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专题04 解三角形
6大高频考点概览
考点01 正弦定理和余弦定理
考点02解三角形中最值和范围问题
考点03解三角形中的实际问题
考点04 平面向量综合
考点05 解三角形综合
考点06 解三角形综合中最值和范围问题
一、选择题
1．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)在中，若，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．(24-25高一下·江西萍乡·期中)已知的内角所对的边分别为，其面积为，若，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则有两组解
B．若，则有一组解
C．若，则边的中线长为
D．若，则边的中线长为3
6．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______．
单选题
1．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则=（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______．
一、单选题
1．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　）
A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向
2．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，， ，则，两个基站的距离为（ ）
A． B． C．15km D．
二、填空题
3．(24-25高一下·江西南昌中学（三经路校区）·期中)如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为________.
4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)萍乡是秋收起义策源地，1927年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于9月9日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜.如图，两点相距36米，与秋收起义纪念碑（底部不可到达）的底部在同一水平直线上，利用高为0.3米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度__________米.
5．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔为长方体，由台基、塔座、塔身、塔顶四部分组成．塔身正北面有“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机飞行到与塔底位于同一水平面的点，测得，，，则纪念塔的塔高为________．
（参考数据：取，）

三、解答题
6．(24-25高一下·江西萍乡·期中)如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶处下至处有两种路径：一种是先从沿索道乘缆车到，再从沿直线步行到；另一种是从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从金顶处下山，甲沿匀速步行，速度为：在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，，，.
(1)乙在到达之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？
(2)若，为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
1．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知平面向量，．
(1)求的值；
(2)求的值．
2．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量，，.
(1)若，求在方向上投影向量的坐标；
(2)若，求k的值.
3．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知平面向量，，，且，．
(1)若//，且，求的坐标；
(2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
4．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知单位向量满足.
(1)求的值；
(2)设与的夹角为，求的值.
5．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设.
(1)用向量表示向量；
(2)若，求.
6．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，．
(1)用向量，表示，；
(2)求的值．
7．(24-25高一下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)如图，在梯形中，，，.
(1)用，表示，；
(2)若，，，求；
(3)若与交于点，，求.
8．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)如图，在中，，，，且，，与交于点.
(1)用，表示，；
(2)求的值；
(3)求的值.
9．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)如图，在中，为中点，为上一点，且满足，
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求的最小值.
(3)若，，求面积的最大值.
10．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标．
(1)若，求；
(2)若，且与的夹角为，求；
(3)若，，求的面积的取值范围．
11．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中.
(1)当时，求向量和的夹角的余弦值；
(2)当时，求的取值范围.
12．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
(1)若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值.
(2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值.
13．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)求的取值范围．
1．(24-25高一下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若的面积为，，求a、b的值.
2．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
3．(24-25高一下·江西南昌中学（三经路校区）·期中)在锐角的内角的对边分别为，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
4．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，求的周长.
5．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求的大小；
(2)若外接圆的半径为，的面积为，求的周长.
6．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)若，求的周长；
(2)求的最大值．
7．(24-25高一下·江西宜春中学·期中)的内角的对边分别为，已知．
(1)求角B的大小：
(2)若的面积为，求的周长．
8．(24-25高一下·江西上进联考·期中)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若点D在边AB上，，，求的面积．
9．(24-25高一下·江西丰城中学·期中)记的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)已知，当角取最大值时，求的面积.
10．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
11．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，D为BC中点，，求的面积；
(3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长．
1．(24-25高一下·江西宜春丰城第九中学·期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求角A的大小；
(2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值.
2．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)已知的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
3．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
4．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求和面积之差的最大值.
5．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)如图，在中，，，D是BC边上一点，且，
(1)求的长；
(2)若，求.
6．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)若中的一个内角等于中的一个内角，则称和为同源三角形，这组相等的内角称为同源三角形和的同源角．
(1)若在中，，，，判断和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理由．
(2)如图，同源三角形和的同源角为和，且．
①求；
②若，求面积的最大值．
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专题04 解三角形
6大高频考点概览
考点01 正弦定理和余弦定理
考点02解三角形中最值和范围问题
考点03解三角形中的实际问题
考点04 平面向量综合
考点05 解三角形综合
考点06 解三角形综合中最值和范围问题
一、选择题
1．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用余弦定理代入计算即可.
【详解】因为，则设，则，，
所以．
故选：D.
2．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.
【详解】在中，由，得，
由正弦定理得，所以.
故选：A
3．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)在中，若，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解.
【详解】在中，由余弦定理得，而，
则，解得，，
所以的面积为.
故选：D
二、多选题
5．(24-25高一下·江西萍乡·期中)已知的内角所对的边分别为，其面积为，若，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则有两组解
B．若，则有一组解
C．若，则边的中线长为
D．若，则边的中线长为3
【答案】BC
【分析】用余弦定理解三角形，求边的长度，可判断AB的真假；用向量表示边的中线，利用余弦定理和平面向量数量积的运算可求中线的长，判断CD的真假.
【详解】因为，
根据三角形的面积公式，可得.
由正弦定理得：，
因为为三角形内角，所以，，所以.
当，由余弦定理：得：，
所以，又，所以，
即只有一组解，可知A错误，B正确；
因为 .
由余弦定理： .
设中点为，如下图所示：
则.
所以 ，
所以，即边的中线长为，可知C正确，D错误.
故选：BC
6．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解判断作答.
【详解】在中，，由余弦定理得：
，即，解得或，
所以的值可能是1或2.
故选：AD
二、填空题
7．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______．
【答案】/
【分析】利用等面积列出方程求解即得.
【详解】依题意，设，,
由,可得，，
解得:.
故答案为：.
单选题
1．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据正弦定理求出关于的表达式，然后确定角的范围，进而可求出的取值范围.
【详解】根据正弦定理可得：，
所以，且.
因为，有两解，
所以.
所以.
故选：C.
2．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据面积可求得，然后根据余弦定理得到，再由正弦定理的变形可得所求的值．
【详解】∵的面积为，，
∴，∴．
由余弦定理得，∴．
由正弦定理得，
所以，
故选：A.
3．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案.
【详解】由，得，
所以，
即，
则由正弦定理得，
因为，所以，所以，即，
又，所以，因为，
所以由余弦定理得，即.
由题可得，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，则，
所以边上的中线长度的最小值为.
故选：C.
4．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件结合余弦定理可得，利用正弦定理边化角得，求得，结合是锐角三角形和三角形内角和定理求出，再由正弦定理结合三角恒等变换可得，运算得解.
【详解】由余弦定理，与联立，可得，
即，由正弦定理可得，，即，
故或（舍去），
因为，故，故，
所以，因为是锐角三角形，
所以，解得，则，
所以
.
故选：C.
二、填空题
5．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______．
【答案】
【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值
【详解】因为，由正弦定理得，
因为，所以，故，
则的面积为，
即即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，的最小值为．
故答案为：．
一、单选题
1．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　）
A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向
【答案】C
【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案.
【详解】如图，在中，，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以解得，
由正弦定理得，故或，
因为，故为锐角，所以，
此时灯塔位于游轮的南偏西方向.
故选：C
2．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，， ，则，两个基站的距离为（ ）
A． B． C．15km D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出，进而结合余弦定理即可求出.
【详解】在中，，，则，，，
在中，，，
由正弦定理得，，
在中，由余弦定理得，
.
故选：B.
二、填空题
3．(24-25高一下·江西南昌中学（三经路校区）·期中)如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为________.
【答案】
【分析】由余弦定理可得答案.
【详解】由余弦定理得
.
故答案为：.
4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)萍乡是秋收起义策源地，1927年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于9月9日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜.如图，两点相距36米，与秋收起义纪念碑（底部不可到达）的底部在同一水平直线上，利用高为0.3米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度__________米.
【答案】
【分析】根据仰角概念解三角形求得，利用直角三角形求出，即可确定长.
【详解】如图，依题意，，，
故，则，
在中，，
故米.
故答案为：.
5．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔为长方体，由台基、塔座、塔身、塔顶四部分组成．塔身正北面有“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机飞行到与塔底位于同一水平面的点，测得，，，则纪念塔的塔高为________．
（参考数据：取，）

【答案】53.6
【分析】根据正弦定理结合已知条件计算求解.
【详解】由题意得，
在中，由正弦定理，
得，所以．
故答案为：.
解答题
6．(24-25高一下·江西萍乡·期中)如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶处下至处有两种路径：一种是先从沿索道乘缆车到，再从沿直线步行到；另一种是从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从金顶处下山，甲沿匀速步行，速度为：在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，，，.
(1)乙在到达之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？
(2)若，为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【详解】（1）设乙在到达之前，乘缆车出发分钟时，与甲的距离为 ，则，即，
由余弦定理，，
即，
因二次函数的对称轴为，开口向上，
故当时，甲乙两游客之间的距离最短.
（2）因，则为锐角，则，
在中，由正弦定理，，则，
依题意，乙从出发时，甲已走了，还需要走才能到达，
设乙步行的速度为，由题意可得：，解得，
所以为了使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内.
1．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知平面向量，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【详解】（1）因为，
所以，
所以；
（2）因为，
所以．
2．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量，，.
(1)若，求在方向上投影向量的坐标；
(2)若，求k的值.
【详解】（1）由，可得，解得，则，
因在方向上投影向量为，故其坐标为：；
（2）由可得：，解得.
3．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知平面向量，，，且，．
(1)若//，且，求的坐标；
(2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
【详解】（1）设，，，，即；
又，，解得或，
或．
（2）由题可知，，，
与的夹角是锐角，，解得，
又与不共线，，即，
实数的取值范围是．
4．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知单位向量满足.
(1)求的值；
(2)设与的夹角为，求的值.
【详解】（1）由得，，又，
所以，解得，
所以.
（2）由（1）可知，，
，
所以，
又，故.
5．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设.
(1)用向量表示向量；
(2)若，求.
【详解】（1）因点为中点，点在线段上，满足
，，
故；
（2）由题意，则，
，
所以
，
所以.
6．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，．
(1)用向量，表示，；
(2)求的值．
【详解】（1）因为，，所以；
因为，，所以，
所以．
（2）由题知，，，的夹角为，
所以.
7．(24-25高一下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)如图，在梯形中，，，.
(1)用，表示，；
(2)若，，，求；
(3)若与交于点，，求.
【详解】（1）由图，
；
.
（2）
.
（3）
（方法一）延长，交的延长线于.
易证，则，得，
易证，则，
设，则，，得，
得，
所以.
故.
（方法二）设，则
，
设，则，
则解得
所以.
故.
8．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)如图，在中，，，，且，，与交于点.
(1)用，表示，；
(2)求的值；
(3)求的值.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，；
（2）因为，，，
所以，
所以
.
（3）依题意为向量与的夹角，
又
，
，
所以.
9．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)如图，在中，为中点，为上一点，且满足，
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求的最小值.
(3)若，，求面积的最大值.
【详解】（1）在中，D为中点，则三点共线，
设，，
故 ，
又 ，故，
解得，即.
（2）由（1）知，
所以
，当且仅当时取等号，
又，则，
即，
故，，
即的最小值为，当且仅当时取等号.
（3）而，故，
令，则，
所以，当且仅当时等号成立，则面积，
综上，面积的最大值为.
10．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标．
(1)若，求；
(2)若，且与的夹角为，求；
(3)若，，求的面积的取值范围．
【详解】（1），
所以，
，
.
（2）
，
解得.
（3），
，
，
设的夹角为，
.
11．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中.
(1)当时，求向量和的夹角的余弦值；
(2)当时，求的取值范围.
【详解】（1）解：当时，可得，同理可得，
因为，所以，
则，
而，
所以，
即向量和的夹角的余弦值为.
（2）解：由，
可得
，
因为，可，即，
所以的取值范围为.
12．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
(1)若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值.
(2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值.
【详解】（1）（ⅰ）在中，由，又，
所以，
所以
,
（ⅱ）因为，
又，，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，即.
（2）由于，故是的中点，故，
，
当且仅当时取等号，故最大值为2，
13．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)求的取值范围．
【详解】（1）在直角梯形中，易得，，
∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，
故；
（2）
，
当时，，
设，，
则，
，
∵不共线，∴，解得，即；
（3）∵，，
∴，
＝，
由题意知，，
∴当时，取到最小值＝，
当时，取到最大值，
∴的取值范围是．
1．(24-25高一下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若的面积为，，求a、b的值.
【详解】（1）由正弦定理得，，化简为，
，，
，.
（2）由题意有，可得，
由余弦定理得：，
将，代入可得：，可得，
所以，所以，
由，解得或.
故，或，.
2．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
3．(24-25高一下·江西南昌中学（三经路校区）·期中)在锐角的内角的对边分别为，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
【详解】（1）由，
利用正弦定理得：，
，
，又为锐角，
则；
（2）由余弦定理得：，
即，
，
又，
则．
4．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，求的周长.
【详解】（1）中，由，得，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，
，，得，
，则.
（2）若的面积为，则，得，
，由余弦定理，得，
解得，
的周长为.
5．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求的大小；
(2)若外接圆的半径为，的面积为，求的周长.
【详解】（1）由余弦定理及，可得，
又由正弦定理，可得.
因为，所以，所以，所以.
又因为，所以.
（2）由（1）可知，又知外接圆的半径为，
则由正弦定理得 .
又由，可得，
根据余弦定理，得 ，所以，所以，
所以的周长为.
6．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)若，求的周长；
(2)求的最大值．
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得，
所以，
又，，
所以，即，
故的周长为．
（2）由正弦定理得，所以，
又，，
所以．
当时，即，此时，，
解得，或，，
故时，取得最大值．
7．(24-25高一下·江西宜春中学·期中)的内角的对边分别为，已知．
(1)求角B的大小：
(2)若的面积为，求的周长．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周长为.
8．(24-25高一下·江西上进联考·期中)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若点D在边AB上，，，求的面积．
【详解】（1）由，结合正弦定理可得，
整理得，所以，
又，所以；
（2）因为，，所以，
由相似可知，又因为，所以，，
所以，所以，
由（1）得，所以，
解得或（舍去），
所以的面积为．
9．(24-25高一下·江西丰城中学·期中)记的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)已知，当角取最大值时，求的面积.
【详解】（1）∵，∴，
∴，即，
∴，
由得，，
由正弦定理及余弦定理得，，
∴.
（2）由余弦定理得，，
当且仅当时取等号，此时取最大值，为等边三角形.
由得，.
∴的面积为.
10．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
11．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，D为BC中点，，求的面积；
(3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长．
【详解】（1）由，
得．
由正弦定理，得，整理得．
由余弦定理，得．
又，所以．
（2）由题知，所以．
则，所以．
由（1）得，，又，所以，联立，得，
故的面积为．
（3）如图，设，因为，所以，

由（1）知，，所以，
在中，设，
由正弦定理得，所以，
在中，由上可知，，
由正弦定理，得所以，
所以，则，整理，得，
所以，，解得，．
又，所以，
则，因此为等边三角形．
在中，
由余弦定理得，，
所以，故的周长为．
1．(24-25高一下·江西宜春丰城第九中学·期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求角A的大小；
(2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又， 所以.
（2）因为，，
所以由余弦定理得，
即，
所以，
即（当且仅当时，等号成立），
因为，
所以，解得，
因为（当且仅当时，等号成立），
所以（当且仅当时，等号成立），
所以长度的最大值为.
2．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)已知的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【详解】（1）设的外接圆的半径为，
由正弦定理可得，，，
因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
又，可得；
（2）由题意可得，，
由余弦定理可得，
即，
所以，
所以，
又，
故，当且仅当时取等号，
即的周长的取值范围为.
3．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
【详解】（1）在中，，
由正弦定理得，
在中，，则，
则，
得，
在中，，则，所以．
（2）在中，由余弦定理得，
由（1）知，又，
则，
即，
又，则，
得，则，
当且仅当时，等号成立．
所以周长的最大值为．
4．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求和面积之差的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得，，
则，即，
又，则，
则，即.
（2）（ⅰ）由，
因为为外接圆圆心，即外心，
所以，，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，，
则，
由，解得，
所以，则，
所以.
（ⅱ）设外接圆半径为，则，
且，即，
因为，，
所以，
，
所以，
由（ⅰ）知，，令，
则，
所以当时，取得最大值.
5．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)如图，在中，，，D是BC边上一点，且，
(1)求的长；
(2)若，求.
【详解】（1）在中，，则，
在中，，即，得.
（2）因为在中，，
所以，
则，
又，即，解得，
所以.
6．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)若中的一个内角等于中的一个内角，则称和为同源三角形，这组相等的内角称为同源三角形和的同源角．
(1)若在中，，，，判断和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理由．
(2)如图，同源三角形和的同源角为和，且．
①求；
②若，求面积的最大值．
【详解】（1）和等腰直角三角形为同源三角形，理由如下：
在中，，，
由正弦定理，
得，
由，得，所以，
因为在等腰直角三角形中，存在大小为的内角，
所以和等腰直角三角形为同源三角形．
（2）①由题意得，，，四点共线，设在边上的高为，
则，，的高均为，
因为，，
则，， ，
所以， ，
则，
，
两式相乘得，
所以．
②若，因为，则，
由①知，设，则，由，得．
在中，，
得，
则．
由，得，当时，的面积取得最大值，且最大值为．
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