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专题04 复数
8大高频考点概览
考点01复数的实部与虚部
考点02复数的分类
考点03复数的几何意义
考点04复数的模
考点05周期
考点06最值与轨迹
考点07欧拉公式
考点08综合运算
(
考点01
复数的实部与虚部
)
单选题
1．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知，则的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据共轭复数，复数除法运算化简，得解.
【详解】，
，故的虚部为3.
故选：B.
2．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）已知，则的虚部是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】由共轭复数和复数的乘法运算计算可得.
【详解】，故的虚部是．
故选：B
(
考点02
复数的分类
)
3．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）复数（为虚数单位）为纯虚数，则（ ）
A．4i B． C． D．4
【答案】D
【分析】利用复数的除法求出，再结合纯虚数及共轭复数求解.
【详解】依题意， ，
由复数z为纯虚数，得，所以．
故选：D
4．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）已知，，，i为虚数单位，且是纯虚数．
(1)求实数m的值．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的运算得出的表达式，进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案；
（2）由（1）得出，然后根据共轭复数的概念得出，进而根据复数的乘法运算计算化简即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，.
因为是纯虚数，所以有，解得.
（2）由（1）可知，，，
所以，
所以.
5．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知复数，.（其中为虚数单位，）
(1)若为纯虚数，求的值：
(2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用纯虚数的定义，列方程组求解；
（2）方法一：利用实系数方程的虚根成共轭对的结论，得到方程的两个根，然后利用韦达定理得结果；方法二：直接将方程的根代入方程，利用复数相等的条件得到方程组求解即可.
【详解】（1）由为纯虚数，所以有，解得.
（2）方法一 是关于的方程的一个根
是的另一个根，
，，.
方法二 是关于的方程的一个根，.
.
即，，.
6．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知复数（，），且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为．
(1)求向量的坐标；
(2)若对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用复数的除法，结合复数的概念求出即可；
（2）求出及在复平面内对应的点，再列式求得范围.
【详解】（1）由为实数，得，则，
又为实数，
则，解得，因此，所以；
（2）由（1）知，，而，则，
复数在复平面内对应的点在第四象限，
于是，即，解得或，
所以的取值范围为．
(
考点03
复数的几何意义
)
单选题
7．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）设，，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据所给的两个复数，求出，写出对应点的坐标，看出所在的象限.
【详解】∵复数，，
∴z=，
∴复数在复平面上对应的点的坐标是
∴在复平面内的对应点位于第四象限，
故选：D
解答题
8．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）（1）计算：
（2）若对于复数z，为其共轭复数，其满足，求，并指出z在复平面对应的点位于第几象限？
【答案】（1）；（2），z在复平面对应的点位于第一象限.
【分析】（1）根据复数的运算性质解题即可；
（2）设，，则，根据化简可得，然后求解即可.
【详解】（1）；
（2）设，，则，
由可得，化简得，
所以，所以，，所以，
所以，
在复平面对应的点坐标为，位于第一象限.
9．（24-25高一下·荆州成丰学校·期中）已知复数，复数，其中i是虚数单位，为实数．
(1)若，求的值；
(2)若，
①求的值；
②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②．
【分析】（1），利用模长公式得到；
（2）①根据得到方程组，求出的值；
②，根据所在象限得到不等式组，求出
【详解】（1）当时，，
所以，
所以．
（2）①若，则，
所以，解得；
②，，所以，
又在复平面内对应的点在第二象限，所以，
解得，所以．
所以实数的取值范围为．
(
考点04
复数的模
)
单选题
10．（24-25高一下·武汉新洲·期中）若复数，则（ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算及模长计算公式即可求解．
【详解】，
则，
故选：C．
11．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）若复数满足，其中为虚数单位.则（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】首先利用等式进行化简，通过复数的商的运算法则计算求得的表达式，进而可求.
【详解】由，可得，
所以，
则.
故选：C.
12．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）复数z满足，则复数z=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数模，复数除法运算公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，所以.
故选：C
13．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）计算.
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式结合两角和差公式以及倍角公式运算求解；
（2）根据复数的除法结合复数的模长公式运算求解.
【详解】（1）因为，
原式
.
（2）原式.
(
考点05
周期
)
填空题
14．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知复数，则______．
【答案】
【分析】先求出，，发现具有周期性,周期为3，由周期性求解即可.
【详解】，
，
，故周期为3，
，
故答案为：
(
考点06
最值与轨迹
)
15．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）若（，i是虚数单位），则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数模的计算公式及三角函数性质可得解.
【详解】由已知，则，
则，
其中满足，
则，
当且仅当时，等号成立，
即的最大值为，
故选：C.
16．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．复数的虚部为1
C．若，则方程在复数集中的解集为
D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形的面积为
【答案】BCD
【分析】利用复数得四则运算法则可以得到A不正确、B正确，根据复数域上一元二次方程得求解公式，可得C项正确，根据复数得几何意义可得D项圆环的面积.
【详解】对于A，设，则，化简得，不需要，所以A项不对.
对于B，，虚部为1，B项正确.
对于C，，所以，得，所以方程在复数集中的解集为，C项正确.
对于D，根据复数得几何意义可知，复数z对应的点所构成的图形为如图所示得圆环，所以面积为，所以D项正确.
故选：BCD.
17．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．对于复数，若，则
C．若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根
D．复数z满足，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】A选项，设，则，利用复数乘法法则得到，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），C正确；D选项，利用复数几何意义得到z对应的点的轨迹，从而得到的最大值为.
【详解】对于A选项，设，则，
为实数，A对；
对于B，若，例如，满足，
但，，即，故B错误；
对于C，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），
所以为一元二次方程的两根，C对；
对于D，由复数的几何意义，可知z对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，
表示圆周上的点到点的距离，所以的最大值为，故D对．
故选：ACD
(
考点07
欧拉公式
)
18．（24-25高一下·武汉七校·期中）（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A．的模长为定值 B．为纯虚数
C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为
【答案】AD
【分析】A选项，，故模长为，A正确；B选项，，B错误；C选项，对应的点坐标为，C错误；D选项，计算出，根据共轭复数的概念得到答案.
【详解】A选项，，故的模长为，A正确；
B选项，，为实数，B错误；
C选项，当时，，故对应的点坐标为，不在第二象限，C错误；
D选项，，共轭复数为，D正确.
故选：AD
19．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”．
(1)若复数，求：；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用给定公式，结合复数的乘方及除法运算求解.
（2）利用欧拉公式求出的坐标，进而求出夹角的余弦.
【详解】（1）依题意，，，
，因此，
所以．
（2），则，
于是，，
所以.
(
考点08
综合运算
)
多选题
20．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若复数，则
C．若复数，则实数或
D．若复数满足，则
【答案】AD
【分析】A选项，可判断；B选项，举出反例可判断；C选项，得到方程组，求出可判断；D选项，，从而根据模长公式得到方程，化简得可判断.
【详解】对于A选项，，则，故A正确；
对于B选项，不妨设，故，但，故B错误；
对于C选项，复数，则，
解得，故C错误；
对于D选项，复数满足，即，
即，化简得，故D正确.
故选：AD.
21．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由复数的乘法，除法，以及模长的运算逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，所以，
而，所以，故B正确；
对于C，，所以，
由AB可得，故C正确；
对于D，，，故D正确.
故选：BCD
22．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知复数，则（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或
C．若，则 D．
【答案】ACD
【分析】A选项，设，根据共轭复数的定义得到，计算出；B选项，举出反例得到B错误；C选项，，D选项，计算出，D正确.
【详解】设，
A选项，由于互为共轭复数，故，
故，A正确；
B选项，不妨设，满足，但且，B错误；
C选项，若，则，C正确；
D选项，，
故，
，
而，
所以，D正确.
故选：ACD
23．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则是实数 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解.
【详解】若，则或，故A正确；
若， ，满足，但，故B错误；
若，则是实数，故C正确；
若，则，得或，所以，故D正确.
故选：ACD.
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专题04 复数
8大高频考点概览
考点01复数的实部与虚部
考点02复数的分类
考点03复数的几何意义
考点04复数的模
考点05周期
考点06最值与轨迹
考点07欧拉公式
考点08综合运算
(
考点01
复数的实部与虚部
)
单选题
1．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知，则的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）已知，则的虚部是（ ）
A．2 B． C． D．
(
考点02
复数的分类
)
3．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）复数（为虚数单位）为纯虚数，则（ ）
A．4i B． C． D．4
4．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）已知，，，i为虚数单位，且是纯虚数．
(1)求实数m的值．
(2)求的值．
5．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知复数，.（其中为虚数单位，）
(1)若为纯虚数，求的值：
(2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值.
6．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知复数（，），且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为．
(1)求向量的坐标；
(2)若对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
(
考点03
复数的几何意义
)
单选题
7．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）设，，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解答题
8．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）（1）计算：
（2）若对于复数z，为其共轭复数，其满足，求，并指出z在复平面对应的点位于第几象限？
9．（24-25高一下·荆州成丰学校·期中）已知复数，复数，其中i是虚数单位，为实数．
(1)若，求的值；
(2)若，
①求的值；
②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
(
考点04
复数的模
)
单选题
10．（24-25高一下·武汉新洲·期中）若复数，则（ ）
A． B．2 C． D．10
11．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）若复数满足，其中为虚数单位.则（ ）
A．10 B．5 C． D．
12．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）复数z满足，则复数z=（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）计算.
(1)；
(2)
(
考点05
周期
)
填空题
14．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知复数，则______．
(
考点06
最值与轨迹
)
15．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）若（，i是虚数单位），则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．复数的虚部为1
C．若，则方程在复数集中的解集为
D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形的面积为
17．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．对于复数，若，则
C．若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根
D．复数z满足，则的最大值为
(
考点07
欧拉公式
)
18．（24-25高一下·武汉七校·期中）（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A．的模长为定值 B．为纯虚数
C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为
19．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”．
(1)若复数，求：；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求．
(
考点08
综合运算
)
多选题
20．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若复数，则
C．若复数，则实数或
D．若复数满足，则
21．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知复数，则（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或
C．若，则 D．
23．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则是实数 D．若，则
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