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专题02 正余弦定理与解三角形实际应用
11大高频考点概览
考点01·正余弦定理求角
考点02·正余弦定理求边长
考点03·正余弦定理求周长或面积
考点04·正余弦定理判断三角形解的个数
考点05·正余弦定理判断三角形的形状
考点06·正余弦定理求周长的最值与范围
考点07·正余弦定理求面积的最值与范围
考点08·正余弦定理在几何图形中的计算
考点09·正余弦定理与中线角平分线的计算
考点10·正余弦定理求线段或角的最值与范围
考点11·解三角形的实际应用
1．(24-25高一下·福建福州八县协作校·期中)已知，，为三个内角，，的对边．若，，，则________．
2．(23-24高一下·福建三明五地五校联考·期中)设△的内角A，B，C所对边分别为，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
3．(23-24高一下·福建福州闽江口协作体（七校）·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大内角为（ ）
A． B． C． D．
4．(23-24高一下·福建晋江养正中学·期中)已知中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．(23-24高一下·福建莆田第四中学·期中)已知的三个角的对边分别为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．(24-25高一下·福建三明第一中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B．6 C．5 D．
8．(24-25高一下·福建长乐第五中学·期中)在中，若，，且的面积为，则______________．
9．(24-25高一下·福建厦门、泉州五校·期中)在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)在中，，，，是中点，是上靠近的三等分点，则的长为（）
A． B． C． D．
11．(23-24高一下·福建同安第一中学·期中)在 中， 分别是角 所对的边， 满足.
(1)求；
(2)若是边上的三等分点，，，求的面积
12．(24-25高一下·福建泉州永春第二中学等五校·期中)在中，角、、的对边分别为、、，已知，，.
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求的面积.
13．(24-25高一下·福建泉州第五中学·期中)中，角、、的对边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若为边上一点，，且，求的周长.
14．(24-25高一下·福建莆田第二十五中学·期中)在中，边的长分别为.
(1)利用向量知识证明：；
(2)在中，.求的值及的面积.
15．(24-25高一下·福建龙岩龙岩一级校·期中)在中，D是BC边上的点且，.
(1)求的值；
(2)若，，求的面积.
16．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)已知的内角所对的边分别为，，，则使得有两组解的a的值为__________．（写出满足条件的一个整数值即可）．
17．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)在中，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为_____.
18．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)在中，，，若恰有一解，则边长可以为______．（只需写出一个满足条件的数）
19．(23-24高一下·福建泉州安溪县·期中)在中，，，，则满足条件的（ ）
A．不能确定 B．无解 C．有一解 D．有两解
20．(23-24高一下·福建南平高级中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定
21．【多选题】(23-24高一下·福建莆田第五中学·期中)的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，则是钝角三角形
22．【多选题】(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，且有两解，则的取值范围是
C．在锐角中，不等式恒成立
D．在中，若，则必是等边三角形
23．【多选题】(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)已知为三个内角的对边，则（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若满足，的有且仅有一个，则a的取值范围是
24．【多选题】(24-25高一下·福建莆田莆田第五中学·期中)已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则三角形有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
25．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
26．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)已知向量与向量共线，B为的内角．
(1)求B；
(2)若为钝角，且，求周长的最大值．
27．(24-25高一下·福建晋江毓英中学·期中)在中，．若，
(1)求面积的最大值；
(2)求周长的取值范围．
28．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)已知的内角所对的边分别为，．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
29．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，
(1)求的外接圆半径；
(2)周长的取值范围．
30．(23-24高一下·福建厦门杏南中学·期中)在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若D为AB中点，且，求面积的最大值；
(3)若，求周长的取值范围．
31．(24-25高一下·福建福州福建师范大学附属中学·期中)在中，角A，B，C 所对的边分别a，b，c.已知 且.
(1)求角A的大小；
(2)若D是的中点，，求面积的最大值.
32．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)已知为三个内角A，B，C的对边．
(1)请写出余弦定理中任意一个表达式，并用向量法证明．
(2)若，
（ⅰ）若，，求．
（ⅱ）若，求面积的最大值．
33．(24-25高一下·福建漳州乙丙级联盟校·期中)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.
(1)求；
(2)若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值.
（从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答）
34．(23-24高一下·福建福州八县一中·期中)从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
(1)求角C的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；
(3)若，的内心为I，求周长的取值范围．
35．(24-25高一下·福建同安第一中学·期中)已知分别为三个内角的对边，满足，若为锐角三角形，且外接圆圆心为，则的取值范围为_____________；和面积之差的最大值为_______________.
36．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)如图，在中角、、所对的边分别为、、.已知：，点在的延长线上，，.
(1)求角；
(2)若的面积，求线段的长.
37．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中).在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：.
(1)求角；
(2)，求边上的中线的最小值；
(3)已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围.
38．(24-25高一下·福建福州第八中学·期中)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
39．(24-25高一下·福建莆田莆田第八中学·期中)某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走至点处，并在红外线测量仪的帮助下测得，米，米．
(1)求该人工圆形湖泊的直径；
(2)若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于，两点），求四边形面积的最大值．
40．(24-25高一下·福建泉州第五中学·期中)如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口的两条公路，之间建造花园，该花园的平面示意图为如图的四边形，已知，花园的两个顶点，分别在两条公路上（沿着公路且异于点），为了便于游客赏玩，花园中修建服务通道，.
(1)若，，，求通道的长；
(2)若，，求折线段通道最长（即最大）；
(3)若且的面积为6，求服务通道的最小值.
41．(24-25高一下·福建泉州晋江第一中学·期中)在中，内角所对的边分别为且
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，，，求线段BD长．
42．(24-25高一下·福建莆田二中、仙游一中·期中)记的内角的对边分别为，三个内角满足且为锐角，，
(1)求角的大小；
(2)为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值．
条件①：CD为的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线．
43．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求B；
(2)若，且为边的中点，求的长．
44．(24-25高一下·福建福州九校联盟·期中)在中，角的对边分别为，若，为边上一点.
(1)求角的大小；
(2)若且，求的周长；
(3)若平分角，证明：.
45．(24-25高一下·福建泉州第七中学·期中)记的内角的对边分别是的平分线交边于点，且，则（ ）
A． B． C． D．
46．(24-25高一下·福建三明第一中学·期中)记的内角所对的边分别为，若，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求边上的中线长度的最小值.
47．(24-25高一下·福建泉州第七中学·期中)锐角中，角所对应的边分别为.
(1)若，求和的面积；
(2)求的取值范围.
48．(24-25高一下·福建厦门第六中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个，解答以下问题
①；②；③
(1)求证：；
(2)若求边长
(3)求的最小值.
49．(24-25高一下·福建莆田第二十五中学·期中)①，，且；②；
从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求的值；
(2)若是锐角三角形且，求的取值范围.
50．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)已知的内角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若点在边上，且，证明：；
(3)若为锐角三角形，且面积为，求的取值范围．
51．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上．
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度；
(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因．
52．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.因为在处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域（古塔的底座忽略不计）做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形.
(1)若在、处分别测得塔顶的仰角为、，求塔高；
(2)求绿化区域面积的取值范围；
(3)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到.已知，求游客所走路程的最大值.
53．(24-25高一下·福建厦门第六中学·期中)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（ ）
A．米
B．10米
C．米
D．米
54．(24-25高一下·福建莆田莆田第五中学·期中)释迦文佛塔，又称广化寺塔，位于福建省莆田市城厢区广化寺东侧，建造年代尚无法确定，但早于南宋乾道元年（1165年），是一座仿木楼闹式石塔．如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在广化寺的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则广化寺塔的高度约为（ ）
A．25m B．31m C．30m D．44m
55．(24-25高一下·福建宁德部分学校·期中)如图1，汾阳文峰塔位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌社区，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位居中国砖结构古塔之首.如图2，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为（），则塔高（ ）

A． B． C． D．
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专题02 正余弦定理与解三角形实际应用
11大高频考点概览
考点01·正余弦定理求角
考点02·正余弦定理求边长
考点03·正余弦定理求周长或面积
考点04·正余弦定理判断三角形解的个数
考点05·正余弦定理判断三角形的形状
考点06·正余弦定理求周长的最值与范围
考点07·正余弦定理求面积的最值与范围
考点08·正余弦定理在几何图形中的计算
考点09·正余弦定理与中线角平分线的计算
考点10·正余弦定理求线段或角的最值与范围
考点11·解三角形的实际应用
1．(24-25高一下·福建福州八县协作校·期中)已知，，为三个内角，，的对边．若，，，则________．
【答案】
【分析】跟正弦定理直接可得解.
【详解】在由正弦定理可知，
即，
由，即得，
所以，
故答案为：.
2．(23-24高一下·福建三明五地五校联考·期中)设△的内角A，B，C所对边分别为，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】根据已知与正弦定理可求得，利用大边对大角可得为锐角，结合特殊三角函数值即可求解.
【详解】结合题意，由正弦定理可得，
又，且为锐角，为锐角，.
故选：.
3．(23-24高一下·福建福州闽江口协作体（七校）·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大内角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断角最大，再结合余弦定理求角即可.
【详解】因为，所以角最大．
由余弦定理，得，即，所以，又，所以．
故选:C．
4．(23-24高一下·福建晋江养正中学·期中)已知中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解即得.
【详解】在中，由余弦定理得，
由正弦定理得.
故选：A
5．(23-24高一下·福建莆田第四中学·期中)已知的三个角的对边分别为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用正弦定理边化角，表示出，然后利用两角和的正切公式列方程求解即可.
【详解】因为，
则由正弦定理得，
则，
所以，
解得（负值舍去），
所以.
故选：A.
6．(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由题意在直角中，可得BC的值，再在中，由余弦定理可得BD的大小．
【详解】在中，，
可得 ，
在中，，
由余弦定理可得，
即，
即，解得（负值已舍）．
即BD的长度为1．
故选：A．
7．(24-25高一下·福建三明第一中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B．6 C．5 D．
【答案】D
【分析】由余弦定理直接计算即可.
【详解】由余弦定理可得，
所以
故选：D
8．(24-25高一下·福建长乐第五中学·期中)在中，若，，且的面积为，则______________．
【答案】
【详解】利用三角形面积公式求解即可.
【分析】因为，，且的面积为，
所以，，解得：.
故答案为：.
9．(24-25高一下·福建厦门、泉州五校·期中)在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理求解.
【详解】由余弦定理，,
故选：D
10．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)在中，，，，是中点，是上靠近的三等分点，则的长为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的运算法则结合余弦定理求解即可
【详解】
为的中点，
，
，
，
由余弦定理得
所以，
，
为上靠近的三等分点，
即，
故选：
11．(23-24高一下·福建同安第一中学·期中)在 中， 分别是角 所对的边， 满足.
(1)求；
(2)若是边上的三等分点，，，求的面积
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可.
（2）在中利用余弦定理求出的长，结合是边上的三等分点分情况进行计算即可.
【详解】（1） ， .
在中，， ，
，
，又（三角形内角）， ，
又， .
（2）如图，在中，，，，
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）.
是边上的三等分点， 或.
当时， ；
当时，.
故的面积为或.
12．(24-25高一下·福建泉州永春第二中学等五校·期中)在中，角、、的对边分别为、、，已知，，.
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理计算即可求解；
（2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可；
（3）利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，，，
所以，
因为，所以，
（2）在中，由正弦定理得，
又因为，，， 所以，解得，
因为，所以，
（3）因为，，，
所以.
13．(24-25高一下·福建泉州第五中学·期中)中，角、、的对边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若为边上一点，，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由已知得出，由平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，解出的值，结合余弦定理可求得的值，由此可得出的周长.
【详解】（1）由正弦定理及可得，
即，
所以，
因为、，所以，可得，故，则.
（2）如下图所示：
由题意可知，，即，可得，
所以，
即，
又因为， 所以，整理得，
因为，所以，
由余弦定理得，即，
故的周长为.
14．(24-25高一下·福建莆田第二十五中学·期中)在中，边的长分别为.
(1)利用向量知识证明：；
(2)在中，.求的值及的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据向量的线性运算，即可根据模长公式求解，
（2）根据余弦定理可得，，即可根据面积公式求解.
【详解】（1）
在中，∵，
∴
.
∵边的长分别为
∴，，，
∴.
（2）在中，所以是锐角，
由，可得，而，
所以，
可得，则，
故.
15．(24-25高一下·福建龙岩龙岩一级校·期中)在中，D是BC边上的点且，.
(1)求的值；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用角平分线的性质及正弦定理可得答案；
（2）利用余弦定理求出，结合面积公式可得答案.
【详解】（1）由题意知AD为的角平分线，根据三角形角平分线的性质可知，
因为，
所以，即.
（2）设，在中，因为，，
所以，所以.
在中，，，
所以，所以.
又，所以，解得.
在中，，，
所以，所以.
16．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)已知的内角所对的边分别为，，，则使得有两组解的a的值为__________．（写出满足条件的一个整数值即可）．
【答案】（答案不唯一，或者均可）
【分析】根据三角形有两解得的不等式，从而可求符合条件的.
【详解】要使有两组解，则即，
故正整数为或者.
故答案为： （答案不唯一，或者均可）
17．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)在中，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为_____.
【答案】
【分析】在中利用正弦定理得，再结合即可求出.
【详解】在中利用正弦定理，得，
因，且满足条件的三角形有且只有两个，则且，
则，即，得，
则边的取值范围为.
故答案为：.
18．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)在中，，，若恰有一解，则边长可以为______．（只需写出一个满足条件的数）
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用正弦定理可得答案.
【详解】设，由正弦定理得，
即，
当时，即，因为三角形中大边对大角，此时有唯一解，三角形恰有一解，
当时，，即，三角形恰有一解，
故边长可以为，或.
故答案为：（答案不唯一）.
19．(23-24高一下·福建泉州安溪县·期中)在中，，，，则满足条件的（ ）
A．不能确定 B．无解 C．有一解 D．有两解
【答案】C
【分析】由题意画出图形，结合条件求出边上的高，可判断三角形解的情况.
【详解】因为，，，如图：
所以边上的高，
又，即，则此三角形有一解，
故选：C.
20．(23-24高一下·福建南平高级中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定
【答案】C
【分析】由正弦定理可得，进而可求，可得结论.
【详解】由正弦定理，得，解得 ，
因为，所以 ，
又因为，所以或，
故此三角形有两解.
故选：C.
21．【多选题】(23-24高一下·福建莆田第五中学·期中)的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，则是钝角三角形
【答案】AB
【分析】利用正弦定理判断A、B，利用余弦定理判断C、D.
【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确；
对于B，因为，，，所以，
即，又，所以有两解，
所以有两解，故B正确；
对于C，因为为钝角三角形，当为钝角时，，则，故C错误；
对于D，因为，设，则，，显然，
由余弦定理，
又，所以为锐角，则是锐角三角形，故D错误.
故选：AB
22．【多选题】(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，且有两解，则的取值范围是
C．在锐角中，不等式恒成立
D．在中，若，则必是等边三角形
【答案】AD
【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出的形状，判断D．
【详解】A中，，即，
由正弦定理可得 ，由余弦定理可得，
因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确；
B中，若，且有两解，则，即，
即的范围为，所以B错误；
C中，在锐角中，只有时，不等式才恒成立，所以C不正确；
D中，若，由余弦定理可得，
即，即，所以，所以必是等边三角形，故D正确．
故选：AD．
23．【多选题】(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)已知为三个内角的对边，则（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若满足，的有且仅有一个，则a的取值范围是
【答案】ABC
【分析】对于A，由正弦定理可判断其正误，对于B，由数量积定义可判断为钝角，故可判断其正误，对于C，由正切和的符号可得正切乘积的符号，故可判断三角形形状，对于D，求出边上的高后可得边的取值范围，故可判断D的正误.
【详解】对于A，因为，故（为三角形外接圆半径），
故，故A正确；
对于B，因为，故，而为三角形内角，故为钝角，
故为钝角三角形，故B正确；
对于C，因为，
化简后可得，
故全正或两负一正，
若两负一正，则有两个钝角，矛盾；
故全正，而为三角形内角，故它们都是锐角，
故为锐角三角形，故C正确；
对于D，如图，边上的高为，
若有且仅有一个，则以为圆心，以为半径的圆与射线有且只有一个交点，
故或，故D错误.
故选：ABC.
24．【多选题】(24-25高一下·福建莆田莆田第五中学·期中)已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则三角形有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
【答案】AD
【分析】A：由大边对大角可知结论；B：由正弦定理，结合大边对大角，可得结论；C：解法一：利用余弦定理角化边然后分解因式可得结论,解法二：利用正弦定理边化角，利用二倍角公式化简，进而利用三角函数的性质得到结论；D：利用余弦定理得到,进而得到结论.
【详解】由大边对大角可知，故A正确；
对于B：
若，，，
由正弦定理可知，
∴，∴，
∵，∴，∴角为锐角，
∴角只有一解，∴只有一解，故B错误；
对于C：
解法一：若，
结合余弦定理可得，
整理分解因式可得，
∴或，
∴或，
∴为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
解法二：∵，，
∴，∴，
∵，
∴或，
∴或，
∴为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D：
∵，结合余弦定理可得，
又∵，则，
∴为钝角三角形，故D正确.
故选：AD.
25．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】将切化弦，再结合正弦定理得到，进而有，即可判断.
【详解】因为，所以，
在中，由正弦定理得
∴，
∵，∴，
所以是等腰三角形
故选：A.
26．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)已知向量与向量共线，B为的内角．
(1)求B；
(2)若为钝角，且，求周长的最大值．
【答案】(1)或或
(2)
【分析】（1）由得出，得到或.再结合角范围，确定的值.
（2）因为是钝角，确定.用余弦定理得到.利用均值不等式，得出.已知的值，解不等式得到范围，进而得到周长最大值.
【详解】（1）已知，根据向量平行性质得到.
移项可得，提取公因式得.
那么或者即.
因为，当时，；当时，或.
则或或.
（2）因为为钝角，所以.
由余弦定理，把代入可得.
根据均值不等式，所以.
已知，则，解得.
所以，当且仅当时取等号，此时周长取得最大值.
27．(24-25高一下·福建晋江毓英中学·期中)在中，．若，
(1)求面积的最大值；
(2)求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式求出，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解；
（2）结合（1）及基本不等式求出的范围，即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
则，
所以，
所以，
因为为的内角，所以，所以.
又，所以.
由余弦定理，即．
因为，当且仅当时取“”，
所以．
所以．
当为等边三角形时，面积取得最大值为．
（2）因为，
且，当且仅当时取“”，
所以，
又，所以，
所以，
所以周长的取值范围为.
28．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)已知的内角所对的边分别为，．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由正弦定理、两角和的余弦公式及诱导公式求得的值；
（2）利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得，
所以，
所以，因为，所以，
所以；
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以，
因为，由余弦定理得，
所以，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为.
29．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，
(1)求的外接圆半径；
(2)周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出角，进而求出三角形外接圆半径.
（2）由（1）中信息，利用基本不等式求出周长范围.
【详解】（1）在中，由，得，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，而，则，
所以的外接圆半径.
（2）由（1）知，
则，当且仅当时取等号，
因此，解得，而，即，
则，所以周长的取值范围是.
30．(23-24高一下·福建厦门杏南中学·期中)在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若D为AB中点，且，求面积的最大值；
(3)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)．
【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出；
（2）由已知可得，两边平方，可得，可得面积的最大值.
（3）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】（1）由题意知，
即，由正弦定理得
由余弦定理得，
又，∴．
（2）因为是的中点，所以，两边平方可得，
，
即，当且仅当时等号成立．
此时面积的最大值为
（3）∵，∴，，
则的周长
∵，∴，∴，
∴，
∴周长的取值范围是．
31．(24-25高一下·福建福州福建师范大学附属中学·期中)在中，角A，B，C 所对的边分别a，b，c.已知 且.
(1)求角A的大小；
(2)若D是的中点，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线坐标满足公式列出方程，结合正弦定理化简，即可得到结果；
（2）由两边平方，结合向量的数量积公式，根据基本不等式以及三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
故
即
即
（2）

∵D是的中点，，
即
即
，故 当且仅当时，等号成立，
∴面积
即面积的最大值为
32．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)已知为三个内角A，B，C的对边．
(1)请写出余弦定理中任意一个表达式，并用向量法证明．
(2)若，
（ⅰ）若，，求．
（ⅱ）若，求面积的最大值．
【答案】(1)，证明见解析
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用即可证得；
（2）（ⅰ）利用正弦定理化简题干信息，再利用余弦定理即可；
（ⅱ）利用余弦定理求，并结合基本不等式即可求出的最小值，再计算的最大值即可.
【详解】（1）公式，证明如下：
因，
则，
即.
（2）（i）由正弦定理及得，，则，
由题意结合余弦定理，得，
解得，则.
（ii）由余弦定理得
（当且仅当时等号成立）
则，
则的面积，
则面积的最大值为.
33．(24-25高一下·福建漳州乙丙级联盟校·期中)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.
(1)求；
(2)若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值.
（从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，由此即可求出的值；
（2）选择条件① ② ③时分别计算，根据内心得到，根据垂心得到，根据重心得到，结合基本不等式计算面积最值即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，
又，
所以，
又，
所以，即，又，所以；
（2）若选条件①：
因为为的内心，所以，
由，得
因为，所以，
所以，即，
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件②：
因为为的垂心，且，
所以，
故，即，
又，
即，所以
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件③：
因为为的重心，且，所以，
又，故，
即，
即，所以
所以.
当且仅当时取最大值.
34．(23-24高一下·福建福州八县一中·期中)从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
(1)求角C的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；
(3)若，的内心为I，求周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）选①，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求角，选②，由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求角；
（2）由条件，结合三角形面积公式可得，根据正弦定理可得，结合内角和关系可得，结合条件确定的范围，由此求结论；
（2）先求出，在中，通过设，利用正弦定理求出三边得出三角形周长表达式，将其转化为正弦型函数，利用角的范围即可求得周长范围.
【详解】（1）选择条件①，，
在中，由正弦定理得，
整理得，
则由余弦定理可得，，又，
所以．
选择条件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因为，则，
即，
因为，因此，
即，又，
所以．
（2）由三角形面积公式可得，
的面积，又 ，
所以，
由正弦定理可得，所以，
又，
所以，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
所以，故，
所以 ，
所以的面积的取值范围为.
（3）如图，由（1）知，，有，
因为的内心为，所以，于是．
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，，
所以的周长为，
由，得，所以，
所以周长的取值范围为.
35．(24-25高一下·福建同安第一中学·期中)已知分别为三个内角的对边，满足，若为锐角三角形，且外接圆圆心为，则的取值范围为_____________；和面积之差的最大值为_______________.
【答案】
【分析】首先利用正弦定理及辅助角公式求出，再根据外心的性质，平面向量数量积及余弦定理可得到，再利用正弦定理及两角和的正弦公式、正切函数的性质结合角范围，即可求出的取值范围；设外接圆半径为，由正弦定理可得，结合三角形的面积公式及二倍角公式及二次函数的性质即可求解.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，即①.
又因为，即，
即②，将①代入②可得
，解得.
由余弦定理可得.
因为为外接圆圆心，即外心，所以三条边垂直平分线的交点，
设的中点为，则有.
因为，
所以，
同理可得，
所以
，
由正弦定理可得
，
由，解得，所以，
则，所以.
设外接圆半径为，则，
且，即，
因为，
所以，
，
所以，
由知，所以，
则；
所以当时，取得最大值.
故答案为：；
36．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)如图，在中角、、所对的边分别为、、.已知：，点在的延长线上，，.
(1)求角；
(2)若的面积，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合已知利用正弦定理和两角和的正弦定理化简得，然后化切得，即可求解；
（2）设，根据正弦定理分别求得，，代入三角形面积公式得，利用两角和差的余弦公式化简得，进而求得，则有，即可求解.
【详解】（1），
由正弦定理得：，
即，
，，
， .
，；
（2）设，
中，由正弦定理得：.
中，由正弦定理得：，
，
，，
，，
，，
，，，即，
又，，
.
37．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中).在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：.
(1)求角；
(2)，求边上的中线的最小值；
(3)已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算，最后结合角的范围求出角；
（2）应用平面向量的数量积及运算律计算结合基本不等式计算求最小值；
（3）先根据三点共线列式对比得出，再结合向量的数量积公式及面积公式计算求解；
【详解】（1）在中，据正弦定理可将题设条件化为：
即，又据余弦定理：
可知，
又，故.
（2）是的中点,
;
当且仅当时取等号，故.
所以边的中线的最小值是.
（3）依题可知，；
，，共线，，，共线，则有，
；
两式对比可得；
故；
点为三角形的重心，
则 ；
又因的面积为，故；
则可得；
可得，
，
因为是锐角三角形，则为锐角，
故有，
可得，
同理为锐角，故有，可得，
可得，
设，则，
则有，当时，易知该对勾函数单调递增，
则，故.
38．(24-25高一下·福建福州第八中学·期中)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理求得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；
（2）设，，，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案.
【详解】（1）设外接圆半径为，则，
由正弦定理可得，即，
由题意可知为三角形的垂心，即，所以，
所以，
（2）设，，，
由于，不妨设，，，
由余弦定理可得，
，，
因为P是垂心，则，，，
则，
所以，
同理可得，
所以.
39．(24-25高一下·福建莆田莆田第八中学·期中)某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走至点处，并在红外线测量仪的帮助下测得，米，米．
(1)求该人工圆形湖泊的直径；
(2)若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于，两点），求四边形面积的最大值．
【答案】(1)米
(2)平方米
【分析】（1）在中，由余弦定理求得米，利用正弦定理求得直径；
（2）利用三角形面积公式求得，利用四点共圆性质及余弦定理，结合基本不等式求得的最大值(，)，进而得到的最大值，从而得到四边形面积的最大值.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
即，故米．
设该人工圆形湖泊的半径为，
故，
所以该人工圆形湖泊的直径为米．
（2）易得，
因为A，B，C，D四点共圆，所以，
设，，由余弦定理可得，
所以，
当且仅当时取等号，
故四边形ABCD面积的最大值为平方米.
40．(24-25高一下·福建泉州第五中学·期中)如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口的两条公路，之间建造花园，该花园的平面示意图为如图的四边形，已知，花园的两个顶点，分别在两条公路上（沿着公路且异于点），为了便于游客赏玩，花园中修建服务通道，.
(1)若，，，求通道的长；
(2)若，，求折线段通道最长（即最大）；
(3)若且的面积为6，求服务通道的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)先由可确定在上的具体位置，从而算得再在中用余弦定理得； (2)利用正弦定理算得的确切长度；再令利用余弦定理得到，配方并利用基本不等式求出的最大值即可； (3)令，利用三角形面积公式可将与联系起来，再用“余弦定理”得到关于的三角函数表达式，利用三角函数的性质求得
【详解】（1）在中，已知，，.
根据正弦定理：，，，，
设，中，，，
根据余弦定理得，
化简得，，所以.
即；
（2）在中，已知，.
根据正弦定理：，由于，
代入已知值：，，
在中，已知.
设.
根据余弦定理：，
，，
又因为，
所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，
因此的最大值为；
（3）设，则，，
由面积公式得，，
由余弦定理得 ，
令，
则，
其中，
当时取等号，
，.
41．(24-25高一下·福建泉州晋江第一中学·期中)在中，内角所对的边分别为且
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，，，求线段BD长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式得整理为解得即可得结果；
（2）由角平分线结合余弦定理可得出结果.
【详解】（1）因为
由正弦定理得.两边除以
得
整理为即，
解得或（舍去），
又因为可得
（2）在△ABC中，根据余弦定理，
有，即，
解得，或（舍去），
因为平分，所以,
设则
在中，由正弦定理得,即
在中，由正弦定理得,即，
所以
又因为，所以
在中，
在中，
所以
42．(24-25高一下·福建莆田二中、仙游一中·期中)记的内角的对边分别为，三个内角满足且为锐角，，
(1)求角的大小；
(2)为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值．
条件①：CD为的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）将已知的三角函数等式通过恒等变形转化为关于角的方程，利用角度和的三角恒等式和正切函数的和公式，最终求得角的正弦值，结合锐角条件确定角的大小.
（2）选择条件①：利用余弦定理与面积及均值不等式得出结果. 选择条件②：利用角平分线的性质与向量的平行四边形法则结合进行运算，最后在运用均值不等式得出结果.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
即，
所以，即，
因为，所以．
（2）选择条件①：
在中，由余弦定理，得，
即，故，
当且仅当时，等号成立，
又因为.
所以 .
故CD的最大值为3．
选择条件②：
由题，平方得，
在中，由余弦定理得，
所以，
故，当且仅当时，等号成立，
故有，
从而，即CD的最大值为3．
43．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求B；
(2)若，且为边的中点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：由正弦定理边化角，诱导公式及两角和的正弦公式即可求解；法二：由余弦定理边化角即可求解；
（2）法一：由余弦定理求得，再求得，在中由余弦定理即可求解；法二：由余弦定理求得，在中由列出方程即可求解；法三：由余弦定理求得，再根据及平面向量数量积的运算律即可求解；法四：由余弦定理求得，求得，在由列出方程即可求解．
【详解】（1）法一：因为，
由正弦定理得，，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
法二：因为，
由余弦定理得，，
得，
则，
因为，所以．
（2）法一：由（1）知，，
在中，，
由余弦定理得，，
所以，整理得，
解得，或（舍去），
所以，
在中，因为D为边的中点，所以，
由余弦定理得，
，
所以．
法二：由（1）知，，
在中，，
由余弦定理得，，
所以，整理得，
解得，或（舍去），
因为D为边的中点，所以，
因为，所以，
所以，
所以，解得．
法三：由（1）知，，
在中，，
由余弦定理得，，
所以，整理得，
解得，或（舍去），
因为，
所以
，
所以．
法四：由（1）知，，
在中，，
由余弦定理得，，
所以，整理得，
解得，或（舍去），
所以，
在中，因为D为边的中点，所以，
由余弦定理得，
，
所以．
44．(24-25高一下·福建福州九校联盟·期中)在中，角的对边分别为，若，为边上一点.
(1)求角的大小；
(2)若且，求的周长；
(3)若平分角，证明：.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用正弦定理，结合三角恒等变换化简得，再根据三角函数的特殊值求得角；
（2）在两个三角形中根据余弦定理结合补角的余弦值之和为0，得到等式，求出的表达式，再次利用余弦定理构建方程，求出的长，由此可得的周长；
（3）利用三角形面积公式，结合题意中的面积相等构建等式，整理变形后可证得结论.
【详解】（1）根据正弦定理，由可得，
，
则，
整理得，
，则，得，即，
，则，即.
（2）

如图，由（1）可知，，设，则，
设，则，
在中，根据余弦定理，，
在中，根据余弦定理，，
所以，
整理可得，即.
则在中，根据余弦定理，，
整理得，即，解得或（舍去），
所以，，
所以，的周长为.
（3）由（1）可知，，因为平分，所以，
因为，
所以，
整理可得，
等式两边同时除以，得.
故得证.
45．(24-25高一下·福建泉州第七中学·期中)记的内角的对边分别是的平分线交边于点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形面积公式，结合等面积法列式求解.
【详解】在中，，的平分线交于点，
则，由，
得，即，
所以.
故选：A
46．(24-25高一下·福建三明第一中学·期中)记的内角所对的边分别为，若，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求边上的中线长度的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，得到，结合余弦定理，求得，即可求解；
（2）根据题意，由正弦定理求得，得到，进而求得的周长；
（3）根据题意，由余弦定理和基本不等式，求得，再由，根据向量的数量积的运算律，即可求解.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以.
（2）解：因为，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又因为，所以，则，
由，可得，所以，
所以的周长为.
（3）解：因为，由余弦定理得，即，
又因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，
因为为边上的中线，可得，
所以，
所以，则，
所以边上的中线长度的最小值为.
47．(24-25高一下·福建泉州第七中学·期中)锐角中，角所对应的边分别为.
(1)若，求和的面积；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)，面积为；
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求出，，再由两角和的正弦公式及三角形面积公式求解.
（2）利用正弦定理求出的取值范围，再结合余弦定理及二次函数的性质求出范围.
【详解】（1）在锐角中，由正弦定理，得，解得，
，所以
，
的面积.
（2）由正弦定理得，
由为锐角三角形，得，则，即，因此，
由余弦定理得，得，
则，
所以的取值范围是.
48．(24-25高一下·福建厦门第六中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个，解答以下问题
①；②；③
(1)求证：；
(2)若求边长
(3)求的最小值.
【答案】(1)选择见解析，证明见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）若选①，由余弦定理可得再利用正弦定理及两角和与差的正弦公式化简即可得证；
若选②，利用正弦定理将边化角，结合两角差的正弦公式即可得证；
若选③，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系可得再结合角的范围即可得证；
（2）利用同角三角函数的基本关系可得再由二倍角公式可得与由诱导公式及两角和的正弦公式可得利用正弦定理可得的值，结合已知条件可得a，c的值，由余弦定理即可求得b；
（3）利用三角恒等变换化简利用正弦定理将化为利用基本不等式即可求解最小值．
【详解】（1）若选①
由余弦定理
则化简可得
根据正弦定理可得
因为
所以
即即
所以，此时或此时
因为所以
若选②
由正弦定理可得
所以即
所以，此时或此时
因为所以
若选③
因为
所以所以
因为则所以或
若则则不符合题意，
所以即
（2）因为则
由可得
所以
已知由正弦定理可得
设则解得所以
根据余弦定理可得
所以
（3）
所以
因为所以
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为
49．(24-25高一下·福建莆田第二十五中学·期中)①，，且；②；
从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求的值；
(2)若是锐角三角形且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：依题意可得，再由正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；选②，利用诱导公式及和差角的余弦公式化简，再由正弦定理将边化角，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式转化为的三角函数，结合的范围及正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）选①，因为，，且，
所以，
由正弦定理得：，
即，
则，
又因，所以，
所以；
选②，因为，
所以，
即，
由正弦定理得，
又因，，，则，
所以，
所以；
（2）因为，所以，，
所以，
因为，
所以，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以
50．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)已知的内角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若点在边上，且，证明：；
(3)若为锐角三角形，且面积为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可化简题给条件，再根据两角的差的正弦可得角.
（2）在不同三角形中根据正弦定理列等式，得到的值，再应用正弦定理即可证明结论.
（3）由三角形的面积公式及余弦定理可化简所求式，再根据锐角三角形的角的范围，可得角的范围， 带入所求式即可求代数式的范围.
【详解】（1）因为，所以，
再根据正弦定理得，，
化简得，
又因为，
所以
得
因为，所以，则.
则，且，所以.
（2）
根据题意，设，则.
为等腰三角形，所以，，
由（1）知，.
由正弦定理，
在中，，则
在中，，即，
化简整理得，即.
因为，所以，则，为直角三角形.
由，则，得，得证.
（3）因为，所以，则.
又，
则
.
又因为为锐角三角形，则，则
即，即，
即，
即.
51．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上．
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度；
(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因．
【答案】(1)答案见解析
(2)不能捕猎成功，原因见解析
【分析】（1）根据题意，作图，结合图中的几何元素，利用三角函数以及正弦定理，结合分类讨论思想，可得答案；
（2）由题意作图，设出时间，利用余弦定理，整理方程，利用零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）由题意作图如下：
则，，
，．
由正弦定理，可得．
因此或120°，
当时，，猎豹与羚羊之间的距离为，
当，，猎豹与羚羊之间的距离为.
（2）由题意作图如下：
设捕猎成功所需的最短时间为t，
在中，，，，．
由余弦定理得：．
整理得：．
设，显然，
因猎豹能坚持奔跑最长时间为，且．
∴猎豹不能捕猎成功．
52．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.因为在处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域（古塔的底座忽略不计）做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形.
(1)若在、处分别测得塔顶的仰角为、，求塔高；
(2)求绿化区域面积的取值范围；
(3)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到.已知，求游客所走路程的最大值.
【答案】(1)米.
(2)
(3)米
【分析】（1）设米，根据解直角三角形可得，，结合余弦定理可求塔高；
（2）设，由正弦定理结合面积公式可得，根据锐角三角形求出的范围后可得的范围后得面积的范围；
（3）根据余弦定理和基本不等式可求路程的最大值.
【详解】（1）设米，
依题意可知，，
又在、处分别测得塔顶的仰角为、即，，
可知，，在中，，
据余弦定理得，
即，解得：或（舍去）
塔高为米.
（2）设，则，
则在中，据正弦定理得，故，
又依题可知，为锐角三角形，则即，
故，则，
又，则.
（3）在中，据余弦定理得，
，
，，
当且仅当时取等号，故所走路程的最大值为米.
53．(24-25高一下·福建厦门第六中学·期中)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（ ）
A．米
B．10米
C．米
D．米
【答案】A
【分析】根据三角形余弦定理求解即可．
【详解】设米，在中，
已知所以在 中
已知所以在 中
已知所以因为B是的中点，且米，
所以米．又因为所以
在中，由余弦定理可得：
解得所以米．
故选：
54．(24-25高一下·福建莆田莆田第五中学·期中)释迦文佛塔，又称广化寺塔，位于福建省莆田市城厢区广化寺东侧，建造年代尚无法确定，但早于南宋乾道元年（1165年），是一座仿木楼闹式石塔．如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在广化寺的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则广化寺塔的高度约为（ ）
A．25m B．31m C．30m D．44m
【答案】C
【分析】通过在不同的直角三角形中，根据已知的角度和边长，利用正切函数求出相关线段的长度，进而求出塔的高度．
【详解】已知在中，，．
根据正切函数的定义，在中，，即．
因为，所以，解得．
设，因为在中，，
根据正切函数的定义，且，所以．
过点作于点，则四边形ABFC是矩形，
所以，，那么．
在中，，，即．
由三角函数的两角差公式．
所以，解得．
广化寺塔的高度约为30m．
故选：C．
55．(24-25高一下·福建宁德部分学校·期中)如图1，汾阳文峰塔位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌社区，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位居中国砖结构古塔之首.如图2，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为（），则塔高（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理求出，再解直角三角形即可得解.
【详解】由余弦定理得，
即，解得，
因为在点处测得塔顶的仰角为，
所以.
故选：B
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