资源简介

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专题03 平面向量
5大高频考点概览
考点01 平面向量的线性运算和坐标运算
考点02平面向量的平行和垂直
考点03平面向量的数量积和投影
考点04 平面向量的最值和范围问题
考点05 平面向量综合问题
一、单选题
1．(24-25高一下·江西上进联考·期中)（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)向量，化简后等于（ ）
A． B．0 C． D．
3．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)在中，点在边上，.则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)如图所示，某广场的六边形停车场由4个全等的等边三角形拼接而成，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·江西南昌大学附属中学·期中)如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知点，，则（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
9．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)下列说法正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则 B．只有零向量的模长等于0
C．若与是平行向量，则 D．向量与不共线，则与都是非零向量
10．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数的可能的取值有（ ）
A． B．1 C． D．2
填空题
11．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知与为非零向量，，若三点共线，则__________.
单选题
1．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知，，（和不共线），则三点共线（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)已知，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
3．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知，，若，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知向量，.若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知平面向量，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．8
8．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)已知向量，，且，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
9．(24-25高一下·江西南昌大学附属中学·期中)若，，，则（ ）
A． B．
C．2 D．-2
10．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知平面向量，（ ）
A．若，则
B．若⊥，则在方向上的投影向量的坐标是
C．与的夹角为锐角，则的取值范围
D．若，的夹角为，则
12．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．当时，在上的投影向量为
13．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为2
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
三、填空题
14．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知，且，则__________．
15．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量， ， 若，则_______________
16．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)若向量，，且，则________．
一、单选题
1．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)在中，，，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)已知向量，向量满足，，则（　　）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·江西萍乡·期中)已知向量，，若，则（ ）
A．5 B．25 C． D．20
4．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)已知点，，为坐标原点，向量，则=（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知两个非零向量，的夹角为，非零向量与的夹角为，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
8．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
9．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)向量与的夹角为，，，在上投影数量为（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
11．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（ ）
A． B．4 C． D．8
多选题
12．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设为非零向量，若，则
B．若，则或
C．设为非零向量，则
D．若点为的重心，则
13．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
14．(24-25高一下·江西南昌大学附属中学·期中)设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则点M、B、C三点共线
C．若点M是的重心，则
D．若且，则的面积是面积的
填空题
15．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)若向量与向量的夹角为则___________
16．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)在等边三角形ABC中，边长为2，则=____________
17．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知向量、为单位向量，且，则______.
18．(24-25高一下·江西萍乡·期中)已知向量.则__________；在上的投影向量的坐标为__________.
一、单选题
1．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知非零向量，的夹角为，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知向量满足，，则的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
3．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
多选题
4．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．在中，若，，则
C．已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“”
D．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是
5．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线一定经过三角形的重心
B．当时，直线一定经过三角形的外心
C．当时，直线一定经过三角形的垂心
D．当时，直线一定经过三角形的内心
6．(24-25高一下·江西萍乡·期中)在三角形中有如下结论：已知的内角所对的边分别为，点为内任意一点，则.根据上述结论，下列说法正确的有（ ）
A．若是的重心，则
B．若是的内心，则
C．若，则
D．若是的外心，且，则
填空题
7．(24-25高一下·江西南昌大学附属中学·期中)在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为______．
8．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)在中，，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为________.
9．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)定义，其中为向量，的夹角，若，，则的最大值为______．
10．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)已知，，，；若P是所在平面内一点，，则的最大值为______．
11．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知正的边长为2，PQ为内切圆O的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为______________.
一、单选题
1．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)如图，在中，与CE的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)在平面直角坐标系中，已知存在正数，使得平行四边形满足，，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，则两点的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知向量，，，分别表示位移“向东移动”“向北移动”“向西北方向移动”“向西南方向移动”，则（ ）
A．向量表示“向东北方向移动”
B．向量与平行
C．向量表示“向西南方向移动”
D．向量与夹角的余弦值为
6．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．在上的投影为
填空题
7．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，且，则实数的值为________.
8．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)定义两个向量，的运算“”：与运算“*”：，其中是，的夹角．若，，，则________．
9．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)在中，下列命题中正确的有：___________
①；
②若，则为锐角三角形；
③是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；
④是内一定点，且，则；
⑤若，且，则为等边三角形.
10．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为_________．
11．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为．则的值为______．
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专题03 平面向量
5大高频考点概览
考点01 平面向量的线性运算和坐标运算
考点02平面向量的平行和垂直
考点03平面向量的数量积和投影
考点04 平面向量的最值和范围问题
考点05 平面向量综合问题
一、单选题
1．(24-25高一下·江西上进联考·期中)（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的加减运算法则可求解.
【详解】.
故选：C.
2．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)向量，化简后等于（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的加减运算法则计算即可求得结果.
【详解】，
故选：C
3．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)在中，点在边上，.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，点在边上，可得，由向量加法法则可得，再结合关系化简即可.
【详解】因为点在边上，，
所以，
所以.
故选：B.
4．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)如图所示，某广场的六边形停车场由4个全等的等边三角形拼接而成，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量的线性运算可求得结论.
【详解】依题意，.
故选：.
5．(24-25高一下·江西南昌大学附属中学·期中)如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解.
【详解】由题图可知，.
故选：C.
6．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】．
故选：B
7．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，可得答案.
【详解】由题意可得.
故选：C.
二、多选题
8．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】ABD
【分析】判断出两向量是否共线，从而得到答案.
【详解】对于A，设，故，无解，
故与不共线，故可作为一组基底，故A正确；
对于B，设，故，无解，
和不共线，故可作为一组基底，故B正确；
对于C,，故和共线，故不能作为一组基底，故C错误；
对于D，设，无解，故和不共线，故可作为一组基底，故D正确.
故选：ABD.
9．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)下列说法正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则 B．只有零向量的模长等于0
C．若与是平行向量，则 D．向量与不共线，则与都是非零向量
【答案】BD
【分析】充分理解单位向量和零向量，平行向量的概念后，易于判断A,B,C项，对于D，可以运用反证法思想说明.
【详解】对于A，两个向量的模长相等，但是方向不一定相同，故A错误；
对于B，因模长等于0的只有零向量，故B正确；
对于C，与是平行向量，但的模不一定相等，且方向也不一定相同，故不成立，故C错误；
对于D，假设正确与中至少有一个为零向量，而零向量与任何非零向量都共线，故假设不成立，即D正确．
故选:BD．
10．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数的可能的取值有（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】BC
【分析】根据向量平行的有关结论求参数的值.
【详解】因为A，B，C三点共线，，所以.
所以：，即 .
所以或.
故选：BC
填空题
11．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知与为非零向量，，若三点共线，则__________.
【答案】3
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故答案为：3.
单选题
1．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知，，（和不共线），则三点共线（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算与共线定理即可得出结论.
【详解】，所以共线，
即三点共线，故A正确；
，，，不共线，故B错误；
，，，不共线，故C错误；
，，，
不共线，故D错误；
故选：A
2．(24-25高一下·江西抚州临川第一中学·期中)已知，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
【答案】A
【分析】利用平面向量共线的基本定理逐项判断即可.
【详解】对于A选项，，
故、、三点共线，A对；
对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错；
对于C选项，因为，，
所以、不一定共线，C错；
对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错.
故选：A.
3．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知，，若，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线的坐标表示运算求解.
【详解】若，则，解得.
故选：C.
4．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的运算律和夹角公式求解.
【详解】由题意，得，即，
所以，所以，
故选:C．
5．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知向量，.若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解.
【详解】由，得，解得.
故选：D.
6．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知平面向量，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标运算计算求参.
【详解】因为，所以，即，
故选:C.
7．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】A
【分析】由向量平行的坐标公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，解得.
故选：A
8．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)已知向量，，且，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】利用向量平行的坐标，即可求解.
【详解】，，，
，解得：.
故选：A
9．(24-25高一下·江西南昌大学附属中学·期中)若，，，则（ ）
A． B．
C．2 D．-2
【答案】A
【分析】首先求出，的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，，所以， ，因为，所以，解得
故选：A
10．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量线性运算与平行的坐标表示即可求解.
【详解】由，，
可得：，
又，.
所以，解得：，
故选：C
二、多选题
11．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知平面向量，（ ）
A．若，则
B．若⊥，则在方向上的投影向量的坐标是
C．与的夹角为锐角，则的取值范围
D．若，的夹角为，则
【答案】AB
【分析】A选项，根据平行得到方程，求出；B选项，根据垂直得到方程，求出，进而得到，利用投影向量计算公式得到B正确；C选项，且与不同向共线，得到不等式，求出且，C错误；D选项，根据向量夹角公式得到方程，求出.
【详解】A选项，，故，解得，A正确；
B选项，⊥，故，解得，
故，
故在方向上的投影向量为，B正确；
C选项，与的夹角为锐角，故且与不同向共线，
，
，解得，
与共线，需满足，解得，
此时，，与同向共线，
故，的取值范围为且，C错误；
D选项，若，的夹角为，则，
所以，
整理得，显然不是其解，D错误.
故选：AB
12．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．当时，在上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A；根据向量垂直的坐标运算求解判断B；根据数量积的坐标运算求解判断C；根据投影向量公式求解判断D.
【详解】由，得，解得，A正确；
由，得，解得，B错误；
由，得，解得，所以，C正确；
当时，，，
所以在上的投影向量为，D正确．
故选：ACD．
13．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为2
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】AB
【分析】利用向量平行的坐标运算可判断A；利用计算判断B；计算的坐标，再利用向量的模的公式计算并求最小值判断C；利用且与不共线求解不等式判断D.
【详解】A，若，则，得，故A正确；
B，若，则，得，故B正确；
C，，则，
则当时，取最小值，故C错误；
D，若向量与向量的夹角为钝角，则且向量与向量不共线，
结合A项可得，且，故的取值范围为，故D错误.
故选：AB
三、填空题
14．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知，且，则__________．
【答案】
【分析】先求出，由，可得，再根据结合数量积的运算律即可得解.
【详解】由，得，
因为，所以，
则.
故答案为：.
15．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量， ， 若，则_______________
【答案】
【分析】根据向量垂直列方程，由此求得.
【详解】由于，所以，解得.
故答案为：.
16．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)若向量，，且，则________．
【答案】5
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算及垂直的坐标表示，即可求解.
【详解】因为，，则，
又，所以，解得，
故答案为：.
一、单选题
1．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)在中，，，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据题意表示出数量积的两个向量，然后求解即可．
【详解】如图，
由，则，
又，则，
故选：A．
2．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)已知向量，向量满足，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.
【详解】设，则，
由，得，
又，得，即，
联立，解得.
.
故选：C.
3．(24-25高一下·江西萍乡·期中)已知向量，，若，则（ ）
A．5 B．25 C． D．20
【答案】A
【分析】先由求得参数的值，再利用向量模长的坐标计算公式即得.
【详解】由可得，解得，则，
于是，
则.
故选：A.
4．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的数量积将已知条件化简可得，再利用向量的夹角公式进行运算即可.
【详解】因为，所以，即，①
又因为，所以，即，
将①代入得，，
设与夹角为，
所以，
因为，所以.
故选：B.
5．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据垂直向量的坐标表示建立方程，求得参数，结合投影向量的计算，可得答案.
【详解】由，则，解得，即，
所以在上的投影向量为.
故选：D.
6．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)已知点，，为坐标原点，向量，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点坐标，然后得到向量坐标，由得到方程组，求出点坐标，即可得到.
【详解】设，则，，
∵，∴，解得，即，
∴.
故选：A.
7．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)已知两个非零向量，的夹角为，非零向量与的夹角为，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】如图，记向量为题设中的向量，向量为题设中的向量，利用数量积的定义和转化法计算可得.
【详解】如图，记向量为题设中的向量，向量为题设中的向量，
因为与的夹角为与的夹角可以看作的补角，
所以，故可知，又因为，所以．
故选：D．
8．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由投影向量计算公式，可得答案.
【详解】在上的投影向量.
故选：C.
9．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)向量与的夹角为，，，在上投影数量为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据向量投影数量的概念计算即可.
【详解】在上投影数量为.
故选：D
10．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用投影向量的公式计算出答案.
【详解】向量在上的投影向量为．，
，则.
故选：A．
11．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】根据投影数量的定义由数量积直接计算即可.
【详解】在方向上的投影数量为
．
故选：A.
多选题
12．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设为非零向量，若，则
B．若，则或
C．设为非零向量，则
D．若点为的重心，则
【答案】AD
【分析】根据向量数量积的运算律即可判断A；根据模的定义及向量共线的概念即可判断B；根据数量积的运算法则即可判断C；根据向量线性运算及重心的性质即可判断D．
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，表示是的2倍，或表示与共线，且是的2倍，故B错；
对于C，，，
所以与不一定相等，故C错误；
对于D，如图，设为的中点，点为的重心，
则，即，所以，故D正确；
故选：AD．
13．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
【答案】BCD
【分析】对A，根据向量线性运算求解判断；对B，根据向量的数量积及运算律和模的计算判断；对C，由向量数量积及运算律求解判断；对D，由向量投影的定义求解判断.
【详解】如图：
对于A，，故A错误；
对于B，，
所以，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，在上的投影向量是，故D正确.
故选：BCD.
14．(24-25高一下·江西南昌大学附属中学·期中)设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则点M、B、C三点共线
C．若点M是的重心，则
D．若且，则的面积是面积的
【答案】ACD
【分析】A选项，由平面向量基本定理，变形得到，A正确；假设点M、B、C三点共线，推导出，故B错误；C选项，画出图形，结合向量加法法则及重心的概念及性质得到答案；D选项，可以先得到的面积与面积底相同，高线之比为2:3，从而得到答案.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，假设点M、B、C三点共线，则，即，整理得：，故当时，即，与条件中的不一致，所以点M、B、C三点不共线，B错误；
如图，取BC中点H，连接AH，若点M是的重心，则点M在AH上，且MA=2MH，则，则，C正确；
D选项，由于，而，所以，其中，不妨设，则Q点在直线BC上，由于与同底，而高线之比等于与的比，即比值为2:3，所以的面积是面积的，D正确.
故选：ACD
填空题
15．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)若向量与向量的夹角为则___________
【答案】
【分析】利用向量的数量积的定义求解即可.
【详解】因为，向量与向量的夹角为，
所以.
故答案为：.
16．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)在等边三角形ABC中，边长为2，则=____________
【答案】
【详解】.
17．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知向量、为单位向量，且，则______.
【答案】
【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
又因为向量、为单位向量，
所以，
故答案为：
18．(24-25高一下·江西萍乡·期中)已知向量.则__________；在上的投影向量的坐标为__________.
【答案】 /
【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求，根据向量的模与数量积的关系由条件求，再由投影向量的定义求在在的投影向量的坐标.
【详解】由 .
又 .
所以在上的投影向量的坐标为：.
故答案为：；
一、单选题
1．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知非零向量，的夹角为，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得，然后令表示上式，根据题意列出不等式组计算即可.
【详解】由，得，得，
即．令，
则关于的方程在上有解，
得，得．因为，所以．
故选：D.
2．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知向量满足，，则的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由，即得到点共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【详解】设，
因为，，所以，
又，所以，所以点共圆，
要使的最大，即为直径，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.
3．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可知的最小值为，用含的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得；表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，即可得答案.
【详解】由题，
因为，，所以，
因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值，
所以，解得，
又因为与的夹角为锐角，所以，故；
因为，
又有，
将模长代入，
设，即原式，
因为，所以 .
因此，的最大值为.
故选：D.
多选题
4．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．在中，若，，则
C．已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“”
D．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是
【答案】BC
【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断；对于C，由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断；对于D，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断.
【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由正弦定理，可知，故C正确；
对于D，由即
解得，故D错误.
故选：BC
5．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线一定经过三角形的重心
B．当时，直线一定经过三角形的外心
C．当时，直线一定经过三角形的垂心
D．当时，直线一定经过三角形的内心
【答案】AC
【分析】对于A，点为的中点，根据重心的性质和已知条件分析判断，对于B，由向量的加法法则分析判断，对于C，化简即可得结论，对于D，结合正弦定理得，进一步由A选项分析可知.
【详解】对于A，因为，，设点为的中点，
所以，所以直线一定经过三角形的重心，故A正确；
对于B，当时，，
因为为与方向相同的单位向量，为与方向相同的单位向量，
所以平分，即直线一定经过三角形的内心，故B错误；
对于C，当时，，
所以 ，
所以，所以直线一定经过三角形的垂心，故C正确；
对于D，当时，，
而由正弦定理有，即有，
结合A选项分析可知直线一定经过三角形的重心，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：判断的C关键是得到等于0，由此即可顺利得解.
6．(24-25高一下·江西萍乡·期中)在三角形中有如下结论：已知的内角所对的边分别为，点为内任意一点，则.根据上述结论，下列说法正确的有（ ）
A．若是的重心，则
B．若是的内心，则
C．若，则
D．若是的外心，且，则
【答案】ACD
【分析】根据三角形重心的性质，可判断A的真假；结合三角形内心与三角形面积之间的关系，可判断B的真假；确定点位置，可判断C的真假；结合三角形外接圆的性质与三角形的面积公式可判断D的真假.
【详解】对A：若为的重心，则，结合，所以，故A正确；
对B：若为的内心，设内切圆半径为，则，，，
所以 ，故B错误；
对C：如图：
因为，所以，，延长交于点，
则,
因为三点共线，所以 .
设，则，，,
所以，故C正确；
对D：如图：
因为为的外心，且，设外接圆半径为，
则，，，，
所以 ，同理，，
结合，
可得.
又，所以，故D正确.
故选：ACD
填空题
7．(24-25高一下·江西南昌大学附属中学·期中)在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为______．
【答案】9
【分析】利用平面向量共线的结论，得到，然后用“1”的代换后，用基本不等式即可解得．
【详解】是线段上一点，三点共线，
，且，
，
当且仅当即时取等号．
的最小值为9．
故答案为：9．
8．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)在中，，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为________.
【答案】/0.8
【分析】设，用表示，利用向量的数量积的运算律与二次函数的最值的求法可求解.
【详解】点在边上，设，
则，，
因为点为边的中点，所以，
所以
，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
9．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)定义，其中为向量，的夹角，若，，则的最大值为______．
【答案】2
【分析】结合向量的新定义，根据向量模的运算及同角三角函数关系、二倍角公式化简得 ，利用基本不等式求得，然后按照和分类求解最大值，即可得解.
【详解】设，则，所以
．
因为，所以，
所以，当且仅当，即，或时取得等号．
当时，，，同时保证与都取得最大值，
所以的最大值为2；
当时，，，不能同时保证与都取得最大值，
所以取不到最大值．
综上可知，的最大值为2．
故答案为：2
10．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)已知，，，；若P是所在平面内一点，，则的最大值为______．
【答案】13
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出的坐标，再利用基本不等式计算的最大值.
【详解】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
因为，所以点的坐标为，
所以，
所以 ，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为13．
故答案为：13.
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算，考查向量的坐标运算，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
11．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知正的边长为2，PQ为内切圆O的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为______________.
【答案】
【解析】先由正的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到，，再结合，可得到，再根据图像利用临界值法，求出的取值范围.
【详解】
如图所示，O为正内切圆圆心，OD为内切圆半径，在中，，，可求得内切圆半径.
又PQ为圆O的直径, ，
利用向量的线性表示可得，，，
，
又M为边上的动点，由图可知，当M为边的中点时，最小为，即；当M为的顶点时，最大为，即.
的取值范围为.
故答案为：.
一、单选题
1．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由确定点的位置，再利用与的面积之比列方程来求得的值.
【详解】由得，
设，则.
由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵与反向共线，，∴，∴，
∴.
故选：D
2．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)如图，在中，与CE的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可.
【详解】因为、、三点共线，，所以，
又因为，所以，
设，则，
即，消可解得，所以，所以，
所以，又，所以，
所以.
故选：B.
3．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)在平面直角坐标系中，已知存在正数，使得平行四边形满足，，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的夹角公式，先求得，进而求得，再根据面积公式即可求得.
【详解】因为，，所以，，
则，所以，
所以平行四边形的面积．
故选：C．
4．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，则两点的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积的定义求出夹角，根据题意计算即可.
【详解】根据题意，，
则，
所以两点的余弦距离为.
故选：C.
二、多选题
5．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知向量，，，分别表示位移“向东移动”“向北移动”“向西北方向移动”“向西南方向移动”，则（ ）
A．向量表示“向东北方向移动”
B．向量与平行
C．向量表示“向西南方向移动”
D．向量与夹角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】根据向量，，，的意义建立平面直角坐标系，确定，，，的坐标，根据平面向量的线性运算、平行、夹角余弦值逐项判断即可得结论.
【详解】如图，建立直角坐标系，
则，，，．
因为，，所以向量表示“向东北西方向移动”，故A正确；
因为，所以向量与平行，故B正确；
因为，所以向量的方向不是西南方向，故C错误；
向量与夹角的余弦值为，故D正确．
故选：ABD.
6．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．在上的投影为
【答案】ABD
【分析】根据数量积的定义计算可判断A；根据向量加法的几何意义判断B；根据数量积的定义判断C；根据投影的含义判断D.
【详解】对于A，由题意得,
故，A正确；
对于B，，
故，则，B正确；
对于C，，而的夹角为，为钝角，
的夹角为，为锐角，故，C错误；
对于D，在上的投影为，D正确，
故选：ABD
填空题
7．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，且，则实数的值为________.
【答案】2
【分析】结合题意根据向量的数量积运算、单位向量的定义即可求解.
【详解】由题意得，，
所以
，
解得.
故答案为：2.
8．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)定义两个向量，的运算“”：与运算“*”：，其中是，的夹角．若，，，则________．
【答案】
【分析】由题干中给的定义，利用同角三角函数的平方关系算出，再利用题干条件即可得到结果.
【详解】因为，，，所以，
解得：，又，所以，
所以，
故答案为：6
9．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)在中，下列命题中正确的有：___________
①；
②若，则为锐角三角形；
③是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；
④是内一定点，且，则；
⑤若，且，则为等边三角形.
【答案】③⑤
【分析】利用平面向量的减法可判断①的正误；利用平面向量数量积判断出为锐角，可判断②的正误；根据平面向量共线的基本定理可判断③的正误；确定点的位置，可判断④的正误；分析可得出，求出角的值，可判断⑤的正误.
【详解】①，①错误；
②若，则为锐角，但无法确定、的大小，为锐角三角形不正确，②错误；
③由动点满足，得，
设点为的中点，则，即，
为的中线，过的重心，③正确；
④设为中点，连接，则是的中线，由③可知，
由已知且得，
即、、三点共线，且为的中点，
在中，是边上的中线，可得.
同理可得中，，所以，，
由此可得，所以，，④错误；
⑤因为，
可得，因为、，，
因为，且，所以，，
因此，为等边三角形，⑤正确.
故答案为：③⑤.
10．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为_________．
【答案】
【分析】由平面向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案.
【详解】
连接，在中，，即，
所以，在中，，
所以，
在中，，则，
因为，，所以，
则，，所以.
故答案为：.
11．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为．则的值为______．
【答案】/
【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值.
【详解】已知，将其变形可得，即.
根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线.
因为点为的外心，则，
所以，即是直角三角形.
根据投影向量的定义求的值，，
可得，即，
又因为，所以，因为，所以.
的值为.
故答案为：
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