夹角为，且，，若，．
(1)当时，求实数的值；
(2)当取最小值时，求向量与夹角的大小．
21．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，，，．
(1)求的模；
(2)求向量与夹角的余弦值；
(3)若点在边上，求的范围．
(
地
城
考点0
3
平面向量基本定理及坐标表示
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在平行四边形中，点为线段的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·浙江·期中）中，点是上靠近点的五等分点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知向量，满足，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（24-25高一下·浙江衢州·期中）若，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·浙江·期中）若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（24-25高一下·浙江·期中）设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（ ）
A． B． C． D．－1
10．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（ ）
A． B． C． D．0
11．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
12．（24-25高一下·浙江五湖联盟·期中）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（24-25高一下·浙江·期中）若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（ ）
A． B．
C． D．
14．（24-25高一下·浙江台州·期中）设向量，，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，
B．与垂直的单位向量只能为，
C．若，则与的夹角为
D．若，向量在向量上的投影向量为
15．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，，，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直
D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是
16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，是中点，，且交于，则（ ）
A．为的中点
B．
C．若，且，则
D．若，则的最大值为．
17．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，，为所在平面上一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ）
A．点在线段上时，为定值 B．点在线段上时，为定值
C．的最大值为2 D．使的点轨迹长度为
三、填空题
19．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知向量，向量，则在上的投影向量是__________（注：本题答案用坐标表示）
20．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知在中，是斜边的中点，则__________.
21．（24-25高一下·浙江·期中）已知菱形的边长为2，设，若恒成立，则菱形面积的取值范围是______．
四、解答题
22．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量和满足以下条件：
(1)求和；
(2)若且，求实数的值；
(3)若且，，求．
23．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.

(1)用表示；
(2)求证：三点共线.
24．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在等腰梯形中，，是的中点，在线段上（含边界），和相交于点，令、，

(1)若是的中点，用和表示；
(2)若，求并求的取值范围．
25．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足.
(1)求向量在坐标系中的坐标；
(2)若，，求向量在坐标系中的坐标；
(3)求的最小值.
26．（24-25高一下·浙江丽水·期中）如图，在梯形中，，，，E是边上一点（含端点），与交于点F，设，.

(1)若E与点C重合，求x，y的值；
(2)若，求的值；
(3)若存在点E，使得，求的取值范围.
27．（24-25高一下·浙江宁波·期中）对于一组向量，，，……，，（且），令，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“长向量”.
(1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；
(2)若，且，向量组，，，……，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
(3)若对于一组向量，，，……，（且），记已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证：.
(
地
城
考点0
4
平面向量在几何、物理中的应用
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（ ）
A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值
C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一下·浙江·期中）已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·浙江·期中）已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（ ）.
A．. B．. C．. D．.
二、多选题
6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ）
参考数据：

A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时，
B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min
C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min
D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短
7．（22-23高一下·浙江杭州·期中）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则O是的外心
C．若，则为钝角三角形
D．若，，则
8．（23-24高一下·浙江杭州·期中）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
三、填空题
9．（24-25高一下·浙江·期中）已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是__________．
10．（23-24高一下·浙江·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形边长为2，点P为圆弧上的一点，且满足：，则的值为__________．
11．（22-23高一下·浙江·期中）已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是______．
四、解答题
12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）（1）若，求；
（2）若，为单位向量，，的夹角为，求和函数，的最小值；
（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．
①直径所对的圆周角是直角；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．
13．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.

(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若向量，求实数x，y的值；
(3)若向量与的夹角为，求的最小值.
14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．
15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，.
(1)设，，计算和；
(2)设，，求证：；
(3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值.
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