资源简介

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专题03立体几何初步
14大高频考点概览
考点01 异面直线所成的角
考点02 平行问题
考点03 垂直问题
考点04 空间点线面的位置关系
考点05 直线与平面所成角
考点06 几何体的表面积与体积
考点07 二面角
考点08 几何体的外接球内切球
考点09 斜二测画法
考点10 立体几何动点小题
考点11 线段长最小问题
考点12 动点探索问题
考点13 截面交线问题
考点14 距离问题
1．(24-25高一下·广东深圳坪山区聚龙科学中学教育集团·期中)在正方体中，异面直线与所成角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·广东惠州五校·)在正方体中，直线与直线AC所成角的大小为______.
3．(24-25高一下·广东湛江廉江实验学校·期中)在正方体中，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4. (24-25高一下·广东清远华侨中学等四校联考·期中)如图，已知正方体的棱长为a，点E，F，G，H，I分别为线段，，，BC，的中点，连接，，，DE，BF，CI，则下列正确结论的个数是（ ）
①点E，F，G，H在同一个平面上；
②平面∥平面EFD；
③直线DE，BF，CI交于同一点；
④直线BF与直线所成角的余弦值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
5. (24-25高一下·广东广州第七中学·期中)如图，三棱锥中，是等边三角形，且，点在棱上，点在棱上，并使，其中，设为异面直线与所成的角，为异面直线与所成的角，则的值为（ ）
A． B． C． D．与有关的变量
1. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)已知长方体中，，其外接球的表面积为，平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，其体积为．
(1)证明：平面平面；
(2)求棱的长；
(3)求几何体的表面积．
2. (24-25高一下·广东广东仲元中学、深圳龙城高级中学·期中)如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点.
(1)正四棱锥的表面积；
(2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点；
(3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
3. (24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于．
(1)求该多面体的体积；
(2)求证：平面；
(3)判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明．
4. (24-25高一下·广东茂名高州·期中)如图，在正三棱台中，，，，分别是，的中点，为上一点.
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)若平面，求点的位置，并说明理由.
5. (24-25高一下·广东湛江廉江实验学校·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点.
(1)证明： 平面；
(2)求四棱锥的体积.
1. (24-25高一下·广东湛江廉江实验学校·期中)如图，在四棱锥中，平面 .
(1)求证：平面；
(2)若，求与平面成角的正弦值；
(3)设点为的中点，过点的平面与棱交于点，且 平面，求的值.
2. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)设平面平面，求证：平面．
3. (23-24高一下·广东广州二中·期中)已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.
(1)求证： 平面；
(2)求证：平面.
(3)求三棱锥的体积.
4. (24-25高一下·广东深圳深圳大学附属中学、东莞东莞中学松山湖学校·)如图，在正方体中，E，F分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
5. (24-25高一下·广东深圳深圳大学附属中学、东莞东莞中学松山湖学校·)如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.
(1)求证：平面平面
(2)若，求二面角的正弦值.
1. (23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）
A．直线在平面内 B．直线平行平面
C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行
2. (24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)（多选）在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（）
A．对于任意的点，
B．存在点，使得平面
C．存在点，使直线与直线共面
D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值
3. (24-25高一下·广东佛山南海区·)，是两个平面，m，n是两条直线，则（ ）
A．如果，，那么
B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，那么
D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线
4. (24-25高一下·广东惠州五校·)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线 B．若，则
C．若，则m，n是异面直线 D．若，则
5. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
1.(24-25高一下·广东东莞第十一中学·) （多选）如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P使得平面
B．存在点P使得平面
C．若P是的中点，则到平面的距离为
D．若直线与平面所成角的正弦值为，则
2. (23-24高一下·吉林长春外国语学校·期中)如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)若点为的中点，求点到平面的距离．
3. (24-25高一下·广东东莞翰林高级中学·期中)已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，，∠ACB＝90°．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
4. (24-25高一下·广东深圳红山中学·)我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.
(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的大小；
(3)若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值.
5. (24-25高一下·广东东莞五校·)已知正三棱柱中，点是的中点，底面的边长为2，．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
1. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中) （多选）如图，在棱长为2的正方体，中，点M，N，E，F分别是梭，，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为4π
B．平面平面EFDB
C．异面直线AM与BE所成角的余弦值为
D．平面AMN和平面EFDB分正方体成三部分的体积由小到大的比值为
2. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面结论，其中错误的是（ ）
A．水面所在四边形的面积不是定值 B．没有水的部分始终呈棱柱形
C．棱一定与平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值）
3. (24-25高一下·广东佛山南海区·)如图1，内壁光滑且透明的正方体容器内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4，容器厚度不计.当其水平放置时，水面恰好过，，，的中点E，F，G，H.现在固定容器一边于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同.容器绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱，，，分别交于点，，，.假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.
(1)证明：是定值；
(2)已知水面是矩形面，求水面面积的取值范围.
4. (24-25高一下·广东深圳·期中)如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，边上的中点为．
(1)求四棱锥的体积；
(2)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积；
(3)求直三棱柱外接球的表面积．
5. (24-25高一下·广东深圳坪山区聚龙科学中学教育集团·期中)如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥．已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为．
(1)计算该模型的体积．
(2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？
1. (24-25高一下·广东惠州第八中学·期中) （多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
2. (24-25高一下·广东深圳坪山区聚龙科学中学教育集团·期中)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面PAC平面PCD；
(3)求二面角所成角的余弦值．
3. (24-25高一下·广东惠州五校·)如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC.
(1)求证：平面BCE；
(2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值.
4. (24-25高一下·广东东莞五校·)如图，在三棱锥中，．
(1)平面；
(2)当时，求二面角的正弦值．
5. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.
(1)求证：平面MAC；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
1. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2. (24-25高一下·广东湛江廉江实验学校·期中)三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为_______.
3. (24-25高一下·广东普宁兴文中学·期中)已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为______．
4. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5. (24-25高一下·广东普宁兴文中学·期中)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A． B．2 C． D．
1. (24-25高一下·广东湛江·期中)如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
2. (24-25高一下·广东东莞第十一中学·)已知正方形的边长为4，则其直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
3. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)下列说法正确的是（ ）
A．用斜二测画法画水平放置的平行四边形，其直观图仍是平行四边形
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．任一平面截圆柱，其截面都是圆
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
4. (24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（ ）
A．3 B． C．6 D．
5. (24-25高一下·广东茂名高州·期中)如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图即四边形，则四边形的面积为__________.
1. (24-25高一下·广东佛山南海区·) （多选）如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱，，的中点，点满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．若Q，M，N，P四点共面，则
C．过点Q有且仅有一条直线与，都相交
D．若，点F在侧面上（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
2. (23-24高一下·广东广州清华附中湾区学校·期中) （多选）如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．三棱锥体积最大时，其内切球半径为
3. (24-25高一下·广东广州第七中学·期中) （多选）如图，已知棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的长度为
B．存在，使得平面
C．
D．当与只有一个公共点时，
4. (23-24高一下·广东佛山南海区石门中学·期中) （多选）在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是相交直线
C．存在点，使，，，四点共面 D．存在点，使平面
5. (24-25高一下·广东深圳外国语学校高中园·期中)如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为_______．
1. (24-25高一下·广东湛江·期中)如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（ ）
A． B． C． D．
2. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
3. (24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，．
(1)求圆台的高；
(2)求圆台轴截面的面积；
(3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程．
4. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________.
5. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（）
A． B． C． D．
1. (23-24高一下·广东云浮罗定·期中)如图，在四棱锥中，底面是矩形．
（1）设为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点．求证：平面．
（2）设是上靠近点的一个三等分点，试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．
2. (24-25高一下·广东深圳外国语学校高中园·期中)如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.
3. (24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当时，求过点A ，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值.
4. (24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)如图，四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于，是线段上的动点.
(1)求四棱锥的体积；
(2)若是的中点，求证： 平面；
(3)直线是否与直线互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
5. (24-25高一下·广东湛江第二十一中学·期中)如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且.
(1)证明：；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
1. (24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为_____
2. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.
(1)求证：点在直线上；
(2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）
3. (24-25高一下·广东深圳高级中学·期中) （多选）如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．
C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
4. (24-25高一下·广东汕头金山中学·期中)已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5. (24-25高一下·广东东莞五校·) （多选）如图，在棱长为1正方体中，点P，Q分别是线段，上的动点，点E是棱的中点，下列命题正确的有（ ）
A．异面直线与所成的角为定值
B．的最小值为
C．三棱锥的体积随P点的变化而变化
D．过点E作平面，当//平面时，平面与正方体表面的交线构成平面多边形的周长为
1. (24-25高一下·广东佛山南海区·)如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离.
2. (24-25高一下·广东深圳坪山区聚龙科学中学教育集团·期中)如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
(3)若正方体的棱长为2，求直线到平面AEC的距离．
3. (24-25高一下·广东东莞七校·期中)如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求点到平面的距离.
4. (24-25高一下·广东汕头金山中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，．
(1)求证：平面；
(2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离．
5. (24-25高一下·广东深圳福田区红岭中学·期中)如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线到平面的距离.
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专题03立体几何初步
14大高频考点概览
考点01 异面直线所成的角
考点02 平行问题
考点03 垂直问题
考点04 空间点线面的位置关系
考点05 直线与平面所成角
考点06 几何体的表面积与体积
考点07 二面角
考点08 几何体的外接球内切球
考点09 斜二测画法
考点10 立体几何动点小题
考点11 线段长最小问题
考点12 动点探索问题
考点13 截面交线问题
考点14 距离问题
1．(24-25高一下·广东深圳坪山区聚龙科学中学教育集团·期中)在正方体中，异面直线与所成角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据异面直线定义得异直线与所成角即为与所成角，再由正方体性质可求解.
【详解】由正方体性质得异直线与所成角即为与所成角，
由正方体结构特征可知为等边三角形，
因此与所成角为.
故选：C.
2．(24-25高一下·广东惠州五校·)在正方体中，直线与直线AC所成角的大小为______.
【答案】/
【分析】将异面直线所成角转化为相交直线所成角，即可求解.
【详解】因为，所以直线与直线AC所成角为直线与直线所成角,
即或其补角，是等边三角形，所以，
所以直线与直线AC所成角的大小为.
故答案为：
3．(24-25高一下·广东湛江廉江实验学校·期中)在正方体中，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出异面直线所成的角，解三角形，求角的余弦.
【详解】如图：

取中点，连接，根据正方体的性质，可知，所以即为异面直线与所成的角，设为.
连接，不妨设，则中：，.
所以 .
故选：C
4. (24-25高一下·广东清远华侨中学等四校联考·期中)如图，已知正方体的棱长为a，点E，F，G，H，I分别为线段，，，BC，的中点，连接，，，DE，BF，CI，则下列正确结论的个数是（ ）
①点E，F，G，H在同一个平面上；
②平面∥平面EFD；
③直线DE，BF，CI交于同一点；
④直线BF与直线所成角的余弦值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①根据共面定理，证明与平行，可得答案；
②由①，根据面面平行判定定理，证明平面平面，由图平面平面，可得答案；
③先假设，由题意，可得连线直线的等量关系，再假设出，求得连线的等量关系，检验可得答案；
④根据异面夹角的定义，作平行，找出夹角，结合余弦定理，可得答案.．
【详解】对于①，连接，，，，，作图如下：
在正方体中，易知，在中，分别为的中点，，则，命题①正确；
对于②，连接，，，，，，作图如下：
在中，分别为的中点，，同理在中，，
平面，平面，平面，同理可得平面，
，与相交，由平面，则平面平面，因为平面平面，所以命题②错误；
对于③，连接BD，延长DE、BF交于点M，
因为EF∥BD，且EFBD，所以MF＝BF，又因为FI∥BC，且FIBC，所以B、C、F、I四点共面，所以BF与CI相交，设BF与CI的交点为N，则NF＝FB，所以M与N重合，即直线DE，BF，CI交于同一点，命题③正确；
对于④，取C1D1的中点K，连接CK，
则CK∥BF，则CK与所成的角θ即为直线BF与直线所成的角，连接，设正方体的棱长，则，，，由余弦定理得，命题④正确．
综上知，①③④正确．
故选：C．
5. (24-25高一下·广东广州第七中学·期中)如图，三棱锥中，是等边三角形，且，点在棱上，点在棱上，并使，其中，设为异面直线与所成的角，为异面直线与所成的角，则的值为（ ）
A． B． C． D．与有关的变量
【答案】C
【分析】取中点，根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直的判定可得平面；作，由平行线分线段成比例可证得，得到，，可知；由平行关系和线面垂直的性质可证得，由此可得结果.
【详解】取中点，连接，作，交于，连接，
，为中点，；
为等边三角形，，又，平面，
平面，
，，，
，，，
，平面，平面，又平面，
，又，，即，.
故选：C.
1. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)已知长方体中，，其外接球的表面积为，平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，其体积为．
(1)证明：平面平面；
(2)求棱的长；
(3)求几何体的表面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据长方体的性质得到、，即可得证；
（2）设，， ，根据外接球的表面积及棱柱、棱锥的体积公式得到方程组，解得即可；
（3）根据表面积公式计算可得.
【详解】（1）根据长方体的性质可知且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
又且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面；
（2）设，， ，
又（为长方体外接球半径），
又外接球的表面积为，即，所以，
∴①；
又，
∴②；
由①②解得或（舍去），∴棱长为；
（3）若，，，则，
，，，
在中由余弦定理，
则，
所以，
所以
.
2. (24-25高一下·广东广东仲元中学、深圳龙城高级中学·期中)如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点.
(1)正四棱锥的表面积；
(2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点；
(3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，，理由见解析
【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案；
（2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论；
（3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论.
【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形，
因为，所以侧面积为，
所以正四棱锥的表面积为.
（2）连接,交于，则为中点，连接；
因为直线平面，且平面平面，
所以，
因为为中点，所以P为棱SD的中点.
（3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足.
理由如下:取SD的中点Q，连接BQ，
因为，所以，又为的中点，
在△中, ,又平面，平面，所以平面，
过Q作，交于，连接，
又平面，平面，
所以平面，又，平面，
所以平面平面，又平面,
所以平面，由，得,
由，Q为SD的中点，得，
所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC.
3. (24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于．
(1)求该多面体的体积；
(2)求证：平面；
(3)判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明．
【答案】(1)20
(2)证明见解析
(3)直线直线，证明见解析
【分析】（1）通过长方体体积和截去三棱锥体积即可求解；
（2）由，即可求证；
（3）由平面，结合平面平面，即可求证.
【详解】（1）长方体的体积为，
被截去的三棱锥的体积为，
所以多面体的体积为．
（2）证明：在长方体中矩形中，∥，，
所以四边形为平行四边形．
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（3）直线直线
证明：由（2）有平面，
又平面，平面平面，
所以.
4. (24-25高一下·广东茂名高州·期中)如图，在正三棱台中，，，，分别是，的中点，为上一点.
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)若平面，求点的位置，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)M为AC上靠近C的三等分点处，理由见解析.
【分析】（1）取AB中点N，连接，结合中位线利用线面平行判定定理证明平面， 平面，进而面面平行判定定理得平面 平面，从而利用面面平行的性质定理证明线面平行；
（2）根据线面平行的判定定理可得平面，结合平面，根据面面平行的判定定理得平面 平面，由面面平行的性质即可得线线平行，即可求解.
【详解】（1）取AB中点N，连接，

由三棱台中，是的中点，N是的中点可得，
又，所以，平面，平面，
故平面，又，分别是，的中点，
所以，平面，平面，故平面，
又，平面，平面，
所以平面 平面，又平面，所以平面；
（2）在等腰梯形中，，，所以，
又平面，平面，故平面，
由平面，，平面，平面，
所以平面 平面，
因为平面 平面，平面 平面，
所以，在中，，所以，
即M为AC上靠近C的三等分点处.
5. (24-25高一下·广东湛江廉江实验学校·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点.
(1)证明： 平面；
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由三角形中位线性质可得 ，由线面平行判定可得结论；
（2）利用三棱锥体积公式可求得结果.
【详解】（1）如图所示，连接，
因为为平行四边形，是中点，
所以是平行四边形的对角线，所以是中点，
又因为是中点，所以是中位线，所以 ，
因为平面，平面，所以 平面；
（2）.
1. (24-25高一下·广东湛江廉江实验学校·期中)如图，在四棱锥中，平面 .
(1)求证：平面；
(2)若，求与平面成角的正弦值；
(3)设点为的中点，过点的平面与棱交于点，且 平面，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
(3).
【分析】（1）由线面垂直得到，结合即可得证；
（2）首先求得为直线与平面所成角的平面角，再求解即可；
（3）由线面平行的性质得到 ，即可得解.
【详解】（1）因为平面平面，所以，
又平面，
所以平面；
（2） 平面，
平面，得为直线与平面所成角的平面角，
中，，
中， ，
；
（3）因为平面，平面平面，平面，
所以 ，因为点为的中点，
所以点为的中点，所以.
2. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)设平面平面，求证：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用中位线性质可得，再由线面平行判定定理可证明所以平面；
（2）根据线面垂直性质由平面可得，结合正方形中可证明平面，再由线面垂直判定定理证明平面；
（3）易证平面，由平面平面，根据线面平行性质定理证明，即可得平面．
【详解】（1）连接，交于，如下图所示：
因为底面是正方形，故为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）∵平面，平面∴，
又∵在正方形中，，
，，平面，
∴平面，
又∵平面，∴，
∵，为中点，故，
又，且平面PCB，平面，
∴平面
（3）在正方形中，有，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
3. (23-24高一下·广东广州二中·期中)已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.
(1)求证： 平面；
(2)求证：平面.
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，，只需证明即可，由中位线定理结合线面平行的判定定理即可得证.
（2）只需证明，即可，由等腰直角三角形性质，线面垂直的性质以及判定定理即可得证.
（3）利用转换法，只需求点到平面的距离和三角形的面积，由（2）的结论、点为的中点以及解直角三角形知识即可求解.
【详解】（1）如图，
连接，，
四边形为矩形，为的中点，
与交于点，且为的中点，
又点为的中点，，
又平面，且平面，
平面.
（2）直三棱柱满足，，
又点为的中点，且面，面，
所以，，
又面，
平面.
（3）由图可知，
，，，
又三棱柱为直三棱柱，且，
.
，，点为的中点，
所以.
由（2）可知平面.
所以点到平面的距离为，
又点为的中点，
所以点到平面的距离为，
.
4. (24-25高一下·广东深圳深圳大学附属中学、东莞东莞中学松山湖学校·)如图，在正方体中，E，F分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据正方体的性质可得 ，再利用线面平行的判定定理可得结论；
（2）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据 可得结论.
【详解】（1）连接，在正方体中，E，F分别为的中点，
因为，所以，
则四边形是平行四边形，可得 ，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为在正方体中，平面，
而平面，所以 ，
又因为在正方形中，
且平面，
所以平面，
由（1）可知， ，
所以平面.
5. (24-25高一下·广东深圳深圳大学附属中学、东莞东莞中学松山湖学校·)如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.
(1)求证：平面平面
(2)若，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间中线面的位置关系，结合面面垂直的判定定理证明即可.
（2）求出直三棱柱的各边长，找到二面角的平面角即可求出二面角的正弦值.
【详解】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴.
∵，点是线段的中点，∴，
∴为等腰直角三角形，故，
∴，即.
∵在直三棱柱中，，∴，
∵，平面，∴平面，
∵平面，∴，
∵，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）
∵四边形为矩形，点是线段的中点，∴，
∵，∴为等边三角形，故.
由题意得，，，∴，
∵，∴.
如图，过作平面，垂足为，连接，.
由（1）得，平面平面，
∵平面，∴平面平面.
∵，平面，平面，∴平面，
∴到平面的距离等于到平面的距离，
∵平面，平面，∴，
∵面，∴，
∴四边形为矩形，故，.
由平面，平面，∴，故.
由，得，
由（1）知，，
∵，平面，∴平面，
∵平面，∴，故为二面角的平面角，
在中，，∴.
由，，得为等腰直角三角形，即，
∴二面角的正弦值为.
1. (23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）
A．直线在平面内 B．直线平行平面
C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行
【答案】D
【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意即可判断．
【详解】由题，设直线为，平面为，
要使一条直线的两点到一个平面的距离为2，则由线面位置关系可得，
当时，可满足题意，
当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意，
当时，无法满足题意，
故直线与平面相交或平行．
故选：D
2. (24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)（多选）在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（）
A．对于任意的点，
B．存在点，使得平面
C．存在点，使直线与直线共面
D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值
【答案】ABD
【分析】对于A，由面面平行的性质定理可得；对于B，当点为的中点时，有平面；对于C，易知直线与直线是异面直线；对于D，利用侧面展开图可求解最短周长.
【详解】对于A，因为平面平面，
平面平面，
平面平面，
由面面平行的性质定理得，故A正确；
对于B，当点为的中点时，有平面，证明如下：
由A可知，当点为的中点时，为的中点，
此时，，故四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面，故B正确；
对于C，不论点在何位置，直线与直线永远为异面直线，
故直线与直线不可能共面，故C错误；
对于D，由A可知，同理可知，故四边形为平行四边形，
所以四边形的周长，
将矩形绕棱向内旋转90度，使矩形和矩形共面，
连接交于点，如下图所示：
故存在唯一的点E，使得最小，此时截面四边形的周长取得最小值，故D正确.
故选：ABD
3. (24-25高一下·广东佛山南海区·)，是两个平面，m，n是两条直线，则（ ）
A．如果，，那么
B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，那么
D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线
【答案】C
【分析】根据线面位置关系及线线位置关系判断各个选项.
【详解】如果，，那么或相交或异面，A选项错误；
如果，，m，n是异面直线，那么n与相交或平行，B选项错误；
如果，，那么无交点，所以，C选项正确；
如果，n与相交，那么m，n是异面直线或相交直线，D选项错误；
故选：C.
4. (24-25高一下·广东惠州五校·)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线 B．若，则
C．若，则m，n是异面直线 D．若，则
【答案】D
【分析】对于ABC举反例即可判断；对于D，由线面平行的性质、面面垂直的判定即可判断.
【详解】对于A，若，满足直线不平行于平面，但此时内存在无数条与平行的直线，故A错误；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则m，n是异面直线或者平行直线，
若，则m，n是异面直线或者平行直线或者相交直线，故C错误；
对于D，若，则存在，使得，因为，所以，
因为，所以，故D正确.
故选：D.
5. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
【答案】C
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系可判断每个选项的正误．
【详解】对于A：，，或与相交或与异面，故A错误；
对于B：由，，，可能，可能，还可能异面不垂直，
也可能相交不垂直，故B错误；
对于C：由，，则，又，则，故C正确；
对于D：，或，故D错误.
故选：C.
1.(24-25高一下·广东东莞第十一中学·) （多选）如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P使得平面
B．存在点P使得平面
C．若P是的中点，则到平面的距离为
D．若直线与平面所成角的正弦值为，则
【答案】BC
【分析】A.根据正方体可知，与不垂直，即可判断A，B.根据线面平行的判断定理，即可判断B，C.利用等体积转化为点到平面的距离，D.首先设，利用等面积转化，以及根据几何关系，求点到直线的距离，再根据线面角的定义，即可判断.
【详解】A.在正方体中易知，与不垂直，故A不正确；
B.因为，又平面并且平面，所以平面，故B正确；
C.正方体中易知，，不在平面内，在平面内，所以平面，
所以到平面的距离即为到平面的距离，
在正方体中，易知平面平面，且相交于，
所以到平面的距离即为到的距离，
又因为点P是的中点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，
又，，解得，故C正确；
D.设（），所以，
因为平面，且平面，所以平面平面，
且平面平面，所以点和到平面的距离就是到的距离，
计算可得，
所以，
可得，所以直线与平面所成角的正弦为，所以，故D错误.
故选：BC
2. (23-24高一下·吉林长春外国语学校·期中)如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)若点为的中点，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由条件可知，平面平面，再利用面面垂直的性质定理，即可证明线面垂直；
（2）首先取中点，将转化为，再根据（1）的结果，利用线面角的定义，即可求解线面角；
（3）利用等体积转化，，求点到平面的距离.
【详解】（1）∵平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面，
∵，点为中点，
∴，
∵平面平面，平面，
∴平面.
（2）
取中点，连接，，
∵，，，点为中点，
∴四边为平行四边形，∴，
∴直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，
∵平面，
∴为直线与平面所成的角，
∵点为中点，，
∴，，，
∴，又，所以，
所以直线与平面所成角为.
（3）如图，连结和，
由，，，且平面，
所以,，
，，,
所以是等边三角形，，
设点到平面的距离为，
则，即，得
所以点到平面的距离为
3. (24-25高一下·广东东莞翰林高级中学·期中)已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，，∠ACB＝90°．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明，即可证明平面；
（2）过作于，则直线与平面所成的角为，然后解三角形求解即可．
【详解】（1）因为底面，平面，则，
又因为，即，
，，平面，
所以平面．
（2）过作于，连接，
因为底面，平面，则，
，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成的角为，
因为，//，，
则，是等边三角形，可得，
又因为，在中，，中求得，
所以，
即直线与平面所成的角的正弦值为．

4. (24-25高一下·广东深圳红山中学·)我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.
(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的大小；
(3)若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明平面，得到，然后由等腰三角形的性质得，即可证明线面垂直；（2）证明、确定二面角的平面角为，根据几何关系求出即可；（3）建立空间直角坐标系，求出平面AEF的法向量，代入直线与平面的夹角的计算公式求解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
因为，又，平面，
所以平面，故，
在中，，为的中点，所以，
因为平面，平面，，
所以平面.
（2）因为平面，所以
因为在正方形中，，所以平面，所以，，
所以是二面角的平面角，
因为且，所以，
二面角的大小为；
（3）因为平面，平面，平面平面，
所以 ，又为线段的中点，所以为线段上的中点，
以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，
，
设平面AEF的法向量为，
，令，得，
所以平面AEF的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
5. (24-25高一下·广东东莞五校·)已知正三棱柱中，点是的中点，底面的边长为2，．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）连接交于点，连接，即可证，利用线面平行的判断定理即可证明；
（2）先证平面，再由计算即可；
（3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，利用等体积法求出，最后计算即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为四边形是矩形，所以为的中点，又是的中点，
又，又平面，平面，
所以平面.
（2）由于，又是的中点，所以，
在正三棱柱中，平面，平面，所以，
又平面平面，
所以平面，所以是三棱锥的高，又，所以，
（3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
由（2）有平面，又平面，所以，
因为，，所以，
又，即，解得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
1. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中) （多选）如图，在棱长为2的正方体，中，点M，N，E，F分别是梭，，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为4π
B．平面平面EFDB
C．异面直线AM与BE所成角的余弦值为
D．平面AMN和平面EFDB分正方体成三部分的体积由小到大的比值为
【答案】BC
【分析】对于A，求出外接球的半径后可判断其正误，对于B，由面面平行的判定定理可判断其正误，对于C，利用余弦定理可判断其正误，对于D，利用棱台的体积公式求出体积后可判断其正误.
【详解】对于A，正方体的外接球的直径为，故外接球的半径为，故体积为，故A错，
对于B，连接，由正方体性质可得四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，故面，

同理面，又AM与AN相交，且平面，
则面面BDFE，故B正确，
对于C，由于，因此或其补角为异面直线AM与BE所成角，
，，
由余弦定理可得，
故C正确，
对于D，，延长和BE相交于点Q，
由于E是的中点，，所以是QC的中点，
同理可知DF与也相交于点Q，故为三棱台，
因此，
因此平面AMN和平面EFDB之间的体积为：
，
因此三部分的体积由小到大的比值为，D错误．

故选：BC.
2. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面结论，其中错误的是（ ）
A．水面所在四边形的面积不是定值 B．没有水的部分始终呈棱柱形
C．棱一定与平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值）
【答案】D
【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义判断A，B，C，再根据柱体的体积公式判断D.
【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形，
对于A：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，
线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐增大，故A正确；
对于B：依题意，水面，而平面平面，
平面，则，同理，而，，
又平面，平面平面，
因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故B正确；
对于C：因为，平面，平面，因此平面，
即棱一定与平面平行，故C正确；
对于D：当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为，
又，，所以，故D错误．
故选：D
3. (24-25高一下·广东佛山南海区·)如图1，内壁光滑且透明的正方体容器内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4，容器厚度不计.当其水平放置时，水面恰好过，，，的中点E，F，G，H.现在固定容器一边于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同.容器绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱，，，分别交于点，，，.假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.
(1)证明：是定值；
(2)已知水面是矩形面，求水面面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）因为图1和图2中水体所形成几何体体积不变，所以根据柱体的体积公式列式计算即可得证；
（2）设，根据勾股定理求出，从而得到矩形面积的解析式，利用二次函数的值域，即可得到面积的取值范围.
【详解】（1）由图1可知水体的体积为.
图2中，水体所形成几何体体积不变，则
.
所以，即是定值4.
（2）设，则，
，.
所以.
因为函数是开口向上，对称轴为的抛物线，而，
所以，所以.
所以水面面积的取值范围为.
4. (24-25高一下·广东深圳·期中)如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，边上的中点为．
(1)求四棱锥的体积；
(2)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积；
(3)求直三棱柱外接球的表面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据结合柱体及锥体的体积公式计算求解；
（2）计算边长结合几何题特征计算各个面得出表面积；
（3）根据正三棱柱结合应用正弦定理计算求解.
【详解】（1）因为底面是等边三角形，边长为2，所以，
因为三棱柱是直棱柱，所以平面，
四棱锥的体积，
．
（2）由题意得，
从而，所以，
所以，
因为，，
所以，
所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为．
（3）根据对称性，球心在直三棱柱的中心，设为，
取为等边的外心，
所以为等边外接圆半径，设为，
根据正弦定理，则，
因为，
所以，在中，，
所以直三棱柱外接球的表面积．
5. (24-25高一下·广东深圳坪山区聚龙科学中学教育集团·期中)如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥．已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为．
(1)计算该模型的体积．
(2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？
【答案】(1)
(2)（元）
【分析】（1）首先求圆锥的高，再根据圆柱与圆锥的体积公式，即可求解；
（2）首先求组合体的表面积，再求总费用.
【详解】（1）设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为10cm，
则，
；
（2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为．
，
故总费用为（元）．
1. (24-25高一下·广东惠州第八中学·期中) （多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
【答案】ABC
【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明.
【详解】A选项：如图，取的中点，连接，
∵侧面为正三角形，，
又底面是菱形，，是等边三角形，
又为的中点，
又，，在平面内，且相交于点，
平面，故选项A正确；
B选项：由选项A知，平面，又平面，，
即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；
C选项：∵平面， ，
平面，，，
又平面平面，是二面角的平面角，
设，则，，
在直角中，，即，
故二面角的大小为，故选项C正确；
D选项：因为平面平面，，
所以平面，又平面，所以.
假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，
所以平面，又平面，所以，
而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.
故选：ABC.
2. (24-25高一下·广东深圳坪山区聚龙科学中学教育集团·期中)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面PAC平面PCD；
(3)求二面角所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取的中点，连接，可求得，，利用勾股定理的逆定理可证，结合，可证结论成立；
（2）利用（1）易证结论成立；
（3）可证，进而可得为二面角的平面角，进而求解即可.
【详解】（1）
由底面是直角梯形，，，，，
结合勾股定理计算可得：，
取的中点，连接，
，，，四边形是正方形，
则，再由勾股定理可得：，又因为，
则由，所以，
又因为平面平面，所以，
又因为，且平面，
所以平面；
（2）由（1）知平面平面，所以平面平面．
（3）平面平面，又，
为二面角的平面角．
在中，，
.
3. (24-25高一下·广东惠州五校·)如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC.
(1)求证：平面BCE；
(2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据面面垂直的性质得出平面ABC，再利用线面垂直的判定可证结论；
（2）利用垂直关系找到二面角的平面角，结合余弦定理可求答案.
【详解】（1）证明：因为平面平面ABC，且平面平面，
平面ACED，
故平面ABC，
因为平面ABC，所以．
又为等边三角形，为BC的中点，故，
因为，
平面BCE，
故平面BCE.
（2）由于平面平面BCE，故，
因为为等边三角形，为BC的中点，故，
所以为二面角的平面角.
因为，
故，
所以，
故二面角的余弦值为.
4. (24-25高一下·广东东莞五校·)如图，在三棱锥中，．
(1)平面；
(2)当时，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，再由，即可证得平面；
（2）由（1）可得，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理，
即，解得，
所以，即，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）因为平面，又平面，所以，
又，所以为二面角的平面角，
取的中点，连接，因为，所以，
又，所以，
所以，
所以二面角的正弦值为.
5. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.
(1)求证：平面MAC；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据线线平行证明线面平行；
（2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解；
（3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可.
【详解】（1）设，交于点，连接，则为中点.
在中，，分别为，中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又，，，平面.
所以平面.
因为平面，所以，
则即为平面与底面所成二面角的平面角.
设，则，，故，
所以，
即二面角的余弦值为.
（3）存在点，当时，平面平面.
证明如下：
如图，取中点，连接交于点，连接，
因为是正三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为，所以，所以平面.
因为平面，所以.
因为底面是正方形，所以.
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以棱上点存在点，当时，平面平面.
1. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的表面积.
【详解】将正四面体放在正方体中如图所示，
正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为，
由于，即，
所以正方体的外接球半径为，
所以外接球的表面积为.
故选：A.
2. (24-25高一下·广东湛江廉江实验学校·期中)三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为_______.
【答案】
【分析】先求出锥体体积，再结合等体积法求解内切球的半径即可.
【详解】设球半径为r，平面，显然 ,
又，平面,故平面，
平面,则.
由于平面ABC，，，
则 ,.
，,,
故三棱锥侧面积为，
.
故答案为：.
3. (24-25高一下·广东普宁兴文中学·期中)已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为______．
【答案】
【分析】由正三棱锥性质求得外接球半径后可得表面积．
【详解】如图，是的外心，是高，在上，设，
，，
所以由得，解得，
表面积为．
故答案为：．
4. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

5. (24-25高一下·广东普宁兴文中学·期中)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，分别求得圆柱和球的表面积，即可得答案.
【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为．
圆柱的表面积，
球的表面积，
所以圆柱的表面积与球的表面积之比为.
故选：C
1. (24-25高一下·广东湛江·期中)如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【答案】C
【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系中，再计算边长即可
【详解】由题意可得还原后如下：
，，，则
故选：C.
2. (24-25高一下·广东东莞第十一中学·)已知正方形的边长为4，则其直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出原正方形的面积，根据直观图的面积与原图形面积的关系求出答案.
【详解】原正方形的面积为，
由斜二测画法的规则可知，直观图的面积与原图形面积的关系为，
故直观图的面积为.
故选：C.
3. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)下列说法正确的是（ ）
A．用斜二测画法画水平放置的平行四边形，其直观图仍是平行四边形
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．任一平面截圆柱，其截面都是圆
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
【答案】A
【分析】对于A，根据斜二测画法的规则即可判断；对于B，做出符合要求的特殊多面体，再利用棱柱的定义判断即可；对于C，考虑到任一平面必须是平行于圆柱上下底面的平面，即可判断；对于D，根据棱台的定义判断即可.
【详解】对于A，用斜二测画法画水平放置的平行四边形时，直观图中的平行关系不变，
所以其直观图仍是平行四边形，故A正确；
对于B，如图所示的多面体，有两个面平行，其他各个面都是平行四边形，
但是这个多面体不是棱柱；故B错误；
对于C，用任一平行于圆柱上下底面的平面去截圆柱，其截面才是圆，故C错误；
对于D，有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，
所有的侧棱延长后必须交于同一点的才是棱台，故D错误.
故选：A.
4. (24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】根据直观图和原图形面积之间的关系求解即可.
【详解】直观图矩形的面积，则原图面积，
故选：D．
5. (24-25高一下·广东茂名高州·期中)如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图即四边形，则四边形的面积为__________.
【答案】
【分析】作出直观图，结合三角形的面积公式可求出四边形的面积.
【详解】作出直观图如下图所示：
由题意可知，四边形为平行四边形，且，，，
.
故答案为：.
1. (24-25高一下·广东佛山南海区·) （多选）如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱，，的中点，点满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．若Q，M，N，P四点共面，则
C．过点Q有且仅有一条直线与，都相交
D．若，点F在侧面上（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】利用面面平行可判断线面平行，可判断A，利用正方体取六条棱的中点截面是正六面形截面，可判断B，利用面面相交可通过作图来判断C，利用作面面平行来确定交线，可判断D.
【详解】对于A,因为平面平面,平面,所以平面,故A正确；
对于B,作直线，分别交延长线于点，
再连接并延长交延长线于点，连接交于点，
因为分别是棱，，的中点，可作正方体截面为正六边形，
它们交于各棱中点，所以为中点，由可得，故B错误；
对于C,由平面平面，则，
因为都在平面内，所以由图可得必与相交，
根据以上作图可得唯一交点，所以直线是唯一与和相交的直线，故C正确；
对于D，由分别是棱的中点，点满足，
则过作平行于，交于，由图可得，连接，
再过点作的平行线交于，可得，
再过点作的平行线交于，可得为的中点，
则可得平面，平面，平面，
所以平面平面，若平面，则平面，
因为平面平面，所以，
由于正方体棱长为2，可得，故D正确；
故选：ACD.
2. (23-24高一下·广东广州清华附中湾区学校·期中) （多选）如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．三棱锥体积最大时，其内切球半径为
【答案】ABD
【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，计算体积最大值判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用求范围判断C；.先由基本不等式确定B点位置，再结合等体积法即可求得三棱锥的内切球半径，则D可求.
【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径，
对于A，圆锥的侧面积为：，A正确；
对于B，，
当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值，
对于C，是等腰三角形，，又因为，则，
依题意，，而，因此，C错误；
对于D，结合B选项的解析可知，
当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值，
此时三棱锥的表面积为：，
设三棱锥的内切球半径为，
由等体积法可得，故D对.
故选：ABD.
3. (24-25高一下·广东广州第七中学·期中) （多选）如图，已知棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的长度为
B．存在，使得平面
C．
D．当与只有一个公共点时，
【答案】BCD
【分析】根据可得的轨迹是以为圆心，为半径的圆的四分之一，即可根据弧长公式求解A，根据线线平行即可求解B，利用线面平行的性质，结合等体积法即可求解C，根据相切，即可利用锐角三角函数求解D.
【详解】如图1，连接，由于平面，平面，故，
因为，所以，
又，从而．故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的四分之一，记为．
选项A：的长度为，A错误．
选项B：如图2，若取与的交点，取点，
此时易知，平面,平面，故平面，B正确．
选项C：由于,且，故，平面,平面，
故平面，故到平面的距离与到平面的距离相等，
所以，C正确．
选项D：与只有一个公共点即直线与相切，
如图3，记切点为，连接，则，从而，
所以，D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对于涉及动点的立体几何问题，关键是找到运动中哪些长度、角度以及位置关系等是不变的，进而以这些运动过程中的不变量为突破口解决问题，本题中点是正方形内及其边界上的动点，，是不变的关系，通过不变量建立关系式，求得，进而确定点的轨迹．
4. (23-24高一下·广东佛山南海区石门中学·期中) （多选）在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是相交直线
C．存在点，使，，，四点共面 D．存在点，使平面
【答案】AD
【分析】根据直线与直线的位置关系可判定AB，根据平面基本性质可判定C，根据线面平行的判定定理可判定D.
【详解】连接，，分别是，的中点，所以，
由，可确定平面，平面平面，
而平面内点直线，故平面，
故与、、三点不共面，所以直线MP与直线BN是异面直线，故A正确，B错误；
因是的中点，所以，故，，三点确定平面，
平面与直线仅有一个公共点，但不与重合，故不存使得平面，故C错误；
由选项A知平面，故平面，只需为中点，有，
则平面，故D正确．
故选：AD.
5. (24-25高一下·广东深圳外国语学校高中园·期中)如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为_______．
【答案】
【分析】取的中点，的中点，通过线面平行可得平面平面，由此可确定点的轨迹为线段，求出的长即可得到结果.
【详解】
如图，取的中点，的中点，连接，则，
∵平面平面，∴平面，
∵为的中点，∴，
∵平面平面，∴平面，
∵平面平面，∴平面平面，
∵是侧面上一点，且平面，
∴的轨迹为线段，
由得点的轨迹的长度为．
故答案为：.
1. (24-25高一下·广东湛江·期中)如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解.
【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内．
由题意可知，，
设 ，则，
所以，所以 ．
由余弦定理可得，
则，即细绳的最短长度为．
故选：C.
2. (24-25高一下·广东华南师范大学附属中学·期中)如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，利用，根据勾股定理求出即可得出结论.
【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，
所以的周长为，
在正三棱锥中，，侧棱长为4，
所以，
， ，
故选：C.
3. (24-25高一下·广东增城区顶峰校区·期中)某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，．
(1)求圆台的高；
(2)求圆台轴截面的面积；
(3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可；
（2）利用梯形的面积公式求解；
（3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解．
【详解】（1）如图1，作交于，
易得，
则，则圆台的高为．
（2）圆台的轴截面面积为：．
（3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
圆锥侧面展开图的圆心角为，
设的中点为，连接（如图2），
可得，
则，
所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为．
4. (24-25高一下·广东广州第六十五中学·期中)如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________.
【答案】
【分析】根据面面平行的性质证明出点的轨迹为线段，在根据平面几何知识计算出的最值。
【详解】下图所示：
分别取棱、的中点、，连接，连接，
、、、为所在棱的中点，，，
，又平面，平面，
平面；
，，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，
又，平面，平面平面，
是侧面内一点，且平面，
则必在线段上，
在 中，，
同理，在 中，求得，
为等腰三角形，
当在中点时，此时最短，位于、处时最长，
，
，
所以线段长度的是大值与最小值之和为．
5. (24-25高一下·广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学·期中)在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过内切圆、内切球等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，所以，所以三角形是直角三角形，
设的内切圆半径为，则，
，所以三棱柱内能放置的最大球的半径为，
则最大球的表面积是.
故选：A
1. (23-24高一下·广东云浮罗定·期中)如图，在四棱锥中，底面是矩形．
（1）设为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点．求证：平面．
（2）设是上靠近点的一个三等分点，试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）在上是存在中点，使平面成立，证明见解析.
【分析】（1）取上靠近的三等分点，连接，可得进而证明平面，同理证明平面，得出面平面即可证明；
（2）存在中点，连，使，连，得出即可证明.
【详解】（1）如图，取上靠近的三等分点，连接，
中，，
则又平面，平面，
平面，同理，平面，又，
∴平面平面，又平面，
∴平面．
（2）存在中点，使平面成立．
取中点，连，使，连．
是矩形，是的中点，
又是上靠近点的一个三等分点，且是中点，
是的中点，
中，，
又平面，平面，
平面，
故在上是存在中点，使平面成立．
【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的证明，解题的关键是正确理解线面平行的判定定理以及面面平行的性质.
2. (24-25高一下·广东深圳外国语学校高中园·期中)如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证；
（2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论.
【详解】（1）因为，所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）
存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面.
下面给出证明：
因为，所以，，
又因为点为上靠近点三等分点，所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为面，面，
所以面，
因为E在棱PD上且，即，
又因为，
所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面.
3. (24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当时，求过点A ，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，再证，进而可证平面，再由面面垂直的判定定理可证平面平面；
（2）根据题意将截面做出来，易知，只需计算的最大值即可，因此需要求出相应的边长，利用面积公式求出，结合二次函数即可求最大值.
【详解】（1）由已知得点E是的中点，且平面.
由可得.
所以，
因为，
故即.
由正四棱柱可知平面，
因为平面，所以.
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）延长，交于，设过点的截面与棱的公共点为G，连.
由面面平行的性质定理可得此截面四边形是平行四边形
由，得.从而，
，
设，在中由余弦定理得：
故当时，取得最小值，从而
故截面四边形的最小值为
4. (24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)如图，四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于，是线段上的动点.
(1)求四棱锥的体积；
(2)若是的中点，求证： 平面；
(3)直线是否与直线互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)垂直，证明见解析
【分析】（1）连接交于，连接，利用线面垂直的判定定理可得为四棱锥底面上的高，再根据四棱锥的体积公式求解即可；
（2）连接交于，连接，利用中位线证明，结合线面平行的判定定理证明即可；
（3）先证明平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可.
【详解】（1）连接交于，连接，
因为四棱锥中，侧棱和底面边长都等于，
所以底面是菱形，是等腰三角形，是中点，
所以，同理可得，
因为平面，，所以平面，
所以为四棱锥底面上的高，
又因为，所以底面是正方形，
所以，，
所以四棱锥的体积为.
（2）如图，连接交于，连接，
因为是中点，是中点，所以，
又因为平面，平面，
所以 平面.
（3）不论点在侧棱的任何位置，都有，
证明：由（1）可知，，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，此时与点在侧棱的位置无关.
5. (24-25高一下·广东湛江第二十一中学·期中)如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且.
(1)证明：；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）设交AC于点O，由题意可得PO⊥AC，，可证得平面，进而证得结论.
（2）在线段PE取一点G，使得，由题意可得，可证得平面，进而可得平面平面，再证得，可得的值.
【详解】（1）设交于点O，连接，正方形中，则，，
又，则，又平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）侧棱上存在一点F，满足条件，
证明如下：如图，正方形中，，
在线段取一点G，使得，由，得，
连接，则，而平面，平面，
则平面，由平面，，平面，
得平面平面，而平面平面，平面平面，
于是，，
所以＝.
1. (24-25高一下·广东卓越教育发展联盟学校·)甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为_____
【答案】
【分析】取AB，CD的中点E，F，连结E，F两点，根据正四面体的性质可得EF即为平面和平面的交线，再由几何关系求出线段EF的长度即可.
【详解】如图所示，分别取，的中点，，连结，，
则由正四面体的性质，过正四面体的中心，所以平面即平面，平面即平面，
又因为平面，平面，
所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段，
又因为正四面体的棱长为1，则由勾股定理可得．
所以在等腰三角形中，．
故答案为：.
2. (24-25高一下·广东汕头第一中学·期中)如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.
(1)求证：点在直线上；
(2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）
【答案】(1)证明见详解
(2)图形见详解
【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上.
（2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面.
【详解】（1）平面平面,
由于平面
所以平面,
同理平面,
所以平面，
所以,即点在直线上.
（2）如图所示，取的中点，连接，
因为，，
所以，故共面.
则即为所求截面.
3. (24-25高一下·广东深圳高级中学·期中) （多选）如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．
C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
【答案】BCD
【分析】当时，BP最小，结合正三角形性质，求得B到直线的距离判断A，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明，判断B，由题可得平面，结合锥体体积公式证明三棱锥的体积不变，判断C，证明平面，设与平面交于点，根据锥体体积公式求，根据球的截面的性质可得以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可判断D.
【详解】对于A，当时，BP最小，由于，
所以为边长为的等边三角形，
到直线的距离，故A错误；
对于B，由已知四边形为正方形，所以，
由正方体性质可得平面，又平面，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，所以，故B正确；
对于C，由正方体的性质可得，平面，平面，
平面，到平面的距离为定值，
又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故C正确；
对于D，因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，
所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，
所以，又， ，
所以平面，设与平面交于点，
则三棱锥的体积，
又，
，，，
，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，
，，
在以为圆心，为半径的圆上，
由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，
故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为，故D正确．
故选：BCD.
4. (24-25高一下·广东汕头金山中学·期中)已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，设该球半径为，利用勾股定理求出，求出，从而确定球心到过点的截面圆的距离，故截面圆半径，得到截面面积的取值范围.
【详解】作平面，则是等边的中心，设是正三棱锥外接球的球心，
点在上，连接，连接并延长交于点，
则.设该球半径为，则.
由，可得，
故.
在中，，解得.
因为点为的中点，所以，
在中，，所以，
设球心到过点的截面圆的距离为，可知，
截面圆半径，
所以截面圆的面积的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
5. (24-25高一下·广东东莞五校·) （多选）如图，在棱长为1正方体中，点P，Q分别是线段，上的动点，点E是棱的中点，下列命题正确的有（ ）
A．异面直线与所成的角为定值
B．的最小值为
C．三棱锥的体积随P点的变化而变化
D．过点E作平面，当//平面时，平面与正方体表面的交线构成平面多边形的周长为
【答案】ABD
【分析】根据线面垂直即可求解A，根据平面中两点间距离最小即可求解B,根据等体积法即可求解C,根据线面平行的性质可得截面多边形,即可求解D.
【详解】由于平面平面,
平面,所以平面，平面，所以，则异面直线与所成的角为90°，故A正确；
把平面沿直线翻折到平面，使得与共面且不重合，点翻折到点M的位置，过A作交于点R，
由于与为全等的直角三角形，且,
所以，故,
故,则的最小值为线段的长，故B正确；

因为,由于为定值,且到底面的距离为定值，故体积为定值，故C错误.
分别取的中点为，连接构成六边形,则平面平面,故平面即为六边形所在的平面，由于六边形为正六边形，且边长为,故其周长为，故D正确.
故选：ABD.

1. (24-25高一下·广东佛山南海区·)如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，得到，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）作垂足为，求得，求得的面积，结合锥体的体积公式，列出方程求得到平面的距离，再由，得到点到平面的距离是点F到平面的距离的3倍，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，且，可得，
连接，因为，所以，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：因为，，所以，
又因为四边形是等腰梯形，，
在平面中，作垂足为，则，
则的面积为，
所以三棱锥的体积为，解得，
即点到平面的距离为，
因为，所以点P到平面的距离是点F到平面的距离的3倍，
所以点到平面的距离为.
2. (24-25高一下·广东深圳坪山区聚龙科学中学教育集团·期中)如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
(3)若正方体的棱长为2，求直线到平面AEC的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立．
（3）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用求解即可.
【详解】（1）连接交于，连接．
因为为正方体，底面为正方形，
对角线交于点，所以为的中点，又因为为的中点，
在中，是的中位线，则，
又平面平面，所以平面；
（2）因为为的中点，为的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面；
由（1）知平面，又因为，平面，
所以平面平面．
（3）因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为．
因为正方体棱长为2，为的中点，所以．
，．，．因为，
所以，求得
3. (24-25高一下·广东东莞七校·期中)如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理，即可证明；
（2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，，即可证明线面垂直；
（3）利用等体积，求点到平面的距离.
【详解】（1）
如图，连接，设，连接，
因，，可得是平行四边形，则，
又，则得，
因平面，平面，故平面.
（2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则，
因平面 平面则，
又平面，故平面.
（3）在中，，
因平面 平面则
在中，，同理，，，
故满足勾股定理，则，
故
而 ，设点D到平面的距离为d，
由等体积法得 ， 得 =
故点D到平面的距离为
4. (24-25高一下·广东汕头金山中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，．
(1)求证：平面；
(2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据已知证明，由线面垂直得到，再由线面垂直的判定证明结论；
（2）若是的中点，易得，异面直线与所成的角为，利用线面垂直的判定及性质证明相关线段垂直，并求出相关线段的长度，应用等体积法求点面距.
【详解】（1）由，，，，即为直角梯形，
所以，，
所以，即，
又平面，平面，则，
由平面，故平面；
（2）若是的中点，则，故为平行四边形，

所以且，故异面直线与所成的角，即为，
由平面，平面，则，
又，易知，则，
所以，则，
由平面，平面，则，
由平面，平面，则，
由，，则，而平面，
所以平面，平面，则，
故，
所以，而，且，
设点B到平面的距离为，
则，即，可得.
5. (24-25高一下·广东深圳福田区红岭中学·期中)如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由棱台的性质可证得，再根据线面平行的判定定理可得证；
（2）根据条件，利用几何关系求得及面积公式求得，再利用等体积法，即可得出点到平面距离．
【详解】（1）连接BD，交AC于O，连接，
∵四边形是正方形，∴，
由棱台的性质可得，
由，，
可得，则，，
∴四边形是平行四边形，则，
又∵平面， 平面，
∴平面；
（2）因为平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离，
取中点，连，，因为，且，
所以是平行四边形，则，而平面，
故平面，又平面，故，
，得，
又，所以，
所以，
所以，
设到平面的距离为，又因为平面，到平面的距离为，
因为，所以，
所以
故直线到平面的距离为.
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