资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 三角函数（概念、图象性质、恒等变换、伸缩平移、应用）
6大高频考点概览
考点01任意角和弧度制
考点02任意角的三角函数及诱导公式
考点03三角恒等变换
考点04三角函数的图象与性质
考点05三角函数的伸缩平移变换
考点06三角函数的应用
(
考点01
任意角和弧度制
)
1．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.
2．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为__________．
(
考点02
任意角的三角函数及诱导公式
)
3．(24-25高一下·湖北·期中)（多选）已知，下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·湖北·期中)（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知，那么（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高一下·湖北·期中)在直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，将的终边沿逆时针方向旋转与单位圆交于点B，则B的坐标为_______．
(
考点03
三角恒等变换
)
单选题
8．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
9．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知，且，则（ ）
A． B． C． D．2
10．(24-25高一下·湖北武汉部分重点学校·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．(24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中)已知，都是锐角，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
14．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)若，且为第三象限角，则（ ）
A．7 B． C． D．
15．(24-25高一下·湖北·期中)下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
16．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ）
A． B． C． D．
17．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)已知，均为第二象限角，，，则等于（ ）
A． B． C． D．2
多选题
18．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)计算下列各式的值，结果为2的有（ ）
A． B．
C． D．
填空题
19．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)写出函数的图象的一个对称中心________．（任写一个即可）
20．(24-25高一下·湖北十堰六县一中教联体·期中)设当时，函数取得最大值，则________.
解答题
21．(24-25高一下·湖北·期中)计算.
(1)；
(2)
22．(24-25高一下·湖北·期中)（1）已知，均为锐角且，，求的值；
（2）已知，，求的值.
(
考点04
三角函数的图象与性质
)
单选题
23．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
24．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)已知函数（，）的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
25．(24-25高一下·湖北·期中)函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
26．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（ ）
A． B．在上有3个零点
C．在上单调递减 D．函数的图象关于直线对称
27．(24-25高一下·湖北十堰六县一中教联体·期中)若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（ ）
A．实数有且仅有一个值
B．实数有且仅有一个值
C．的单调递增区间为
D．若，则
28．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．， B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于对称 D．函数在上单调递增
29．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)设函数，，，则可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
30．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点
31．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期中)已知直线是函数图像的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
32．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C．[3，5] D．
33．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多选题
34．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减
35．(24-25高一下·湖北·期中)函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（ ）

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数
36．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，在的值域为
C．的取值范围为
D．函数在区间上单调递增
37．(24-25高一下·湖北·期中)函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，则的可能值所在的区间有（ ）
A． B．
C． D．
填空题
38．(24-25高一下·湖北·期中)若函数，对于任意都有成立，则称与为区间上的“m阶依附函数”.若，为的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是________.
39．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)直线与曲线和曲线分别相交于点，．
（1）若，则的最大值为______；
（2）若的最大值为，则的值为______．
解答题
40．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)用“五点法”作函数（，，）在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
0
2 0
(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间；
(2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
41．(24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中)已知，，函数.
(1)求函数的对称中心及单调减区间；
(2)若，且，求的值.
42．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)如图，已知的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和
(1)求函数的解析式；
(2)已知，角的终边与单位圆交于点，求的值．
43．(24-25高一下·湖北·期中)函数，其中，，,图象经过同一个周期上最高点和最低点.
(1)求的解析式；
(2)求在的单调递增区间；
(3)的图象经过怎样的变换可以得到的图象 写出变换过程.
44．(24-25高一下·湖北·期中)已知，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值域.
45．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)已知，，函数．
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)若，且，求的值；
(3)在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围．
46．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
(1)求函数在区间上的单调递减区间；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
47．(24-25高一下·湖北·期中)已知，，函数，的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求的最值及取到最值时的值；
(3)若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并求的值.
48．(24-25高一下·湖北·期中)已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的取值范围．
49．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)函数的最小正周期为T，且．
(1)若，求函数的单调递增区间；
(2)若，，且的最小值为．当时，方程有四个不等的实数解，求实数m的取值范围．
50．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数.
(1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
(
考点05
三角函数的伸缩平移变换
)
单选题
51．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)要得到的图象，只需将的图象（ ）
A．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位
B．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位
C．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
D．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
52．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
填空题
53．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________.
54．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是_______．
解答题
55．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期中)已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.
56．(24-25高一下·湖北·期中)已知向量，函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，且，求的值；
(3)已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
(
考点06
三角函数的应用
)
多选题
57．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（ ）
A．关于的函数解析式为（）
B．点第一次到达最高点需用时5秒
C．点再次接触水面需用时8秒
D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米
解答题
58．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：）之间的关系为

(1)求的值；
(2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？
59．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.
(1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点），
（i）在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间；
（ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时刻”的时间段.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 三角函数（概念、图象性质、恒等变换、伸缩平移、应用）
6大高频考点概览
考点01任意角和弧度制
考点02任意角的三角函数及诱导公式
考点03三角恒等变换
考点04三角函数的图象与性质
考点05三角函数的伸缩平移变换
考点06三角函数的应用
(
考点01
任意角和弧度制
)
1．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.
【答案】
【分析】由扇形的弧长及面积公式求解可得答案.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，
则由题意可得，解得，
所以扇形的面积，
故答案为：.
2．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为__________．
【答案】
【分析】利用扇形的面积公式可得扇形和扇形的面积，扇面的面积为两个扇形面积的差.
【详解】设，已知扇形的面积，扇形的面积，所以扇面的面积为.
故答案为：.
(
考点02
任意角的三角函数及诱导公式
)
3．(24-25高一下·湖北·期中)（多选）已知，下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】当时即可判断A；利用作商法即可判断B；当趋于0时即可判断C；结合三角函数的定义即可判断D.
【详解】A：当时，，故A错误；
B：因为，所以，
则，即，故B正确；
C：当趋于0时，趋于0，趋于1，故C错误；
D：如图，在单位圆中，为的终边，点，
由图可知，所对的弧长大于点的纵坐标，即，故D正确.
故选：BD
4．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分子分母同除，化弦为切代入求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：C．
5．(24-25高一下·湖北·期中)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简运算即可.
【详解】.
故选：A.
6．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件利用诱导公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
7．(24-25高一下·湖北·期中)在直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，将的终边沿逆时针方向旋转与单位圆交于点B，则B的坐标为_______．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义以及诱导公式，即可求出结果．
【详解】角的终边与单位圆交于点，即，
所以将的终边沿逆时针方向旋转与单位圆交于点
，
故答案为：．
(
考点03
三角恒等变换
)
单选题
8．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二倍角正弦公式和同角三角函数的关系化简可得结果.
【详解】.
故选：B.
9．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知，且，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由正切的和差角公式展开，代入计算，即可得到结果.
【详解】由得，整理得：，
即，因为，故．
故选：A
10．(24-25高一下·湖北武汉部分重点学校·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦和余弦的二倍角公式进行化简计算.
【详解】因为，所以，故，，
又因为，
所以.
故选：A.
11．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数的平方关系求得，再根据两角差的余弦公式即可求解．
【详解】因为，所以，
所以，
则
，
故选：A．
12．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知及同角三角函数的平方关系得出，，再根据两角和的余弦公式求解即可．
【详解】因为，所以，
所以，，
所以
，
故选：C．
13．(24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中)已知，都是锐角，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数间的关系求得，利用二倍角的正切公式求得，进而利用两角和的正切公式可求的值.
【详解】因为，是锐角，所以，
所以，从而，
所以.
故选：A.
14．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)若，且为第三象限角，则（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】A
【分析】逆用和角余弦公式可得，结合已知得，再由和角正切公式求.
【详解】由，
所以，又为第三象限角，所以，故，
所以.
故选：A
15．(24-25高一下·湖北·期中)下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的正切公式可判断B选项；利用二倍角的余弦公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，
，A不满足；
对于B选项，，B不满足；
对于C选项，
，C满足；
对于D选项，，D不满足.
故选：C.
16．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式将所求式化简，结合条件代入计算可得结果.
【详解】由题意得，，
∵，∴，
∴.
故选：C．
17．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)已知，均为第二象限角，，，则等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】先利用同角三角函数的平方关系和商数关系，分别求出，然后利用两角差的正切公式求值.
【详解】因为，均为第二象限角，所以，，同理可得.
.
故选：A.
多选题
18．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)计算下列各式的值，结果为2的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用和角的正切公式计算求值判断A；利用二倍角的正弦公式计算可判断B；运用两角和的正切公式计算判断C；利用辅助角公式二倍角的正弦公式和诱导公式计算可判断D.
【详解】对于A，
，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于
，故C正确；
对于D，
，故D错误.
故选：AD.
填空题
19．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)写出函数的图象的一个对称中心________．（任写一个即可）
【答案】（答案符合即可）
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出对称中心.
【详解】函数，
由，解得，
所以对称中心为，取，得.
故答案为：
20．(24-25高一下·湖北十堰六县一中教联体·期中)设当时，函数取得最大值，则________.
【答案】
【分析】根据题意利用辅助角公式可得，结合正弦函数最值分析求解.
【详解】因为，
令，，
则，
当，，即，时，取最大值，
此时，，所以.
故答案为：.
解答题
21．(24-25高一下·湖北·期中)计算.
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式结合两角和差公式以及倍角公式运算求解；
（2）根据复数的除法结合复数的模长公式运算求解.
【详解】（1）因为，
原式
.
（2）原式.
22．(24-25高一下·湖北·期中)（1）已知，均为锐角且，，求的值；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由，利用两角差的正弦公式结合平方关系展开即可求解；
（2）由得，利用二倍角公式即可求解.
【详解】（1），
，
则，
.
（2），
即又，
即.
(
考点04
三角函数的图象与性质
)
单选题
23．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由诱导公式及两角差的正弦公式得出，再根据三角函数的平移伸缩变换得出，由关于轴对称，即可求解.
【详解】，
将图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，
然后再向左平移个单位长度后，得，
又因为的图象关于轴对称，所以，
所以，当时，，
故选：B，
24．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)已知函数（，）的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦型函数图象的周期性和特殊点值分别求出参数即可.
【详解】由图象可知，函数的最小正周期满足，即，
所以，且，故解得.
又由图象可知，时，，即，
则，即，又因为，所以.
所以.
故选：B.
25．(24-25高一下·湖北·期中)函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
【答案】D
【分析】根据正弦型函数的周期公式及奇偶性即可求解．
【详解】设，
，所以为偶函数，
因为的周期为，
所以的周期为，
故选：D．
26．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（ ）
A． B．在上有3个零点
C．在上单调递减 D．函数的图象关于直线对称
【答案】C
【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，进而求出周期，再求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项判断.
【详解】由为等腰直角三角形，C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为1，
所以．则函数的周期为4，由，可得；
又，所以，，则，将点C代入，得，则．
而，则，所以.
因为，A错误；
若，则，因为函数，有两个零点，所以在有2个零点，B错误；
若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，C正确；
，的图象关于中心对称，D错误．
故选：C
27．(24-25高一下·湖北十堰六县一中教联体·期中)若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（ ）
A．实数有且仅有一个值
B．实数有且仅有一个值
C．的单调递增区间为
D．若，则
【答案】C
【分析】B选项，根据图象得到，代入，得到方程，结合该点位于单调递增区间，求出；A选项，将代入，结合，得到；C选项，整体法求出函数单调递增区间；D选项，时，，
又关于对称，得到方程，解得，代入解析式，求出答案.
【详解】B选项，由图易得：，
又因为图像过点，所以，，得或
又因为该点位于单调递增区间，所以，所以，B对
A选项，因为图像过，即，，，
设函数最小正周期为，则由图得，即，故，
又，所以只有当时，满足要求，A对
C选项，，令，
解得，
故单调递增区间为，，C错
D选项，时，，
又，关于对称，
所以，解得
，D对
故选：C
28．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．， B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于对称 D．函数在上单调递增
【答案】B
【分析】由图象求出的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】对于A，由题意，，则，
则，
又在上，则，即，
所以，则，
又，所以，所以，即，，故A正确；
对于B，因为，
所以不是图象的对称轴，故B错误；
对于C，因为，
所以的图象关于点对称，故C正确；
对于D，当时，，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：B.
29．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)设函数，，，则可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据题意可知为函数的最大值和最小值，再写出自变量的取值，作差变形即可求解．
【详解】因为，且，
所以为函数的最大值和最小值，
不妨设，即，
所以，
又，所以，
所以当时，，即可以是3，
故选：A．
30．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点
【答案】D
【分析】由图像即可得到函数解析式，从而判断AB，由正弦型函数的单调区间即可判断C，由正弦型函数的零点代入计算，即可判断D.
【详解】由图可知，，且，可得，
又，∴，故A错误；
由五点作图法可知，，解得，
则的最小正周期为，故B错误；
函数解析式为，
当时，，，
在区间上不是单调减的，故C错误；
由，可得，即，
再由，解得，
由，解得，
∴，则在区间上共有8100个零点，
故D正确．
故选：D．
31．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期中)已知直线是函数图像的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函数性质求得最小正周期为，进而求出，然后利用正弦函数的单调性求解单调区间即可.
【详解】因为直线是函数图像的任意两条对称轴，
且的最小值为，
所以，即（），所以，
所以，
令，得，
所以函数的单调区间为.
故选：D
32．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C．[3，5] D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.
【详解】由题意可得：
，
即是上的“完整函数”，所以存在，
使得成立；
即存在，使得成立；
又因为，因此，
即在上至少存在两个最大值点，
所以，解得；
当，即时，一定满足题意；
若，因为，，所以，
又易知；
所以只需保证即可，解得，
综上可知．
故选：B．
33．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式得出，根据题意出函数的最小正周期，可求出的值，解题中的方程得出或，分析可知函数在区间上有两个不等的零点，分析函数的单调性，可出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为
，
因为曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为.
所以函数的最小正周期为，可得，即，
由可得，
解得或，
当时，，
由可得，可得，解得，
所以方程在上只有一个解，故方程在上有两个不等的解，
令，
由可得，由可得，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，
由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B
多选题
34．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据函数图象求出的解析式，即可判断A、B ，再根据三角函数的变换规则得到解析式，再由正弦函数的性质判断C、D．
【详解】对于A，函数的部分图象，
可得，，
，则．
又，所以，，
所以，，又，
，，故A正确；
对于B，由，
，
，故B正确；
对于C，将函数的图象向左平移个单位长度得到，
则为奇函数，故C错误；
对于D，当则，因为在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故D正确，
故选：ABD．
35．(24-25高一下·湖北·期中)函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（ ）

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数
【答案】BC
【分析】求出点的坐标，可得出函数的最小正周期，可判断A选项；求出、的值，利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为点与点关于点对称，则点，
结合图形可知，函数的最小正周期为，A错；
对于B选项，，且函数在附近单调递增，
故，所以，
又因为，故，所以，，
因为，所以函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，
所以函数在上单调递增，C对；
对于D选项，函数的图象向右平移后，得到的图象，
则函数为奇函数，D错.
故选：BC.
36．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，在的值域为
C．的取值范围为
D．函数在区间上单调递增
【答案】ACD
【分析】由为偶函数，结合列式计算可判断A；将函数化简后结合余弦函数性质计算求解可判断B；由函数在上单调递增，列不等式求解可判断C；根据正弦型函数性质结合，计算可判断D.
【详解】对于A，因为为偶函数，
所以，又，则，故A正确；
对于B，若，，
当时，，
则，故B错误；
对于C， 所以，
由知，
因为在上单调递增，故，
解得，由可得，
由可得，故，又，所以，故C正确；
对于D，，时，，
而，则，，
即，故D正确．
故选：ACD
37．(24-25高一下·湖北·期中)函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，则的可能值所在的区间有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，再逐一验证即可求解．
【详解】因为在上单调递减，
所以，
因为为图象的一个对称中心，
所以①，
因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，
所以②，
②①得，，即，
所以可取，
当时，，，
当时，，在单调递减，符合题意；
当时，，，
又，所以没有符合题意的值，故不合题意；
当时，，，取，
当时，，在单调递减，符合题意；
综上所述，符合题意的，
故选：AC．
填空题
38．(24-25高一下·湖北·期中)若函数，对于任意都有成立，则称与为区间上的“m阶依附函数”.若，为的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是________.
【答案】或，
【分析】将问题转化为两个函数的最值问题，即可根据三角函数的性质求解最值得解.
【详解】根据对任意的恒成立，
故对任意的，
故，
时，，故，
时，，故，
故，即，解得或，
故答案为：或，
39．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)直线与曲线和曲线分别相交于点，．
（1）若，则的最大值为______；
（2）若的最大值为，则的值为______．
【答案】 （）或（）
【分析】应用辅助角公式及正弦的有界性即可求解；应用辅助角公式及正弦的有界性即可求解
【详解】当时，
当且仅当（）即（）取等号
（2）
其中的象限由点决定，且
所以
当且仅当（）取等号
依题意，，所以，所以（）或（）
故答案为：；（）或（）
解答题
40．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)用“五点法”作函数（，，）在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
0
2 0
(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间；
(2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，（）.
(2).
【分析】（1）根据表格数据可求解析式，整体代入可得减区间；
（2）分离参数求解最值可得答案或者利用数形结合法可得答案.
【详解】（1）由题意知，，
令，
解得，，
即的单调递减区间为（）.
（2）解法一：在区间恒成立，即在区间恒成立，
所以.
由于，则，所以.
即恒成立，所以，所以的取值范围为.
解法二：在区间恒成立，即在区间恒成立，
所以,
通过题干五点法作图以及函数以为周期，作部分简图如下：

由图可知：，即的取值范围为.
41．(24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中)已知，，函数.
(1)求函数的对称中心及单调减区间；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)对称中心为，减区间为
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示求得，利用整体法可求得对称中心与单调减区间；
（2）由已知结合同角正余弦定理可求得，进而利用可求值.
【详解】（1）.
由，得对称中心为.
由，解得，
所以.函数的对称中心为，单调减区间为
（2）由，得，
又，所以，所以.
.
42．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)如图，已知的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和
(1)求函数的解析式；
(2)已知，角的终边与单位圆交于点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由二倍角的正余弦公式化简函数表达式，再结合正弦函数图象的性质求解出即可；
（2）由特殊角的正弦值求出，再由三角函数的定义求出的正余弦，然后结合余弦展开式计算即可.
【详解】（1），
由图象可得，
又最高点，最低点，
联立解得，
所以函数的解析式为.
（2）
因为，解得，
由角的终边与单位圆交于点，可得，
所以.
43．(24-25高一下·湖北·期中)函数，其中，，,图象经过同一个周期上最高点和最低点.
(1)求的解析式；
(2)求在的单调递增区间；
(3)的图象经过怎样的变换可以得到的图象 写出变换过程.
【答案】(1)
(2)，，
(3)见解析
【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；
（2）由，可求得单调区间，即可对取值求解.
（3）根据函数图象的平移和伸缩变换的性质即可求解.
【详解】（1）依题意，得
由于，∴，∴
∴，把代入上式，得
又，∴，∴
∴
（2）令，由得：
解得（），
当时，
取，则，
，则，当，则，
∴在的单调递增区间为，，
（3）将的图象向右平移个单位可得的图象，进而将的图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，此时可得的图象.
44．(24-25高一下·湖北·期中)已知，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量垂直的坐标运算可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果；
（2）由条件可得函数的解析式，再由正弦型函数的值域即可得到结果.
【详解】（1）由可得，即，
则.
（2），
由可得，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
所以的值域为.
45．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)已知，，函数．
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)若，且，求的值；
(3)在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）先根据数量积坐标运算公式，再应用三角恒等变换化简，结合正弦函数对称中心计算求解；
（2）根据二倍角公式计算化简结合弦切转化计算求解；
（3）先求出，再应用正弦定理结合三角函数值域求解周长范围.
【详解】（1）因为，，
所以
，
即函数的解析式为
所以对称中心的横坐标满足，，解得，，
所以函数的对称中心，
（2）因为，
所以
即
所以，即
又由得，
所以，
又
所以
（3）若，，即，
可得，，所以，解得
由正弦定理可得：，即，
所以
，
即
而在锐角三角形中，，可得，
所以，即，
所以三角形的面积的取值范围为．
46．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
(1)求函数在区间上的单调递减区间；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数对称性和周期性求出系数，从而得到函数解析式，整体代入求单调区间即可；
（2）数形结合分析，将问题转化成一元二次方程在区间上只有一个实数根，构造不等式求解即可.
【详解】（1）因为
由图象的两条相邻对称轴之间的距离为，得函数的最小正周期为，
由，得，所以，
令，解得，
所以函数在区间上的单调递减区间为.
（2）因为，则，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，的函数值从0递增到1，又从1递减回0，如图所示，

令则，
依题意得方程在上仅有一个实根，且此根应该在区间上，
令，因为
则需或，解得或
所以实数m的取值范围是或．
47．(24-25高一下·湖北·期中)已知，，函数，的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求的最值及取到最值时的值；
(3)若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并求的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)的取值范围是，
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式求出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可得出函数的增区间；
（2）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出的最大值、最小值及其对应的值；
（3）分析函数在上的单调性，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围，利用正弦型函数的对称性可求得的值，即可得出的值.
【详解】（1）因为，，
所以，，，
，
因为函数的最小正周期为，则，可得，故.
由可得，
因此，函数的单调递增区间为.
（2）令，由可得，即，
故当时，即当时，取得最大值，
当时，即当时，取得最小值.
（3）函数所在上有两个不同的零点、，
由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，，解得，
故实数的取值范围是，
由可得，所以，直线为函数图象的一条对称轴，
因为，所以点、关于直线对称，
所以，因此.
48．(24-25高一下·湖北·期中)已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据数量积运算结合三角恒等变换化简表达式，结合周期公式求解；
（2）根据正弦函数的单调性求解；
（3）先求出，然后用正弦定理得出，利用三角形面积公式表示出，结合的取值范围求解.
【详解】（1），
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，又，解得，
所以．
（2）令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
（3）已知，由，得，
由正弦定理，得，
，
由是锐角三角形，有，
得，则，
所以，
即面积的取值范围是．
49．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)函数的最小正周期为T，且．
(1)若，求函数的单调递增区间；
(2)若，，且的最小值为．当时，方程有四个不等的实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，求出的解析式，再利用正弦函数的单调性求解.
（2）正弦函数零点的意义，结合给定条件，求出的解析式，再探讨在指定区间内取值情况，换元并借助二次函数零点分布求出范围.
【详解】（1）由，得，则，
而，则，即，由，得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）由，得，
则，
解得，
则，，
即，因此，由，得，
当，每个值均有两个x值与之对应，设，，
方程化为，方程有4个不等实根，
等价于有两个不同的零点，且，
而，则在有两个不同的零点或在有两个不同的零点，
当在有两个不同的零点时，，解得；
当在有两个不同的零点时，，此不等式无解，
所以m的取值范围为．
50．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数.
(1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围；
（2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围.
【详解】（1）由为偶函数，则，，又，则，
所以，则
，
存在，使不等式成立，则，
所以在上能成立，而，
所以；
（2）由题设，且，则，
所以，
而，则，所以，
对任意的，总存在，使成立，
所以，即，
令，则，故，
当，则在上单调递增，此时，可得；
当，则在上单调递减，此时，可得；
当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得；
综上，.
(
考点05
三角函数的伸缩平移变换
)
单选题
51．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)要得到的图象，只需将的图象（ ）
A．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位
B．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位
C．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
D．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
【答案】D
【分析】直接按照图象的伸缩平移变换可得正确选项.
【详解】因为，
所以先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象，
再向左平移个单位，得到的图象.
故选：D．
52．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式.
【详解】函数的图象向右平移，得，
再将横坐标伸长为原来的3倍，得，
故选：B
填空题
53．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________.
【答案】 5
【分析】应用辅助角公式得，结合图象平移及正弦型函数的奇偶性有，即可求参数，再由正弦型函数的区间最值有，即可得范围.
【详解】由题设，
所以为奇函数，则，
所以，又，故，
所以，若，则，
又函数在区间上存在最大值2，则.
故答案为：5，
54．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】先由题目条件得到函数的表达式，再得到由的范围得到的范围，结合角的范围，求解不等式即可得到的取值范围.
【详解】将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，
再将所得图象向左平移个单位长度后可得，
由，则，
因为，即，
故有或，
解得．
故答案为：
解答题
55．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期中)已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算法则和三角恒等变换知识化简可得，再由，求得的值后，根据正弦函数的单调性，得解；
（2）由函数图象的伸缩平移法则可得，采用换元法，令，原问题转化为在，上只有一个解，作出的图象后，即可得解．
【详解】（1），
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以，
令，则，
所以的单调递减区间为
（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是
56．(24-25高一下·湖北·期中)已知向量，函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，且，求的值；
(3)已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，．
【分析】（1）根据数量积的坐标表示及二倍角公式、两角和的正弦公式化简；
（2）依题意可得，结合角的范围得到，再由及两角差的正弦公式计算可得；
（3）求出，设，由垂直关系利用向量列出方程，令，结合，得到，求出点的坐标.
【详解】（1）因为，，函数，
所以
.
（2）依题意，
因为，所以，而，
所以，
所以，
所以
；
（3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
则，
假设的图象上存在点使得，
因为，
因为，
所以
，
令，
因为，所以，
当且仅当时取等，
所以存唯一解，此时，点，
综上，符合条件的点坐标为．
(
考点06
三角函数的应用
)
多选题
57．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（ ）
A．关于的函数解析式为（）
B．点第一次到达最高点需用时5秒
C．点再次接触水面需用时8秒
D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米
【答案】CD
【分析】根据函数模型的定义与性质，求出和，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确.
【详解】函数中，，所以，
时，，解得，所以，
所以，故A错误；
令时，得，则，
解得，所以的最小值为分钟，即用时秒，
所以点第一次到达最高点需用时秒，故B错误；
由题意知，点再次接触水面需用时分钟，即秒，故C正确；
当点运动2秒时，即时，，故D正确；
故选：CD
解答题
58．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：）之间的关系为

(1)求的值；
(2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据振幅得到，根据题意得到最小正周期，，由最值得到，代入特殊点函数值求出；
（2）由（1）得到，从而得到方程，求出，求出最小值，得到答案.
【详解】（1）由题意，振幅等于半径，即，
逆时针方向每分钟转一圈，，，
由题意，
因为时，，所以，所以，
又；
（2）由（1）可得，，
令，则有，
即，，
，
当时，最小，，
盛水筒出水后至少经过25s就可以到达最高点.
59．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.
(1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点），
（i）在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间；
（ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时刻”的时间段.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”
【分析】（1）设，，，根据最大值、最小值求，根据周期求，根据初始位置求即可；
（2）（i）同（1）求出乙的座舱高度与时间函数为，令即可解方程；
（ii）结合余弦函数图象解不等式即可.
【详解】（1）设，，
由题意可知，，，则，，
又易知，所以，得，
又当时，，则，
因，则，
所以，化简得.
（2）（i）设乙的座舱高度与时间函数为，
同（1）可求得，
因为甲乙离地面高度相等，即，
可得：，即，
可解得，即，
故时，有最小值，
即当时，甲乙首次高度相等.
（ii）由题意易知，所谓“震撼时刻”，即要求，
化简得，
因，则，故，则，
故第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑