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专题04 复数
5大高频考点概览
考点01复数的实部与虚部
考点02复数的分类
考点03复数的几何意义
考点04复数的模
考点05共轭复数
(
地
城
考点01
复数的实部与虚部
)
单选题
1．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)若复数的实部为，虚部为b，则=（ ）
A．7 B．5 C． D．9
2．(24-25高一下·湖南娄底·期中)若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
(
地
城
考点02
复数的分类
)
解答题
3．(24-25高一下·湖南·期中)已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位．
(1)求复数；
(2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
4．(24-25高一下·湖南部分校·期中)已知复数，.
(1)若为实数，求；
(2)若为虚数，求的取值范围；
(3)若为纯虚数，求.
5．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知复数.
(1)若为纯虚数，求.
(2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值：
（i）两个根都是实数；
（ii）两个根都是虚数.
(
地
城
考点0
3
复数的几何意义
)
单选题
6．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)在复平面内，所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知复数，以下说法不正确的是（ ）
A．的实部是5
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．
D．
9．(24-25高一下·湖南永州·期中)在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
10．(24-25高一下·湖南湘西州吉首第一中学·期中)若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．(24-25高一下·湖南部分校·期中)已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
填空题
12．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______.
(
地
城
考点0
4
复数的模
)
单选题
13．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知复数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
多选题
14．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)关于复数z，下面是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则
15．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)已知i为虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A．
B．复数的共轭复数
C．复数的模为10
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
16．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)设复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
解答题
17．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知复数，（，且，），且.
(1)求的值；
(2)证明：；
(3)设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值.
(
地
城
考点0
5
共轭复数
)
单选题
18．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
19．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
20．(24-25高一下·湖南·期中)已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
21．(24-25高一下·湖南长沙湘军高级中学·期中)已知复数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
22．(24-25高一下·湖南邵阳邵东第三中学·期中)已知复数（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．2
23．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
填空题
24．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)复数，则__________.
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专题04 复数
5大高频考点概览
考点01复数的实部与虚部
考点02复数的分类
考点03复数的几何意义
考点04复数的模
考点05共轭复数
(
地
城
考点01
复数的实部与虚部
)
单选题
1．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)若复数的实部为，虚部为b，则=（ ）
A．7 B．5 C． D．9
【答案】C
【分析】根据复数实部和虚部的定义求出的值，进而求解即可.
【详解】由题意，，则.
故选：C.
2．(24-25高一下·湖南娄底·期中)若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算求出可得答案.
【详解】，则的虚部为.
故选：A.
(
地
城
考点02
复数的分类
)
解答题
3．(24-25高一下·湖南·期中)已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位．
(1)求复数；
(2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)且.
【分析】（1）由是实数，是纯虚数，列出等式求解即可；
（2）由，且与不共线，列出不等式求解即可.
【详解】（1）设复数，
由是实数知，即，
所以．
又因为是纯虚数，则为纯虚数，
即且，
所以，
所以．
（2）由（1）知，
则，
所以，，
因为向量与的夹角为钝角，
所以，且与不共线，
即，且
解得且.
4．(24-25高一下·湖南部分校·期中)已知复数，.
(1)若为实数，求；
(2)若为虚数，求的取值范围；
(3)若为纯虚数，求.
【答案】(1)或5
(2)且
(3)
【分析】（1）由复数是实数，得到，即可求解；
（2）由复数是虚数，得到，即可求解；
（3）由复数是纯虚数，列出方程组，再用模长公式即可求解
【详解】（1）由题意得
得或5
（2）由题意得
得且
（3）由题意得
得故，所以,所以．
5．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知复数.
(1)若为纯虚数，求.
(2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值：
（i）两个根都是实数；
（ii）两个根都是虚数.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解；
（2）（i）由已知虚部为0，得到的值，利用韦达定理即可求解；（ii）由已知两根为共轭复数，设出两根列方程组求出两根，利用韦达定理即可求解.
【详解】（1）因为为纯虚数，所以，所以；
（2）（i）因为两个根都是实数，所以的虚部为，
所以，解得或，
当时，，当时，，
所以方程的两个根为和，
所以，；
（ii）因为两个根都是虚数，所以两根为共轭复数，
设两根分别为，
，且，
所以，解得或，
所以，或，，
所以，.
(
地
城
考点0
3
复数的几何意义
)
单选题
6．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的乘积运算结合复数对应点的特征求解即可.
【详解】因为，
所以对应的点的位于在第四象限，故D正确.
故选：D
7．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)在复平面内，所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】应用复数的乘除法运算，再根据复平面对的点求解即可.
【详解】由题意可得，其在复平面内所对应的点为，位于第二象限，
故选：B.
8．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知复数，以下说法不正确的是（ ）
A．的实部是5
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数的定义，性质，几何意义，即可判断选项.
【详解】由复数的定义和性质可知，的实部是5，故A正确；
在复平面内对应的点为，为第四象限的点，故B错误；
，故C正确；，故D正确.
故选：B
9．(24-25高一下·湖南永州·期中)在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义及对称性求解即可.
【详解】由题意知对应的点为，
对应的点为，．
故选：C.
10．(24-25高一下·湖南湘西州吉首第一中学·期中)若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数所在象限有，即可判断所在的象限.
【详解】由已知复数在第四象限，则，所以在第一象限．
故选：A
11．(24-25高一下·湖南部分校·期中)已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数，则，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：A.
填空题
12．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______.
【答案】/
【分析】根据复数的几何意义得出向量、的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量对应的复数.
【详解】因为复数、对应的向量分别是、，则，，
所以，则向量对应的复数为.
故答案为：.
(
地
城
考点0
4
复数的模
)
单选题
13．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知复数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由复数的除法运算、模长公式即可求解.
【详解】，得，
所以.
故选：C
多选题
14．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)关于复数z，下面是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则
【答案】BD
【分析】对于AC，通过举特特例可判断选项正误；对于BD，设，由题意结合复数模计算公式可判断选项正误.
【详解】对于A， 当 时，，故A错误；
对于B，设，由题可得，则.故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，设，则
，故D正确.
故选：BD
15．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)已知i为虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A．
B．复数的共轭复数
C．复数的模为10
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】ABD
【分析】根据化简即可判断选项A；根据复数的除法运算及共轭复数的定义即可判断选项B；根据复数模的计算公式即可判断选项C；由复数减法的几何意义即可判断选项D.
【详解】对于A，，故选项A正确；
对于B，复数，所以的共轭复数为，故选项B正确；
对于C，复数的模为，故选项C错误；
对于D，由复数减法的几何意义可知：表示在复平面内对应的点到点的距离，表示在复平面内对应的点到点的距离.由可知则在复平面内对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，故选项D正确.
故选：ABD.
16．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)设复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据复数的模的运算，共轭复数的性质，复数的乘除法运算逐项分析即可.
【详解】设，
由，则，
所以，即，故A正确；
代入可得，，所以，故B错误；
由，故C正确；
由，故D错误.
故选：AC.
解答题
17．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知复数，（，且，），且.
(1)求的值；
(2)证明：；
(3)设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据复数的模公式直接化简计算即可；
（2）结合（1）及复数模的公式直接可得证；
（3）根据复数在复平面内点的坐标结合向量数量积公式直接计算.
【详解】（1）由已知，则，，
所以，
又，则，
所以，
化简可得，
又，所以，即；
（2）由（1）得，
所以，
又，
所以；
（3）设在复平面上对应的向量为，
在复平面上对应的向量为，
所以，
故，解得.
(
地
城
考点0
5
共轭复数
)
单选题
18．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的乘法运算可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：B
19．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再判断即可.
【详解】因为，所以，则.
故选：B
20．(24-25高一下·湖南·期中)已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的乘法运算即可求解.
【详解】因为，所以，
即，
故选：B．
21．(24-25高一下·湖南长沙湘军高级中学·期中)已知复数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数的除法法则可求得，进而求得.
【详解】因为，所以其共轭复数..
故选：C.
22．(24-25高一下·湖南邵阳邵东第三中学·期中)已知复数（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】先利用复数的除法化简复数，再求得其共轭复数，然后求模.
【详解】复数,
所以，，
故选：C
23．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代入已知方程中，利用复数的四则运算化简，根据复数相等的条件列式求解，即可求解.
【详解】将代入方程可得，
即，故，解得，故.
故选：B
填空题
24．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)复数，则__________.
【答案】/
【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，即可求解.
【详解】由复数，则，所以.
故答案为：.
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