资源简介

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专题02 平面向量综合
7大高频考点概览
考点01基本概念及简单的线性运算
考点02平行与垂直
考点03投影向量
考点04模长与夹角
考点05数量积及其应用
考点06线性运算与平面向量基本定理
考点07范围综合
(
考点01
基本概念及简单的线性运算
)
一、单选题
1．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．零向量没有方向
D．若，是两个平行向量，则，也是共线向量
2．已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）化简以下各式，结果不是零向量的为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）下列命题：
①若都是非零向量，则；
②的充要条件是且；
③为实数，若，则与共线；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件．
其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(
考点02
平行与垂直
)
单选题
5．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）已知，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．-2 D．±2
6．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（ ）
A． B． C． D．1
8．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
多选题
9．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）已知，，设，，则下列说法正确的是（ ）
A．若 与垂直，则 B．若 与平行，则
C．若与的夹角为钝角，则 D．若，则
填空题
10．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）已知向量，，，若，，则_____．
11．（24-25高一下·武汉七校·期中）已知是两个不共线的向量，向量.若，则__________.
12．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知向量，，且，则______；
解答题
13．（24-25高一下·湖北松滋贺炳炎中学·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，．
(1)求证：，，三点共线；
(2)若，且，求实数的值．
(
考点03
投影向量
)
单选题
14．（24-25高一下·荆州成丰学校·期中）已知向量，在上的投影向量为，则（ ）
A． B．8 C．4 D．
15．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）已知向量，，则在方向的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25高一下·武汉七校·期中）已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
(
考点04
模长与夹角
)
单选题
18．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，设，则（ ）
A．3 B． C． D．
19．（24-25高一下·湖北·期中）已知，，与的夹角为，那么（ ）
A．2 B．6
C． D．12
20．（2004·福建·高考）若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
多选题
21．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知向量，，记向量，的夹角为，则（ ）
A．若为钝角，则 B．若为锐角，则
C．当时，为直角 D．当时，为平角
22．（25-26高一·湖北宜昌部分省级示范高中·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若、可以作为基底，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则
D．若与的夹角为，则或
23．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）已知，是夹角为的两个单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
24．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）若向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为
填空题
25．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）已知，，则在方向上的投影向量为________.
26．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知向量满足：，则在上的投影向量的坐标为______．
解答题
27．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）已知向量，满足：，，.
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若，求实数的值.
28．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）已知，，且．
(1)求与的夹角．
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
29．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）在中，已知，，.，分别是，上的点，且，，与相交于点，.
(1)求实数的值；
(2)求的余弦值.
30．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知平面向量，其中是夹角为的单位向量．
(1)当，求与夹角的余弦值；
(2)若与夹角为钝角，求的取值范围．
31．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）已知向量，满足.
(1)求与的夹角；
(2)若，求实数的值；
(3)求与夹角的余弦值.
32．（24-25高一下·仙桃田家炳实验高级中学·期中）已知，
(1)若，求的值；
(2)若，求的大小；
(3)若，求的大小.
33．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知向量，满足，
(1)求；
(2)求与的夹角余弦值；
(3)求向量在向量上的投影向量的坐标.
(
考点05
数量积及其应用
)
单选题
34．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）已知，，，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
35．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）中，角所对的边分别为，若分别为的外心和重心，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
填空题
36．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）如图，在平面四边形中，点分别是线段的中点，为平面内一点，且，则_______．

37．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则______.
38．在中，角的对边分别为，则___________．
解答题
39．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）在中，，，，设，，，．
(1)用表示，并求．
(2)已知点M在线段AE上，且，若，求k的值．
40．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，；
(1)若，试用向量，表示，；
(2)若，求的面积.
41．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．
(1)以为基底表示；
(2)若，求的值．
(
考点06
线性运算与平面向量基本定理
)
单选题
42．（24-25高一下·湖北部分省级示范高中·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
43．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）点在线段上（异于A，C两点），为直线外一点，若，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．12
44．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
45．（24-25高一下·武汉七校·期中）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
46．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
47．（24-25高一下·武汉新洲·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
48．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
多选题
49．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ）
A．当点在线段上移动时，
B．满足的点有且只有一个
C．满足的点有两个
D．最大值为3
50．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（ ）
A． B．点为的重心
C． D．
填空题
51．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）在中，，，若，则________.
52．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为_________．
(
考点07
范围综合
)
单选题
53．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
54．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
多选题
55．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时，
56．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）如图，已知直线，点A是之间的一个定点，点A到的距离分别为1，2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（ ）

A．
B．当时，
C．面积的最小值是1
D．
填空题
57．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为________．
58．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为_____.
59．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知，，，点在直线上运动，则的最小值为______．
60．（24-25高一下·湖北部分省级示范高中·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是___________．
61．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为__________．
解答题
62．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）如图，在梯形ABCD中，，，E，F分别为DC，CB的中点，且P是线段AB上的一个动点．
(1)求AD；
(2)求∠EAF；
(3)求的取值范围．
63．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）如图所示，在中，，，，，．
(1)求的值．
(2)线段上是否存在一点，使得 若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(3)若是内一点，且满足，求的最小值．
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专题02 平面向量综合
7大高频考点概览
考点01基本概念及简单的线性运算
考点02平行与垂直
考点03投影向量
考点04模长与夹角
考点05数量积及其应用
考点06线性运算与平面向量基本定理
考点07范围综合
(
考点01
基本概念及简单的线性运算
)
一、单选题
1．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．零向量没有方向
D．若，是两个平行向量，则，也是共线向量
【答案】D
【分析】由相等向量、零向量及共线向量的概念逐个判断即可.
【详解】对于AB，两个向量大小相等，方向相同即为相等向量，故AB错误；
对于C，零向量的方向是任意，故C错，
对于D，平行向量又称共线向量，正确，
故选：D
2．已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据单位向量的定义求与向量方向相反的单位向量.
【详解】由题设，与向量方向相反的单位向量是.
故选：D
3．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）化简以下各式，结果不是零向量的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：
，故D正确；
故选：B
4．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）下列命题：
①若都是非零向量，则；
②的充要条件是且；
③为实数，若，则与共线；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件．
其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由向量的数量积的定义可判断①；由且，可得或，从而得且是的必要不充分条件，即可判断②；举反例即可判断③；由及是不共线的四点，可得四边形为平行四边形；由四边形为平行四边形，可得且是不共线的四点，即可判断④.
【详解】对于①，向量的数量积不满足结合律，故①错；
对于②，且或，
所以，且是的必要不充分条件，故②错；
对于③，当时，与可以为任意向量，满足，
但与不一定共线，故③错误；
对于④，若是不共线的四点，
当时，则且，
此时，四边形为平行四边形；
当四边形为平行四边形时，
由相等向量的定义可知，
所以，若是不共线的四点，
则是四边形为平行四边形的充要条件，故④对．
故选：A.
(
考点02
平行与垂直
)
单选题
5．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）已知，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．-2 D．±2
【答案】C
【分析】根据平面平行向量的坐标表示建立方程，解之即可求解.
【详解】因为，
所以，解得.
故选：C
6．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线定理、数量积及模长的坐标运算依次判断各项的正误.
【详解】A：由题设，不存在实数，使，故不共线，错；
B：由，错；
C：因为，
所以，即，对；
D：，错.
故选：C
7．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据向量共线得到方程，从而得到或，经过检验，排除不合要求的值，得到答案.
【详解】由，不共线，易知向量为非零向量，
由向量与方向相同，
可知存在实数，使得，即.
由，不共线，必有，
否则，不妨设，则.
由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾.
由，解得或，
当时，两向量分别为，，方向相反，与题意不符.
当时，，，方向相同，符合题意.
因此，当向量与方向相同时，
故选：B
8．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量共线的坐标表示建立方程，即可求得.
【详解】因为，
所以，，
又，
所以，解得.
故选：A.
多选题
9．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）已知，，设，，则下列说法正确的是（ ）
A．若 与垂直，则 B．若 与平行，则
C．若与的夹角为钝角，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】根据向量的数量积的坐标表示，和向量共线的坐标表示求参数，判断选项正误.
【详解】由题知，，
对A，由，得，所以A错误；
对B，由，得，B正确；
对C，由，得，又时，反向，
所以，所以C错误；
对D，若，则，，
所以，得，所以，D正确．
故选：BD．
填空题
10．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）已知向量，，，若，，则_____．
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算，向量共线及向量垂直的坐标公式列出方程组即可求解．
【详解】由题可得，，，
因为，，所以①，②，
①②得，
故答案为：．
11．（24-25高一下·武汉七校·期中）已知是两个不共线的向量，向量.若，则__________.
【答案】-2
【分析】根据向量平行，设，从而得到方程组，求出答案.
【详解】因为，所以设，
故，解得.
故答案为：-2
12．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知向量，，且，则______；
【答案】
【分析】直接根据向量共线的坐标运算列式求解即可.
【详解】因为向量，，且，所以，解得.
故答案为：
解答题
13．（24-25高一下·湖北松滋贺炳炎中学·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，．
(1)求证：，，三点共线；
(2)若，且，求实数的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先求出，即可得到，从而得证；
（2）设，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】（1）因为，，，
所以，
所以，即，
又与有公共点，所以，，三点共线．
（2）由（1）可知，又，
因为，设，
，又，是两个不共线的向量，
所以，解得．
(
考点03
投影向量
)
单选题
14．（24-25高一下·荆州成丰学校·期中）已知向量，在上的投影向量为，则（ ）
A． B．8 C．4 D．
【答案】A
【分析】由数量积的几何意义可判断选项正误.
【详解】由得，根据在上的投影向量为，可知在上的投影的数量为，
故根据数量积的几何意义，等于与在上的投影的数量的乘积，
故．
故选：A．
15．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，，再利用投影向量的定义求解即可.
【详解】因为向量，，
所以，，
则向量在向量上的投影向量为，
故选：A.
16．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）已知向量，，则在方向的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义结合向量的运算求解即可.
【详解】在方向的投影向量为.
故选：A
17．（24-25高一下·武汉七校·期中）已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解，再根据投影向量的公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A
(
考点04
模长与夹角
)
单选题
18．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，设，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得到，将用完全平方公式展开计算即得.
【详解】因为，即，
所以，
又，
可得．
故选：C
19．（24-25高一下·湖北·期中）已知，，与的夹角为，那么（ ）
A．2 B．6
C． D．12
【答案】C
【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的模的运算公式计算即可.
【详解】因为|，
所以.
故选：C.
20．（2004·福建·高考）若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，，得，，化简后再结合两向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】设与的夹角是，，，即 ①，
又，，即 ②，
由①②知，，
，所以与的夹角为.
故选：B
多选题
21．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知向量，，记向量，的夹角为，则（ ）
A．若为钝角，则 B．若为锐角，则
C．当时，为直角 D．当时，为平角
【答案】BD
【分析】对于A，由题意得且向量，不共线，从而可求出，对于B，由题意得且向量，不共线，从而可求出，对于C，通过计算进行判断，对于D，利用夹角公式求解即可.
【详解】对于A，因为为钝角，所以且向量，不共线，
由，得，得，由，不共线，得，得，
所以，且，所以A错误，
对于B，因为为锐角，所以且向量，不共线，
由，得，得，由，不共线，得，得，
所以，所以B正确，
对于C，当时，，所以，所以与不垂直，即不是直角，所以C错误，
对于D，当时，，所以，
因为，所以，即为平角，所以D正确.
故选：BD
22．（25-26高一·湖北宜昌部分省级示范高中·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若、可以作为基底，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则
D．若与的夹角为，则或
【答案】ACD
【分析】利用平面向量基底的定义可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算和定义可判断D选项.
【详解】已知向量，，易知、均为非零向量，
对于A选项，若、可以作为基底，则、不共线，可得，解得，所以A对；
对于B选项，，则，解得或，所以B错；
对于C选项，在上的投影向量为，
即，解得，所以C对；
对于D选项，因为与的夹角为，则，
即，整理可得，解得或，所以D对.
故选：ACD.
23．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）已知，是夹角为的两个单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】根据平面向量数量积的运算律即可判断ABC；根据平面向量夹角的余弦公式即可判断D．
【详解】对于A，，即，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以与不垂直，故C错误；
对于D，，
则，
，
则，故D正确；
故选：ABD．
24．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）若向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】利用向量的数量积、模长公式、夹角的坐标运算以及投影向量的定义，逐项计算判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，所以，故B错误；
对于C，设与的夹角为，则，因为，所以，故C正确；
对于D，在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD.
填空题
25．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）已知，，则在方向上的投影向量为________.
【答案】
【分析】由题意，根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念求解即可.
【详解】由，得，，
所以在上的投影向量为.
故答案为：
26．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知向量满足：，则在上的投影向量的坐标为______．
【答案】
【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解．
【详解】由得，
又，所以，所以，
所以在上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
解答题
27．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）已知向量，满足：，，.
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）对展开可得，再由向量夹角的余弦值公式即可求解；
（2）由向量垂直性质可得，化简后解方程即可求解实数的值.
【详解】（1）由题可得，
因为，，代入可得，
，所以与的夹角的余弦值.
（2）因为，所以，
化简可得，
将，，代入可得，解得或.
28．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）已知，，且．
(1)求与的夹角．
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律展开已知化简得出.进而根据数量积的定义求解得出，结合夹角的范围即可得出答案；
（2）由已知可得，且与的夹角不为，结合向量数量积的运算律以及向量共线的充要条件，即可得出答案.
【详解】（1）由已知展开可得，
，
化简可得，.
则由可得，.
又，所以.
（2）.
则由可得，，解得.
若与共线，则，使得.
因为的任意性，所以有，解得.
时，与的夹角为，
所以，若与的夹角为钝角，则且，
所以，实数的取值范围为.
29．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）在中，已知，，.，分别是，上的点，且，，与相交于点，.
(1)求实数的值；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的基本定理以及平面向量关系定理的推论求参数；
（2）利用平面向量数量积的定义以及数量积的运算法则求余弦值.
【详解】（1）
由，可得，
所以，
由得
，
所以，解得.
（2）因为，，，所以，
由，所以，
由（1）可知，
所以，
.
，
所以.
30．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知平面向量，其中是夹角为的单位向量．
(1)当，求与夹角的余弦值；
(2)若与夹角为钝角，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）根据向量夹角公式即可求得答案；
（2）若与的夹角为钝角，则且不共线，即可解得的取值范围．
【详解】（1）由已知，是夹角为的单位向量，
所以，
又，则，
所以，
又，
所以．
（2）若与的夹角为钝角，则且不共线，
所以，且，
所以，且，
所以且．
31．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）已知向量，满足.
(1)求与的夹角；
(2)若，求实数的值；
(3)求与夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）由数量积的运算律结合向量夹角的公式计算可得；
（2）由向量垂直数量积为零计算可得；
（3）先由数量积的运算律和模长的计算公式求出两向量的模长，再代入夹角公式计算可得.
【详解】（1）记，所成角为，
有，则，即，
又，所以，
又，因为，所以.
因为，所以.
（2）因为，所以，
展开得，又由，，得
（3）因为，所以，
因为，所以，
可得.
所以与的夹角的余弦值为.
32．（24-25高一下·仙桃田家炳实验高级中学·期中）已知，
(1)若，求的值；
(2)若，求的大小；
(3)若，求的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用数量积的定义求解；
（2）由条件求得，再利用向量夹角公式求解；
（3）由条件得，从而可求得，再利用向量夹角公式求解.
【详解】（1）.
（2）由，得，
即，得，则，
则，
.
（3）由，得，即，
即，得，则，
，
，
.
33．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知向量，满足，
(1)求；
(2)求与的夹角余弦值；
(3)求向量在向量上的投影向量的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出坐标，再根据模长公式计算即可；
（2）应用夹角余弦公式计算求解；
（3）应用投影向量公式及向量数量积公式计算求解.
【详解】（1）因为向量，满足，，
所以，
故；
（2）因为，，
所以，
又，，
所以，
故与的夹角余弦值为；
（3）因为，则，
所以向量在向量上的投影向量坐标为.
(
考点05
数量积及其应用
)
单选题
34．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）已知，，，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】C
【分析】根据已知结合数量积的运算律得出，进而求出的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
所以，，
所以，，
所以，.
故选：C.
35．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）中，角所对的边分别为，若分别为的外心和重心，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】设为边中点，连接,作于，求得，，化解得，代数计算即可.
【详解】
设为边中点，连接,作于，即为中点，
因为,
同理,
则
故选：D
填空题
36．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）如图，在平面四边形中，点分别是线段的中点，为平面内一点，且，则_______．

【答案】/
【分析】利用平面向量的线性运算，求出表示，再利用向量数量积计算即可.
【详解】因为，所以，即，
故；
又①，②，
得：，
则
.
故答案为：.
37．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则______.
【答案】4
【分析】利用重心性质表示出，利用向量数量积定义即可求得结果.
【详解】因为为重心，则有，
又为外心，故在方向上的投影向量为，且在方向上的投影向量为,
根据数量积的几何意义得
故，
又因为,两式平方相加得，
故,所以.
故答案为：
38．在中，角的对边分别为，则___________．
【答案】
【分析】由余弦定理及数量积的定义即可求解.
【详解】由余弦定理可得：，
∴，
所以2．
故答案为：
解答题
39．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）在中，，，，设，，，．
(1)用表示，并求．
(2)已知点M在线段AE上，且，若，求k的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据平面向量的线性运算及数量积的定义、运算律求解即可；
（2）结合题意可得，，进而根据平面向量平行的定义求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
，
又，
所以
．
（2）由（1）知，，，
所以，
因为，
所以，
因为，所以存在非零实数，使得，
所以，
所以，解得．
40．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，；
(1)若，试用向量，表示，；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合图形关系可得结果；
（2）利用向量垂直的性质和数量积的定义可解得，再利用三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）由题意，是的中点，则，
因为，所以，
则.
所以，.
（2）因为，所以.
因为，，
所以，
又因为，
所以，，解得.
所以，，则，
所以.
41．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．
(1)以为基底表示；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)1.
【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可求解；
（2）利用向量数量积的运算律计算求解.
【详解】（1）由题意，设，
是边的中点，
，则，
与交于点，即三点共线，则可设，
，
所以，
根据平面向量基本定理，则有，解得，
所以.
（2），
,
，
因为，所以，
化简整理可得，所以.
(
考点06
线性运算与平面向量基本定理
)
单选题
42．（24-25高一下·湖北部分省级示范高中·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可.
【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，
则，，
所以.
故选：A．
43．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）点在线段上（异于A，C两点），为直线外一点，若，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】根据三点共线的结论可知，且，利用乘“1”结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知：，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
故选：C.
44．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出.
【详解】，
因为，，所以，
又三点共线，所以，即.
故选：C
45．（24-25高一下·武汉七校·期中）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案.
【详解】，故，
，故，
因为三点共线，故，解得.
故选：C
46．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.
【详解】因为，是平面内一组不共线的向量，
设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误；
设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误；
设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误；
，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确；
故选：D.
47．（24-25高一下·武汉新洲·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，根据共线定理得出，结合基本不等式即可求解最小值．
【详解】因为，所以，
因为，，（，），
所以，
因为点是线段的中点，
所以，则，
又因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选：D．
48．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算得，结合已知利用平面向量基本定理列式得，即可求解.
【详解】由题意，
又，所以，所以.
故选：B
多选题
49．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ）
A．当点在线段上移动时，
B．满足的点有且只有一个
C．满足的点有两个
D．最大值为3
【答案】ACD
【分析】建立平面直角坐标系，分类讨论，点在、(不含点)、(不含点)、(不含点)上时的取值，进而逐项进行判断即可.
【详解】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则
，
所以，
由，得，
所以，所以，
①当点在上时，，且，
所以，故A正确；
②当点在(不含点)上时，则，
所以，化简，
所以，
因为，所以，即；
③当点在(不含点)上时，则，且，
所以，即，所以；
④当点在(不含点)上时，则，
所以，化简，
所以，
因为，所以，所以；
对于B，由①知，当时，，此时点与点重合；
由④可知当时，，，此时点在的中点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误；
对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点；
由③知，当时，，，此时点在点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，故C正确；
对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确.
故选：ACD.
50．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（ ）
A． B．点为的重心
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A由得，对于B取的中点为，，利用重心的性质即可判断，对于C由，利用三点共线即可判断，对于D设中点为，计算，利用重心的性质得.
【详解】对于A：由有，故A错误；
对于B：取的中点为，由又，所以点共线，且为三等分点，
即为的重心，故B正确；
对于C：由，又三点共线，即，故C正确；
对于D：设中点为，则有，又，即，
所以，在中有，又为重心，所以，故D正确.
故选：BCD.
填空题
51．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）在中，，，若，则________.
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.
【详解】因为，，
所以，
又且与不共线，
所以，则.
故答案为：
52．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为_________．
【答案】
【分析】由平面向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案.
【详解】
连接，在中，，即，
所以，在中，，
所以，
在中，，则，
因为，，所以，
则，，所以.
故答案为：.
(
考点07
范围综合
)
单选题
53．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，再利用余弦定理及基本不等式求出范围.
【详解】由，得，
在，由余弦定理得：，
即，则，
即，当且仅当时等号成立，因此，即，
所以的取值范围为.
故选：B
54．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由得，得，利用基本不等式运算即可.
【详解】，
,
，
，，
，
，
即，
，
当且仅当时等号成立，
，即的最大值是.
故选：D
多选题
55．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时，
【答案】ABD
【分析】对A，根据两向量平行的坐标运算得解；对B，由可得，根据数量积的坐标运算求解；对C，与共线的单位向量为运算判断；对D，根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简，利用正弦函数的性质运算求解判断.
【详解】对于A，因为向量，所以，即，故A正确；
对于B，等价于，即，则，
所以，所以，故B正确；
对于C，与共线的单位向量为，故C错误；
对于D，，
当，即时，取得最大值时，此时，故D正确．
故选：ABD.
56．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）如图，已知直线，点A是之间的一个定点，点A到的距离分别为1，2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（ ）

A．
B．当时，
C．面积的最小值是1
D．
【答案】ABD
【分析】对于A：根据向量减法运算可判断；对于B：设，用角表示相应长度，结合题意运算求解即可；对于C：用角表示面积，结合二倍角正弦公式判断；对于D：利用向量数量积的运算律以及基本不等式判断.
【详解】对于选项A：因为，则，
所以，故A正确；
对于选项B：过点作，交直线于点，交直线于点，

因为点到、的距离分别为1、2，则，
设，
因为，则，
可得，
若，则，可得，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，则，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值是2，故C错误；
对于选项D：因为，则，且，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，所以，故D正确；
故选：ABD.
填空题
57．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为________．
【答案】2
【分析】根据平面向量加减法的运算方法，和三角形中位线的性质，求目标向量的模长.
【详解】如图所示：
因为AB是的中位线，所以，因为，
所以．
故答案为：2.
58．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为_____.
【答案】12
【分析】由题意可推得，根据已知条件得出，，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以.
由已知可知，，，
所以，.
故答案为：.
59．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知，，，点在直线上运动，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】根据向量共线可设，将转化为，从而得到，然后求二次函数的最小值即可.
【详解】因为点在直线上运动，设，所以，
因为，，所以，，
，，
所以
，
当时，有最小值.
故答案为：
60．（24-25高一下·湖北部分省级示范高中·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是___________．
【答案】．
【分析】根据为相反向量，将表示成，然后分析点的位置即可得解.
【详解】如图：
记的外接圆半径为，
，
由图可知的最大值为时，取最大值0；
因为中，所以当为中点时，最小，
此时，所以取最小值，
故答案为：．
61．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】先通过题意将用表示出来，然后代入投影向量的定义式中求模长，通过化简发现可以化简为关于的不等式，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意可得
，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：.
解答题
62．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）如图，在梯形ABCD中，，，E，F分别为DC，CB的中点，且P是线段AB上的一个动点．
(1)求AD；
(2)求∠EAF；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由数量积的坐标运算即可求得；
（2）利用夹角公式的坐标运算即可求解；
（3）根据坐标运算得，利用二次函数即可求解.
【详解】（1）建立以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴的坐标系，
∴，，假设，则，，，
∴，，
由，则，即，又，∴，
∴.
（2）由（1）知：，，，，
∴，又为锐角，
∴；
（3）设，∴，，
∴，，
∴
，
∵，∴.
63．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）如图所示，在中，，，，，．
(1)求的值．
(2)线段上是否存在一点，使得 若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(3)若是内一点，且满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可；
（2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参；
（3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可．
【详解】（1），
，
．
（2）设，
，
，
，，
，解得，
∴存在一点，使得，．
（3），
∴，
，
，
，
，
，，三点共线，
，
当且仅当时，即为中点时等号成立，
而，
所以的最小值为．
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