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专题03 解三角形
6大高频考点概览
考点01正弦定理及边角互化解三角形
考点02余弦定理解三角形
考点03判断三角形的形状
考点04三角形的面积及其范围
考点05边长及三角函数值范围
考点06解三角形的实际应用
(
地
城
考点01
正弦定理及边角互化解三角形
)
一、单选题
1．(24-25高一下·湖南永州·期中)在中，若，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】由正弦定理可得，解得，可求.
【详解】在中，若，，，
由正弦定理得，所以，解得，
又且，，或．
故选：D.
2．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)在中，若，则是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】由正弦定理得到方程结合题设数据即可求解.
【详解】由正弦定理得，即，
所以，又因为，
所以角，所以，故或.
故选：C
3．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】在中，，，，由正弦定理
可知.
又，，∴或.
故选：C.
4．(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用余弦定理求得，由正弦定理求外接圆半径，进而求圆的面积.
【详解】由题设，则，
所以外接圆半径，故圆的面积为.
故选：D
二、填空题
5．(24-25高一下·湖南长沙铁路第一中学·期中)的内角的对边分别为，若，，，则___________．
【答案】
【分析】根据正弦定理解三角形.
【详解】由正弦定理得：，
又，所以.
故答案为：
6．(24-25高一下·湖南永州·期中)在直角三角形中，斜边为，点在边上，若，，则_____
【答案】/
【分析】由，结合同角关系求出，，根据求出，由求出结果.
【详解】因为，所以，，
又，，
所以，解得，
所以，，所以，
则．
故答案为：
三、解答题
7．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求面积S的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理进行角化边，利用三角函数恒等式化简方程，可得答案；
（2）由平面向量共线定理的推论，利用向量数量积的运算律，根据基本不等式与三角形面积计算，可得答案.
【详解】（1）由已知得，，
由正弦定理可得，，
因为，所以，
代入上式，整理得，
因为，，所以，即，
又因为，所以，所以，解得.
（2）因为，所以，
所以，
，
故，，
当且仅当且，即时取等号.
即的最大值为.
8．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知中，.
(1)求；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由辅助角公式化简即可得解；
（2）由余弦定理及基本不等式得出不等关系，再由正弦定理即可得证.
【详解】（1）由辅助角公式可得，
即，则，
又，故.
（2）设中角的对边分别为，
由余弦定理且，
可得，
当且仅当时取等，
故.
由正弦定理可得，
又，故，即，得证.
9．(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，角的对边分别为.
(1)求.
(2)若，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理结合辅助角公式计算求解；
（2）应用余弦定理结合基本不等式计算求值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，因为0，
所以，，又，所以.
（2）因为，
由余弦定理可得，所以4，
，
当且仅当时，取的面积的最大值.
10．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，.
(1)求；
(2)若的角平分线长为，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，然后利用三角形内角和定理及两角和的正弦公式、辅助角公式即可求解；
（2）由（1）知.根据是角的角平分线、三角形面积公式及可得.在中，由余弦定理可求，最后利用正弦定理角化边即可求解.
【详解】（1）在中，∵，
∴由正弦定理得，
即，
即，
即.
又，∴，即，
即，即.
∵，∴，
∴，∴.
（2）由（1）知.
∵是角的角平分线，且，∴，
∴，即，
∴.
在中，由余弦定理可知，
.
由正弦定理可知，，
∴.
11．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)记的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合余弦二倍角公式得到，再由两角和的余弦化简即可求解；
（2）由正弦定理，二倍角公式化简得，令，进而可求解．
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理
∵ ∴ ∴
∴
∴
∴，∴，∴，
∴或（舍去）
若，则
（2）因为，结合，
可得：，
由正弦定理，
得
，
，令，
则，
由对勾函数单调性可知：在时递减，在时递增，
因此时，．
12．(24-25高一下·湖南长沙铁路第一中学·期中)在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若周长为6，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理求解．
（2）由余弦定理得，结合的周长，求得，再求出三角形的面积．
（3）由正弦定理得，结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围．
【详解】（1）由正弦定理及得，，
因为，所以，则，
若，则，矛盾，则，
又，所以．
（2）由余弦定理，得，
由周长为6，得，解得，
所以的面积．
（3）在锐角中，由，得，则，
又，则，
由正弦定理得
，
所以的范围是．
(
地
城
考点02
余弦定理解三角形
)
单选题
13．(24-25高一下·湖南长沙明德中学·期中)在中，，则最大角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦定理与余弦定理求解即可.
【详解】由题意可知，所以，所以最大，
设，
由余弦定理得：，
故选：A
14．(24-25高一下·湖南邵东第七中学·期中)在中，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用余弦定理建立方程求解.
【详解】在中，设所对的边为，，，
由余弦定理，得，
即，解得，
所以.
故选：C
15．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)如图，在，已知，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出再求出，结合两角和的余弦公式即可求得答案.
【详解】在中，由余弦定理：，
所以为锐角且，
所以．
故选：A.
多选题
16．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)记的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据三角形边角关系，结合正、余弦定理逐项判断即可.
【详解】对于A，因为，由正弦定理可知，
即，故A正确；
对于B，在边上取一点，使得，则，
，故，
在中，由正弦定理可得，
即，
故，故B错误；
对于C，由射影定理可得，
故，
因为，所以，
由余弦定理可得，
故，即，故C正确；
对于D，由B知，，可得，
故，
即，故，即，故D正确.
故选：ACD.
填空题
17．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)在中，，则__________.
【答案】
【分析】根据余弦定理计算即可求解.
【详解】在中，由余弦定理可得
，
故答案为：.
解答题
18．(24-25高一下·湖南永州·期中)在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知和余弦定理，可得，再由正弦定理及正弦的两角和与差公式可得，即可得到；
（2）利用正弦定理即二倍角公式，由为锐角三角形，得到，可得，则得到的取值范围．
【详解】（1）在锐角中，，由余弦定理得，则，
由正弦定理得，即，
，又在中，，
，．
（2）由（1）知，，
由正弦定理
，
又为锐角三角形，
，，，
，
即的取值范围为.
(
地
城
考点0
3
判断三角形的形状
)
单选题
19．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)设外接圆的半径为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【分析】由正弦定理得到，求得，解得，即可得到答案.
【详解】设外接圆的半径为，
若，由正弦定理，可得，所以，
因为，可得，所以为直角三角形.
故选：B.
20．(24-25高一下·湖南·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【分析】首先边化为角，再结合三角恒等变换，求得，即可判断三角形的形状
【详解】移项得，可化为
，
展开得，
整理得，又，所以，即，则为直角三角形.
故选：B．
21．(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则三角形为锐角三角形
【答案】B
【分析】应用三角形内角和及诱导公式判断A；由正弦定理判断B；注意以钝角三角形作为反例判断C；由正弦边角关系及余弦定理判断D.
【详解】A：由，错；
B：由，则，又，则，对；
C：对于钝角三角形，若，此时，错；
D：由，则，故，
所以为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，错.
故选：B
多选题
22．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)已知分别是三个内角的对边，则下列命题中错误的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若是边长为1的正三角形，则
C．若，则有二解
D．若，则是等腰直角三角形
【答案】BD
【分析】A选项，根据锐角三角形，得到，其中，利用正弦函数单调性，得到；B选项，利用向量数量积公式计算出；C选项，由正弦定理得到或，均满足要求，C为正确命题；D选项，由正弦定理和二倍角公式得到或，则是等腰三角形或直角三角形.
【详解】A选项，是锐角三角形，，，
则，其中，
因为在上单调递增，
所以,
故，A为正确命题；
B选项，是边长为1的正三角形，
则，B为错误命题；
C选项，由正弦定理得，即，
解得，
故或，经检验，均满足要求，C为正确命题；
D选项，，由正弦定理得，
即，故，
所以或，故或，
则是等腰三角形或直角三角形，D为错误命题.
故选：BD
23．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)在中，内角的对边分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是等边三角形
【答案】BCD
【分析】利用举反例式即可判断A；利用余弦函数的单调性即可判断B；利用正弦定理化边为角结合两角和
的正弦公式及三角形内角和定理即可判断C;利用正弦定理化边为角即可判断D；
【详解】对于A：当时，满足，而此时，故A错误；
对于B：因函数在区间上单调递减，故时，有，
又因为大边对大角，小边对小角即可得到，故B正确；
对于C：因为，所以,即，故，
又因为,故或(舍去)，所以一定是等腰三角形，故选项C正确；
对于D：因为，所以，即，
故，所以,则一定是等边三角形,故选项D正确；
故选：BCD
(
地
城
考点0
4
三角形的面积及其范围
)
填空题
24．(24-25高一下·湖南·期中)在中，，设，若，且，则的面积为________．
【答案】
【分析】法1，在与中利用正弦定理建立方程，结合二倍角公式化简求出，进而求出三角形面积；法2，过B作的平分线交AC于M，利用角平分线性质定理建立关系，结合数据求出三角形边长及面积.
【详解】设，则，在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
则，即，
整理得，解得，
由θ为锐角，得，即，因此，，
，所以.
法二：过B作的平分线交AC于M，设，则，
由，，得，，
在中，由角平分线性质知，即，整理可得，
则，，即为等边三角形，且D是AM的中点，
而，因此，，
所以．
故答案为：
解答题
25．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)半径为1的圆内接，且．
(1)求数量积，，；
(2)求的面积．
【答案】(1)，，．
(2)
【分析】（1）将变形为，两边平方即可求得的值，同理可求，的值；
（2）利用向量的数量积或夹角公式求出的夹角或余弦值进而可得正弦值，结合三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1），，
则，即得，
所以，同理，．
（2）由，，
由，，得，
则，
同理，，
则，
所以．
26．(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)在中，角的对边分别为，已知．
(1)若，求的外接圆的周长；
(2)若为锐角三角形，且，
①求角的取值范围；
②求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用二倍角的正弦求出，再利用正弦定理求解.
（2）①由（1）的结论，结合锐角三角形条件求出的范围；②由正弦定理及三角形面积公式，结合正切函数的性质求出范围.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，，又，
于是，，因此，设的外接圆半径为，
由正弦定理得，
所以的外接圆的周长为.
（2）①由为锐角三角形，得，又，
则，解得，所以角的取值范围是；
②的面积，
由正弦定理得．
由，得，则，因此，
所以面积的取值范围是.
27．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，.
(1)若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且；
①求CD的长；
②若，求的值.
(2)若，求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由余弦定理可得，，又，结合题目数据可得，最后在中，由余弦定理可得答案；②如图，以为原点，建立平面直角坐标系，由可得M坐标，然后由数量积坐标表示可得答案；
（2）由余弦定理可得，结合及三角函数值域可得，据此可得答案.
【详解】（1）①如图，在中，，，，
由余弦定理可得，
注意到，所以，
又，得，
即，
又因为四边形ABCD为凸四边形，，故，
则在中，由余弦定理可得，所以.
②由①，如图，以为原点，建立平面直角坐标系，
所以，，，D，则.
设，由，
得，
则
则.
（2）在三角形和三角形中，由余弦定理得，
则，
四边形面积为：，
即，所以
，
当且仅当，即，时，取最小值，
则，
所以四边形面积的最大值为.
28．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)已知函数，其中
(1)若，求函数的单调递增区间和最小值；
(2)在中，分别是角的对边，且，求的值；
(3)在第二问的条件下，若，求面积的最大值.
【答案】(1)单调递增区间为，最小值为
(2)2
(3)
【分析】（1）利用数量积运算法则和两角和差的正弦公式及其正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用两角和差的正弦公式，正弦定理，正弦函数的单调性即可得出；
（3）利用余弦定理，三角形的面积计算公式，基本不等式即可得出.
【详解】（1）
，
由，解得，
又，因此函数的单调递增区间为.
其最小值为
（2）由，可得，化简得，
由，得，令，解得.
由正弦定理可得
（3）由（2）可知：.
，当且仅当时取等号.
的面积，
因此，面积的最大值为.
(
地
城
考点0
5
边长及三角函数值范围
)
单选题
29．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中条件及正弦定理可得，结合为锐角三角形，解得角的范围即可求解.
【详解】在中，，，
由正弦定理可知.
∵为锐角三角形，
∴，解得，
∴，.
故选：D.
填空题
30．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，则的取值范围是_________..
【答案】
【分析】首先根据余弦定理与正弦定理化简可得，则，利用换元法结合函数的单调性即可求得范围.
【详解】因为，又由余弦定理得，
所以.
由正弦定理得，
又在中，，
所以，
所以或（舍去），
所以.
，，，
则，
令，
设，易知其在区间上单调递增，
故的取值范围是.
故答案为：.
(
地
城
考点0
6
解三角形的实际应用
)
单选题
31．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．20海里
【答案】B
【分析】根据题设画出示意图，利用余弦定理可得.
【详解】根据题意，画出示意图如下，
由余弦定理得
.
所以，则乙船航行的距离为海里.
故选：B.
填空题
32．(24-25高一下·湖南部分校·期中)某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，）
【答案】20
【分析】根据正弦定理计算求解.
【详解】如图；
由题意得：，，，则．
由正弦定理，
得，所以乙船的航行速度是．
故答案为：20.
解答题
33．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知海面上两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在点时，与两点处灯塔的距离均为2海里.游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达点，此时在点处灯塔测得.
(1)若两点的距离为海里，求的长度；
(2)求两点距离的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用余弦定理可得结果；
（2）当时的长度即为两点距离的最小值，在中，由正弦定理得，其中为定值，又，可得，从而得到.
【详解】（1）由题意知，，
故为以为直角顶点的等腰直角三角形，故，
又因为，且由题意得分布于直线两侧，所以，
有，
由余弦定理可得，
解得（海里）.
（2）由题意知点始终位于以为起点的射线上，记该射线为.
注意到在（1）的条件下，故此时，即，
所以此时的长度即为两点距离的最小值；
由于游船从两灯塔间穿过，即与存在异于端点的交点，设为点.由正弦定理得，在中，，
其中为定值，故增大时，减小，
又因为，
因为，所以，故，
因为，
所以，
故（海里）.
34．(24-25高一下·湖南·期中)2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，．
(1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？
(2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值；
(3)当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？
【答案】(1)
(2)8米
(3)1.5米
【分析】（1）首先根据正弦定理和的关系可求出的值.
（2）方法一：首先根据余弦定理求出的关系式，然后根据不等式的性质求出的最大值；方法二：首先根据正弦定理求出的关系式，然后根据正弦函数的性质求出的最大值.
（3）首先作出辅助线画出图像，然后利用余弦定理求出的纵向分量的最大值，从而确定长度的最小值.
【详解】（1）在中，由正弦定理知，即，
因为，，所以，
解得，因为，所以，
此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功．
（2）法一：在中，由余弦定理知，
故，
整理得，
即，当且仅当时等号成立，此时，
，点在矩形内，捕捉成功．
故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米．
法二：在中，由正弦定理知，
所以．
当，即当时，有最大值为8，
此时，，点在矩形内，捕捉成功．
故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米．
（3）如图，过作的垂线，垂足为
设，则，由题可知所以，
在中，由余弦定理知，
则，整理得，
所以，
又因为，，
当，即当时，有最大值为，
由题知恒成立，所以，此时，
故当的长度至少为米时，无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功．
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专题03 解三角形
6大高频考点概览
考点01正弦定理及边角互化解三角形
考点02余弦定理解三角形
考点03判断三角形的形状
考点04三角形的面积及其范围
考点05边长及三角函数值范围
考点06解三角形的实际应用
(
地
城
考点01
正弦定理及边角互化解三角形
)
一、单选题
1．(24-25高一下·湖南永州·期中)在中，若，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
2．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)在中，若，则是（ ）
A． B．或 C．或 D．
3．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．(24-25高一下·湖南长沙铁路第一中学·期中)的内角的对边分别为，若，，，则___________．
6．(24-25高一下·湖南永州·期中)在直角三角形中，斜边为，点在边上，若，，则_____
三、解答题
7．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求面积S的最大值.
8．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知中，.
(1)求；
(2)证明：.
9．(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，角的对边分别为.
(1)求.
(2)若，求的面积的最大值.
10．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，.
(1)求；
(2)若的角平分线长为，且，求的值.
11．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)记的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
12．(24-25高一下·湖南长沙铁路第一中学·期中)在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若周长为6，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的范围．
(
地
城
考点02
余弦定理解三角形
)
单选题
13．(24-25高一下·湖南长沙明德中学·期中)在中，，则最大角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
14．(24-25高一下·湖南邵东第七中学·期中)在中，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
15．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)如图，在，已知，则为（ ）
A． B． C． D．
多选题
16．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)记的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
填空题
17．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)在中，，则__________.
解答题
18．(24-25高一下·湖南永州·期中)在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
(
地
城
考点0
3
判断三角形的形状
)
单选题
19．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)设外接圆的半径为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
20．(24-25高一下·湖南·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
21．(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则三角形为锐角三角形
多选题
22．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)已知分别是三个内角的对边，则下列命题中错误的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若是边长为1的正三角形，则
C．若，则有二解
D．若，则是等腰直角三角形
23．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)在中，内角的对边分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是等边三角形
(
地
城
考点0
4
三角形的面积及其范围
)
填空题
24．(24-25高一下·湖南·期中)在中，，设，若，且，则的面积为________．
解答题
25．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)半径为1的圆内接，且．
(1)求数量积，，；
(2)求的面积．
26．(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)在中，角的对边分别为，已知．
(1)若，求的外接圆的周长；
(2)若为锐角三角形，且，
①求角的取值范围；
②求面积的取值范围．
27．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，.
(1)若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且；
①求CD的长；
②若，求的值.
(2)若，求四边形ABCD面积的最大值.
28．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)已知函数，其中
(1)若，求函数的单调递增区间和最小值；
(2)在中，分别是角的对边，且，求的值；
(3)在第二问的条件下，若，求面积的最大值.
(
地
城
考点0
5
边长及三角函数值范围
)
单选题
29．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
填空题
30．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，则的取值范围是_________..
(
地
城
考点0
6
解三角形的实际应用
)
单选题
31．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．20海里
由余弦定理得
填空题
32．(24-25高一下·湖南部分校·期中)某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，）
解答题
33．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知海面上两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在点时，与两点处灯塔的距离均为2海里.游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达点，此时在点处灯塔测得.
(1)若两点的距离为海里，求的长度；
(2)求两点距离的取值范围.
34．(24-25高一下·湖南·期中)2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，．
(1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？
(2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值；
(3)当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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