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专题03·复数
9大高频考点概览
考点01·求复数的实部与虚部（纯虚数）
考点02·复数的坐标表示
考点03·复数对应的象限
考点04·求复数的模长
考点05·复数的四则运算
考点06·复数与方程的根
考点07·复数的三角表示
考点08·复数的轨迹与范围问题
考点09·复数的综合题型
1．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)复数的虚部是（ ）
A．2 B． C． D．
2．(24-25高一下·福建宁德部分学校·期中)复数的虚部为________.
3．【多选题】(22-23高一下·福建福州高级中学·)已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·福建福州联盟校·期中)已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B．2 C． D．3
6．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)在复平面内，复数z对应的向量，则（ ）．
A． B． C． D．
7．(22-23高一下·福建福州屏东中学·期中)复数，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（ ）
A． B． C．1 D．i
8．(22-23高一下·福建六校（福清第三中学等）·期中)已知复数满足，其中为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.
9．【多选题】(22-23高一下·福建福州福清高中联合体·期中)设，复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是实数，则 B．若是虚数，则
C．当时，的模为 D．当时，在复平面上对应的点为
10．(21-22高一下·福建福州·期中)在复平面内，已知正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别是．
(1)求点D对应的复数；
(2)若________，求对应的复数．
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．
①点T是的垂心．
②点T是的外心．
11．(22-23高一下·福建宁德福安·)已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第______象限．
12．(23-24高一下·福建晋江养正中学·期中)已知复数满足以下条件：①复数在复平面内对应的点位于第一象限；②复数的模为5；③复数的实部大于虚部，则复数可以是__________．（填写一个答案即可）
13．(22-23高一下·福建福州八县（）协作校·期中)1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，当时，表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)已知复数
(1)若是虚数，求m的取值范围．
(2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
(3)若，求的取值范围．
15．(22-23高一下·福建漳州第三中学·期中)当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件
(1)位于第二象限；
(2)位于直线上，并求.
16．(22-23高一下·福建宁德福安·)设，则（ ）
A． B． C． D．
17．(22-23高一下·福建宁德福安·)已知复数是纯虚数．
(1)求a的值；
(2)若，求复数以及的模．
18．(22-23高一下·福建厦门第一中学·期中)i是虚数单位，已知，写出一个满足条件的复数．______．
19．(22-23高一下·福建福宁古五校联合体·期中)已知复数的实部为， 且，则复数的虚部为_________．
20．【多选题】(20-21高一下·福建宁德高中同心顺联盟校·期中)满足及的复数可以是（ ）
A． B． C． D．
21．(23-24高一下·福建同安第一中学·期中)已知复数， 则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
22．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)若，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
23．(24-25高一下·福建莆田莆田第四中学·期中)复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
24．【多选题】(24-25高一下·福建泉州第五中学·期中)已知两个复数，满足，且，则下面说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
25．(24-25高一下·福建莆田二中、仙游一中·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．-1
26．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)复数，，．已知为纯虚数．
(1)求m和；
(2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值．
27．(24-25高一下·福建福州第八中学·期中)已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且.是关于的方程的一个根，
(1)求实数p，q的值
(2)求出方程的另一个复数根.
28．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)已知是关于x的方程（）的一个复数根，则（ ）
A． B． C．4 D．6
29．(24-25高一下·福建厦门双十中学·期中)已知复数，i为虚数单位．
(1)求z的共轭复数；
(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．
30．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)若是关于的方程的一个根，则_______．
31．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________．
32．(23-24高一下·福建莆田第一中学·期中)法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______．
33．【多选题】(21-22高一下·福建莆田第一中学·期中)已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
34．(21-22高一下·福建宁德部分达标中学·期中)欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
35．(22-23高一下·福建福州第一中学·期中)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
36．(24-25高一下·福建厦门第一中学·期中)已知复数满足，则的最小值为_____.
37．(23-24高一下·福建龙岩一级校联盟·期中)已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数_____________.
38．(23-24高一下·福建三明五地五校联考·期中)已知复数，i为虚数单位．
(1)若z是纯虚数，求a；
(2)若，求；
(3)在（1）的条件下，复数w满足，写出复数w在复平面上对应点的轨迹.
39．(23-24高一下·福建师范大学附属中学·期中)已知复数满足，则的最小值为______．
40．(23-24高一下·福建福州八县（、区）协作校·期中)已知复数满足，则最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
41．【多选题】(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则的最小值为2
D．若是关于的方程的根，则
42．【多选题】(24-25高一下·福建厦门双十中学·期中)已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）
A．复数是纯虚数，则或
B．若，则的最大值为
C．芳，则
D．若是关于x的方程的一个根，则
43．【多选题】(24-25高一下·福建厦门厦门大学附属科技中学·期中)已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，则在复平面中复数所对应的点的集合构成的图形面积为
44．【多选题】(23-24高一下·福建厦门第六中学·期中)下列命题正确的（ ）
A．若复数，则
B．若，，则复数的虚部是2i
C．若是关于x的实系数方程的根，则
D．若，则的最小值为1
45．【多选题】(23-24高一下·福建厦门杏南中学·期中)设，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则，互为共轭复数
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为.
46．【多选题】(23-24高一下·建厦门双十中学·期中)设为复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则的取值范围是
47．【多选题】(23-24高一下·福建莆田第一中学·期中)设，，为复数，，下列命题中正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．
48．【多选题】(23-24高一下·福建师范大学附属中学·期中)已知复数，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则中至少有1个是0
D．若且，则
49．【多选题】(23-24高一下·福建福州第八中学·期中)已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
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专题03·复数
9大高频考点概览
考点01·求复数的实部与虚部（纯虚数）
考点02·复数的坐标表示
考点03·复数对应的象限
考点04·求复数的模长
考点05·复数的四则运算
考点06·复数与方程的根
考点07·复数的三角表示
考点08·复数的轨迹与范围问题
考点09·复数的综合题型
1．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)复数的虚部是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的概念可判断.
【详解】的实部为虚部为，
故选：C.
2．(24-25高一下·福建宁德部分学校·期中)复数的虚部为________.
【答案】
【分析】根据复数的概念判断.
【详解】复数的虚部为.
故答案为：.
3．【多选题】(22-23高一下·福建福州高级中学·)已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，,求出或，
结合，求出的值.
【详解】由条件知，，
∴，
∴或，
∵，
∴，或．
故选：ACD
4．(24-25高一下·福建福州联盟校·期中)已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】由纯虚数概念得到求解即可.
【详解】因为复数是纯虚数，
所以，
解得.
故选：A.
5．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】虚部为0，得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，故.
故选：D
6．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)在复平面内，复数z对应的向量，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的几何意义与共轭复数的概念即可求解.
【详解】由题意，则.
故选：B.
7．(22-23高一下·福建福州屏东中学·期中)复数，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（ ）
A． B． C．1 D．i
【答案】A
【分析】求出复数z的对应向量的终点所在角终边，按逆时针方向旋转后对应点所对角终边，再求出对应点的坐标作答.
【详解】复数的对应向量的终点在坐标轴的第四象限的角平分线上，
将此角平分线按逆时针方向旋转后，得x轴的非负半轴，令点对应的点为，
由得：，即，点所对复数为，
所以将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为.
故选：A
8．(22-23高一下·福建六校（福清第三中学等）·期中)已知复数满足，其中为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的定义，结合复数相等的定义进行求解即可；
（2）根据平行四边形的性质，结合复数的几何意义进行求解即可.
【详解】（1）设，则，
故，
所以解得：，
∴；
（2）由（1）得：，
因为四边形是复平面内的平行四边形
所以
故点对应的复数为.
9．【多选题】(22-23高一下·福建福州福清高中联合体·期中)设，复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是实数，则 B．若是虚数，则
C．当时，的模为 D．当时，在复平面上对应的点为
【答案】AC
【分析】根据复数的概念判断A、B，根据复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D.
【详解】因为，，
对于A：若是实数，则，解得，故A正确；
对于B：若是虚数，则，解得，故B错误；
对于C：当时，所以，故C正确；
对于D：当时，在复平面上对应的点为，故D错误；
故选：AC
10．(21-22高一下·福建福州·期中)在复平面内，已知正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别是．
(1)求点D对应的复数；
(2)若________，求对应的复数．
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．
①点T是的垂心．
②点T是的外心．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）设，表示出和，利用向量相等列方程组，即可求解；
（2）选①：判断出的垂心为B,求出,利用向量的加法得到,即可求解；
选②：判断出的外心为斜边AC的中点,求出，利用向量的加法得到,即可求解；
【详解】（1）因为点A，B，C对应的复数分别是，
所以,,,所以.
设，则.
因为ABCD为正方形，所以，所以，解得：，
所以，即点D对应的复数.
（2）选①：因为为直角三角形，且B为直角顶点，
所以的垂心为B,即,
所以
所以,
对应的复数为；
选②：因为为直角三角形，且B为直角顶点，
所以的外心为斜边AC的中点,即.
所以
所以,
对应的复数为.
11．(22-23高一下·福建宁德福安·)已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第______象限．
【答案】二
【分析】根据复数的几何意义分析即可.
【详解】复数在复平面内复数z对应的点为，位于第二象限.
故答案为：二
12．(23-24高一下·福建晋江养正中学·期中)已知复数满足以下条件：①复数在复平面内对应的点位于第一象限；②复数的模为5；③复数的实部大于虚部，则复数可以是__________．（填写一个答案即可）
【答案】(答案不唯一符合题意均可)
【分析】根据题目要求写出一个复数即可.
【详解】设复数（）满足题意，则，
所以复数可以是，
故答案为：(答案不唯一符合题意均可).
13．(22-23高一下·福建福州八县（）协作校·期中)1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，当时，表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据的范围判断三角函数符号，由已知和复数的几何意义可得.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以对应点位于复平面的第三象限.
故选：C
14．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)已知复数
(1)若是虚数，求m的取值范围．
(2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据虚数可得虚部非零，从而可求范围；
（2）根据点在第四象限可得实部为正，虚部为负，从而可得范围；
（3）根据复数相等结合消参可得，由平方关系和正弦函数的性质可求参数的范围.
【详解】（1）由题意，要使是虚数，则，解得：.
（2）由题意，要使点位于第四象限，则需满足，解得：.
（3）由得，
由复数相等的定义知，必有，
因为，所以
故的取值范围为
15．(22-23高一下·福建漳州第三中学·期中)当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件
(1)位于第二象限；
(2)位于直线上，并求.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出复数在复平面内对应的点的坐标，根据点在第二象限可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围；
（2）将复数在复平面对应的点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出的值，利用复数的模长公式可求得的值.
【详解】（1）解：因为为实数，复数在复平面内对应的点的坐标为，
若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得.
（2）解：由题意可知点在直线上，
则，解得或，
当时，，此时；
当时，，此时.
综上所述，当时，；当时，.
16．(22-23高一下·福建宁德福安·)设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数模长运算直接求解即可.
【详解】，.
故选：B.
17．(22-23高一下·福建宁德福安·)已知复数是纯虚数．
(1)求a的值；
(2)若，求复数以及的模．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据纯虚数实部为0求解即可；
（2）根据复数的运算与模长公式求解即可.
【详解】（1）因为为纯虚数，故，解得.
（2）由（1），故，.
18．(22-23高一下·福建厦门第一中学·期中)i是虚数单位，已知，写出一个满足条件的复数．______．
【答案】（答案不唯一，满足（）均可）
【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.
【详解】设，（），
则，，
因为，
所以，解得：，
所以，（）
所以可以取.
故答案为：（答案不唯一，满足（）均可）.
19．(22-23高一下·福建福宁古五校联合体·期中)已知复数的实部为， 且，则复数的虚部为_________．
【答案】
【分析】根据题意，设复数，由，列出方程，即可求解.
【详解】由复数的实部为，可设复数，
因为，可得，可得，解得.
故答案为：.
20．【多选题】(20-21高一下·福建宁德高中同心顺联盟校·期中)满足及的复数可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据复数的模的运算公式，结合已知等式通过解方程组进行求解即可.
【详解】设，因为，所以，
，
解得：，代入中，得，所以，
故选：AB
21．(23-24高一下·福建同安第一中学·期中)已知复数， 则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的概念得的虚部即可.
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选：C.
22．(24-25高一下·福建三明五县联盟·期中)若，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘方及除法运算化简，即可得解.
【详解】由已知，
则，
则其虚部为，
故选：A.
23．(24-25高一下·福建莆田莆田第四中学·期中)复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用复数模的运算和除法运算化简复数，进而求得复数的虚部.
【详解】，则的虚部为.
故选：C
24．【多选题】(24-25高一下·福建泉州第五中学·期中)已知两个复数，满足，且，则下面说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据复数的除法运算计算判断A，B，再应用模长计算判断C，D.
【详解】因为，且，则，
所以，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项正确；
，D选项正确；
故选：CD.
25．(24-25高一下·福建莆田二中、仙游一中·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】A
【分析】利用复数的乘法及乘方运算计算得解.
【详解】由，得.
故选：A
26．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)复数，，．已知为纯虚数．
(1)求m和；
(2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据复数减法以及纯虚数的概念，建立方程与不等式，结合模长公式，可得答案；
（2）根据复数的除法以及乘方，由方程的解以及复数相等，建立方程，可得答案.
【详解】（1）由，且为纯虚数，则，解得，
所以，故.
（2）由，则，
整理可得，可得，解得.
27．(24-25高一下·福建福州第八中学·期中)已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且.是关于的方程的一个根，
(1)求实数p，q的值
(2)求出方程的另一个复数根.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先利用化简复数，即可求出，进而利用复数的除法运算化简得出，再将其代入一元二次方程中即可求出的值；
（2）配方，即可求出一元二次方程的根.
【详解】（1），所以，
因为，所以，
因是关于的方程的一个根，则，
即，
所以，解得：，，
（2）由（1）可知方程为，化简为，
解得或，
所以方程的另一根为.
28．(24-25高一下·福建福州八县（）协作校·期中)已知是关于x的方程（）的一个复数根，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】A
【分析】将复数根代入方程后结合实部虚部均为零可求的值.
【详解】因为是关于x的方程（）的一个复数根，
所以，整理得：，
而，故，
故选：A.
29．(24-25高一下·福建厦门双十中学·期中)已知复数，i为虚数单位．
(1)求z的共轭复数；
(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的运算可得，即可得共轭复数；
（2）可知：、是方程的根，利用韦达定理即可得结果.
【详解】（1）因为，
所以z的共轭复数.
（2）由题意可知：、是方程的根，
则，即.
30．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期中)若是关于的方程的一个根，则_______．
【答案】
【分析】先由方程复数根互为共轭复数可得为另外一个根，再用韦达定理求解即可.
【详解】根据方程复数根互为共轭复数，可得为另外一个根.
利用韦达定理结合复数的加法和乘法运算可知
，
故答案为：.
31．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________．
【答案】
【分析】由棣莫弗公式结合实部的概念即可求解.
【详解】由题意，
故所求为.
故答案为：.
32．(23-24高一下·福建莆田第一中学·期中)法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______．
【答案】
【分析】结合复数定义，借助所给公式计算即可得.
【详解】，
故其虚部为.
故答案为：.
33．【多选题】(21-22高一下·福建莆田第一中学·期中)已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.
【详解】A.若，则，所以该选项正确；
B.若，则，所以该选项错误；
C.若，，则
，所以该选项错误；
D.，，则
.所以该选项错误.
故选：BCD.
34．(21-22高一下·福建宁德部分达标中学·期中)欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.
【详解】解：，又，为第二象限角，故
，故在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
35．(22-23高一下·福建福州第一中学·期中)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题设公式可判断A,B，由可得，两式联立可判断C,D.
【详解】对于A，不一定等于0，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，①
所以，即，②
联立①②可得，，故C正确，D错误，
故选：C.
36．(24-25高一下·福建厦门第一中学·期中)已知复数满足，则的最小值为_____.
【答案】2
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最小值.
【详解】在复平面内，复数对应的点，表示点与点的距离为1，
因此点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，又表示点与点的距离，
，所以的最小值.
故答案为：2
37．(23-24高一下·福建龙岩一级校联盟·期中)已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数_____________.
【答案】4
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及圆的面积公式，即可求解．
【详解】复平面内满足的点的集合围成的图形为以为圆心，以半径的圆，
复平面内满足的点的集合围成的图形面积为，
则，解得（负值舍去）．
故答案为：4．
38．(23-24高一下·福建三明五地五校联考·期中)已知复数，i为虚数单位．
(1)若z是纯虚数，求a；
(2)若，求；
(3)在（1）的条件下，复数w满足，写出复数w在复平面上对应点的轨迹.
【答案】(1)．
(2)答案见解析
(3)以为圆心，以1为半径的圆
【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解，
（2）利用复数的模长公式，即可求解或,进而利用共轭复数的定义求解即可，
（3）根据复数的几何意义即可求解.
【详解】（1）若z是纯虚数，则，所以
（2），所以，所以或,
当时，，，
当时，，
（3）由（1）知，
∴复数w在复平面上对应点的轨迹为：以为圆心，以1为半径的圆
39．(23-24高一下·福建师范大学附属中学·期中)已知复数满足，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据复数的几何意义，利用数形结合，即可求解.
【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复数与复数对应两点间的距离为1，
所以复数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆，如图，
表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最小值为.
故答案为：
40．(23-24高一下·福建福州八县（、区）协作校·期中)已知复数满足，则最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得.
【详解】是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆，
是上述圆上的点到复数对应点的距离，
而，所以的最小值是.
故选：A

41．【多选题】(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则的最小值为2
D．若是关于的方程的根，则
【答案】ABD
【分析】设，，计算出判断A；利用复数单位的幂运算判断B；设，，得到，，根据，得到的最小值为1判断C，先求出二次方程的另一个根，然后利用韦达定理求得判断D．
【详解】设，，则，
又，，
所以成立，所以A正确．
，所以B正确．
设，，由于，则，即，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，所以C不正确．
因为是关于的方程的根，
所以也是关于的方程的根，
则，则，所以D正确．
故选：ABD．
42．【多选题】(24-25高一下·福建厦门双十中学·期中)已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）
A．复数是纯虚数，则或
B．若，则的最大值为
C．芳，则
D．若是关于x的方程的一个根，则
【答案】BD
【分析】由纯虚数的概念可判断A，由复数的几何意义可判断B，利用特值法可判断C，利用复数相等求出可判断D.
【详解】对A，由是纯虚数，可得，
解得：，故A错误；
对B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，
可看作单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，
则该单位圆上的点到点的距离最大值为，故B正确；
对C，当时，，，可见，故C错误；
对D，依题意，，整理得，
而，因此，解得，故D正确.
故选：BD.
43．【多选题】(24-25高一下·福建厦门厦门大学附属科技中学·期中)已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，则在复平面中复数所对应的点的集合构成的图形面积为
【答案】ABD
【分析】根据复数的除法运算及乘方即可判断A；根据复数的模及复数的乘法运算即可判断B；举出反例即可判断C；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，即可判断D.
【详解】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，设，
则，所以，故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，设，
由，得，即，
所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环，
其中小圆的半径为，大圆的半径为，
其面积为，故D正确.
故选：ABD.
44．【多选题】(23-24高一下·福建厦门第六中学·期中)下列命题正确的（ ）
A．若复数，则
B．若，，则复数的虚部是2i
C．若是关于x的实系数方程的根，则
D．若，则的最小值为1
【答案】ACD
【分析】根据复数运算、复数的模、虚部、方程的根、复数模的几何意义对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，，，，虚部为，B选项错误.
C选项，由于是关于x的实系数方程的根，
则是关于x的实系数方程的根，
所以，解得，所以，C选项正确.
D选项，表示对应点与点的距离为，
表示对应点与点的距离，结合图象可知，的最小值为，
所以D选项正确.
故选：ACD.

45．【多选题】(23-24高一下·福建厦门杏南中学·期中)设，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则，互为共轭复数
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为.
【答案】BCD
【分析】根据共轭复数的定义即可判断选项AC；利用复数的运算和模长的计算公式即可判断B选项；利用复数的几何意义即可判断D选项.
【详解】对于A，若，则为实数，
但，不是共轭复数，故A错误；
对于B，设则
若，则，故B正确；
对于C，设则，故C正确；
对于D，若，
则在复平面内对应点的集合所构成的图形是以原点为圆心，
半径分别为1和的两个圆所形成的圆环部分.
故所构成的图形的面积为：，故D正确.
故选：BCD
46．【多选题】(23-24高一下·建厦门双十中学·期中)设为复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用特殊值判断A，根据复数的模得到，即可判断B，根据复数的模及复数代数形式的乘法运算判断C，设，根据复数模的几何意义判断D.
【详解】对于A：设，，则，，满足，
但是，，虚数不能比较大小，故A错误；
对于B：因为，所以，则，所以，故B正确；
对于C：设，
则，，，，
若，则，
又，，
所以，故C正确；
对于D：设，由，所以，
点在以为圆心，半径的圆形区域内（包括边界），
因为，
所以，表示圆形区域的点到定点的距离，
因为，所以，
即，
即的取值范围是，故D正确.
故选：BCD
47．【多选题】(23-24高一下·福建莆田第一中学·期中)设，，为复数，，下列命题中正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．
【答案】ABD
【分析】对于A，化成，结合复数相等的知识即可求解；对于B，利用复数代数形式求解即可；对于C，举出反例即可；对于D，利用复数的向量表示作图即可判断.
【详解】设（），
对于A，若，则，
因为，结合复数相等的知识，所以，
所以选项A正确；
对于B，由，所以，
所以，
，
，
同理：，
所以，所以选项B正确；
对于C，令，，但是，
所以选项C错误；
对于D，设分别表示复数，

由，若不共线时，
如图：，即，

若共线且反向时，
如图： 易知，

若共线且同向时，
如图：易知，
综上：，所以选项D正确.
故选：ABD.
48．【多选题】(23-24高一下·福建师范大学附属中学·期中)已知复数，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则中至少有1个是0
D．若且，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，以及复数的模计算，结合复数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，设复数，则，
可得，
则
，即，所以A正确；
对于B中，例如，此时满足，但，所以B不正确；
对于C中，由，可得或，
当时，可得，可得，此时；
当时，可得，可得，此时，
所以中至少有1个是，所以C正确；
对于D中，设（其中不能同时为零），可得
因为，可得，则，
又由，所以，所以D正确.
故选：ACD.
49．【多选题】(23-24高一下·福建福州第八中学·期中)已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
【答案】BCD
【分析】设，再根据复数的乘法运算和复数的模及共轭复数的定义注意判断即可.
【详解】设，
对于A，若，则，
当时，不成立，故A错误；
对于B，，
故，
，
所以，故B正确；
对于C，，
若，则且，
所以，故C正确；
对于D，由B选项可得，
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
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