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专题03 复数
7大高频考点概览
考点01 复数的概念
考点02 复数的四则运算（含加减法的几何意义）
考点03 复数的乘方
考点04 复数范围内方程的根
考点05 与复数模相关的轨迹（图形）问题
考点06 复数的综合运算
考点07 复数新定义问题
(
地
城
考点01
复数的概念
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由复数的乘法运算和虚部的概念可得结果.
【详解】由题意，，所以的虚部为4.
故选：C.
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若，，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据复数相等的定义，即可求解.
【详解】由得，所以，，所以.
故选：A
3．（24-25高一下·浙江·期中）若复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】应用复数的乘法求复数，进而求复数的模.
【详解】由题设，则.
故选：A
4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部.
【详解】因为，则，
因此，复数的虚部为.
故选：A.
5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）复数（）表示纯虚数，则实数m的值为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】根据纯虚数定义列式计算即可求解.
【详解】复数（）表示纯虚数，
则且不是3，所以.
故选：A.
6．（23-24高一下·浙江宁波·期中）复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数除法法则得到，得到复数对应点坐标，求出所在象限.
【详解】，
所以在复平面内所对应的点坐标为，在第三象限.
故选：C
7．（23-24高一下·浙江·期中）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复数模的运算和商的运算化简复数，然后根据虚部的概念求解即可.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
故选：B
二、多选题
8．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知复数：满足，则（ ）
A． B．的实部为1
C．的共轭复数为 D．在复平面中对应的点位于第四象限
【答案】ABD
【分析】根据代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念及几何意义判断即可.
【详解】因为，所以，
的实部为1，虚部为1，故B正确；
，故A正确；
的共轭复数为，故C不正确；
在复平面中对应的点位于第四象限，故D正确.
故选：ABD.
9．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是虚数单位，若，则（ ）
A．复数的虚部为 B．复数对应的点在第二象限
C． D．
【答案】CD
【分析】利用复数的四则运算法则求得，进而逐项计算判断即可.
【详解】由，得，
乘开移项整理得：，故，
对于A，因复数的虚部为，故A错误；
对于B，因，则复数对应的点位于第一限，故B错误；
对于C，由，可得，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：CD.
10．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知为非零实数，复数，，则（ ）
A．的实部为 B．的最小值为
C． D．当时，
【答案】BC
【分析】利用复数的四则运算法则逐项计算判断ABC；根据两虚数不能比较大小判断D.
【详解】因为复数，，所以，
所以的实部为，故A错误；
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故B正确；
因为，所以，
，所以，故C正确；
当时，，则，又，根据两虚数不能比较大小，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为______.
【答案】/
【分析】根据题意，化简复数为，结合复数是纯虚数，得到，即可求解.
【详解】由复数，
因为复数是纯虚数，所以，
解得，经检验符合题意，.
故答案为：.
12．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则实数的值为______.
【答案】0
【分析】先求出，再结合纯虚数的定义求解即可.
【详解】由题意，，，
所以，
因为为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：0.
四、解答题
13．（24-25高一下·浙江·期中）设复数，，为虚数单位.
(1)若，求；
(2)若是实数，求.
【答案】(1)5i
(2)
【分析】（1）根据共轭复数以及复数的乘法，可得答案；
（2）根据复数除法整理其为标准式，由实数的定义，建立方程，利用模长公式，可得答案.
【详解】（1）.
（2），
因为，所以，所以，故.
14．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，其中为虚数单位．
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若，设，，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据纯虚数的定义列出关于方程，求解即可；
（2）根据题意得出复数及共轭复数，利用复数的乘除法计算即可.
【详解】（1）由题意，因为z是纯虚数，所以有，
解得.
（2）因为，所以，，
则，
所以，.
则.
15．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，.
(1)若是实数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）利用复数的除法运算化简，然后令虚部为零，求解；
（2）利用复数的乘法运算化简，根据象限内实部虚部的符号建立不等式组求解.
【详解】（1）解：
，， ；
（2）解：
在复平面内对应的点在第四象限
，.
(
地
城
考点02
复数的四则运算（含加减法的几何意义）
)
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.
【详解】
.
故选：A
2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的四则运算法则计算即得.
【详解】.
故选：A.
3．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）若复数（i为虚数单位），则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先对复数化简，然后再求它的共轭复数.
【详解】因为，
所以的共轭复数为.
故选：B.
4．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知i为虚数单位，若复数，则（ ）
A．复数为 B．
C．复数虚部为 D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】B
【分析】将复数利用复数的四则运算转化为的形式，逐项判断即可.
【详解】
对于A， ，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，复数虚部为，故C错误；
对于D，复数在复平面内对应的点是，位于第三象限，故D错误.
故选：B.
5．（24-25高一下·浙江·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
6．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据得，进而得到，结合模的计算公式求出，进而得到答案.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以当时，有最小值，最小值为，
故选：D.
二、多选题
7．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知复数z，，其中i为虚数单位，则以下命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【分析】结合共轭复数和复数的运算法则可判断AB.利用模的计算求解可判断CD.
【详解】设
若则所以A正确.
若，则所以所以B错误.
若，则，所以.所以C正确.
若，取则所以D错误.
故选：AC.
8．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，均不为0，复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】依题意设，由共轭复数的定义以及模长公式利用复数运算法则对选项逐一计算进行验证即可求得结果.
【详解】根据题意，不妨设，且和不同时为零；
对于A，，
又，即可得，所以A正确；
对于B，，
而，因为不一定成立，所以B错误；
对于C，，
，因此，即C正确；
对于D，易知
，
又，所以，即D正确.
故选：ACD
三、解答题
9．（24-25高一下·浙江台州·期中）已知复数满足：
(1)求复数；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据复数相等可得答案；
（2）利用复数的除法运算可得答案．
【详解】（1）设，，
；
（2）原式．
10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，试证明下列结论.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据共轭复数的概念求得，，利用复数的乘法法则得，利用复数模的运算得，即可证明；
（2）利用复数商的运算法则及模的运算得，根据复数模的运算求得，即可证明；
（3）利用复数加减运算法则及模的运算得，利用复数模的运算得，即可证明.
【详解】（1）因为，所以，所以，
而，所以，所以；
（2）因为，
所以，
，
故；
（3）因为，
所以，
所以，
而，所以，
所以.
(
地
城
考点0
3
复数的乘方
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）若复数满足，则的实部与虚部之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘方和除法可求，从而可求其实部和虚部的和.
【详解】由题设有，故，
所以，故，
故的实部与虚部之和为，
故选：C.
2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共轭复数，最后求出对应点的坐标即可得解.
【详解】由题意，所以，
则复数在复平面内对应的点在第四象限.
故选：D.
二、填空题
3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知i是虚数单位，则_________．
【答案】
【分析】先计算出代数形式，然后再求模.
【详解】，
则，
故答案为：.
4．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数满足:，则______________.
【答案】3
【分析】借助复数的乘方运算与四则运算法则计算后，结合复数模长公式计算即可得.
【详解】因为，
所以，故.
故答案为：3.
5．（23-24高一下·浙江·期中）设复数，则______．
【答案】
【分析】根据复数的四则运算结合的性质运算求解.
【详解】因为，则，
两式相减得，所以.
故答案为：.
三、解答题
6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数.
(1)设复数，求；
(2)设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由复数的共轭、纯虚数、模的概念以及乘除法运算易得结果；
（2）由复数的运算以及复数的几何意义可得结果.
【详解】（1）.
又为纯虚数，，解得.
；
（2），
又复数所对应的点在第一象限，
，解得：.
(
地
城
考点0
4
复数范围内方程的根
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数是关于x的方程的一个根，则等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】由复数是关于x的方程的一个根，可得另一个根为，用韦达定理和模长公式即可得到结果.
【详解】因为复数是关于x的方程的一个根，
则另一个根为，由韦达定理得：，即：，
故，
故选：B
二、填空题
2．（24-25高一下·浙江衢州·期中）已知复数是方程的一个根，则复数的模的值为__________.
【答案】
【分析】求出复数后利用公式可求其模.
【详解】即为，故，
故，
故答案为：
3．（23-24高一下·浙江温州·期中）若复数是方程的一个根，则的虚部为__________．
【答案】
【分析】首先求出方程的虚根，再由复数代数形式的乘法运算化简，即可判断其虚部.
【详解】方程，即，解得或，
若，则，所以的虚部为；
若，则，所以的虚部为；
综上可得的虚部为.
故答案为：
4．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程，的根，则________．
【答案】
【分析】设，根据向量的模求出，即可得到，再由韦达定理计算可得.
【详解】设，则，解得，
所以或，
因为是关于的方程，的根，
所以，所以，
所以.
故答案为：
三、解答题
5．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为实数．
(1)求的值；
(2)设复数满足是纯虚数，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由方程根的定义，将代入，再根据复数相等的意义列式求出的值；
（2）根据复数的乘法计算，再根据纯虚数的概念列式求解即可.
【详解】（1）由得
，
所以，解得
（2）由题可知，是纯实数，
所以，解得．
6．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知复数不是纯虚数，且满足.
(1)求
(2)若复数是关于的方程（其中，为实数）的根，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，代入计算，利用复数相等的条件计算即可求得；
（2）利用复数是方程的一个根，从而得出另一个根，再利用韦达定理即可求出结果.
【详解】（1）由已知，设
代入并整理得：
，
解得，所以，
所以.
（2）由（1）可得，由是方程的根，
所以也是方程的根，
由一元二次方程根与系数的关系得，
得，解得，，则.
7．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，且为纯虚数
(1)求实数及；
(2)若是关于x的方程的一个根，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）化简，结合纯虚数的定义求出，再利用复数的模长公式即可；
（2）将代入一二次方程中，再利用复数相等的概念列出方程组即可求出
【详解】（1）由题意可知，，
则
因是纯虚数，则且，得
则，得.
（2）由题意可知，，
则，
则且，
得，，故.
8．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知复数，为虚数单位．
(1)求；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值；
(3)若复数满足，求的最值．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1）根据复数的除法运算及加法运算求出，再根据共轭复数的定义即可得解；
（2）法一：将代入即可得解；
法二：根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解；
（3）设，根据复数的模的计算公式求出复数对应的点的轨迹方程，进而可得出答案.
【详解】（1），
所以；
（2）法一：因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
可得，即
所以，解得，；
法二：若复数是关于的方程的一个根，则是该方程的另一个根，
根据韦达定理得，，
解得；
（3）设，则，即，
所以复数对应的点是以为圆心，为半径的圆，
表示复数对应的点与点间的距离，
，
则，.
(
地
城
考点0
5
与复数模相关的轨迹（图形）问题
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解．
【详解】令，
因为，所以，
即点在以为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内，
所以在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
二、填空题
2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为_________．
【答案】6
【分析】由复数的几何意义求解即可.
【详解】设(为实数)，
则复数满足的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点，
则表示的几何意义是圆上的点到的距离，
根据圆的性质可知，所求最大值为.
故答案为：6.
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，满足，，则的最大值为______.
【答案】/
【分析】设，根据题意求得，根据复数的几何意义求得对应点的轨迹，再根据几何意义求目标式的最大值.
【详解】令复数，，，则，
所以，所以，，即.
又因为，即在复平面内，复数所对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
又点到点的距离为，
所以的最大值为.
故答案为：.
4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数满足，则的最小值为________．
【答案】/
【分析】根据复数差的模的几何意义可得的最小值，
【详解】因为，故对应的点的轨迹为点和点为端点的线段中垂线，
故对应的点的轨迹方程为直线，
而，故对应的点的轨迹为圆，其圆心为，半径为，
两个轨迹曲线如图所示：
圆心到轨迹直线的距离为，
故圆上的动点到轨迹直线的距离的最小值为，
而的几何意义即为对应的点与对应的点的连线段的长度，
故其最小值即为，
故答案为：
5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为______.
【答案】/
【分析】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值.
【详解】设，则，由，得，
整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线，
由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，，
而表示在复平面内复数对应点的距离，
所以的最小值为.
故答案为：
6．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数，满足，，则的最大值为______．
【答案】/
【分析】由题可得表示以A为圆心，半径为1上的点到原点的距离，据此可得答案.
【详解】设，则，
则，即B在以A为圆心，半径为1的圆上，
则表示圆上点B到原点的距离，
由图可得当B，A，O三点共线时取最大值，为.
故答案为：.
(
地
城
考点0
6
复数的综合运算
)
一、多选题
1．（24-25高一下·浙江台州·期中）下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A．
B．若，则的虚部为
C．若，则为纯虚数
D．若是关于的方程（p，）的一个根，则
【答案】AC
【分析】根据复数模的运算可判断A的正误，对于BC，求出后可判断B，乘方后可判断C，对于D，将根代入方程后可求后可判断其正误.
【详解】对于A，设，则，故，故A正确；
对于BC，，故的虚部为，故B错误；
而，故为纯虚数，故C正确；
对于D，将代入方程后得，
整理得：，而为实数，故，
故，故D错误.
故选：AC
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A． B．，则
C． D．
【答案】AC
【分析】对A，由虚数单位的次方规律求解判断；对B，由复数的虚部不为0时，复数不能比较大小判断；对C，根据复数的乘法运算和复数的模计算公式求解判断；对D，举反例说明.
【详解】对于A，因为的取值是以4为周期，所以，故A正确；
对于B，当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，如，，故B错误；
对于C，设，则，所以，故C正确；
对于D，举反例，如，则，而，故D错误.
故选：AC.
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）以下复数运算一定成立的是（ ）
A． B．（、均不为）
C． D．
【答案】ABC
【分析】令，，可得出，，再利用复数的运算与复数的模长公式逐项判断即可.
【详解】对于A选项，令，，
则，，，
所以，
，，
所以，A对；
对于B选项，
，B对；
对于C选项，，，故，C对；
对于D选项，不妨取，则，，故，D错.
故选：ABC.
4．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，，下列结论正确的有（）
A．
B．若，则
C．若，则，为共轭复数
D．若，则表示复数的点围成的图形面积为
【答案】AD
【分析】对于A,假设复数，通过运算即可判断正误；对于B,举特殊例子说明即可；对于C,假设复数,,通过运算可得虚部相反，但实部未必相等，进而可以判断；对于D,根据复数的模几何意义即可求解.
【详解】对于，设,
则，故A正确；
对，当时，，但，故B错误；
对于，设
则,
，即，但与不一定相等，故C错误；
对于，设，
则,即，
复数在复平面上对应的点围成的图形是以为圆心，1为半径的圆，
其围成的图形面积为.
故选：AD.
5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若是关于的方程的根，则
【答案】CD
【分析】由的值周期为4，可得A选项；由虚数不能比大小，可得B选项；设（为实数），可计算得C选项；由虚根成对和韦达定理可得D选项.
【详解】因为,所以 ，所以，故A错；
由于虚数不能比大小，所以B错；
设（为实数）则，故C对；
若是关于的方程的根，则也是关于的方程的根，
由根与系数的关系，，所以，故D对.
故选：CD
6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若复数，则（ ）．
A．
B．z在复平面内对应的点位于第三象限
C．
D．复数满足，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据复数除法运算化简，结合复数的几何意义和模长公式可判断ABC；利用复数的几何意义可判断D.
【详解】对A，，正确；
对B，对应复平面内的点为，位于第四象限，错误；
对C，由复数模长公式得，正确；
对D，设，则，
又，所以，所以对应复平面上的点在圆心为原点的单位圆上，
又表示点和之间的距离，
所以，的最大值等于原点和之间的距离加1，
即，正确.
故选：ACD
7．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，则点z的集合所构成的图形的面积为
【答案】ACD
【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；由复数的大小关系判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的模的几何意义判断选项D.
【详解】设，,
对于A，，，故选项A正确；
对于B，当为虚数时，可以比较大小，不能比较大小，故选项B不正确；
对于C，由复数模的运算性质可知，
，
，
所以，故选项C正确；
对于D，若，则复平面内点z的集合所构成的图形是以为圆心，半径为1和的两圆之间的圆环，
面积为，故选项D正确.
故选：ACD
8．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知是复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C． D．
【答案】BCD
【分析】由共轭复数的概念，复数模长的计算逐个判断即可.
【详解】设，，
对于A：取时，满足，但不能得出，故A错误；
对于B：，
，
，
所以，
若， ，所以或，可得或，故B正确；
对于C： ，
所以
，两式相等，故C成立.
对于D：，
，
故正确；
故选：BCD
9．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知为复数，，则以下说法正确的有（ ）
A．
B．
C．互为共轭复数
D．若，则的最大值为6
【答案】ACD
【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合复数模、共轭复数的意义计算判断AC；举例说明判断B；利用复数的几何意义求出最大值判断D.
【详解】设复数，
对于A，，
，A正确；
对于B，取，则，B错误；
对于C，，
，互为共轭复数，C正确；
对于D，在复平面内，是表示复数的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，
是上述圆上的点与复数对应点的距离，
而点到原点的距离为，的最大值为，D正确.
故选：ACD
10．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为虚数，则也为虚数
B．
C．若，则的最大值为
D．
【答案】ABD
【分析】对于A，由为虚数，得为虚数，从而可判断A，对于B，设，然后分别求解进行判断，对于C，由进行判断，对于D，根据复数的向量表示及向量三角不等式分析判断.
【详解】对于A，因为为虚数，为实数，所以为虚数，所以也为虚数，所以A正确；
对于B，设，则
，
，
所以，
，
所以，所以B正确，
对于C，当时，满足，此时，所以C错误；
对于D，设对应的向量分别为，则由向量三角不等式得，
所以恒成立，所以D正确，
故选：ABD
(
地
城
考点0
7
复数新定义问题
)
一、多选题
1．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，（，为虚数单位），，定义：，，则下列说法正确的有（ ）
A．若是复数的共轭复数，则恒成立
B．对任意，都有恒成立
C．存在，有成立
D．对任意，都有恒成立
【答案】ABD
【分析】利用共轭复数及复数的运算法则，结合新定义逐一计算即可求解.
【详解】对于A，，则，则，故A正确；
对于B，，
，，所以，故B正确；
对于C，设，
，
，
，，
，
由绝对值不等式可得，故C错误；
对于D，设，则
，，，由，，得恒成立，故D正确．
故选：ABD．
2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（ ）
A． B．复数对应的点位于第二象限
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出，即可判断A；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据共轭复数的定义即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，，故A错误；
对于B，，而，则、，
故位于第二象限，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，所以，
又因为，所以，故D正确．
故选：BCD．
3．（24-25高一下·浙江台州·期中）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项.
【详解】设，其中，则，
故，，
∵，∴，故，则
故，则，
故，故BD正确，AC错误；
故选：BD.
4．（24-25高一下·浙江·期中）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（ ）
A．
B．是方程的虚数根，则
C．，则的范围为
D．满足的复数z有且只有2个
【答案】ABD
【分析】根据复数三角函数形式即可判断A;通过解方程求解验证即可判断B,利用复数用三角函数形式表示复数，然后根据模的公式求出模，最后利用余弦函数的有界性求出范围即可判断C；根据复数的几何意义求出交点即可判断D;
【详解】对于A；由，
复数 位于第二象限，其辐角为，
所以，故A对；
由得或，
由得，
因为是方程的虚数根，
不妨设，
所以，故B对；
因为，令，
则
，
又，故C错；
的解是单位圆上的 2025 次单位根，
即所有复数 z满足且辐角为，其中，
所以，这些点均匀分布在单位圆上，
令，所以是6 次单位根：
，
所以，
这些点是以 1 为中心、半径为 1 的圆上的 6 个点，
因为，
所以，即，
在，中，满足的为：，
此时
或，
综上，满足条件的复数共2个；故D对；
故选：ABD
二、解答题
5．（24-25高一下·浙江·期中）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，.
(1)当时，解关于的方程：.
(2)当时，①若，求的最小值.
②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)①；②.
【分析】（1）由题设得，将方程化为求解即可；
（2）①令（，且），进而得到，且，结合求最值；②令（且，，），进而得到得代数形式，结合复数的性质有，进而有，即可得范围.
【详解】（1）当时，，则.
由，整理得，则；
（2）①令（，且），因为，所以.
，
因为，所以.
因为，当时，.
②当时
令（且，，），
则
，
要使的恒成立，所以，即，
所以，则对应点在以为圆心，1为半径的圆周上(不含横坐标为5，纵坐标为12的点)，
所以.
6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将写成三角形式（辐角取主值）．
(2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．
①当时，解关于x的方程；
②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数M，使得成立，复数x在复平面上对应的点为A，点，以为边作等边，且Q在的上方，求线段的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②线段的最大值为3.
【分析】（1）根据复数代数形式与三角形式的对应关系求解；（2）将等边三角形转化为绕顺时针方向旋转得到，利用复数的三角形式进行运算，然后得到点坐标，再求的最大值.
【详解】（1）由，且，，解得：，
所以的三角形式为：.
（2）①当时，，整理得，
解得： ；
②设，
则当时，
因为存在实数，使得成立，所以，
因为，所以，
此时，符合题意，
所以点的轨迹方程为，即的轨迹是单位圆的一部分.
设，表示的复数为，表示的复数为，
因为，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以
，
所以当时，取得最大值.
【点睛】新定义问题，要准确理解定义，并将所求问题转换为新定义内容去解决.
7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，.
(1)若，求出，；
(2)如图，若，以为边作正方形.
（ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由；
（ⅱ）若在上方，且向量，求证：.
【答案】(1)，
(2)（ⅰ）存在，；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，.
（2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可.
（ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可.
【详解】（1）连接，因为四边形，，
所以，又，所以，即，
因为，
所以，
，
所以，.
（2）设，，则，
设对应的复数为，则，
（ⅰ）设对应的复数为，，
设对应的复数为，所以，
所以，
由已知可得，
所以，又，所以，所以.
（ⅱ）设对应的复数为，
所以，
所以，又，，，
所以
所以，
所以，所以，又，
所以，所以的范围为.
【点睛】方法点睛：求函数最值的问题，常用的方法有：
（1）转化为二次函数在给定区间上的值域，求解；
（2）利用基本（均值）不等式求解；
（3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解；
（4）分析函数的单调性，利用单调性求值域.
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专题03 复数
7大高频考点概览
考点01 复数的概念
考点02 复数的四则运算（含加减法的几何意义）
考点03 复数的乘方
考点04 复数范围内方程的根
考点05 与复数模相关的轨迹（图形）问题
考点06 复数的综合运算
考点07 复数新定义问题
(
地
城
考点01
复数的概念
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．4 D．
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若，，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（24-25高一下·浙江·期中）若复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B．2 C． D．1
4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）复数（）表示纯虚数，则实数m的值为（ ）
A． B．
C． D．或
6．（23-24高一下·浙江宁波·期中）复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（23-24高一下·浙江·期中）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知复数：满足，则（ ）
A． B．的实部为1
C．的共轭复数为 D．在复平面中对应的点位于第四象限
9．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是虚数单位，若，则（ ）
A．复数的虚部为 B．复数对应的点在第二象限
C． D．
10．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知为非零实数，复数，，则（ ）
A．的实部为 B．的最小值为
C． D．当时，
三、填空题
11．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为______.
12．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则实数的值为______.
四、解答题
13．（24-25高一下·浙江·期中）设复数，，为虚数单位.
(1)若，求；
(2)若是实数，求.
14．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，其中为虚数单位．
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若，设，，求的值．
15．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，.
(1)若是实数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
(
地
城
考点02
复数的四则运算（含加减法的几何意义）
)
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）复数（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）若复数（i为虚数单位），则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知i为虚数单位，若复数，则（ ）
A．复数为 B．
C．复数虚部为 D．在复平面内对应的点位于第二象限
5．（24-25高一下·浙江·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、多选题
7．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知复数z，，其中i为虚数单位，则以下命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，均不为0，复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
9．（24-25高一下·浙江台州·期中）已知复数满足：
(1)求复数；
(2)求的值．
10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，试证明下列结论.
(1)；
(2)；
(3).
(
地
城
考点0
3
复数的乘方
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）若复数满足，则的实部与虚部之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知i是虚数单位，则_________．
4．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数满足:，则______________.
5．（23-24高一下·浙江·期中）设复数，则______．
三、解答题
6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数.
(1)设复数，求；
(2)设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
(
地
城
考点0
4
复数范围内方程的根
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数是关于x的方程的一个根，则等于（ ）
A． B． C． D．5
二、填空题
2．（24-25高一下·浙江衢州·期中）已知复数是方程的一个根，则复数的模的值为__________.
3．（23-24高一下·浙江温州·期中）若复数是方程的一个根，则的虚部为__________．
4．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程，的根，则________．
三、解答题
5．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为实数．
(1)求的值；
(2)设复数满足是纯虚数，求实数的值．
6．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知复数不是纯虚数，且满足.
(1)求
(2)若复数是关于的方程（其中，为实数）的根，求.
7．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，且为纯虚数
(1)求实数及；
(2)若是关于x的方程的一个根，求的值.
8．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知复数，为虚数单位．
(1)求；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值；
(3)若复数满足，求的最值．
(
地
城
考点0
5
与复数模相关的轨迹（图形）问题
)
一、单选题
1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为_________．
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，满足，，则的最大值为______.
4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数满足，则的最小值为________．
5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为______.
6．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数，满足，，则的最大值为______．
(
地
城
考点0
6
复数的综合运算
)
一、多选题
1．（24-25高一下·浙江台州·期中）下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A．
B．若，则的虚部为
C．若，则为纯虚数
D．若是关于的方程（p，）的一个根，则
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A． B．，则
C． D．
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）以下复数运算一定成立的是（ ）
A． B．（、均不为）
C． D．
4．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，，下列结论正确的有（）
A．
B．若，则
C．若，则，为共轭复数
D．若，则表示复数的点围成的图形面积为
5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若是关于的方程的根，则
6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若复数，则（ ）．
A．
B．z在复平面内对应的点位于第三象限
C．
D．复数满足，则的最大值为
7．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，则点z的集合所构成的图形的面积为
8．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知是复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C． D．
9．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知为复数，，则以下说法正确的有（ ）
A．
B．
C．互为共轭复数
D．若，则的最大值为6
10．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为虚数，则也为虚数
B．
C．若，则的最大值为
D．
(
地
城
考点0
7
复数新定义问题
)
一、多选题
1．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，（，为虚数单位），，定义：，，则下列说法正确的有（ ）
A．若是复数的共轭复数，则恒成立
B．对任意，都有恒成立
C．存在，有成立
D．对任意，都有恒成立
2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（ ）
A． B．复数对应的点位于第二象限
C． D．
3．（24-25高一下·浙江台州·期中）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·浙江·期中）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（ ）
A．
B．是方程的虚数根，则
C．，则的范围为
D．满足的复数z有且只有2个
二、解答题
5．（24-25高一下·浙江·期中）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，.
(1)当时，解关于的方程：.
(2)当时，①若，求的最小值.
②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围.
6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将写成三角形式（辐角取主值）．
(2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．
①当时，解关于x的方程；
②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数M，使得成立，复数x在复平面上对应的点为A，点，以为边作等边，且Q在的上方，求线段的最大值．
7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，.
(1)若，求出，；
(2)如图，若，以为边作正方形.
（ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由；
（ⅱ）若在上方，且向量，求证：.
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